Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến 3 cạnh của tam giác không phụ thuộc vị trí của điểm M nằm trong tam giác..[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT VĨNH THUẬN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG HUYỆN
Năm học 2009-2010 Môn Toán
Thời gian 150 phút ( không kể thời gian giao đề )
Câu 1: (4đ) Tính
a/ √6 −2√5 −√5
b/
−3+ 1
1+ 1 1+1 3 c/ 1002 – 992 + 982 – 972 + … + 22 - 12
d/ A= 1
1 2+
1
2 3+
1
3 4+⋅+ 1
99 100
Câu 2: (4đ)
a/ Cho a, b, c là ba số thực bất kì Chứng minh a2 + b2 + c2 + 1 > a + b + c
b/ Chứng minh 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 (n N)
c/ Cho hàm số y = √x2−2x +1+√x2−6x+ 9
Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị tương ứng của x
Câu 3: (4đ)
a/ Rút gọn A = (√6+√2) (2−√3)√ √3+2
b/ Giải phương trình : |1 −|x| |=1 .
c/ So sánh √4+√7 −√4 −√7 và √2
Câu 4: (3đ) Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau khi khởi hành 24
phút ô tô giảm vận tốc đi 10 km/h nên đã đến B chậm hơn dự định 18 phút Hỏi thời gian
dự định đi của ô tô
Câu 5 : (5đ)
1 (3đ) Cho nửa đường tròn tâm (O;R) đường kính AB Gọi Ax, By là các tia tiếp tuyến tại A và B (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt
Ax và By theo thứ tự ở C và D
a Chứng minh 1
OM2=
1
OC2+
1
OD2
b Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho tổng AC + BD
ngắn nhất
2 (2đ) Cho tam giác đều ABC cạnh a và M là một điểm tùy ý trong tam giác Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến 3 cạnh của tam giác không phụ thuộc vị trí của điểm M nằm trong tam giác
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2MÔN: TOÁN
Câu 1 : ( 4 đ )
a/ Ta có √6 −2√5 −√5=¿
√ ( √5 − 1)2−√5=¿
| √5− 1|−√5 = √5− 1−√5=−1 ( 0,5đ) b/
−3+ 1
1+ 1
1+1
3
=
−3+ 1
1+1 4 3
= −3+
1 1+3 4
( 0,5đ)
= −3+
1 7 4
= −3+4
7 = −
17
c/ (a + b)(a – b) = a2 – b2 (a, b Q)
1002 – 992 + 982 – 972 + … + 22 - 12
= (100 + 99)(100 – 99) + (98 + 97)(98 – 97) + …+ (2 + 1)(2 – 1) ( 0,5đ)
d/ Ta có: 1 21 =1
1−
1
2 ;
1
2 3=
1
2−
1
3 ;
1
3 4=
1
3−
1 4
A = 1+(−1
2+
1
2) + (−1
3+
1
3) - 1
= 1− 1
100=
99
Câu 2:
a/ Ta có: (a2 + b2 + c2 + 1) – (a + b + c) =
= (a2− a+1
4) + (b2−b +1
4) + (c2− c +1
= (a −1
2)2 + (b −1
2)2 + (c −1
Từ đó ta có đpcm
b/ Vì an – bn = (a – b)(an-1 + an-1.b + …+ bn-1) nên với a, b Z; n N
do đó 7.52n + 12.6n = 7.(25n – 6n) + 19.6n ⋮ 19 ( 0,5đ)
c/ y = |x − 1|+|x − 3|
vậy giá trị nhỏ nhất của y = 2
dấu “=” xảy ra khi (x – 1)(3 – x) ≥ 0
⇔ -x2 + 4x – 3 ≥ 0 ⇔ x2 - 4x + 3 ≤ 0 ( 0,5đ)
⇔ (x − 2)2−1 ≤ 0 ⇔ |x − 2|≤1
⇔ -1 ≤ x – 2 ≤ 1 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3 ( 0,5đ)
Câu 3:
a/ Ta có: A = √ ( √6+√2)2(2 −√3)2(2+√3) ( 0,5đ)
= √ (8+4√3)(2−√3)( 4 −3) ( 0,5đ)
b/ * với x ≥ 0 phương trình đã cho trở thành |1 − x|=1
* với x ≥ 1 ta có -1 + x = 1 ⇔ x = 2 (nhận)
Trang 3* với 0 ≤ x < 1 ta có 1 – x = 1 ⇔ x = 0 (nhận) ( 0,5đ)
* với x < 0 phương trình đã cho có dạng |1+x|=1
với x < -1 ta có -1 – x = 1 ⇔ x = -2 (nhận) ( 0,5đ)
với -1 ≤ x < 0 ta có 1 + x = 1 ⇔ x = 0 (loại)
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình đã cho là S={− 2; 0; 2} ( 0,5đ)
c/ Ta có ( √4 +√7−√4 −√7)2=4 + √7 - 2 √9 + 4 - √7 = 2 ( 0,5đ)
Câu 4: Quãng đường ô tô đi với vận tốc 50 km/h là: 50⋅24
Theo đề bài ta có phươg trình
40x −20 − x −20
3
Cậu 5 : ( 5 đ)
1 a.
Ta có: Ax AB; By AB và OM CD (tính chất của tiếp tuyến)
Và OD là tia phân giác của B ^ O M (theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông COD, ta có:
1
OM2= 1
OC2+ 1
1.b Ta có CA = CM; DM = DB (theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
và AC.BD = CM.MD = OM2 = R2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông COD)
tổng AC + BD ngắn nhất khi và chỉ khi CD ngắn nhất mà tích AC.BD không đổi
⇒ tứ giác ACDB là hình chữ nhật ⇒ CD // AB
Vậy M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O) đã cho ( 0,5đ)
2 Kẻ MH AB, MI BC, MK CA
Ta có SMAB + SMBC + SMCA = SABC (0,5đ)
2 a(MH + MI + MK) =
1
2a ⋅ a√3
2 (0,5đ)
⇔ MH + MI + MK = a√3
2 (không đổi) (0,5đ)
Vậy tổng các khoảng cách từ M đến 3 cạnh của tam giác đều ABC không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trong tam giác (0,5đ)