Tích Phân Lebésgue
Vành, σ - đại số và độ đo
Định nghĩa 1.1 Cho X là một tập bất kỳ Một họ A các tập con của X được gọi là một σ - đại số nếu nó thỏa mãn 3 điều kiện sau:
(b) A kín đối với phép hợp đếm được, tức là nếu A i ∈ A(i ∈N ) thì
Một họ C các tập con của X được gọi là một vành trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: A i ∈ A và nếu A ∈ A thì A c := X/A ∈ A.
(a) C kín đối với phép hợp hữu hạn, tức là nếu A i ∈ C (i ∈R ∗ ) thì n
Ngoài ra, nếu X ∈ C thì ta nói rằng C là vành có đơn vị hay đại số.
Kí hiệu R = R ∪ {±∞} Định nghĩa 1.3 Cho A là một σ - đại số trờn X Ánh xạ à : A −→R được gọi là một độ đo nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(b) à là σ-cộng tớnh trờn A, tức là nếu A i ∈ A(i = 1, 2, ) và rời nhau từng đụi một thì à
(c) à khụng đồng nhất bằng +∞ trờn A , tức là tồn tại A ∈ A sao cho à(A) < +∞.
Chú ý:Thay choσ - đại sốA ta có thể lấy vành C và định nghĩa độ đo hoàn toàn tương tự, trừ điều kiện (b) ta phải giả thiết thêm rằng
A i ∈ C, giả thiết này không cần thiết nếu C là một σ - đại số.
Một độ đo à trờn vành C được gọi là hữu hạn nếu với mọi A ∈ A, à(A) < +∞. Độ đoàđược gọi làσ - hữu hạn nếu với mọiA ∈ C tồn tại cỏc tập A n ∈ C(n = 1, 2, ) sao cho A ⊂S n
Không gian đo được, ánh xạ đo được, hàm đo được
Một tập hợp X kết hợp với một σ-đại số A trên X được gọi là không gian đo được, ký hiệu là (X, A) Khi trên A xác định một độ đo, chúng ta có một không gian đo (X, A, μ).
Cho (X, χ) và (Y, Υ) là hai không gian đo, ánh xạ f : X → Y được gọi là (χ, Υ) đo được nếu với mọi B ∈ Υ, nghịch ảnh f −1 (B) thuộc χ Điều này có nghĩa là nghịch ảnh của tập đo được luôn là một tập đo được, và ta có thể viết f −1 (Υ) ⊂ χ.
Trong không gian đo (X, χ), hàm f: X → R được gọi là hàm thực đo được nếu nó là (χ, B) đo được, với B là σ-đại số Borel trên R Định lý 1.1 chỉ ra rằng các điều kiện sau là tương đương: (a) f là (χ, B) đo được; (b) tập hợp {x ∈ X, f(x) < a} thuộc χ cho mọi a ∈ R; (c) tập hợp {x ∈ X, f(x) ≤ a} thuộc χ cho mọi a ∈ R; (d) tập hợp {x ∈ X, f(x) > a} thuộc χ cho mọi a ∈ R; và (e) tập hợp {x ∈ X, f(x) ≥ a} thuộc χ cho mọi a ∈ R.
(e) ⇒ (a): Gọi D là lớp nửa khoảng [a, ∞) với a ∈ R Ta có σ(f −1 (D)) = f −1 (σ(D)). Mặt khác, dễ thấy σ(D) = B Vậy f −1 (B) ⊂ χ.
Do đó các điều kiện trên tương đương nhau. Định nghĩa 1.5 Hàm f gọi là hàm đơn giản nếu tồn tại hữu hạn các tập rời nhau
E 1 , E 2 , , E m và các số thực α 1 , α 2 , , α m sao cho f(x) =
Tích phân Lebésgue
1)Tích phân của hàm đơn giản
Lớp các hàm đơn giản trên (Ω, A) được kí hiệu S := S(Ω, A).
Xét một lớp con của S gồm các hàm không âm S + := {f ∈ S : f ≥ 0}. Định nghĩa 1.6 Cho f ∈ S + có biểu diễn f = P α i 1 A i Ta gọi giá trị R f dà := m
P i=1 α i à(A i ) là tớch phõn của hàm f theo độ đo à.
2)Tích phân của hàm đo được không âm
Tích phân được định nghĩa cho hàm đo được không âm, và từ đó, chúng ta có thể xác định hàm đo được bất kỳ bằng cách lấy hiệu của hai tích phân trên từng thành phần của hàm đó.
Kí hiệu L + = L + (Ω, A) là lớp các hàm đo được không âm. Định nghĩa 1.7 Cho hàm f ∈ L + Tớch phõn của hàm f theo độ đo à được định nghĩa như sau:
3)Tích phân của hàm đo được bất kỳ
Với mọi hàm f đo được ta có f = f + − f − trong đó f + := max(f, 0) và f − := max(−f, 0)
Ta có định nghĩa tích phân của hàm đo được bất kì như sau: Định nghĩa 1.8 1 Nếu ít nhất một trong hai giá trị R
X f − dà hữu hạn thỡ đại lượng
X f − dà, được gọi là tớch phõn của hàm đo được f theo độ đo à Trong trường hợp này ta núi tích phân R
2 Hàm đo được f được gọi là khả tích nếu các giá trị R
X f − dà là cỏc số thực hữu hạn.
3 Nếu Ω =R d , A = B( R d ) và à = λ d ta gọi tớch phõn được định nghĩa như trờn là tớch phân Lebésgue. Định lý 1.2 (Beppo - Levi về sự hội tụ đơn điệu) Giả sử f n là dãy hàm đo được không âm, hội tụ đơn điệu tăng đến hàm f Khi đó ta có: lim n→+∞
Chứng minh Với mỗi n có một dãy hàm đơn giản không âm {g n,p } ∞ p=1 đơn điệu tăng đến f n
Vì f n+1 ≥ f n nên cũng như trên, ta có thể giả thiết rằng g n+1,p ≥ g n,p Khi đó ta có g n+1,n+1 ≥ g n+1,n ≥ g n,n
Như vậy dãy {g n,n } ∞ n=1 là một dãy đơn điệu tăng.
