BÀI TOÁN xác ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH một CHIỀU

16 Chương 2 Bài toán xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt tuyến tính một chiều 19 2.1.. Lời nói đầuTrong nhiều nghiên cứu thực tế, hàm nguồn trong quá trình truyềnnhiệt là không

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Mục lục

Trang

Chương 1 Một số kiến thức cơ bản 8

1.1 Giới thiệu bài toán 8

1.2 Rời rạc hóa bài toán 14

1.2.1 Rời rạc hóa bài toán thuận theo biến không gian 14 1.2.2 Rời rạc bài toán thuận theo biến thời gian 16

Chương 2 Bài toán xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt tuyến tính một chiều 19 2.1 Bài toán biến phân 20

2.2 Rời rạc bài toán biến phân 22

2.3 Phương pháp gradient liên hợp 25

2.4 Ví dụ số 28

Tài liệu tham khảo 35

Danh sách hình vẽ

2.1 Ví dụ 1: So sánh nghiệm chính xác và nghiệm số với nhiễu

= 0.1 (bên trái) và nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng

ω được cho bởi công thức (2.28) 302.2 Ví dụ 2: So sánh nghiệm chính xác và nghiệm số với nhiễu

= 0.1 (bên trái) và nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng

ω được cho bởi công thức (2.28) 302.3 Ví dụ 3: So sánh nghiệm chính xác và nghiệm số với nhiễu

= 0.1 (bên trái) và nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng

ω được cho bởi công thức (2.28) 312.4 Ví dụ 1: So sánh nghiệm chính xác và nghiệm số với nhiễu

= 0.1 (bên trái) và nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng

ω được cho bởi công thức (2.29) 322.5 Ví dụ 2: So sánh nghiệm chính xác và nghiệm số với nhiễu

= 0.1 (bên trái) và nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng

ω được cho bởi công thức (2.29) 322.6 Ví dụ 3: So sánh nghiệm chính xác và nghiệm số với nhiễu

= 0.1 (bên trái) và nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng

ω được cho bởi công thức (2.29) 33

Danh sách bảng

2.1 Tham số hiệu chỉnh γ, số bước lặp n∗, sai số kf −fn∗kL2 (0,T )

và giá trị phiếm hàm Jγ(fn∗) (hàm trọng ω được cho theo

công thức (2.28) 312.2 Tham số hiệu chỉnh γ, số bước lặp n∗, sai số kf −fn∗kL2 (0,T )

và giá trị phiếm hàm Jγ(fn ∗) (hàm trọng ω được cho theo

công thức (2.29)) 33

Lời nói đầu

Trong nhiều nghiên cứu thực tế, hàm nguồn trong quá trình truyềnnhiệt là không biết và yêu cầu cần phải xác định từ một vài thông số taquan sát được hay đo được [1, 2, 4, 5] Đây là các bài toán ngược xácđịnh hàm vế phải hay một phần hàm vế phải (hàm nguồn) của phươngtrình truyền nhiệt Vì những ứng dụng quan trọng trong thực tế nên

có rất nhiều nghiên cứu cả về lý thuyết và giải số đã được phát triển.[1, 3, 5, 6]

Bài toán ngược này là bài toán đặt không chỉnh Một bài toán đượcgọi là đặt chỉnh theo nghĩa Hadamard nếu thỏa mãn tất cả các điều kiện:i) Tồn tại nghiệm; ii) Nghiệm là duy nhất; iii) Nghiệm phụ thuộc liêntục vào dữ kiện bài toán Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên khôngthỏa mãn thì bài toán được gọi là đặt không chỉnh Bài toán đặt khôngchỉnh thường gây ra nhiều vấn đề nghiêm trọng vì làm cho các nghiệm

số cổ điển không ổn định, tức là một sai số nhỏ trong dữ kiện đầu vào

có thể dẫn tới sai số lớn bất kì với nghiệm Ta có thể xét ví dụ sau đây:Xét chuỗi Fourier

∞

X

n=0

ancos nt = f (t) ∼ (a0, a1, , ) (0.1)Chọn an = an+ n, n ≥ 1 và a0 = a0 Trong chuẩn của l2, ta có

Từ phương trình (0.2) và (0.3) ta có mặc dù hệ số sai khác nhỏ nhưng

có thể dẫn tới sai khác bất kì đối với hàm vế phải f (t)

Nội dung luận văn được trình bày trong 2 chương:

Chương 1 giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị, phương trình truyềnnhiệt một chiều dạng tổng quát, bài toán thuận, phương pháp sai phânhữu hạn rời rạc bài toán thuận

