Điểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gian bd metric sắp thứ tự và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LITNA AMPHONEPADID ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO YẾU SẮP THỪ TỰ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LITNA AMPHONEPADID

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO YẾU

SẮP THỪ TỰ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LITNA AMPHONEPADID

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO YẾU

SẮP THỪ TỰ VÀ ỨNG DỤNG

Ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN - 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu trong luận văn là trung thực Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận văn Thạc sĩ của các tác giả khác

Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này

đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Tác giả

Litna AMPHONEPADID

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và

tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tháng 11 năm 2020

Tác giả

Litna AMPHONEPADID

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1 Không gian b - metric 2

1.2 Không gian b - d metric 5

1.3 Tôpô trên không gian b d - metric 8

CHƯƠNG 2: ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO YẾU TRONG KHÔNG GIAN b d - METRIC SẮP THỨ TỰ 13

2.1 Nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian b-metric 13

2.2 Điểm bất động chung của các ánh xạ trong không gian b - metric 14

2.3 Điểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gian -d b metric sắp thứ tự 19

2.4 Sự tồn tại nghiệm chung của hệ các phương trình tích phân 36

KẾT LUẬN 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

MỞ ĐẦU

Nguyên lí ánh xạ co Banach là một trong những kết quả đơn giản nhưng

có nhiều ứng dụng của lí thuyết điểm bất động metric Nó là một công cụ phổ biến để chứng minh sự tồn tại của nghiệm của các bài toán trong các lĩnh vực khác nhau của toán học Nguyên lý ánh xạ co Banach đã được mở rộng theo hai hướng Hướng thứ nhất là mở rộng nguyên lí ánh xạ co Banach cho các loại ánh xạ khác nhau như ánh xạ co yếu, ánh xạ dãn, ánh xạ tương thích yếu, ánh

xạ tương thích,… Hướng thứ hai là thiết lập nguyên lí ánh xạ co Banach cho các không gian kiểu metric: chẳng hạn các không gian 2-metric, D-metric, b -

metric, b -2 metric, G - metric,… Năm 2000, Hitzler và Seda đã giới thiệu khái niệm d - l metric và d - l tôpô và thiết lập định lí điểm bất động trong không gian d - l metric đầy đủ Năm 2013, N Hussain, J.R Roshan, V Parvaneh và M.Abbas đã giới thiệu khái niệm b - d metric và thiết lập định lí

về điểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gian b - d metric

Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài: “Điểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gian b - d metric sắp thứ tự và ứng dụng”

Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu

Nội dung luận văn được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [3], [6] và [8], gồm 40 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Giới thiệu khái niệm và một vài tính chất của không gian b

-metric và không gian b d - metric

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày lại các kết quả nghiên cứu gần đây của N Hussain, J.R Roshan, V Parvaneh và M.Abbas về điểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gian b - d metric

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian b - metric

Định nghĩa 1.1.1 Cho E là một tập khác rỗng và l ³ 1 là một số thực Một

điều kiện sau được thỏa mãn:

( )i d u v =( , ) 0 nếu và chỉ nếu u = v ,

( )ii d u v( , ) = d v u( , ),

(𝑖𝑖𝑖) d u v( , ) £ l[ ( , )d u w + d w v( , )]

Cặp ( , )E d được gọi là không gian b - metric

trong đó u = (u n),v = ( )v n Î l p là một không gian b-metric với l = 21/p

Ví dụ 1.1.3 Cho (E d, )là một không gian metric và p u v( , ) = ( ( , ))d u v p, trong

đó p > 1 Khi đó p là một b - metric với l = 2p-1 Thật vậy:

Hiển nhiên, các điều kiện (i) và (ii) của Định nghĩa 1.1.1 được thỏa mãn Nếu 1 < p < ¥ thì sử dụng tính lồi của hàm số f u( ) = u u p( > 0) ta có bất đẳng thức

® ¥ =

)

Mệnh đề 1.1.5 Trong một không gian b - metric ( , )E d các khẳng định sau đây được thỏa mãn:

Định nghĩa 1.1.6 Không gian b - metric ( , )E d được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ

Nói chung, một hàm b - metric d với l > 1 không liên tục theo cả hai biến Sau đây là ví dụ về một b - metric không liên tục

Ví dụ 1.1.7 Cho E = ¥ È ¥{ } và d E: ´ E ® ¡ xác định bởi

Nghĩa là, u ® ¥ n , nhưng d u( 2n, 1) = 2®/ d(¥ , 1), khi n ® ¥

với 0 < q < 1 / l và mỗi n Î ¥ Khi đó { }v n là dãy Cauchy trong E

Bổ đề 1.1.11 Cho ( , )E d là không gian b - metric với l ³ 1 Giả sử rằng

{u n}và { }v n là b - hội tụ đến u và v tương ứng Khi đó ta có:

