Phương trình vi phân phân thứ tuyến tính
Tích phân phân thứ
Tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α là một khái niệm mở rộng tự nhiên của tích phân lặp thông thường, được định nghĩa cho hàm x : [a, b] → R với α > 0 và [a, b] ⊂ R.
(t − τ ) α−1 x(τ ) dτ với t ∈ (a, b], ở đây hàm Gamma Γ : (0, ∞) →R>0 có biểu diễn Γ(α) :=
Tích phân Riemann–Liouville cấp α được định nghĩa bởi công thức Z ∞ 0 t α−1 exp(−t) dt, và khi α = 0, chúng ta quy ước I a+ 0 := I với I là toán tử đồng nhất Đối với α ∈ (0, 1), nếu hàm x khả tích trên đoạn [a, b], tức là Rb a |x(t)| dt < ∞, thì tích phân Riemann–Liouville cấp α của x tồn tại hầu hết trên [a, b] và cũng là một hàm khả tích.
Bổ đề 1.1.1 ([5, Theorem 2.1]) Giả sử x : [a, b] →R là một hàm khả tích trên [a, b] Khi đó, tích phân I a+ α x(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, I a+ α x cũng là một hàm khả tích trên [a, b].
Dưới đây là tích phân của một số hàm đơn giản.
Ví dụ 1.1.2 (i) Cho x(t) = t 2 , ở đây t > 0 Chúng ta có
(ii) Cho x(t) = exp(t) Chúng ta có
Đạo hàm phân thứ
Đạo hàm phân thứ, cùng với tích phân phân thứ, là hai khái niệm quan trọng trong phép tính vi-tích phân Trong số nhiều khái niệm đạo hàm phân thứ, đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàm Caputo là hai loại được sử dụng phổ biến nhất Bài viết này sẽ nhắc lại định nghĩa của hai loại đạo hàm này.
Cho trước một số thực dương αvà một khoảng [a, b] ⊂R Người ta định nghĩa đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] →R là
Đạo hàm phân thức Caputo cấp α của hàm x(t) được định nghĩa là D α a+ x(t) := D m I a+ m−α x(t), với t thuộc khoảng (a, b] Ở đây, m được xác định là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α, và D m là đạo hàm thông thường cấp m, được biểu diễn bằng dt d m m.
C D a+ α x(t) := I a+ m−α D m x(t), t ∈ (a, b], xem [5, Chapter 3, p 49] Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x 1 (t), , x d (t)) T , đạo hàm phân thứ Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:
Nếu α là một số nguyên, đạo hàm phân thứ cấp α (theo nghĩa Riemann–Liouville hoặc Caputo) tương đương với đạo hàm thông thường cấp α Đối với trường hợp α = 0, chúng ta định nghĩa D 0 a+ (hoặc C D a+ 0) là toán tử đồng nhất.
Nếu x là một hàm liên tục tuyệt đối trên đoạn [a, b], tức là x thuộc AC 1 ([a, b];R), thì các đạo hàm phân Riemann–Liouville và Caputo của hàm này tồn tại hầu hết trên đoạn [a, b].
Đạo hàm phân thứ khác với đạo hàm thông thường ở chỗ không có tính chất nửa nhóm Cụ thể, với α1, α2 là các hằng số dương bất kỳ và x là một hàm liên tục tuyệt đối trên đoạn [a, b], chúng ta có những đặc điểm riêng trong việc xác định đạo hàm phân thứ.
Với hàm x đủ chính quy, đạo hàm phân thứ là nghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ.
Bổ đề 1.1.4 ([5, Theorem 2.14]) Cho α ≥ 0 Khi đó, với mọix ∈ L 1 [a, b], chúng ta có
Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ nói chung không là toán tử nghịch đảo phải của tích phân phân thứ.
Bổ đề 1.1.5 ([5, Lemma 2.23]) Cho α ∈ (0, 1), và I 0+ 1−α x ∈ AC 1 [a, b] Khi đó,
Giữa các đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville và Caputo có quan hệ sau.
Bổ đề 1.1.6 ([5, Theorem 3.1]) Cho α ∈ (0, 1) Với bất kì x ∈ AC 1 ([a, b];R ) , chúng ta có
Tương tự như đối với đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, chúng ta cũng có những tính chất sau đối với đạo hàm phân thứ Caputo.