Với k ≤ n ta có g k,n ≤ g n,n ≤ f n và do đó R
Cho n → ∞ ta được các bất đẳng thức tương ứng: f k ≤ lim n g n,n ≤ f và R
Cho k → ∞, ta được: f ≤ lim n g n,n ≤ f và lim k
Tức là: lim n g n,n = f và lim n→+∞
X f dà. Định lý được chứng minh. Định lý 1.3 (Fatou) Cho f n là dãy các hàm đo được không âm, khi đó:
Chứng minh Đặt g n = inf k f n+k , ta có g n ≥ 0 và đơn điệu tăng đến limf n Theo định lý Beppo - Levi ta có: limR
Định lý 1.4 (Fatou - Lebésgue) khẳng định rằng, nếu f n là một dãy các hàm khả tích và g là một hàm khả tích thoả mãn điều kiện |f n | ≤ g với mọi n, thì định lý này được chứng minh.
Chứng minh Ta có −g ≤ f n ≤ g Trước hết, ta xét hàm f n + g ≤ 0. Áp dụng định lý Fatou, ta có:
Do g là hàm khả tích,0 ≤R
X gdà < +∞ nờn ta suy ra Z
Tiếp theo, ta xét các hàm g − f n ≥ 0 với mọi n.
Từ đó với chú ý rằng lim(−f n ) = −lim(f n ), ta suy ra: lim Z
Định lý 1.5, hay còn gọi là Định lý Lebésgue về sự hội tụ bị chặn, khẳng định rằng nếu dãy hàm khả tích f n thỏa mãn điều kiện |f n | ≤ g cho mọi n, với g cũng là hàm khả tích và f n hội tụ đến f hầu như khắp nơi, thì hàm f cũng sẽ khả tích.
Chứng minh Từ hệ thức |f n | ≤ g với mọi n, cho n → ∞, ta được |f n | ≤ g(h.k.n).
Từ đó suy ra f - khả tích.
Theo giả thiết lim n f n = f(h.k.n) hay lim |f n − f| = lim |f n − f | = lim |f n − f |(h.k.n).
Và |f n − f | ≤ 2g(h.k.n) với 2g ∈ L 1 Áp dụng định lý Fatou - Lebésgue, ta có: lim n
X f dà.Định lý được chứng minh.
Không Gian Các Hàm Giảm Nhanh S ( R n )
Định nghĩa 1.9 Không gian S (R n ) là tập hợp
Hàm ϕ ∈ S (R n ) có đặc điểm là khi kxk → ∞, lim x α D β ϕ (x) = 0 với mọi α, β ∈ Z n + Điều này cho thấy hàm ϕ (x) giảm về 0 nhanh hơn bất kỳ hàm nào có dạng 1/P (x), x ∈ R n Do đó, S (R n ) được định nghĩa là không gian các hàm giảm nhanh.
Ví dụ 1.1 Không gian C 0 ∞ (R n ) là không gian con của không gian các hàm giảm nhanh S (R n )
Khi đó, ta đặt suppϕ = K, Klà tập compact trongR n Với mọi x / ∈ K, suy ra
< ∞ ∀α, β ∈Z n + Điều này dẫn đến hàm ϕ ∈ S (R n ) , từ đây suy ra được C 0 ∞ (R n ) là không gian con của không gian các hàm giảm nhanh S (R n )
Chứng minh được hoàn thành.
Ví dụ 1.2 Cho hàm số ϕ (x) = e −kxk 2 , x ∈ R n Khi đó ϕ là hàm số thuộc không gian các hàm giảm nhanh S (R n )
Chứng minh Theo giả thiết, ta có kxk 2 = x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n nên e −kxk 2 = e −x 2 1 e −x 2 2 e −x 2 n , x ∈R n Mặt khác
= e −kxk 2 Q (x 1 , x 2 , , x n ) ∀β ∈Z n + , x ∈R n , trong đó Q (x 1 , x 2 , , x n ) là hàm chứa các lũy thừa của x 1 , x 2 , , x n
Ta thấy rằng t→∞ lim t a e −|t| 2 = 0 với mọi a ∈R
Từ đây, suy ra lim kxk→∞ x α Q (x 1 , x 2 , , x n ) e −kxk 2 = 0 ∀α ∈Z n + Vậy nên, ta có sup x∈ R n x α D β ϕ (x)
< ∞ ∀α, β ∈Z n + , do đó dẫn đến ϕ là hàm thuộc vào không gian các hàm giảm nhanh S(R n )
Chứng minh được hoàn thành.
Phép Biến Đổi Fourier
Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm giảm
S(R n ) Định nghĩa 1.10 Cho hàm f ∈ S (R n ) Biến đổi Fourier của hàm f ký hiệu là fb(ξ) hay F (f) (ξ), là hàm được xác định bởi
R n e −ihx,ξi f (x) dx trong đó x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈R n , ξ = (ξ 1 , ξ 2 , , ξ n ) ∈ R n Định nghĩa 1.11 Biến đổi Fourier ngược của hàm f ∈ S (R n ) là hàm được xác định bởi
Từ định nghĩa trên ta dễ dàng suy ra: Biến đổi Fourier (và ngược của nó) là tuyến tính, nghĩa là:
Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược của hàm thuộc không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) có những tính chất quan trọng Cụ thể, theo Định lý 1.6, nếu hàm ϕ ∈ S (R n ), thì cả F ϕ và F −1 ϕ đều thuộc S (R n ) Việc nghiên cứu các mệnh đề liên quan sẽ giúp hiểu rõ hơn về tính chất của các biến đổi này (xem [1],[3],[6]).
