Nghiệm soliton của phương trình Schr¨ odinger phi tuyến
Trong kỹ thuật thông tin quang, nghiệm soliton của phương trình Schrödinger phi tuyến được sử dụng để biểu diễn các bit thông tin và đã bắt đầu phát triển từ những năm 1970 Đến những năm 1980, L F Mollenhauer đã thành công trong việc truyền tải soliton qua hệ thống quang dẫn tại phòng thí nghiệm Bell Kể từ đó, công nghệ truyền tin bằng sợi quang đã phát triển mạnh mẽ Sự truyền tải soliton trong ống quang dẫn được mô tả bởi phương trình Schrödinger phi tuyến dạng thu gọn, trong đó ψ là trường sóng, z là khoảng cách truyền sóng, và t là thời gian.
Soliton được mô tả bởi phương trình 0 (t, z) = η exp(iχ) cosh(x), trong đó x = η(t − y 0 − 2βz) và χ = α + β(t − y 0) + (η 2 − β 2)z Các tham số η, β, y 0 và α lần lượt đại diện cho biên độ, tần số, vị trí ban đầu và pha của soliton Hình 1.1 trình bày sự phân bố của soliton tại các khoảng cách truyền dẫn z, được thu được từ mô phỏng của phương trình.
Hình 1.1: Soliton tại các khoảng cách truyền dẫn z thu được từ mô phỏng của phương trình (1.1).
Động lực biên độ va chạm của sóng tuyến tính 17
Mô hình truyền sóng và các điều kiện đầu
Chúng tôi tiến hành nghiên cứu sự va chạm của hai sóng thông qua mô hình hệ phương trình Schrödinger tuyến tính có nhiễu Hệ phương trình bao gồm các thành phần như sau: phương trình đầu tiên mô tả sự tiến triển của sóng ψ₁ với các yếu tố nhiễu và tương tác phi tuyến, trong khi phương trình thứ hai tương ứng với sóng ψ₂, cũng chịu ảnh hưởng của nhiễu và tương tác tương tự Nghiên cứu này nhằm hiểu rõ hơn về động lực học của hai sóng trong môi trường có nhiễu.
Trong nghiên cứu này, chúng tôi tập trung vào tính chất tựa soliton trong va chạm của sóng tuyến tính, với biểu thức mô tả sự thay đổi biên độ do va chạm không phụ thuộc vào hình dạng ban đầu của sóng Các tham số quan trọng bao gồm sóng 1 và 2 (ψ 1 và ψ 2), khoảng cách truyền sóng (z), thời gian (t), hệ số vận tốc nhóm (d 1), hệ số tán sắc bậc hai (β ˜ 2), cùng với hệ số nhiễu tuyến tính (1) và hệ số nhiễu bậc ba (3) thỏa mãn các điều kiện 0 < 1 < 1 và 0 < 3 < 1.
Vì vậy, chúng tôi khảo sát sự va chạm của hai sóng với hình dạng ban đầu tổng quát có đuôi sóng giảm nhanh thỏaR∞
−∞ |ψ j (t, 0)| 2 dt < ∞ và được viết dưới dạng như sau j (t, 0) = A j (0)h j t − y j0
Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu công thức W j0 exp(iα j0 ), trong đó A j (0) đại diện cho biên độ ban đầu, y j0 là vị trí ban đầu, W j0 là độ rộng ban đầu, và α j0 là pha ban đầu của sóng thứ j Hàm h j được xác định là hàm giá trị thực Để thực hiện các mô phỏng số, chúng tôi áp dụng sóng ban đầu theo dạng hyperbolic-secant h j (s) = sech(s) và dạng Cauchy-Lorentz h j (s) = 1.