(i) Cho α ∈ (0, 1) Khi đó, với mọi x ∈ C([a, b];R ) , chúng ta có
(ii) Cho α ∈ (0, 1) và giả sử rằng x ∈ AC 1 ([a, b];R ) Khi đó,
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân phân thứ tuyến tính
Cho T > 0, α ∈ (0, 1), d ≥ 1 và A : [0, T ] →R d×d là một hàm liên tục nhận giá trị ma trận Xét hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính cấp α ∈ (0, 1)
C D 0+ α x(t) = A(t)x(t), ∀t ∈ (0, T ], (1.1) x(0) = x 0 ∈R d (1.2) Định nghĩa 1.1.1 Một hàm liờn tục φ(ã, x 0 ) : [0, T ] → R d được gọi là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1)–(1.2) nếu φ(0, x 0 ) = x 0 và
Để nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm cho bài toán giá trị đầu, phương trình được chuyển đổi thành một phương trình tích phân tương đương Cụ thể, theo Định lý 1.1.8, hàm liên tục φ(ã, x 0 ) : [0, T ] → R d là nghiệm của phương trình nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn phương trình tích phân φ(t, x 0 ) = x 0 + 1 Γ(α).
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.1)–(1.2) trên đoạn [0, T] được chứng minh qua Định lý 1.1.9 Theo đó, nếu A(ã) là hàm liên tục trên [0, T] × R d×d, thì với mọi x 0 ∈ R d, bài toán giá trị ban đầu (1.1)–(1.2) sẽ có duy nhất nghiệm trên đoạn [0, T].
Định lý 1.1.9 có thể được chứng minh thông qua việc sử dụng chuẩn có trọng mũ và Định lý điểm bất động Banach Đối với những độc giả quan tâm, thông tin chi tiết có thể tham khảo trong tài liệu [2] Hơn nữa, ánh xạ φ(t, ã) với mỗi t thuộc đoạn [0, T] là tuyến tính, nghĩa là φ(t, ax1 + bx2) = aφ(t, x1) + bφ(t, x2) với a, b thuộc R và x1, x2 thuộc R^d.
Hàm Mittag-Leffler và bất đẳng thức Gronwall suy rộng 5
Trường hợp đơn giản nhất của hệ phương trình vi phân phân thứ (1.1) là
Phương trình C D 0+ α x(t) = Ax(t) với điều kiện x(0) = x 0, trong đó A là một ma trận thực cỡ d × d, có thể được giải bằng cách sử dụng biến đổi Laplace Hệ (1.4)–(1.5) cho ra nghiệm duy nhất là x(t) = E α,1 (t α A) cho t ∈ [0, T] Hàm Mittag-Leffler hai tham số E α,β (ã) được định nghĩa cho mọi α, β ∈ R trong không gian C dìd.
Hàm Mittag-Leffler, ký hiệu là E α (ã) khi β = 1, đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết định tính của phương trình vi phân phân Hàm này tương tự như hàm mũ trong phương trình vi phân cổ điển và có nhiều tính chất quan trọng cần được nhắc lại.
Bổ đề 1.1.10 Cho số nguyên p ≥ 1 bất kỳ, các khẳng định sau đúng:
(i) Cho z ∈C với |arg(z)| ≤ απ/2, ta có
(ii) Cho z ∈C với απ/2 < |arg(z)| ≤ π, ta có
Chứng minh Xem [7, Theorems 1.3, 1.4, pp 33–34].
Xét hàm Mittag-Leffler một tham số thực E α :R → R Hàm này là đơn điệu tăng Hơn nữa, sử dụng Bổ đề 1.1.10, chúng ta có z→∞ lim E α (z) = ∞ và lim z→−∞ E α (z) = 0.
E α (R) = R > 0 cho thấy E α có nghịch đảo liên tục, được ký hiệu là log M α : R > 0 → R Cuối cùng, chúng tôi giới thiệu một bổ đề hữu ích trong việc ước lượng nghiệm của các phương trình vi phân phân thứ, tham khảo [5, Lemma 6.19, p 111].
Bổ đề 1.1.11 trình bày bất đẳng thức Gronwall suy rộng, áp dụng cho các hằng số dương α ∈ (0, 1) và T, K, L > 0 Để thỏa mãn điều kiện, hàm δ : [0, T] → R cần phải liên tục và tuân theo bất đẳng thức nhất định.