Chương 2 nghiên cứu bài toán xác định hàm vế phải bằng cách sửdụng phương pháp biến phân kết hợp với hiệu chỉnh Tikhonov, côngthức gradient của phiếm hàm mục tiêu được tính thông qua nghiệm củabài toán liên hợp cả trong trường hợp liên tục (Định lý 2.1) và trongtrường hợp rời rạc (Định lý 2.2) Trong chương này, chúng tôi cũng trìnhbày lại phương pháp gradient liên hợp để tìm cực tiểu phiếm hàm mụctiêu Luận văn cũng trình bày một vài ví dụ số minh họa cho các phươngpháp số đề xuất với các tính chất khác nhau của hàm vế phải cần tìm.Trước hết, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến

TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh người đã trực tiếp hướng dẫn luận văn, côtận tình chỉ bảo và hỗ trợ tôi tìm ra hướng nghiên cứu, tiếp cận thực

tế, tìm kiếm tài liệu, xử lý và phân tích số liệu, giải quyết vấn đề để tôi

có thể hoàn thành luận văn khoa học này

Ngoài ra, trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện đề tài tôicòn nhận được nhiều sự quan tâm, góp ý, giúp đỡ của quý thầy cô, đồngnghiệp, bạn bè và người thân Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến:

• Những người thân trong gia đình đã hỗ trợ, tạo điều kiện thuận lợicho tôi trong suốt thời gian tôi theo học khóa thạc sỹ tại trường TrườngĐại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên

• Quý thầy cô Khoa Toán- Tin và quý thầy cô phòng Đào tạo - KHCN

và HTQT, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã truyền

đạt cho tôi những kiến thức bổ ích trong suốt hai năm học vừa qua.

• Bạn bè, đồng nghiệp luôn động viên, hỗ trợ tôi trong quá trình họctập và nghiên cứu!

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 6 năm 2020

Học viên

Đỗ Thị Tuyết Nga

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản được

sử dụng trong luận văn như: một số không gian hàm, bài toán thuận,định nghĩa nghiệm yếu và phương pháp sai phân rời rạc bài toán thôngqua lược đồ Crank-Nicolson

1.1 Giới thiệu bài toán

Cho Ω = (0, L) ⊂ R and Q = (0, L) × (0, T ), S = {0, 1} × (0, T ) Xétphương trình

và u0 ∈ L2(Ω) Giả sử rằng a ≥ a > 0 với a là hằng số và b ≥ 0 Hơnnữa,

ϕ ≥ ϕ > 0, (1.2)với ϕ là hằng số

Định nghĩa 1.1 (Bài toán thuận) [5] Khi các hệ số a(x, t), b(x, t),điều kiện ban đầu u0, các hàm vế phải đã biết (gồm f (t), ϕ(x, t), g(x, t)),

bài toán tìm nghiệm của hệ (1.1) được gọi là bài toán thuận (hay bàitoán trực tiếp).

Định nghĩa 1.2 (Bài toán ngược) [5] Khi các hệ số a(x, t), b(x, t),điều kiện ban đầu u0, các hàm vế phải ϕ(x, t), g(x, t) đã biết, bài toántìm hàm f (t) từ một số quan sát (hay thông tin) về nghiệm nghiệm của

hệ (1.1) được gọi là bài toán ngược

Trước khi đi vào định nghĩa nghiệm yếu của hệ phương trình (1.1), chúngtôi sử dụng một số định nghĩa về không gian Sobolev H1(Ω), H01(Ω),

H1,0(Q), H1,1(Q) được giới thiệu trong tài liệu [7] như sau

Định nghĩa 1.3 Không gian H1(Ω) là tập hợp của tất cả các hàmu(x) ∈ L2(Ω) có đạo hàm suy rộng ux ∈ L2(Ω), với tích vô hướng

Định nghĩa 1.5 Không gian H1,0(Q) là tập tất cả các hàm u(x, t) ∈

L2(Q)có đạo hàm suy rộng ux ∈ L2(Q) với tích vô hướng

(u, v)H1,0 (Q) :=

Z Z

Q

(uv + uxvx) dxdt

Định nghĩa 1.6 Không gian H1,1(Q) là tập tất cả các hàm u(x, t) ∈

L2(Q) có đạo hàm suy rộng ux ∈ L2(Q) và ut ∈ L2(Q) với tích vô hướng

(u, v)H1,1 (Q) :=

Z Z

Q

(uv + uxvx + utvt) dxdt

Định nghĩa 1.7 Không gian H01,0(Q) là tập tất cả các hàm u(x, t) ∈

H1,0(Q) triệt tiêu trên biên S, tức là

H01,0(Q) = {u ∈ H1,0(Q) : u

S = 0}

Định nghĩa 1.8 Không gian H01,1(Q) là tập tất cả các hàm u(x, t) ∈

H1,1(Q) triệt tiêu trên biên S, tức là

H01,1(Q) = {u ∈ H1,1(Q) : u

S = 0}

Ngoài ra chúng tôi sử dụng một số khái niệm sau đây:

Định nghĩa 1.9 (Khả vi Fréchet) Cho X, Y là các không gian nach, U là lân cận của điểm x Ánh xạ F : U → Y được gọi là khả viFréchet tại x nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục A : X → Y thỏamãn

Ba-lim

h→0

kF (x + h) − F (x) − AhkY

khkX = 0.

Khi đó toán tử tuyến tính A được gọi là đạo hàm Fréchet của F

Cho B là một không gian Banach, ta định nghĩa

L2(0, T ; B) = {u : u(t) ∈ B a e t ∈ (0, T ) and kukL2 (0,T ;B) < ∞},trong đó

kuk2L2 (0,T ;B) =

Z T 0

ku(t)k2Bdt

Ta cũng định nghĩa

W (0, T ) = {u : u ∈ L2(0, T ; H01(Ω)), ut ∈ L2(0, T ; (H01(Ω))0)},với chuẩn

kuk2W (0,T ) = kuk2L2 (0,T ;H 1 (Ω))+ kutk2L2 (0,T ;(H 1 (Ω)) 0 ).Nghiệm của bài toán (1.1) được hiểu theo nghĩa nghiệm yếu như sau:Định nghĩa 1.10 Nghiệm yếu trong không gian W (0, T ) của bài toán(1.1) là hàm u(x, t) ∈ W (0, T ) thỏa mãn đẳng thức

∂x

∂η

∂x+ b(x, t)uη

dxdt

u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω (1.4)Theo [5, Định lý 1.1.1, trang 11] đã chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệmtrong không gian W (0, T ) của bài toán (1.1) Hơn nữa, tồn tại hằng số

cd độc lập với a, b, f, ϕ, g và u0 sao cho

kukW (0,T ) ≤ cd kf ϕkL2 (Q)+ kgkL2 (Q)+ ku0kL2 (Ω)
(1.5)

Để sử dụng phương pháp biến phân cho bài toán xác định hàm vế phảicho phương trình truyền nhiệt, ta cần tới một số kết quả của bài toánliên hợp, cách xác định bài toán liên hợp được trình bày thông qua côngthức Green [7, §3.6.1., p 156–158] Cụ thể, xét bài toán thuận dạng

Định lý 1.1 Cho u ∈ W (0, T ) là nghiệm của bài toán thuận

(1.8) với hàm thử p, lấy tích phân trên Q, ta có

Từ công thức (1.10), sử dụng công thức tích phân từng phần cho sốhạng đầu tiên của vế trái, ta có

Ta có điều phải chứng minh.

Mục tiêu: Nghiên cứu bài toán ngược xác định lại thành phần chỉphụ thuộc thời gian trong vế phải từ quan sát tích phân Tức là ta xâydựng lại hàm f (t) trong hàm vế phải từ quan sát tích phân

J0(f ) = 1

2 k lu(f ) − h k2L2 (0,T ) (1.14)

1.2 Rời rạc hóa bài toán

1.2.1 Rời rạc hóa bài toán thuận theo biến không gian

Chia khoảng (0, L) thành Nx khoảng con trên lưới đều

0 = x0 < x1 < · · · < xN x = L với xk+1− xk = h = L/Nx

Ký hiệu uk(t) (hoặc uk nếu không có gì nhầm lẫn) là giá trị của hàm utại x = xk Ta cũng sử dụng ký hiệu tương tự cho η Ta xấp xỉ các tíchphân trong phương trình (1.3) như sau

Z Z

Q

utηdxdt ≈

Z T 0

vi = 1h

1.2.2 Rời rạc bài toán thuận theo biến thời gian

Để rời rạc hoàn toàn bài toán, ta sử dụng lược đồ Crank-Nicolson đểrời rạc (1.24) theo biến thời gian Ta chia nhỏ khoảng (0, T ) thành Ntkhoảng con bởi lưới đều 0 = t0 < t1 < · · · < tM = T với tm+1 − tm =

∆t = T /M , m là chỉ số theo biến thời gian Ký hiệu um = ¯u(tm), Λm =Λ(tm), Fm = ¯F (tm), m = 0, 1, , M , ta rời rạc (1.24) như sau

Ta có thể viết lại dưới dạng

(ϕ, ϕ)