2 2

Định nghĩa 1.1.13 Cho f và g là định nghĩa hai tự ánh xạ trên tập không rỗng

E Nếu w = fu = gu với u Î E , thì u được gọi là điểm trùng của f và g,

trong đó w được gọi là điểm trùng nhau của f và g

Định nghĩa 1.1.14 Cho f và g là hai tự ánh xạ xác định trên tập E Khi đó

f và g được gọi là tương thích yếu nếu chúng giao hoán tại mỗi điểm trùng

1.2 Không gian b - d metric

Định nghĩa 1.2.1 Cho E là tập không rỗng Ánh xạ d l :E ´ E ® [0,¥ ) được gọi là d - l metric nếu thoả mãn điều kiện sau với mọi u v w, , Î E :

Định nghĩa 1.2.3 Dãy {u n} trong không gian d - l metric được gọi là:

(1) dãy Cauchy nếu với e > 0, tồn tại $n0 Î ¥ sao cho với "n m, ³ n0, ta có

(2) hội tụ đối với d l nếu u$ Î E sao cho d u u ® l( n, ) 0 khi n ® ¥ Trong trường hợp này u được gọi là giới hạn của dãy {u n} và ta viết u n ® u

Không gian d - l metric E được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy trong E hội tụ đến một điểm thuộc E

Định nghĩa 1.2.4 Tập không rỗng E được gọi là không gian d - l metric sắp thứ tự nếu nó được trang bị một quan hệ thứ tự bộ phận ° và tồn tại d - l metric trên E

Định nghĩa 1.2.5 Cho (E,° ) là tập được sắp thứ tự bộ phận Khi đó u v, Î E

gọi là so sánh được nếu u ° v hoặc ° v u

Định nghĩa 1.2.6 Cho (E,° ) là tập được sắp thứ tự bộ phận Tự ánh xạ f trên

E được gọi là trội nếu u ° fu với mỗi u Î E

Ví dụ 1.2.7 Cho E = [0,1] được trang bị thứ tự thông thường và f :E ® E

được xác định bởi n

fu = u Vì u £ u 1/ n = fu với mọi u Î E , nên f là ánh

xạ trội

Định nghĩa 1.2.8 Cho (E,° ) là tập được sắp thứ tự bộ phận Tự ánh xạ f trên

E được gọi là bị trội nếu fu ° u với mỗi u Î E

Ví dụ 1.2.9 Cho E = [0,1] được trang bị thứ tự thông thường và f :E ® E

được xác định bởi n

fu = u với n Î ¥ Vì fu = u n £ u với mọi u Î E , nên

f là ánh xạ bị trội

Định nghĩa 1.2.10 Cho E là tập không rỗng Ánh xạ b d :E´ E ® [0,¥ )

được gọi là b - d metric nếu các điều kiện sau thoả mãn với mọi u v w, , Î E và

1

(b d1) nếu b u v = d( , ) 0 thì u = v ;

(b d2) b u v d( , ) = b v u d( , );

(b d3) b u v d( , )£ l (b u w d( , )+ b w v d( , ))

Cặp (E b, d) được gọi là không gian b - d metric

Chú ý rằng lớp các không gian b - d metric rộng hơn lớp các không gian d - l

metric, vì b - d metric là d - l metric khi l = 1

Sau đây là một ví dụ chỉ ra rằng nói chung b - d metric không phải

l

d - metric

Ví dụ 1.2.11 Cho ( , )E d l là không gian d - l metric và b u v d( , )= ( ( , ))d u v l p

trong đó p > 1 Ta sẽ chỉ ra b d là một b - d metric với l = 2p-1

Rõ ràng, các điều khiện ( )b1 và ( )b2 của Định nghĩa 1.2.10 được thoả mãn Nếu 1 < p < ¥ , thì tính lồi của hàm f u( ) = u u p( > 0) kéo theo

thì d u v l( ), = |u | + |v | là d - l metric và b u v d( , ) = (| u | + | v |)2là b - d

metric trên ¡ với l = 2 nhưng không phải d - l metric trên ¡

1.3 Tôpô trên không gian b d - metric

Sarma và Kumari [9] đã thiết lập sự tồn tại của tôpô cảm sinh bởi d - l

metric mà nó metric hóa được với họ các tập hợp {B u( , )e È{ } :u u Î E},

Chú ý rằng giới hạn của lưới trong ( ,E b d) là duy nhất

Với A Í E , ta viết D A( ) = {u Î E :u là giới hạn của lưới trong( , )A b d }

Hệ quả 1.3.3 [9] Với mọi A Ì E , đặt A = A ÈD A( ) Khi đó, toán tử A ® A thoả mãn

t nhận được trong Mệnh đề 1.3.4 gọi là tôpô cảm

sinh bởi b dvà gọi là b - d tô pô của E và ký hiệu là ( , , )

chứng minh tương tự với các kết quả được đưa ra trong [9]