(t − τ ) α−1 |δ(τ )| dτ với mọi t ∈ [0, T ] Khi đó, với mọi t ∈ [0, T ]
Số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm của phương trình vi phân
Số mũ Lyapunov của một hàm
Số mũ Lyapunov của hàm f, ký hiệu là χ(f), được định nghĩa là giới hạn trên khi t tiến tới vô cùng của hàm f, với điều kiện t 0 ∈ R và f: [t 0, R) → R Đây là một khái niệm quan trọng trong nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân phân thứ.
Số mũ Lyapunov của một hàm cho thấy tốc độ tăng trưởng của nó so với hàm mũ Dưới đây là số mũ của một số hàm đơn giản, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về đặc điểm tăng trưởng của chúng.
Từ định nghĩa của số mũ Lyapunov, chúng ta dễ dàng thu được các tính chất sau.
3 Nếu |f(t)| ≤ |F (t)| với t ≥ a, thì χ(f) ≤ χ(F ). Để tính số mũ Lyapunov của một hàm, bổ đề sau đóng một vai trò quan trọng.
Bổ đề 1.2.2 Cho t 0 ∈R và f : [t 0 , ∞) →R Khi đó, χ(f ) = α 6= ±∞ nếu và chỉ nếu với bất kỳ ε > 0 những điều kiện sau được thỏa mãn:
Kết quả này được trình bày trong [1, Lemma 2.1.1] Để giúp người đọc dễ hình dung về đặc trưng của các số mũ Lyapunov, chúng tôi sẽ trình bày chứng minh của nó dưới đây.
Chứng minh Bổ đề 1.2.2 Điều kiện cần: Cho χ(f ) = α Tồn tại ε > 0 và T > 0 sao cho
2 đúng với mọi t ≥ T Nói cách khác,
Vì vậy, chúng ta có t→∞ lim
Như vậy điều kiện 1 ở trên được chứng minh.
Xét dãy t k → ∞ khi k → ∞ mà k→∞ lim
Chúng ta tìm được N > 0 sao cho log |f (t k )| > (α − ε/2)t k với mọi k > N Vì vậy, k→∞ lim
≥ lim k→∞ exp((ε/2)t k ) = ∞, điều kiện 2 ở trên được thỏa mãn. Điều kiện đủ: Từ điều kiện 1 ở trên, với t đủ lớn, |f (t)| < exp((ε + ε)t), và bởi vì ε > 0 tùy ý, chúng ta có χ(f) ≤ α.
Cho dãy t k , t k → ∞ khi k → ∞ mà lim sup k→∞
Vì vậy, với k đủ lớn, |f(t k )| > exp((α − ε)t k ), hoặc χ(f ) ≥ lim k→∞
Vì vậy χ(f) ≥ α Điều kiện đủ được chứng minh xong.
Sau đây là những tính chất sâu hơn của các số mũ Lyapunov. Định lý 1.2.3 Cho t 0 ∈R và m hàm f i : [t 0 , ∞) →R, 1 ≤ i ≤ m Khi đó χ(f 1 + ã ã ã + f m ) ≤ max
Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra nếu tồn tại i 0 ∈ {1, , m} sao cho χ(f i 0 ) > χ(f i ) với i 6= i 0
Chứng minh Xem [1, Theorem 2.1.1]. Định lý 1.2.4 Cho t 0 ∈R và m hàm f i : [t 0 ∞) →R, 1 ≤ i ≤ m Khi đó χ(u m k=1 f k (ã)) ≤ X
Để kết thúc mục này, chúng ta giới thiệu định nghĩa số mũ Lyapunov cho hàm nhận giá trị véc-tơ Cho t₀ ∈ R và f: [t₀, R) → R^d, số mũ Lyapunov của f được định nghĩa bởi χ(f) = max.
Bổ đề sau dẫn đến một định nghĩa khác của số mũ Lyapunov cho hàm nhận giá trị véc-tơ.
Phổ Lyapunov của các hệ phương trình vi phân tuyến tính 10
Cho t 0 ∈ R và A : [t 0 , ∞) → R d×d là một hàm liên tục nhận giá trị ma trận Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính d dt x(t) = A(t)x(t), với t ≥ t 0 Theo định lý 1.2.6, nếu sup t≥t 0 kA(t)k ≤ M, thì mọi nghiệm không tầm thường x(t) của hệ này đều có số mũ Lyapunov hữu hạn.