(1 + 2s 4 ) , (2.4) và dạng hình chữ nhật h j (s) =
Động lực biên độ của sóng truyền tải đơn
Trước tiên, chúng tôi nghiên cứu động lực biên độ của sóng truyền tải đơn được mô tả bởi phương trình sau: i∂ z ψ 2 + id 1 ∂ t ψ j − sgn( ˜ β 2 )∂ t 2 ψ j = −i 1 ψ j − i 3 |ψ j | 2 ψ j (2.6)
Từ phương trình (2.6), bằng tính toán cân bằng năng lượng, chúng ta thu được:
Chúng tôi nghiên cứu nghiệm của phương trình (2.7) dưới dạng j0 (t, z) = A j (z) ˜ ψ j0 (t, z), với A j (z) là tham số biên độ và ψ ˜ j0 (t, z) = ˜ Ψ j0 (t, z) exp[iχ j0 (t, z)] là nghiệm của phương trình (2.6) trong điều kiện không có nhiễu và A j (0) = 1 Khi thay thế biểu thức j0 (t, z) vào phương trình (2.7), chúng tôi thu được một hệ phương trình mới để phân tích.
Thay I 2j và I 4j (z) vào phương trình (2.8), chúng ta thu được phương trình vi phân Bernoulli cho biến A 2 j (z) Giải phương trình vi phân, chúng ta thu được phương trình mô tả động lực biên độ của sóng đơn trên đoạn [0, z] như sau:
Các mô phỏng số 24
Va chạm của hai sóng hyperbolic-secant
Trước tiên, chúng tôi tiến hành minh họa bằng giải số sự va chạm của hai sóng hyperbolic-secant được mô tả bởi phương trình (2.1) Chúng tôi chọny 20 = −25.
Hình 3.1 minh họa hình dạng sóng tại các vị trí z = 0 (a), z = z i = 2 (b) và z = z f = 4 (c) trong một va chạm nhanh giữa hai sóng hyperbolic-secant, có nhiễu suy hao tuyến tính và suy hao bậc ba Vận tốc nhóm của hai sóng là d 1 = 15 Các hình tam giác xanh dương và hình tròn xanh lá cây thể hiện sóng 1 và 2 tại z = 0 (a), đồng thời cũng minh họa sóng 1 và 2 theo dự đoán lý thuyết tại z = z i (b) và z = z f (c) Các đường cong liền nét màu đỏ và đứt nét màu tím trong (b) và (c) tương ứng với sóng 1 và 2 được tính toán từ giải số phương trình (2.1).
Hình (3.1) thể hiện hình dạng ban đầu của các sóng cùng với hình dạng sóng thu được qua giải số với d1 = 15 tại khoảng cách trung gian z i = 2 > z c và tại khoảng cách kết thúc va chạm z f = 4 Hình ảnh cũng đồng thời minh họa các sóng dự đoán lý thuyết tính toán từ phương trình (2.11) Nhìn vào hình (3.1), có thể thấy sự trùng khớp rất tốt giữa các kết quả lý thuyết và giải số tại các điểm z = z i và z = z f.
Tiếp theo, chúng tôi minh họa sự phụ thuộc của ∆A (c) 1 vào d 1 bởi hình (3.2).Chúng tôi sử dụng y 20 = ±25 và các giá trị cho d 1 được chọn trong khoảng
Hình 3.2 minh họa sự suy hao biên độ ∆A do va chạm của sóng 1 với vận tốc nhóm d 1 trong va chạm nhanh giữa hai sóng hyperbolic-secant, có nhiễu suy hao tuyến tính và suy hao bậc ba Kết quả thu được từ giải số của phương trình (2.1) được thể hiện bằng hình tròn màu đỏ, trong khi đường cong liền nét màu xanh dương phản ánh dự đoán lý thuyết từ phương trình (2.30).
Trong khoảng -60 ≤ d1 ≤ -2 và 2 ≤ d1 ≤ 60, sự trùng khớp giữa các kết quả lý thuyết và thực nghiệm là rất cao Cụ thể, sai số tương đối trong xấp xỉ ∆A(c)1 nhỏ hơn 4.3% với 10 ≤ d1 ≤ 10 và nhỏ hơn 8.2% với các giá trị khác.