Mệnh đề 1.3.6 Cho A Í E Khi đó u Î D A( ) nếu với mọi d > 0,

Hệ quả 1.3.10 Nếu u Î E và V u r( ) = B u r( )È{ }u với r > 0, thì tập hợp

{ ( ) |V u r u Î E} là cơ sở mở tại u trong ( , , )

Dựa theo Mệnh đề 3.2 trong [2], ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 1.3.12 Cho (E b, d) là không gian b - d metric Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

( )i Với mọi u Î E , ta có b u u = d( , ) 0

( )ii b d là b - metric

(iii) Với mọi u Î E và mọi r > 0, ta có B u ¹ Æ r( )

Định nghĩa 1.3.13 Dãy {u n} trong không gian b - d metric ( ,E b d) hội tụ đối với b d (b - d hội tụ) nếu u$ Î E sao cho b u u d( n, ) hội tụ đến 0 khi n ® ¥ Trong trường hợp hày, u được gọi là giới hạn của {u n} và ta viết u n ® u

Mệnh đề 1.3.14 Giới hạn của dãy hội tụ trong không gian b - d metric là duy nhất

Chứng minh Giả sử u và v là các giới hạn của dãy {u n} Theo tính chất (b d2)

và (b d3)của Định nghĩa 1.2.10, ta có

b u v d( , )£ k b u u(d( n, )+ b u v d( n, ))® 0

Suy ra b u v = d( , ) 0 Theo tính chất (b d1) của Định nghĩa 1.10 suy ra u = v

Định nghĩa 1.3.15 Dãy {u n} trong không gian b - d metric ( ,E b d) được gọi là dãy b - d Cauchy nếu với e > 0,$n0 Î ¥ sao cho với mọi n m, ³ n0 ta có ( , )

Chứng minh Giả sử {u n} là dãy hội tụ đến u Î ( , )E b d Khi đó với e > 0 tồn

Vậy {u n} là dãy b - d Cauchy

Định nghĩa 1.3.17 Không gian b - d metric (E b, d) được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy b - d Cauchy trong E đều b - d hội tụ

Ví dụ sau đây chỉ ra rằng nói chung b - d metric không liên tục

Ví dụ 1.3.18 Lấy E = ¥ È ¥ { } và b d :E ´ E ® ¡ được xác định bởi

b m n d( , ) 1 1

= + nếu m n, chẵn hoặc mn = ¥

b m n = d( , ) 5 nếu m và n lẻ và m ¹ n

b m n = d( , ) 2 trong các trường hợp còn lại

Khi đó, dễ thấy rằng với mọi m n p, , Î E , ta có

Nghĩa là, u ® ¥ n nhưng b u d( n,1)= 2®/ b d(¥ ,1) khi n ® ¥

Bổ đề sau về dãy b - d hội tụ sẽ cần thiết trong chứng minh kết quả chính

Bổ đề 1.3.19 Cho (E b là không gian , d) b - d metric với hệ số k ³ 1 Giả sử

{u n} và { }v n là các dãy b - d hội tụ đến u v, tương ứng Khi đó

12 d( , ) lim inf (d n, n) lim sup (d n, n) 2 d( , )

Nói riêng, nếu b u v = d( , ) 0, thì ta có limn® ¥ b u v d( n, n) = 0= b u v d( , )

Ngoài ra, với mỗi wÎ E , ta có

1 d( , ) lim inf d( n, ) lim sup (d n, ) d( , )

Nói riêng, nếu b u w = d( , ) 0, thì limn® ¥ b u w d( n, )= 0= b u w d( , )

Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức tam giác trong không gian b - d metric, ta nhận được

Định nghĩa 1.3.20 Cho ( ,E b d) là không gian b - d metric Khi đó cặp ( , )f g

được gọi là tương thích khi và chỉ khi limn® ¥ b fgu gfu d( n, n)= 0, với mọi dãy

