PHẦN RIỀNG 3 điểm: Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần phần a hoặc phần b a Theo chương trình chuẩn Câu VI.a 2 điểm.. Trung điểm K của cạnh BC là giao điểm của d 2 và trục Ox.[r]
Trang 1http://toanhocmuonmau.violet.vn
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC GIANG
TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1
–––––––––––––––––––
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ, GIỎI LẦN 2
Năm học 2012 – 2013 Môn: Toán lớp 11 – Khối B, D
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = − + x3 6 x 1 có đồ thị (C)
1 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M ( ) 0;1 thuộc (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A ( 1; 4 − )
Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình
2
3 2
sin 2 2cos
2 cos
1 tan
x x
2 Giải hệ phương trình
− + − =
( x y , ∈ ℝ )
Câu III (1 điểm) Tìm giới hạn 2
1
lim
1
x
x
→
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Chứng minh AD ⊥ ( SAB ) và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AC, SD theo a
Câu V (1 điểm) Cho các số thực dương x y z , , thỏa mãn x + + = y z 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
B PHẦN RIỀNG (3 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a hoặc phần b)
a) Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12 và có tâm I là giao
điểm của hai đường thẳng d1: x−3y=0, d2:x− − =y 3 0 Trung điểm K của cạnh BC là giao điểm
của d2 và trục Ox Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD
2 Từ 13 học sinh gồm 6 học sinh nam và 7 học sinh nữ chọn ra 5 học sinh Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ, đồng thời số nữ nhiều hơn số nam?
Câu VII.a (1 điểm) Cho khai triển ( ) 2
1 2 − x n = + a a x + a x + + a xn n Với số nguyên dương n thỏa
mãn 73 12 1
3C n +C n =2n, hãy tính tổng S = + a1 2 a2 + 3 a3+ + nan
b) Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M ( − 1;1 ) và đường tròn (C): 2 ( )2
x + y− = Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho MA=3MB
2 Chọn ngẫu nhiên hai học sinh từ một nhóm gồm 3 học sinh lớp 11A, 4 học sinh lớp 11B và 5 học sinh lớp 11C Tính xác suất để chọn được hai học sinh khác lớp
Câu VII.b (1 điểm) Chứng minh rằng 12C20131 + 22C20132 + + 20132C20132013 = 2013.2014.22011
–––––––Hết ––––––
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
Trang 2http://toanhocmuonmau.violet.vn
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI KHỐI 11, LẦN 2
NĂM HỌC 2012-2013 - KHỐI B và D
1.(1 điểm)
+Tính được đạo hàm y′ =3x2−6 0.25
+ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M( )0;1 : y= y′( )(0 x− + = − +0) 1 6x 1 0.75
2.(1 điểm)
+ Tiếp tuyến d của (C) tại ( 3 )
0 0; 0 6 0 1
M x x − x + có phương trình:
+ d đi qua A(1; 4− ) nên ta có: ( 2 ) ( ) 3
+ Giải phương trình tìm được 0 0 1
1,
2
Câu I
(2 điểm)
+ Phương trình các tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 4− ): 21 5
3 1,
1 (1 điểm) Giải phương trình 2 3 ( )
2
sin 2 2 cos
2 cos 1
1 tan
x x
+
+ Điều kiện: cos 0 ( )
2
x≠ ⇔ ≠ +x π mπ m∈ℤ
0.25
2
2sin cos 2cos
1 cos
x
−
0.25
2 1
= +
ℤ 0.25
+ Đối chiếu điều kiện Kết luận các nghiệm của phương trình (1) là: x= +π k2π (k∈ℤ) 0.25
2 (1 điểm) Giải hệ phương trình
+ Điều kiện: x≥2, y≥1
+
− − =
- Với x− − =1 y 0 ta có y= −x 1, kết hợp với pt x− +2 y− =1 2 tìm được x=3,y=2
0.5
Câu II
(2 điểm)
- Với ( ) (2 ) 2
x− + −x y+y − = : từ điều kiện x≥2, y≥1 ta có x− ≥1 1, y≥1, suy ra
x− + −x y+y − ≥ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=2,y=1 Không thỏa mãn
phương trình x− +2 y− =1 2
+ Kết luận hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất 3
2
x y
=
=
0.5
Câu III
(1 điểm) Tìm giới hạn 1 2
lim
1
x
x
→
−
Trang 3http://toanhocmuonmau.violet.vn
2
( )1 1 1(1 23.1 2) 14
−
+ Gọi H là trung điểm của AB SAB là tam giác đều suy ra SH ⊥ AB
+
⊥
⊂
+
,
⊥
⊂
0.5