Chứng minh Theo định nghĩa phép biến đổi Fourier của hàm ϕ thuộc không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) , có
R n e −ihx,ξi ϕ (x) dx (1.1) Áp dụng định lý về tính khả vi các tích phân phụ thuộc tham số, ta có đạo hàm
R n e −ihx,ξi x α ϕ (x) dx ∀ϕ ∈ S (R n ) hội tụ tuyệt đối và đều theo ξ trong R n và mọi α ∈Z n + Vì e
Do hàm ϕ ∈ S (R n ) nên dẫn đến
|x| α |ϕ (x)| dx ∀α ∈Z n + hội tụ tuyệt đối và đều theo ξ trong R n
Do đó, tồn tại đạo hàm D α ξ (Fϕ) (ξ), dẫn đến F ϕ ∈ C ∞ (R n )
Vì thế mỗi ξ ∈R n , β, γ ∈ Z n +, có lim kxk→∞ ξ β D γ x e −ihx,ξi ϕ (x)
Sử dụng phép tính tích phân từng phần |β| lần cho (1.2), ta được
Như vậy, với mỗi α, β ∈Z n +, có ξ β D ξ α (F ϕ) (ξ) = (2π) −n/2
R n e −ihx,ξi (−iD x ) β (−ix) α ϕ (x) dx, (1.3) nhận thấy rằng
(1 + kxk) n+1 (1.4) Kết hợp (1.3) và (1.4), ta nhận được sup ξ∈ R n ξ β D α ξ F ϕ (ξ)
Từ công thức (1.3), cho α = 0, β ∈Z n + ta nhận được ξ β F ϕ (ξ) = (2π) −n/2
Phép biến đổi Fourier là một ánh xạ tuyến tính liên tục trên không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) Tương tự, phép biến đổi Fourier ngược F −1 cũng được chứng minh.
Chứng minh được hoàn thành. Định lý 1.7 Cho hàm ϕ ∈ S (R n ) Khi đó
Từ đó suy ra phép biến đổi Fourier (cũng như ngược của nó) là phép ứng 1-1. Chứng minh Thật vậy,
Mệnh đề 1.1 Cho các hàm ϕ, ψ ∈ S (R n ) Khi đó,
Chứng minh Sử dụng định nghĩa biến đổi Fourier cho hàm ψ (x) trong không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) , có
R n e −ihx,ξi ψ (ξ) dξ, khi đó ϕ, ψ ∈ S (R n ) , ta có
Tương tự, ta nhận được
Mặt khác, với các hàm ϕ, ψ ∈ S (R n ) theo định lý Fubini, có
Kết hợp (1.5), (1.6) và (1.7), ta đạt được
Bằng cách cho hàm ψ = F −1 ϕ ta thấy rằng
F −1 ϕ = Fϕ, ϕ = F ψ và sử dụng (1.8), ta nhận được
Phép biến đổi Fourier F là một đẳng cấu tuyến tính, tự liên hợp và đẳng cự trên không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) và không gian metric L 2 (R n ) Mệnh đề này đã được chứng minh.
Dưới đây ta sẽ trình bày một số tính chất khác của phép biến đổi Fourier, trong không gian các hàm giảm nhanh S (R n )
Mệnh đề 1.2 Cho hàm ϕ ∈ S (R n ) Khi đó i) Fϕ (ξ − h) = F e ihh,xi ϕ (x)
Chứng minh i) Từ định nghĩa của phép biến đổi Fourier, ta có
R n ϕ (x)e −ihξ,xi e ihh,xi dx
R n ϕ (x) e ihh,xi e −ihξ,xi dx ∀ϕ ∈ S (R n ) , ξ, h ∈ R n
Do vậy, ta suy ra
(ξ) ∀ϕ ∈ S (R n ) , ξ, h ∈ R n ii) Sử dụng định nghĩa khai triển Fourier cho hàm ϕ (x − h) với ξ, h ∈ R n , ta thấy rằng
R n ϕ (x − h)e −ihξ,xi dx (1.9) Đặt x − h = t hay x = t + h, thay vào (1.9), ta được
R n ϕ (t)e −ihξ,xi dt = e −ihξ,hi F ϕ (ξ) (1.11) Kết hợp (1.10) và (1.11), ta thu được
F (ϕ (x − h)) (ξ) = e −ihξ,hi F ϕ (ξ) ∀ϕ ∈ S (R n ) , ξ, h ∈ R n iii) Sử dụng định nghĩa khai triển Fourier cho hàm ϕ (tx), ta có
Chứng minh được hoàn thành.
Biến đổi Fourier trong không gian L 1 ( R n )
Định nghĩa 1.12 Cho hàm f ∈ L 1 (R n ) Ảnh Fourier của hàm f ký hiệu là fb(ξ) hay F (f ) (ξ), là hàm được xác định bởi
Mệnh đề 1.3 Biến đổi Fourier của một hàm khả tích tuyệt đối (trên toàn trục số) là một hàm bị chặn (trên toàn trục số) và ngoài ra fb(y)
Chứng minh Suy ngay từ định nghĩa với lưu ý rằng e −ixy = 1.
Hệ quả 1.1 Nếu hàm khả tích tuyệt đối f và dãy hàm khả tích tuyệt đối {f n } thỏa mãn điều kiện n→∞ lim
|f n (x) − f (x)| dx = 0, thì dãy hàm fbn (y) hội tụ đều đến hàm fb(y) trên toàn trục số thực.
Chứng minh Suy ngay từ bất đẳng thức của mệnh đề trên.
Ví dụ 1.3 Cho $ là một hàm bậc thang đơn:
0 khi x > a hay b ≥ x Xác định biến đổi Fourier của hàm $.
Dễ dàng kiểm tra rằng đây là hàm liên tục và tiến tới 0 khi y tiến ra vô cùng (về cả hai phía).