Chứng minh Giả sử x(ã) là một nghiệm khụng tầm thường của hệ (1.6) Chỳng ta có
−2M ≤ dkx(t)k 2 /dt kx(t)k 2 ≤ 2M. Điều này dẫn tới
Chia các đại lượng trên cho t và cho t → ∞, chúng ta được
−M ≤ χ(kx(ã)k) ≤ M. Định lý được hoàn thành.
Mỗi hệ phương trình vi phân tuyến tính d-chiều chỉ có tối đa d số mũ Lyapunov phân biệt Theo Định lý 1.2.7, các nghiệm không tầm thường của hệ tuyến tính d-chiều cũng không vượt quá d số mũ Lyapunov phân biệt.
Phổ Lyapunov của hệ (1.6) được định nghĩa là tập hợp tất cả các số mũ Lyapunov khác nhau của các nghiệm của hệ này.
Phổ Lyapunov đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu sự ổn định tiệm cận của các phương trình vi phân Cụ thể, theo Định lý 1.2.8, nếu phổ Lyapunov của một hệ chỉ chứa các số mũ âm, thì hệ này sẽ ổn định tiệm cận.
Số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm của phương trình vi phân phân thứ tuyến tính
phân phân thứ tuyến tính
Trong phần này chúng ta sẽ thảo luận về số mũ Lyapunov cho các nghiệm không tầm thường của các phương trình vi phân phân thứ tuyến tính.
Cho d ≥ 1và A : [0, ∞) →R d×d là một hàm liên tục nhận giá trị ma trận Xét hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính cấp α ∈ (0, 1)
Hệ phương trình (1.7)–(1.8) có nghiệm duy nhất trên khoảng [0, ∞) Đáng chú ý, theo nghiên cứu trong bài báo [3], mọi nghiệm không tầm thường của bài toán giá trị đầu (1.7)–(1.8) đều không âm.
Bổ đề 1.3.1 [3, Lemma 3.1] Xét hệ (1.7)–(1.8) Giả sử M := sup t∈R ≥0 kA(t)k 0 và T > 0 mà kΦ(t, x 0 )k < Ke λ 2 t với t ≥ T (1.10)
Tuy nhiên chúng ta sẽ chỉ ra lim sup t→∞ kΦ(t, x 0 )k = kx 0 k, một điều mâu thuẫn với (1.9) Thật vậy, từ (1.10) và sup t∈ R ≥0 kA(t)k ≤ M, ta có
Mặt khác, bằng tính toán trực tiếp ta có lim sup t→∞
Kết hợp các nhận xét trên với biểu diễn (1.3) dẫn tớilim sup t→∞ kΦ(t, x 0 )k = kx 0 k.
Ta có điều phải chứng minh.
Lý thuyết số mũ Lyapunov phân thứ
Chương này trình bày nội dung chính của luận văn với ba phần chính Phần 2.1 giới thiệu về số mũ Lyapunov phân thứ, cách tính và các tính chất cơ bản của nó, cùng với phổ Lyapunov phân thứ cho các phương trình phân thứ tuyến tính và mối liên hệ giữa phổ Lyapunov với tính ổn định của hệ thống Tiếp theo, Phần 2.2 thảo luận về cấu trúc phổ Lyapunov phân thứ cho các nghiệm xuất phát từ mặt cầu đơn vị của hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Cuối cùng, trong Phần 2.3, chúng tôi tính số mũ Lyapunov phân thứ cho các nghiệm của một số phương trình vi phân phân thứ tuyến tính hai chiều với hệ số hằng.
Phổ Lyapunov cho phương trình vi phân phân thứ
Số mũ Lyapunov phân thứ của một hàm
Số mũ Lyapunov cổ điển của các nghiệm không tầm thường trong hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính luôn không âm, dẫn đến nhu cầu xây dựng khái niệm số mũ mới cho các hệ phân thứ Khi định nghĩa số mũ Lyapunov cổ điển, hàm log được sử dụng để xác định tốc độ tăng trưởng hay suy giảm so với hàm mũ Trong khi đó, hàm Mittag-Leffler một tham số tương tự như hàm mũ trong phương trình vi phân thường, gợi ý cho việc sử dụng hàm ngược của hàm Mittag-Leffler thực một tham số để mở rộng khái niệm số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm của phương trình phân thứ.