{u n}Ì E sao cho limn® ¥ fu n = limn® ¥ gu n = t với t Î E nào đó

CHƯƠNG 2 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO YẾU

TRONG KHÔNG GIAN b d - METRIC SẮP THỨ TỰ

2.1 Nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian b-metric

Định lý 2.1.1 Cho ( , )E d là không gian b - metric đầy đủ, và f E: ® E là

ánh xạ sao cho tồn tại 0 q 1

l

< < ,

d fu fv( , ) £ q d u v( , ) với mọi u v, Î E Khi đó f có điểm bất động duy nhất w , và với u0 Î E , dãy

0

{f u n } hội tụ đến w

Chứng minh Lấy u0 Î E bất kì và kí hiệu v n = f u n 0 Khi đó

d v v( ,n n+1)= d fv( n-1,fv n)£ q d v( n-1,v n) với mỗi n = 1, 2

Theo Bổ đề 1.1.10, { }v n là dãy Cauchy, và vì ( , )E d là không gian đầy đủ, nên

tồn tại wÎ E sao cho v n ® w khi n ® ¥ Khi đó

d fw w( , )£ l ( (d fw fv, n)+ d v( n+1, ))w

£ l q( d w v( , n)+ d v( n+1, ))w ® 0

khi n ® ¥ Do đó, d fw w =( , ) 0 và w là điểm bất động của f

Nếu w1 là điểm bất động khác của f , thì ta có

d w w( , 1) = d fw fw( , 1) £ q d w w( , 1)

Điều này chỉ có thể xảy ra khi w = w1 W

Định lý 2.1.2 Cho ( , )E d là không gian b - metric đầy đủ, f E: ® E là

ánh xạ thỏa mãn với mỗi n Î ¥ tồn tại q Î n (0, 1) sao cho lim n 0

n q

® ¥ = và

d f u f v( n , n )£ q n d u v( , ) với mọi u v, Î E

Khi đó f có điểm bất động duy nhất

Chứng minh Lấy q sao cho 0 q 1

l

< < Vì q ® n 0 khi n ® ¥ , nên tồn tại

0

n Î ¥ sao cho q n < q với mỗi n ³ n0 Khi đó

d f u f v( n , n ) £ q d u v( , ) với mọi u v, Î E khi n ³ n0

Nói cách khác, với m ³ n0 tùy ý, g = f m thỏa mãn

2.2 Điểm bất động chung của các ánh xạ trong không gian b - metric

Định lý 2.2.1 Giả sử , , , f g S T là các ánh xạ từ không gian b - metric đầy đủ

( , )E d vào chính nó sao cho f E( )Í T E( ), ( )g E Í S E( ) và

£

+

(2.1)

với mọi u v, Î E , 0< s < 1, đồng thời S và T liên tục và cặp { , } f S và

{ , }g T là tương thích Khi đó , , f g S và T có một điểm bất động chung duy nhất trong E

Chứng minh Lấy u0 Î E Vì f E( ) Í T E( ), nên tồn tại u1 Î E sao cho

{

2 1 2 2 2 1 2 1 2 4

Cho m n ® ¥, , ta được d v v( ,n m) ® 0 khi l h < 1 Vì vậy { }v n là một dãy

Cauchy Vì E là không gian b - metric đầy đủ, nên tồn tại vÎ E sao cho

lim 2n lim 2n 1 lim 2n 1 lim 2n 2

s

d Sv v l d Sv v d Sv v l

Vì 0< s < 1, nên suy ra (d Sv v =, ) 0 Vậy Sv = v

Sử dụng tính liên tục của T , ta được

s4 max{l 2d v T v( , ), 0, 0,l 2d v T v( , )} sd v T v( ,2 )

Điều này chỉ có thể xảy ra khi ( ,d v T v =) 0, suy ra T v = v

Áp dụng điều kiện (2.1) ta nhận được

s4d v gv( , ) sd v gv( , ).

l

Điều này kéo theo d v gv =( , ) 0 và gv = v Do đó Sv = T v = fv = gv = v

Nếu tồn tại u Î E là một điểm bất động khác đối với f g S, , và T thì

Y = {y : [0,¥ ®) [0,¥ ) y không giảm, liên tục,y( )t = 0Û t = 0} và

F = {j : [0,¥ ®) [0,¥ ) j nửa liên tục dưới, j ( )t = 0 Û t = 0}

Định lý 2.3.1 Cho ( , , )E b d ° là không gian b - d metric đầy đủ được sắp thứ tự

và f g S T, , , là các tự ánh xạ trên E sao cho ( , )f g và ( , )S T là các ánh xạ bị trội và ánh xạ trội tương ứng, với f E( ) Í T E( ) và g E( ) Í S E( ) Giả sử với mọi cặp u v, Î E so sánh được với nhau, bất đẳng thức

( 4 ) ( ) ( )

2 b fu gv( , ) L u v( , ) L u v( , )