Biến đổi Fourier của một hàm khả tích tuyệt đối trên toàn trục số thực là một hàm liên tục, và nó tiến tới 0 khi biến số tiến ra −∞ hoặc +∞.
Chứng minh Ta biết rằng với một hàm ϕ khả tích tuyệt đối thì tìm được dãy các hàm bậc thang ϕ n thỏa mãn n→∞ lim
Để chứng minh mệnh đề, ta chỉ cần xem xét lớp các hàm bậc thang, vì một hàm bậc thang bất kỳ có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các hàm bậc thang đơn Các hàm bậc thang đơn nhận giá trị 1 trên một nửa khoảng [a, b) và bằng 0 trên phần còn lại Nhờ tính tuyến tính của phép biến đổi Fourier, việc chứng minh mệnh đề cho lớp hàm bậc thang đơn là đủ.
Dễ dàng kiểm tra rằng đây là hàm liên tục và tiến tới 0 khi y tiến ra vô cùng (về cả hai phía) Mệnh đề đã được chứng minh xong.
Chương 2 ƯỚC LƯỢNG TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG
Trong chương này, chúng tôi ước lượng tập mức dưới để chứng minh bổ đề vander Corput Dựa vào các kết quả này, chúng tôi sẽ đánh giá tích phân dao động thông qua các không điểm của đạo hàm hàm pha Nội dung chương được tham khảo từ tài liệu số [4], [5], [6].
Ước lượng tập mức dưới
Định lý 2.1 Cho φ : [a, b] →R là một hàm khả vi cấp k và giả sử rằng |φ (k) (x)| ≥ 1 với k ≥ 1 và với mọi x ∈ [a, b] Khi đó
Khi E β là hợp hữu hạn của các khoảng đóng, ta có thể dịch chuyển chúng lại gần nhau để tạo thành một đoạn đóng I với độ dài |E β | Sau đó, phân hoạch đoạn I thành k đoạn con bằng nhau thông qua k + 1 điểm chia x 0, x 1, x 2, , x k, rồi đưa các đoạn đóng này trở về vị trí ban đầu.
Ta xây dựng đa thức nội suy Lagrangeh(x)với việc nội suy các giá trịφ(x 0 ), φ(x 1 ), , φ(x k ) như sau: h(x) = k
Khi đó, hàm F (x) khả vi đến cấp k và bị triệt tiêu tại mỗi điểm x 0 , x 1 , x 2 , , x k
Do đó tồn tại k điểm ξ 1 , ξ 2 , , ξ k với x 0 < ξ 1 < x 1 < ξ 2 < < ξ k < x k sao cho
Lý luận tương tự, sau k lần, tồn tại một điểm ξ ∈ (a, b) sao cho
X n=0 φ(x n ) (x n − x 0 ) (x n − x n−1 )(x n − x n+1 ) (x n − x k ) Bây giờ, từ giả thiết |φ (k) (ξ)| ≥ 1 trên [a, b] và tính chất (2.1) của các điểm x 0 , x 1 , x 2 , , x k chúng ta nhận được
|E β | ≤ β 1/k k.2. Định lý được chứng minh.
Đánh giá tập mức dưới như đã nêu sẽ cung cấp một công cụ hiệu quả để phân tích tích phân dao động, được trình bày trong bổ đề Vander Corput dưới đây.
Bổ Đề vander Corput
Bổ đề 2.1 (van der Corput) khẳng định rằng, với hàm khả vi φ: [a, b] → R có cấp độ k, nếu điều kiện |φ (k) (x)| ≥ 1 được thỏa mãn cho mọi x ∈ [a, b] và với k ≥ 1, cùng với điều kiện bổ sung là φ' phải đơn điệu khi k = 1, thì tồn tại một hằng số C chỉ phụ thuộc vào k, không phụ thuộc vào a, b, λ và φ.
Một vài nhận xét được đưa ra trước khi chứng minh bổ đề này. Đặt
Với một tham số thực β (được chọn sau) chúng ta phân tích I(λ) thành hai thành phần, tập:
E β := {x ∈ [a, b] : |φ 0 (x)| ≤ β} và phần bù của nó (E β c ) Như vậy ta viết
Với việc lựa chọn β phù hợp, dao động của số mũ phức e iλφ(x) trên tập E β là nhỏ và có thể được bỏ qua, dẫn đến ước lượng chính trở thành.
Trong bài viết này, chúng ta thảo luận về độ đo Lebésgue |E| của tập E ∈ R n và các ước lượng cho các tập chuẩn của E β, được gọi là "sub-level set estimates" Những ước lượng này có mối liên hệ chặt chẽ với ước lượng tích phân dao động Cụ thể, các khảo sát đơn giản cùng với ước lượng phù hợp cho |E β | sẽ dẫn đến ước lượng tích phân dao động được nêu trong bổ đề van der Corput Hơn nữa, một lập luận tương tự có thể được áp dụng trong nhiều trường hợp khác với chiều cao cao hơn để tạo ra ước lượng tích phân dao động Ngược lại, ước lượng tích phân dao động cũng có thể được sử dụng để suy ra "sub-level set estimates".
Chứng minh Trước hết ta chứng minh cho trường hợp k = 1 Cụ thể là chứng minh rằng nếu φ 0 (x) ≥ 1 trên [a, b] và φ 0 là đơn điệu thì ta có ước lượng: b
|λ| Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có: b
Vì φ 0 là đơn điệu trong [a,b] nên d dx (1/φ 0 ) có dấu không đổi Do đó
|λ| bị chặn dưới trên đạo hàm của φ trên [a,b] Do đó k = 1 là đúng.