Hàm Mittag-Leffler một tham số, ký hiệu là E α : R → R≥0, là một hàm đơn điệu với hàm ngược là log M α : R >0 → R, cũng là một hàm liên tục và đơn điệu tăng Để mở rộng khái niệm, chúng ta định nghĩa số mũ Lyapunov phân thứ của một hàm bất kỳ f : R ≥0 → R d, được biểu diễn bởi χ α (f ) = lim sup t→∞.
Sau đây chúng ta tính giới hạn tại vô cực của hai đại lượng cơ bản liên quan tới các hàm log M α
(ii) Nếu λ < 0 thì lim sup t→∞
Chứng minh (i) Theo Bổ đề 1.1.10, với mọi ε 1 > 0 nhỏ tùy ý (chúng ta có thể giả sử 0 < ε 1 < λ 4 ), có T 1 (ε 1 ) > 0 sao cho exp(λ α 1 t) ≤ E α ((λ + ε 1 )t α ), ∀t ≥ T 1 (ε 1 ).
Từ đây cùng với tính đơn điệu tăng của hàm log M α suy ra log M α exp(λ α 1 t)
≤ (λ + ε 1 )t α với mọi t ≥ T 1 (ε 1 ) Vì vậy, lim sup t→∞
Cho ε 1 → 0 trong bất đẳng thức trên dẫn đến lim sup t→∞
Mặt khác, cũng theo Bổ đề 1.1.10, có T 2 (ε 1 ) sao cho exp(λ α 1 t) ≥ αE α ((λ − ε 1 )t α )
Lập luận tương tự như ở trên dẫn tới lim sup t→∞
Kết hợp (2.2) và (2.3) chúng ta thu được lim sup t→∞
(ii) Theo Bổ đề 1.1.10, với mọi ε 2 > 0 tùy ý, có T 3 (ε 2 ) > 0 sao cho
≥ λ − ε 2 Cho ε 2 → 0 trong bất đẳng thức trên dẫn tới lim sup t→∞
Mặt khác, có T 4 (ε 2 ) > 0 sao cho
Bằng lập luận tương tự như ở trên lim sup t→∞
Kết hợp các định nghĩa trong (2.4) và (2.5) sẽ dẫn đến kết quả cần chứng minh Để thuận lợi cho việc tính toán số mũ Lyapunov phân thứ, chúng ta thiết lập các mối quan hệ giữa số mũ Lyapunov cổ điển và số mũ Lyapunov phân thứ Theo Định lý 2.1.2, cho hàm f : R≥0 → R d bất kỳ.
(i) χ α (f) > 0 khi và chỉ khi χ(f) > 0 Hơn nữa, χ α (f ) = χ(f ) α = lim sup t→∞
(ii) χ α (f) < 0 khi và chỉ khi lim sup t→∞ t α kf(t)k < ∞ Trong trường hợp này, χ α (f) = − 1 Γ(1 − α) lim sup t→∞ t α kf (t)k (2.7) (iii) χ α (f) = 0 khi và chỉ khi χ(f ) ≤ 0 và lim sup t→∞ t α kf(t)k = ∞.