+ Giả sử DH∩AC=G, suy ra G là trọng tâm tam giác ABD
+ Qua D kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB tại E Suy ra A là trung điểm của BE
+ Kẻ HI ⊥DE I( ∈DE), suy ra HI song song với BD
+ Kẻ HK ⊥SI K( ∈SI), chứng minh được HK ⊥(SDE)
Vậy ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) 2 ( ( ) ) 2
0.25
Câu IV
(1 điểm)
+ Trong tam giác đều SAB tính được 3
2
a
+ Trong tam giác vuông DAB tính được BD=a 2
+ Trong tam giác EBD, theo đl Ta-lét tính được 3 3 3 2
2
a
0.25
Trang 4http://toanhocmuonmau.violet.vn + Trong tam giác vuông SHI có 1 2 12 12 1 2 1 2 202
9
10
a HK
⇒ = Vậy ( ) 3 5
,
10
a
Câu V
(1 điểm)
Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn x+ + =y z 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
( )
x y z
0.25
+ Áp dụng bđt Cô-si:
z y
0.25
3 = + +x y z =x +y + +z 2 xy+yz+zx ≥3 xy+yz+zx ⇒xy+yz+ ≤zx 3
0.25
+ Vậy 9 3 3
P≥ − = Dấu "=" xảy ra khi x= = =y z 1
Kết luận: GTNN của P là 3
2, đạt được khi x= = =y z 1
0.25
1 (1 điểm)
+ Tìm được 9 3 ( )
; , 3; 0
2 2
+ Đường thẳng BC đi qua K và có VTPT 3 3
;
2 2
, suy ra BC có pt: x+ − =y 3 0 + B∈BC, giả sử B t( ;3−t t), ∈ℝ
0.25
Câu VI.a
(1 điểm)
Trang 5http://toanhocmuonmau.violet.vn
4
t
t
=
=
- Với t=2 tìm được B( )2;1 Từ K là trung điểm của BC tìm được C(4; 1− ) Từ I là trung điểm của AC và BD tìm được A( ) ( )5; 4 ,D 7; 2 0.25
- Với t=4 tìm được B(4; 1− ) Từ K là trung điểm của BC tìm được C( )2; 1 Từ I là trung điểm của AC và BD tìm được A( ) ( )7; 2 ,D 5; 4
Kết luận: A( ) ( ) (5; 4 ,B 2;1 ,C 4; 1 ,− ) ( )D 7; 2 hoặc A( ) (7; 2 ,B 4; 1 ,− ) ( ) ( )C 2;1 ,D 5; 4
0.25
2.(1 điểm)
Xảy ra 2 trường hợp:
+ Chọn 3 nữ, 2 nam: có C C73 62 =525 cách 0.5 + Chọn 4 nữ, 1 nam: có C C74 61=210 cách 0.25 Vậy có 525 + 210 = 735 cách chọn thỏa mãn đề bài 0.25
(1 điểm) Cho khai triển ( ) 2
1 2− x n = +a a x+a x + + a x n n Với số nguyên dương n thỏa mãn
3C n +C n =2n, hãy tính tổng S = +a1 2a2+3a3+ + na n
+ Giải phương trình 73 12 1
3C n +C n =2n tìm được n=9 0.25 + Theo đề bài: ( )9 2 9
1 2− x = +a a x+a x + + a x
18 1 2x a 2a x 3a x 9a x
Câu
VII.a
(1điểm)
+ Thay x=1 vào đẳng thức trên được ( )8
1 2 2 3 3 9 9 18 1 2 18
S= +a a + a + + a = − − = − 0.25
1.(1 điểm)
+ (C) có tâm I( )0; 4 , bán kính R=5
+ IM = 10<R, suy ra M nằm trong đường tròn (C)
+ Gọi H là trung điểm của AB, suy ra IH ⊥ AB
+ MA=3MB suy ra M là trung điểm của HB
+ Trong tam giác vuông IHM có HM2 =IM2−IH2 = −10 IH2
+ Trong tam giác vuông IHB có HB2 =IB2−IH2 =25−IH2
0.5
Câu VI.b
(2điểm)
+ Giả sử ∆ có VTPT ( ) ( 2 2 )
n= a b a +b ≠ , ∆ đi qua M(−1;1) nên ∆ có phương trình ( 1) ( 1) 0
Trang 6http://toanhocmuonmau.violet.vn +
2
a b
+
- Với a−2b=0: chọn a=2⇒b=1 Suy ra ∆ có phương trình 2x+ + =y 1 0
- Với 2a+ =b 0: chọn a=1⇒b= −2 Suy ra ∆ có phương trình x−2y+ =3 0 Kết luận
2.(1 điểm)
+ Số cách chọn được hai học sinh bất kì từ 12 học sinh của nhóm là: C122 =66(cách)
( ) 66
n
+ Số cách chọn được hai học sinh cùng lớp là: C32+C42+C52 =19(cách)
+ Số cách chọn được hai học sinh khác lớp là: 66 - 19 = 47 (cách)
Nếu A là biến cố chọn được hai học sinh khác lớp thì n A( )=47
0.5
Vậy xác suất chọn được hai học sinh khác lớp là: ( ) ( ) ( ) 47
66
n A
P A
n
(1 điểm) Chứng minh rằng 12C20131 +22C20132 + + 20132C20132013 =2013.2014.22011
+Ta có khai triển: ( )2013 0 1 2 2 2013 2013
1+x =C +C x C+ x + + C x (1) + Lấy đạo hàm và và đạo hàm cấp 2 hai vế của (1) ta được:
( )2012 1 2 2013 2012
2013 1+x =C +2C x+ + 2013C x (2)
2013.2012 1+x =2.1.C +3.2.C x 2013.2012.+ C x (3)
0.25
+ Trong (2) và (3) lần lượt cho x = 1 ta được:
2013.22012 =C12013+2C20132 + + 2013C20132013 (4)
2013.2012.22011 =2.1.C20132 +3.2.C20133 2013.2012.+ C20132013 (5)
0.5
Câu
VII.b
(1điểm)
+ Cộng đẳng thức (4) với đẳng thức (5) theo các vế tương ứng ta được:
2013.2014.2 =1 C +2 C +3 C 2013 + C (đpcm) 0.25
–––––––HẾT––––––––