Tiếp theo giả sử rằng k ≥ 2 và cố định tham số β (tham số này sẽ chọn sau) Ta ước lượng như trong thảo luận trước đó là
Dựa vào giả thiết |φ (k) (x)| ≥ 1 cho mọi x ∈ [a, b], chúng ta áp dụng định lý 2.1 cho hàm φ 0, từ đó thu được ước lượng |E β | ≤ 2(k − 1)β 1/k−1 Trong tích phân còn lại của tổng ở vế phải của bất đẳng thức, chúng ta nhận thấy rằng với giả thiết
|φ (k) (x)| ≥ 1 ta suy ra tập {x ∈ [a, b] : |φ 0 (x)| > β} là hợp của không quá 2k đoạn, mà trên mỗi đoạn đóφ 0 (x)đơn điệu Sử dụng kết quả ứng vớik = 1cho các đoạn này ta có:
|λ| β Tổng hợp lại ta có
Chọn β để cực tiểu hóa tổng trên,β ' |λ| − k−1 k , như vậy ước lượng của bổ đề vander Corput |I (λ)| ≤ C k |λ| − k 1 được thỏa mãn. Định lý được chứng minh.
Bổ đề van der Corput là một phương pháp quan trọng trong việc ước lượng các tích phân dao động có dạng b Hệ quả của bổ đề này giúp cải thiện khả năng phân tích và tính toán các tích phân phức tạp, từ đó nâng cao hiệu quả nghiên cứu trong lĩnh vực toán học.
Hệ quả 2.1 cho biết rằng nếu φ: [a, b] → R là một hàm khả vi cấp k với điều kiện |φ(k)(x)| ≥ 1 cho mọi x ∈ [a, b] và ψ: [a, b] → C là một hàm khả vi cấp 1, thì tồn tại một hằng số Ck chỉ phụ thuộc vào k sao cho b.
Chứng minh Trước tiên ta xem xét hàm sau:
Sau đó ta có thể viết b
Mà theo bổ đề Vander Corput thì sup x∈[a,b]
Hệ quả đã được chứng minh.
Giữa các đánh giá thể tích tập mức dưới và các đánh giá tích phân dao động tồn tại mối liên hệ mật thiết.
Đánh giá tích phân dao động thông qua các không điểm của đạo hàm của hàm pha
điểm của đạo hàm của hàm pha
Chúng ta xem xét tích phân dao động sau:
Trong phương trình Z b a e iλP (z) χ(z)dz, với χ là hàm C ∞ và P (z) là đa thức thực monic bậc d, các điểm cận a, b có thể là vô cùng, yêu cầu χ phải có giá trị compact Các điểm tới hạn của pha được xác định bởi các nghiệm thực của đa thức P 0 (z).
Ta bắt đầu với trường hợp khi P 0 (z) không có nghiệm phức nào và kết hợp chặt chẽ các ý tưởng chính.
Lấy a k (k = 1, , d − 1) là các nghiệm của P 0 (z) xếp theo thứ tự tăng dần.
Một nhóm L được định nghĩa là tập hợp con gồm các phần tử liên tiếp từ tập hợp {a_k, k = 1, , d − 1}, với kích thước |L| là số lượng các điểm a_k trong nhóm Các nghiệm bội có thể được đếm theo số lượng của chúng Theo Định lý 2.2, cho K_λ = R_b a e^{iλP(z)} χ(z)dz, trong đó χ là hàm thuộc C^∞ và P(z) là đa thức thực bậc d với hệ số bậc cao nhất bằng 1, chúng ta có thể đưa ra đánh giá như sau.
Trong đoạn này, hằng số C d chỉ phụ thuộc vào bậc d của đa thức P 0 (z) và các chuẩn sup của các hàm χ và χ 0 Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc đưa ra một ước lượng sơ cấp.
(2.4) trên thực tế thì C d = (2d + 1) sup
(|χ| , |χ 0 |). Lấy tích phân từng phần ta có:
Xét thành phần thứ hai
P 0 (z) −1Z b a χ(z) 0 |dz và thứ ba của (2.5) có đánh giá sau
Bây giờ, ta ước lượng thành phần thứ nhất bởi
(2.7) với [a, b] =S i [a i , b i ]là hợp của các đoạn con[a i , b i ]trong đó
0 không đổi dấu. Hiển nhiên số lượng của các đoạn đó nhỏ hơn d − 1 Tích phân trên mỗi đoạn [a i , a i+1 ] bằng
P 0 (a i+1 ) −1 − P 0 (a i ) −1 và bị chặn bởi 2 min [a,b] |P 0 (z)| −1
Trở lại chứng minh (2.3), để thuận tiện ta giả sử rằng a k là độc lập Lập luận này dễ dàng thỏa mãn trong trường hợp của các nghiệm bội.
Ta chia nhỏ I k , k = 1, , d − 1 thành các đoạn con như sau
I d−1 = [a, b] ∩ [(a d−2 + a d−1 )/2, +∞) (2.8) Để thuận tiện hơn, ta đặt I k + = I k ∩ {z > a k } và I k − = I k ∩ {z < a k }. Ước lượng mong muốn ở (2.3) là kết quả của phiên bản địa phương hóa dưới đây tại mỗi điểm tới hạn a k
Ta đi chứng minh nhận định này theo giá trị của |L| Với |L| = 1, chỉ có duy nhất
1 nhóm L = {a k } chứa a k , do đó (2.9) trở thành
(2.10) Để có được điều đó ta đặt δ = (λY j6=k
Hiển nhiên tích phân trên khoảng I k δ = [a k − δ, a k + δ] thỏa mãn bất đẳng thức mà ta mong đợi.
Mặt khác, trên mỗi khoảng I k ± /I k δ (chúng có thể bằng rỗng) ta có
Thật vậy, ta có thể viết P 0 (z) như sau: P 0 (z) = d−1
Với z ∈ I k + /I k δ , ta phải có |z − a k | ≥ δ và |z − a j | ≥ |a k − a j | khi a j ở bên trái của a k , còn khi a j ở bên phải của a k , ta thấy
2 |a k − a j | dẫn đến (2.11) Nhận xét tương tự cho z ∈ I k − /I k δ ta cũng suy ra (2.11), từ đó có (2.10) theo cách nhìn như với (2.4).