Va chạm của hai sóng Cauchy-Lorentz
Chúng tôi đã tiến hành minh họa giải số cho sự va chạm của hai sóng Cauchy-Lorentz theo phương trình (2.1), với giá trị y 20 = −20 Hình (3.3) thể hiện hình dạng ban đầu của các sóng và hình dạng sóng thu được khi giải số với d 1 = 15 tại khoảng cách trung gian z i = 1.571 > z c và tại khoảng cách kết thúc va chạm z f = 3 Đồng thời, hình (3.3) cũng minh họa các sóng được tính toán từ dự đoán lý thuyết theo phương trình (2.11) Kết quả cho thấy sự trùng khớp tốt giữa các kết quả lý thuyết và giải số tại z = z i và z = z f.
Tiếp theo, chúng tôi minh họa sự phụ thuộc của ∆A (c) 1 vào d 1 bởi hình (3.4). Chúng tôi sử dụng y 20 = ±20 và các giá trị cho d 1 được chọn trong khoảng
−60 ≤ d 1 ≤ −2 và 2 ≤ d 1 ≤ 60 Như quan sát trong hình (3.4), sự trùng khớp giữa các kết quả thu được từ lý thuyết và giải số là rất tốt Cụ thể, sai số tương
Trong nghiên cứu về va chạm nhanh giữa hai sóng Cauchy-Lorentz, hình ảnh tại các vị trí z = 0 (a), z = z i = 2 (b) và z = z f = 4 (c) cho thấy sự thay đổi hình dạng sóng với nhiễu suy hao tuyến tính và suy hao bậc ba Vận tốc nhóm của hai sóng được xác định là d 1 = 15 Hình tam giác xanh dương và hình tròn xanh lá cây đại diện cho sóng 1 và 2 tại z = 0 (a), trong khi tại z = z i (b) và z = z f (c), chúng minh họa các sóng 1 và 2 theo dự đoán lý thuyết Các đường cong màu đỏ liền nét và tím đứt nét trong (b) và (c) tương ứng với sóng 1 và 2 được tính toán từ giải số phương trình (2.1).
Hình 3.4 minh họa sự suy hao biên độ ∆A (c) 1 do va chạm giữa hai sóng Cauchy-Lorentz, trong đó có sự ảnh hưởng của nhiễu suy hao tuyến tính và suy hao bậc ba Kết quả từ giải số của phương trình (2.1) được thể hiện bằng hình tròn màu đỏ, trong khi đường cong liền nét màu xanh dương phản ánh dự đoán lý thuyết từ phương trình (2.30) Sự xấp xỉ ∆A (c) 1 cho thấy độ sai lệch nhỏ hơn 2.9% trong khoảng 10 ≤ d 1 ≤ 10 và nhỏ hơn 6.8%.
Va chạm của hai sóng hình chữ nhật
Chúng tôi bắt đầu bằng việc minh họa giải số cho sự va chạm của hai sóng hình chữ nhật theo phương trình (2.1), với giá trị chọn là 20 = −6 Hình (3.5) thể hiện hình dạng ban đầu của các sóng và hình dạng sóng thu được từ giải số với d1 = 15 tại khoảng cách trung gian z_i = 0.986 > z_c và tại khoảng cách kết thúc z_f = 4.5 Đồng thời, hình (3.5) cũng minh họa các sóng dự đoán lý thuyết được tính toán từ phương trình (2.11) Qua quan sát, có thể thấy sự trùng khớp rất tốt giữa các kết quả lý thuyết và giải số tại z = z_i và z = z_f.
Tiếp theo, chúng tôi minh họa sự phụ thuộc của ∆A (c) 1 vào d 1 bởi hình (3.6). Chúng tôi sử dụng y 20 = ±6 và các giá trị cho d 1 được chọn trong khoảng
Trong khoảng -60 ≤ d1 ≤ -2 và 2 ≤ d1 ≤ 60, sự trùng khớp giữa kết quả lý thuyết và giải số rất cao Cụ thể, sai số tương đối trong xấp xỉ ∆A(c)1 nhỏ hơn 3.8% với 10 ≤ d1 ≤ 10 và nhỏ hơn 7.2% với các giá trị khác.