= sup

φ

(φ, φ)((E + ∆t2 Λm)φ, (E + ∆t2 Λm)φ)

= sup

φ

(φ, φ)((φ, φ) + ∆t(Λφ, φ) + ∆t42(Λmφ, Λmφ) ≤ 1

Do vậy, từ phương trình (1.28) ta nhận được

Chú ý, trong tài liệu [1] các tác giả đã chứng minh được rằng tồn tạihằng số dương cdd không phụ thuộc vào hệ số a và b thỏa mãn

Chương 2

Bài toán xác định nguồn cho

phương trình truyền nhiệt tuyến tính một chiều

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán tìm lại thành phầnchỉ phụ thuộc thời gian trong vế phải của phương trình từ quan sát tíchphân (như đã trình bày trong Phần Lời nói đầu, đây là bài toán ngược,đặt không chỉnh) Tức là ta xây dựng lại hàm f (t) trong hàm vế phải

2.1 Bài toán biến phân

Như đã giới thiệu ở Chương 1, ta sẽ sử dụng phương pháp bình phươngtối thiểu đưa bài toán về bài toán biến phân cực tiểu hóa phiếm hàmmục tiêu (đã được đánh số lại cho tiện theo dõi) dưới đây

Jγ(f ) = 1

2klu(f ) − hk2L2 (0,T ) + γ

2kf − f∗k2L2 (0,T ) (2.2)với γ là tham số hiệu chỉnh được chọn tiên nghiệm và f∗ là ước lượngcủa f ∈ L2(0, T )

Sử dụng công thức Green trong Định lý 1.1 hoặc [7, Định lý 3.18], bàitoán liên hợp cho bài toán (1.1) có dạng

p(x, T ) = 0, x ∈ Ω

(2.3)Phiếm hàm (2.2) là khả vi Fréchet và công thức gradient của phiếmhàm được cho thông qua định lý dưới đây

Định lý 2.1 Phiếm hàm Jγ khả vi Fréchet và công thức gradient ∇Jγ(f )tại f có dạng

∇Jγ(f ) =

Z

Ω

p(x, t)ϕ(x, t)dx + γ(f (t) − f∗(t)), (2.4)với p(x, t) là nghiệm của bài toán liên hợp (2.3)

Chứng minh Ta chú ý rằng, nếu đổi chiều thời gian trong bài toán liênhợp (2.3) thì ta nhận được dạng của bài toán thuận (1.1) Do vậy nếunghiệm của bài toán liên hợp được hiểu theo nghĩa nghiệm yếu thì tồntại duy nhất nghiệm yếu trong không gian W (0, T ) cho bài toán liênhợp

Ký hiệu h·, ·i là tích vô hướng trong L2(0, T ) Cho biến phân nhỏ δf

δu(x, 0) = 0, x ∈ Ω.

(2.5)

Từ ước lượng (1.5) ta nhận được

klδu(f )k2L2 (0,T ) = o(kδf kL2 (0,T )) khi kδf kL2 (0,T ) → 0

Ta có

J0(f + δf ) − J0(f ) = hlδu, lu − hi + o(kδf kL2 (0,T ))

=

Z T 0

Z

Ω

ωδu(lu − h)dxdt =

Z T 0

Như vậy, J0 khả vi Fréchet và gradient của J0 có dạng

2.2 Rời rạc bài toán biến phân

Tiếp theo trong mục này, chúng tôi rời rạc phiếm hàm mục tiêu J0(f )như sau:

Do đó xấp xỉ lhu(f ) của lu(f ) có dạng

lhu(f ) = (lh0u(f ), l1hu(f ), , lMh u(f ))với

Định lý 2.2 Gradient ∇J0h,∆t(f ) của hàm mục tiêu J0h,∆t tại f được cho

Nhân vô hướng hai vế phương trình thứ m của (2.14) với véc tơ bất kỳ

ηm ∈ RN x và cộng các kết quả lại theo m = 0, , M − 1, ta nhận được

Nhân vô hướng hai vế của phương trình đầu tiên trong (2.10) với véc

tơ bất kỳ vm+1, lấy tổng theo m = 0, , M − 2, ta nhận được

2.3 Phương pháp gradient liên hợp

Khi ta ước lượng được gradient của Jγ, ta có thể sử dụng thuật toángradient liên hợp để tìm cực tiểu của phiếm hàm mục tiêu (1.14) Quátrình được tính như sau:

βk = k ∇Jγ(fk) k2

k ∇Jγ(fk−1) k2, αk = argminα≥0Jγ(fk+ αdk) (2.22)

Để tính αk, ta thực hiện như sau Ký hiệu ˜u[f ] là nghiệm của bài toán

u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω

(2.24)