Giả sử rằng (2.9) được thỏa mãn với các nhóm kích thước n − 1 Xét L = {a M , , a N }, (N = M + n − 1) thì với mỗi nhóm kích thước n chứa a k , ta xem xét 3 trường hợp sau:
• Trường hợp 1: L không bắt đầu và không kết thúc tại a k
Khi đó {a M +1 , a N } là 1 nhóm có kích thước n − 1 vẫn chứa a k và như ta đã biết
(2.13) thì xong Ngoài ra, ta có
Từ việc khoảng I k − được chứa trong [a M , a k ]và tích phân trên I k − là trội hơn bởi độ dài
I k − của I k − , ta đã có được ước lượng mong muốn trên I k − như dưới đây Tương tự, ước lượng trên I k + thu được bởi n − 1 nhóm kích thước {a M , , a N−1 }.
• Trường hợp 2: L bắt đầu tại a k thì L = {a k , , a N }, (N = k + n − 1).
Bằng việc so sánh với ước lượng cho n − 1 nhóm kích thước {a k , , a N −1 } ta có thể giả sử trước rằng
Từ việc I k + được chứa trong [a k , a N ], chúng ta chỉ cần ước lượng tích phân trên I k − Khi lấy δ thuộc bên phải của (2.15), tích phân trên I k δ = [a k − δ, a k + δ] sẽ thỏa mãn ước lượng mong muốn Đối với z ∈ I k − /I k δ, ta có |z − a j | lớn hơn δ với j ∈ L sao cho min.
|a k − a j | (2.16) Ước lượng (2.8) cho tích phân trên I k − là một kết quả của (2.4) và (2.16).
• Trường hợp 3: Với nhóm L kết thúc tại điểm a k thì cũng tương tự.
Chứng minh được hoàn thành.
Chương 3 ĐÁNH GIÁ CHUẨN CỦA TOÁN
Mục đích của chương là đưa ra một chặn trên cho chuẩn của toán tử dao động T λ Xét T λ là tích phân dao động xác định bởi
R e iλS(x,y) ψ(x, y)φ(y)dy, (3.1) trong đó hàm pha S(x, y) là một đa thức thực thuần nhất bậcn có biểu diễn sau
X k=1 α k y k x n−k , và ψ(x, y) là một hàm trơn có giá compact trên R 2 Ta xét j là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện sau α j 6= 0, tức là α 1 = ã ã ã = α j−1 = 0, α j 6= 0.
Xét T λ ∗ là tích phân dao động xác định bởi
Chuẩn của toán tử dao động khi j < n/2
Định lý 3.1 Cho T λ được định nghĩa ở (3.1) Khi đó T λ là một toán tử bị chặn từ
L 2 (R ) vào L 2 (R ) Hơn nữa, tồn tại hằng số C không phụ thuộc vào λ sao cho kT λ k L 2 →L 2 ≤ C(|λ|) (−1)/(2(n−j)) ∀λ ∈R trong đú α j 6= 0 với j < n/2 và α 1 = ã ã ã = α j−1 = 0.
Trước khi chứng minh định lý 3.1, ta đi chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 3.1 Lấy x, y ∈R là các số thực và j ∈N Ta có hai bất đẳng thức sau: x j − y j 2
Chứng minh • Chứng minh (3.2) Xét trường hợp x ≥ y và j = 2m + 1 Do đó x j − y j = x 2m+1 − y 2m+1 = (x − y)
Xét trường hợp x ≤ y Chuyển đổi vai trò của x và y ta thu được x 2m+1 − y 2m+1
• Chứng minh (3.3) Cho j := 2m + 2 Xét trường hợp |x| ≥ |y| Khi đó x j − y j = x 2m+2 − y 2m+2 = (x 2 − y 2 ) m
Xét trường hợp |x| ≤ |y| Chuyển đổi vai trò của x và y ta thu được x 2m+2 − y 2m+2
Vậy bổ đề đã được chứng minh.
Ta nhắc lại bất đẳng thức H¨older như sau:
Giả sử S là một không gian đo, với 1 ≤ p, q ≤ ∞ thỏa mãn 1 p + 1 q = 1 đồng thời f ∈ L p (S)và g ∈ L q (S) Khi đó f g ∈ L 1 (S) và
Chứng minh định lý 3.1 Xét φ ∈ L 2 (R ) Từ định nghĩa của toán tử T λ và T λ ∗ ta thấy
Từ đó, toán tử T λ ∗ T λ là một toán tử tích phân với K(x, y) được xác định như sau
C λ,1 = max{sup x∈ R kK(x, y)k 1,y , sup y∈ R kK(x, y)k 1,x }.