Hình 3.5 minh họa hình dạng sóng tại các vị trí z = 0 (a), z = z i = 2 (b) và z = z f = 4 (c) trong một va chạm nhanh giữa hai sóng hình chữ nhật, với sự xuất hiện của nhiễu suy hao tuyến tính và suy hao bậc ba Vận tốc nhóm của hai sóng là d 1 = 15 Các hình tam giác xanh dương và hình tròn xanh lá cây thể hiện sóng 1 và 2 tại z = 0 (a), trong khi tại z = z i (b) và z = z f (c), các sóng này được minh họa theo dự đoán lý thuyết Đường cong liền nét màu đỏ và đứt nét màu tím trong (b) và (c) tương ứng với sóng 1 và 2 được tính toán từ giải số phương trình (2.1).
Hình 3.6 minh họa sự suy hao biên độ ∆A do va chạm của sóng 1 và vận tốc nhóm d 1 trong trường hợp va chạm nhanh giữa hai sóng hình chữ nhật, với sự hiện diện của nhiễu suy hao tuyến tính và suy hao bậc ba Kết quả thu được từ giải số của phương trình (2.1) được thể hiện bằng hình tròn màu đỏ, trong khi đường cong liền nét màu xanh dương phản ánh kết quả dự đoán lý thuyết từ phương trình (2.30).
Chúng tôi đã phát triển biểu thức tính toán mức suy hao biên độ do va chạm lặp lại của hai soliton trong hệ phương trình Schrödinger phi tuyến với nhiễu suy hao bậc ba Ngoài ra, chúng tôi cũng đã thiết lập biểu thức để tính sự thay đổi biên độ trong va chạm nhanh của hai sóng theo hệ phương trình Schrödinger tuyến tính, bao gồm nhiễu suy hao tuyến tính và nhiễu suy hao bậc ba.
Chúng tôi chứng minh rằng động lực biên độ va chạm của sóng tuyến tính trong mô hình này tương tự như soliton Cụ thể, biểu thức mô tả sự thay đổi biên độ do va chạm của sóng có dạng tương đồng với biểu thức mô tả sự thay đổi biên độ trong va chạm nhanh của hai soliton trong phương trình Schrödinger phi tuyến với nhiễu suy hao bậc ba Hơn nữa, tính tựa soliton trong va chạm nhanh của sóng tuyến tính với nhiễu suy hao bậc ba là phổ quát, cho thấy rằng biểu thức mô tả sự thay đổi biên độ của sóng do va chạm không phụ thuộc vào hình dạng ban đầu của sóng.
Chúng tôi đã kiểm chứng các tính toán lý thuyết thông qua mô phỏng số với ba dạng điều kiện ban đầu tiêu biểu: sóng hyperbolic-secant có đuôi sóng giảm theo bậc mũ, sóng Cauchy-Lorentz với đuôi sóng giảm theo bậc lũy thừa, và sóng hình chữ nhật, đại diện cho sóng không trơn Kết quả từ giải số và dự đoán lý thuyết cho thấy sự trùng khớp đáng kể.
[1] M J Ablowitz, Nonlinear Dispersive Waves: Asymptotic Analysis and Soli- tons, Cambridge University Press, 2011.
[2] A.C Newell,Solitons in Mathematics and Physics, SIAM, Philadelphia, 1985.
[3] T Tao, Why are solitons stable?, Bull Amer Math Soc 46 (2009) 1-33.
[4] T Tao, Nonlinear Dispersive Equations: Local and Global Analysis, CBMS Regional Conference Series in Mathematics 106, AMS, 2006.
[5] A Hasegawa and F Tappert, Transmission of stationary nonlinear optical pulses in dispersive dielectric fibers Part I Anomalous dispersion; Part II. Normal dispersion, Appl Phys Lett 23 (1973), 142-144, 171-173.
[6] L.F Mollenauer and J.P Gordon, Solitons in Optical Fibers: Fundamentals and Applications, Academic, San Diego, CA, 2006.
[7] G.P Agrawal, Nonlinear Fiber Optics (Academic, San Diego, CA, 2001).
[8] A Peleg, Q.M Nguyen, and Y Chung,Crosstalk dynamics of optical solitons in a broadband Kerr nonlinear system with weak cubic loss, Phys Rev A 82
[9] Y Chung and A Peleg, Strongly non-Gaussian statistics of optical soliton parameters due to collisions in the presence of delayed Raman response, Non- linearity 18 (2005) 1555-1574.