Khi đó

lu(f ) = l˜u[f ] + lu[u0, g] := Af + lu[u0, g]

trong đó Af := l˜u[f ] là toán tử tuyến tính bị chặn từ L2(0, T ) vào

dJγ(fk + αdk)

dα = αkAd

kk2L2 (0,T ) + hAdk, lu(fk) − hiL2 (0,T )

+ γαkdkk2L2 (0,T ) + γhdk, fk − f∗iL2 (0,T )

Bước 1 Cho xấp xỉ ban đầu f0 ∈ RM +1 và tính phần dư ˆr0 =(lh1u(f0) − h1, lh2u(f0) − h2, , lhMu(f0) − hM) bằng việc giải lược đồ(1.27) với f được thay bởi giá trị ban đầu xấp xỉ f0 và đặt k = 0.Bước 2 Tính gradient r0 = −∇Jγ(f0) được cho bởi công thức (2.9)bằng việc giải bài toán liên hợp (2.10) Sau đó, đặt d0 = r0.

Bước 3 Tính

α0 = kr0k2

klhd0k2 + γkd0k2

trong đó lhd0 được tính từ lược đồ (1.27) với f được thay bởi d0 vàg(x, t) = 0, u0 = 0 Tiếp theo, đặt

f1 = f0+ α0d0.Bước 4 Với k = 1, 2, · · · , tính rk = −∇Jγ(fk), dk = rk+βkdk−1, trongđó

Lý do chọn các hàm này là mức độ trơn khác nhau với hàm phải tìm

Ví dụ thứ nhất là hàm trơn, ví dụ thứ hai hàm liên tục nhưng khôngkhả vi tại t = 0.5 và ví dụ cuối cùng là hàm gián đoạn

Khi thực hiện các ví dụ số này, chúng tôi chọn hàm u là nghiệm củaphương trình (1.1), chọn hàm ϕ và f , sau đó tính hàm g trong vế phảicủa (1.1) Khi có u chúng tôi tính lu = h và đặt nhiễu dữ kiện quan sát

h, các thử nghiệm số được thực hiện với nhiễu khác nhau, thuật toándừng khi kfk+1− fkk đủ nhỏ

Cho u(x, t) = sin(πx)(1 − t), u0(x) = sin(πx), ϕ(x, t) = (x2 + 5)(t2+ 5)

và sau đó cho hàm f lần lượt là các hàm trong Ví dụ 1, Ví dụ 2, Ví dụ

3, sau đó tính g(x, t) Đối với quan sát lu chúng tôi chọn hàm trọng sau

ω(x) = x2 + 1 (2.28)hoặc

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

Noise=0.01 Exact.Sol.

Hình 2.1: Ví dụ 1: So sánh nghiệm chính xác và nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) và nhiễu

= 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω được cho bởi công thức (2.28).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

Noise =0.01 Exact.Sol.

Hình 2.2: Ví dụ 2: So sánh nghiệm chính xác và nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) và nhiễu

= 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω được cho bởi công thức (2.28).

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

Noise=0.01 Exact.Sol.

Hình 2.3: Ví dụ 3: So sánh nghiệm chính xác và nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) và nhiễu

= 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω được cho bởi công thức (2.28).

Bảng 2.1: Tham số hiệu chỉnh γ, số bước lặp n ∗ , sai số kf − fn∗ k L 2 (0,T ) và giá trị phiếm hàm

J γ (f n ∗ ) (hàm trọng ω được cho theo công thức (2.28).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

Noise=0.01 Exact.Sol.

Hình 2.4: Ví dụ 1: So sánh nghiệm chính xác và nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) và nhiễu

= 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω được cho bởi công thức (2.29).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

Noise =0.01 Exact.Sol.

Hình 2.5: Ví dụ 2: So sánh nghiệm chính xác và nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) và nhiễu

= 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω được cho bởi công thức (2.29).

Để sử dụng phương pháp biến phân cho toán xác định hàm vế phảicho phương trình truyền nhiệt, ta cần tới số kết toánliên hợp, cách xác định tốn liên hợp trình bày thơng qua cơngthức... class="page_container" data-page="21">

Chương 2

Bài toán xác định nguồn cho< /h2>

phương trình truyền nhiệt tuyến tính chiều< /h2>

Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu... Green Định lý 1.1 [7, Định lý 3.18], bàitoán liên hợp cho tốn (1.1) có dạng

p(x, T ) = 0, x ∈ Ω

(2.3)Phiếm hàm (2.2) khả vi Fréchet công thức gradient phiếmhàm cho thông qua định