Nên áp dụng bất đẳng thức H¨older ta được
|φ(y)| 2 |K(x, y)|dy sup x∈ R kK(x, y)k 1,y và do đó kT λ ∗ T λ φk 2 2 ≤ C λ,1
Nhắc lại hệ quả 2.1 của bổ đề van der Corput cho các tích phân dao động ta có b
Khi đó, sử dụng bổ đề van der Corput cho các tích phân dao động, tồn tại một hằng số c 1 không phụ thuộc λ mà
Ta thấy K(x, y) = 0 với mọi (x, y) 6∈ [−M, M ] × [−M, M] và sup
|K(x, y)| ≤ min{c 1 (|x j − y j |λ) −1/(n−j) ), c 2 } ∀x, y ∈R Trường hợp 1 j là số tự nhiên lẻ Từ bổ đề 3.1, ta được
Sử dụng K (x, y) = 0 với mọi (x, y) 6∈ [−M, M ] × [−M, M ], ta có nếu y 6∈ [−M, M] thì
|x − y| −j/(n−j) dx. Đặt x − y = t Khi đó với y ∈ [−M, M] ta có
Từ j < n/2 ta có j/(n − j) < 1 và do đó R2M
Tương tự, sup x∈ R kK(x, y)k 1,y ≤ C|λ| −1/(n−j) Trường hợp 2 j là số tự nhiên chẵn Theo bổ đề 3.1, ta được
Ta thấy, nếu |x − y| > |x + y| thì |x 2 − y 2 | ≥ |x + y| 2 , điều này dẫn đến
|K(x, y)| ≤ c 3 (|x + y| j λ) −1/(n−j) )) ∀x, y ∈R , nếu ngược lại |x − y| ≤ |x + y| thì |x 2 − y 2 | ≥ |x − y| 2 , điều này dẫn đến
|K(x, y)| ≤ (c 3 (|x − y| j λ) −1/(n−j) ) + c 3 (|x + y| j λ) −1/(n−j) )), với mọi x, y ∈R Mà K (x, y ) = 0 với mọi (x, y) 6∈ [−M, M ] × [−M, M ]. Nên
Chứng minh tương tự như trường hợp 1 ta cũng có
Từ j < n/2 ta có j/(n − j) < 1 và do đó
Từ (3.5) ta có kT λ ∗ T λ φk 2 ≤ C|λ| −1/(n−j) kφk 2 (3.6) và do đó kT λ ∗ T λ k L 2 →L 2 ≤ C|λ| −1/(n−j) (3.7)
Ta sẽ chứng minh rằng hT λ φ, gi = hφ, T λ ∗ gi (3.8)
Bằng việc đặt g = T λ φ và theo (3.8) thì kT λ φk 2 2 = hφ, T λ ∗ T λ φi.
Sử dụng bất đẳng thức H¨older ta có kT λ φk 2 2 = hφ, T λ ∗ T λ φi ≤ kφk 2 kT λ ∗ T λ φk 2 (3.9)
Sử dụng (3.7) ta có kT λ ∗ T λ φk 2 ≤ kφk 2 C.(|λ|) −1/(n−j)
Vì thế từ (3.9) ta được kT λ φk 2 2 ≤ kφk 2 2 C.(|λ|) −1/(n−j) Vậy kT λ k L 2 →L 2 ≤ C(|λ|) −1/((2n−2j)) Định lý đã được chứng minh xong.
Chuẩn của toán tử dao động khi j > n/2
Định lý 3.2 khẳng định rằng toán tử T λ, được định nghĩa trong mục (3.1), là một toán tử bị chặn từ L 2 (R) vào L 2 (R) Chuẩn của toán tử này được đánh giá bằng công thức kT λ k L 2 →L 2 ≤ C(|λ|) −1/(2j), trong đó α j khác 0 với j lớn hơn n/2 thuộc tập N và α 1 = α 2 = = α j−1 = 0.
Chứng minh Như ta đã biết ở mục 3.1 thì
R e −iλ(S(z,x)−S (z,y)) ψ(z, x)ψ(z, y)dz (3.10) Nên áp dụng bất đẳng thức H¨older ta được
|φ(y)| 2 |K(x, y)|dy sup x∈R kK(x, y)k 1,y và do đó kT λ ∗ T λ φk 2 2 ≤ C λ,1
K (x, y)|dx dy ≤ C λ,1 2 kφk 2 2 hay kT λ ∗ T λ φk 2 ≤ C λ,1 kφk 2 (3.11) ở đó
C λ,1 = max{sup x∈ R kK(x, y)k 1,y , sup y∈ R kK(x, y)k 1,x }.
Sau đó, sử dụng bổ đề van der Corput cho các tích phân dao động, tồn tại một hằng số c 1 không phụ thuộc vào λ để mà
Ta thấy rằng K(x, y) = 0 với mọi (x, y) 6∈ [−M, M] × [−M, M ] và sup
|K(x, y)| ≤ min{c 1 (|(x j − y j )λ|) −1/(n−j) ), c 2 } ∀x, y ∈R Trường hợp 1 j là lẻ, j = 2m + 1 Từ đó, theo bổ đề 3.1, ta có
|K(x, y)| ≤ min{c 3 (|x − y| j |λ|) −1/(n−j) ), c 2 } ∀x, y ∈R ở đó c 3 = c 1 2 2m/(n−j) Đặt λ 1 = |λ| −1/(n−j) Chú ý rằngK(x, y) = 0 với mọi(x, y) 6∈ [−M, M ] × [−M, M ].Áp dụng cho mọi β ∈ [0, M]
Bằng việc chọn β = λ (n−j)/(jq) 1 = |λ| −1/j , ta thu được
Tương tự, sup x∈ R kK(x, y)k 1,y ≤ C|λ| −1/j Trường hợp 2 j là chẵn Sử dụng Bổ đề 3.1 ta có
|K(x, y)| ≤ (c 1 (|x − y| j λ) −1/(n−j) ) + c 1 (|x + y| j λ) −1/(n−j) )), với mọi x, y ∈R Chú ý rằng K(x, y) = 0 với mọi (x, y) 6∈ [−M, M ] × [−M, M ].
Chứng minh tương tự ở trên ta có sup y∈ R kK(x, y)k 1,x ≤ C|λ| −1/(j)
Theo (3.11) ta được kT λ ∗ T λ φk r ≤ C(|λ|) −1/(j) kφk 2 (3.12) do đó kT λ ∗ T λ k L 2 →L 2 ≤ C(|λ|) −1/j (3.13)
R f(x)g(x)dx. sau đó tương tự như chứng minh định lý 3.1 ta thu được hT λ φ, gi = hf, T λ ∗ gi (3.14) Đặt g = T λ φ.
Do đó từ (3.14) thì kT λ φk 2 2 = hφ, T λ ∗ T λ φi.
Sử dụng bất đẳng thức H¨older ta có kT λ φk 2 2 = hφ, T λ ∗ T λ φi ≤ kφk 2 kT λ ∗ T λ φk 2 (3.15)
Sử dụng (3.13) ta có: kT λ ∗ T λ φk r ≤ Ckφk 2 |λ| −1/j
Do vậy, theo (3.15) ta thu được kT λ k L 2 →L 2 ≤ C|λ| −1/(2j) Định lý đã được chứng minh xong.
Dựa vào định lý 3.1 và định lý 3.2, ta có định lý 3.3, trong đó T λ được định nghĩa ở mục (3.1) là một toán tử bị chặn từ L 2 (R) vào L 2 (R) Định lý này chỉ ra rằng chuẩn kT λ k L 2 →L 2 không vượt quá C max{(|λ|) −1/(2j) ; (|λ|) −1/(2(n−j))}, với điều kiện α j khác 0 khi j không bằng n/2 và α 1 = α 2 = = α j−1 = 0.
Chuẩn của toán tử dao động khi j = n/2
Định lý 3.4 khẳng định rằng toán tử T λ, được định nghĩa trong mục (3.1), là một toán tử bị chặn từ không gian L 2 (R) đến L 2 (R) Độ lớn của toán tử này được đánh giá qua công thức kT λ k L 2 →L 2 ≤ C|λ| −1/(2j) p log |λ|, trong đó α j khác 0 với j = n/2 ∈ N và các hệ số α 1, α 2, , α j−1 đều bằng 0.
Chứng minh Xét φ ∈ L 2 (R ) Từ định nghĩa của toán tử T λ và T λ ∗ ta thấy
Từ đó, toán tử T λ ∗ T λ là một toán tử tích phân với hạch K(x, y) được xác định bởi
R φ(y)K(x, y)dy. áp dụng Bổ đề Chính ta có kT λ ∗ T λ φk 2 ≤ C λ,1 kφk 2 (3.17) ở đó
C λ,1 = max{sup x∈ R kK(x, y)k 1,y , sup y∈ R kK(x, y)k 1,x }.
Từ α j 6= 0, và α 1 = ã ã ã = α j−1 = 0, ta thu được
Từ đó, áp dụng Bổ đề van der Corput cho các tích phân dao động, tồn tại một hằng số c 1 không phụ thuộc vào λ thì
Ta thấy rằng K(x, y) = 0 với mọi (x, y) 6∈ [−M, M] × [−M, M ] và sup
|K(x, y)| ≤ min{c 1 (|(x j − y j )λ|) −1/(n−j) ), c 2 } ∀x, y ∈R Trường hợp 1 j là lẻ, j = 2m + 1 Khi đó, từ bổ đề 3.1, ta có
|K(x, y)| ≤ min{c 3 (|x − y| j |λ|) −1/(n−j) ), c 2 } ∀x, y ∈R ở đó c 3 = c 1 2 2m/(n−j) Đặt λ 1 = |λ| −1/(n−j) = |λ| −1/j Mà K(x, y) = 0 với mọi (x, y ) 6∈ [−M, M ] × [−M, M ]và j/(n − j) = 1. Áp dụng với mọi β ∈ [0, M ] ta có
|K(x, y)|dx ≤ c 2 2β + 2c 3 λ 1 log 2M β = c 2 2β + 2c 3 |λ| −1/j log 2M β Đặt β = |λ| −1/j log |λ|, ta được
Vì thế sup y∈ R kK(x, y)k 1,x ≤ C|λ| −1/j (log |λ|).
Tương tự, sup x∈ R kK(x, y)k 1,y ≤ C|λ| −1/j (log |λ|).
Trường hợp 2 j là chẵn Từ đó, áp dụng bổ đề 3.1 thì
Hơn nữa, do K(x, y) = 0 với mọi (x, y) 6∈ [−M, M ] × [−M, M], nên ta có
Tương tự chứng minh ở trên ta có sup y∈ R kK(x, y)k 1,x ≤ C|λ| −1/j (log |λ|).
Tương tự, sup x∈ R kK(x, y)k 1,y ≤ C|λ| −1/j (log |λ|).
Sử dụng (3.17) ta có kT λ ∗ T λ φk 2 ≤ C(|λ|) −1/(j) kφk 2 (3.18) và do đó kT λ ∗ T λ k L 2 →L 2 ≤ C(|λ|) −1/j log |λ| (3.19)
Từ đó áp dụng chứng minh Định lý 3.1 ta thu được hT λ φ, gi = hf, T λ ∗ gi (3.20) Đặt g = T λ φ.
Do đó theo (3.20) thì kT λ φk 2 2 = hφ, T λ ∗ T λ φi. Áp dụng bất đẳng thức H¨older ta có kT λ φk 2 2 = hφ, T λ ∗ T λ φi ≤ kφk 2 kT λ ∗ T λ φk 2 (3.21)
Sử dụng (3.19) ta có kT λ ∗ T λ φk 2 ≤ Ckφk 2 |λ| −1/j (log |λ|)
Vì thế kT λ φk 2 2 ≤ Ckφk 2 2 |λ| −1/j (log |λ|).
Do vậy, từ (3.21) ta có kT λ k L 2 →L 2 ≤ C|λ| −1/(2j) (log |λ|) 1/2 Định lý được chứng minh xong.
Luận văn trình bày kiến thức cơ bản về tích phân dao động, tập trung vào việc chứng minh bổ đề Vander Corput và đánh giá chuẩn của toán tử dao động Nội dung chính của luận văn bao gồm các khái niệm và kỹ thuật liên quan đến tích phân dao động, góp phần làm rõ các định lý và ứng dụng trong lĩnh vực này.
• Đưa ra một số kiến thức về tích phân Lebésgue, phép biển đổi Fourier trong không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) và trong không gian L 1 (R n )
•Uớc lượng tập mức dưới, chứng minh bổ đề vander Corput và đánh giá tích phân dao động thông qua các không điểm của đạo hàm của hàm pha.
• Đưa ra đánh giá chuẩn của toán tử dao động trên không gian L 2 (R )
Tôi xin chân thành cảm ơn!