Chứng minh (i) Giả sửλ := χ α (f) > 0 Chúng ta sẽ chỉ ra χ(f ) > 0 và đẳng thức (2.6) đúng Quả vậy, cho ε ∈ (0, λ) tùy ý Theo Bổ đề 2.1.1(i), λ = lim sup t→∞
Cùng với định nghĩa của χ α (f) dẫn đến lim sup t→∞
1 t α log M α (kf(t)k) và lim sup t→∞
Từ những khẳng định trên và tính đơn điệu tăng của hàm Mittag-Leffler ngược log M α , có T 1 > 0 để e (λ+ε) α 1 t ≥ kf (t)k ≥ e (λ−ε) α 1 t , ∀t ≥ T 1
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu χ(f) > 0 thì χ α (f) > 0 Quả vậy, đặt γ := χ(f ) > 0 Từ định nghĩa của χ(f), có T 2 > 0 mà
||f (t)|| ≥ e γ 2 t , ∀t > T 2 Điều này cùng với Bổ đề 2.1.1(i) cho χ α (f) = lim sup t→∞
(ii) Trước hết chúng ta chứng minh rằng nếuχ α (f ) < 0thì lim sup t→∞ t α ||f(t)|| 0 mà
−(λ − ε)Γ(1 − α) Cho ε → 0, chúng ta thu được lim sup t→∞ t α kf (t)k = 1
−λΓ(1 − α) Để hoàn thành chứng minh của (ii), chúng ta sẽ chỉ ra rằng nếu γ := lim sup t→∞ t α ||f (t)|| < ∞ thì χ α (f ) < 0 Xét trường hợp lim sup t→∞ t α ||f (t)|| = 0 Với bất kì ε > 0, tồn tại
Giả sử phản chứng rằng tồn tại một hằng số L > 0 sao cho λ = χ α (f ) > −L (2.9)
Từ đây chúng ta tìm được một dãy số thực dương tăng dần về vô cực {t n } ∞ n=1 để cho n→∞ lim
Gọi N 1 > 0 là một số nguyên dương thỏa mãn
Từ tính đơn điệu tăng của hàm Mittag-Leffler ngược chúng ta có kf(t n )k ≥ E α (−Lt α n ), ∀n ≥ N 1 Điều này cùng với Bổ đề 1.1.10 dẫn đến kf (t n )k ≥ 1
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một giả thiết phản chứng liên quan đến biểu thức 2LΓ(1 − α)t α n, với điều kiện ∀n ≥ N 2, trong đó N 2 > N 1 là một số nguyên dương đủ lớn Sự mâu thuẫn với (2.8) cho thấy giả thiết (2.9) là sai, dẫn đến kết luận rằng χ α (f ) = −∞ Tiếp theo, chúng ta phân tích trường hợp 0 < γ := lim sup t→∞ t α ||f (t)|| < ∞ Theo định nghĩa của khái niệm cận trên đúng, chúng ta có thể xác định được một giá trị T 5 > 0 thỏa mãn yêu cầu.
Như vậy trong cả hai trường hợp chúng ta đều có χ α (f) < 0.
(iii) Suy ra trực tiếp từ (i) và (ii).
Các số mũ Lyapunov phân thứ có một số tính chất đơn giản đáng chú ý Những tính chất này được chứng minh dựa trên định nghĩa và Định lý 2.1.2.
Bổ đề 2.1.3 Những phát biểu sau đây đúng.
(i) Cho hàm f :R≥0 →R d và hằng số c ∈R \ {0} tùy ý, chúng ta có χ α (c f ) =
(ii) Cho f, g : R≥0 → R d là các hàm tùy ý và χ α (f) ≥ 0 Khi đó, χ α (f + g) ≤ max{χ α (f ), χ α (g)}, dấu đẳng thức xảy ra khi χ α (f) 6= χ α (g).
(iii) Cho f, g : R≥0 → R d là các hàm tùy ý thỏa mãn χ α (f ), χ α (g) < 0 Khi đó, χ α (f + g) < 0.
(iv) Cho f, g :R≥0 →R≥0 là các hàm liên tục bất kì Khi đó, χ α (max{f, g}) = max{χ α (f), χ α (g)}, ở đây max{f, g} :R ≥0 → R ≥0 được định nghĩa bởi max{f, g}(t) = max{f(t), g(t)}, ∀t ∈R≥0
Số mũ Lyapunov cho nghiệm của phương trình vi phân phân thứ tuyến tính
Trong mục này, chúng ta xét phương trình vi phân phân thứ Caputo cấp α ∈ (0, 1):
C D 0+ α x(t) = A(t)x(t), (2.10) trong đó t ∈R≥0 và A :R≥0 →R d×d là một hàm liên tục và bị chặn, tức là tồn tại một hằng số M > 0 sao cho
Sử dụng Bổ đề 2.1.3(i) và tớnh tuyến tớnh củaϕ(t, ã), với mọix 0 ∈R d \ {0} , chỳng ta có χ α (ϕ(ã, x 0 )) =
Vì vậy, để ước lượng số mũ Lyapunov phân thứ của các nghiệm của (2.10), chúng ta chỉ cần đỏnh giỏ χ α (ϕ(ã, x 0 )) với x 0 ∈R d mà kx 0 k = 1.
Bổ đề 2.1.4 (Về tính bị chặn của số mũ Lyapunov phân thứ) Kí hiệu S d−1 là mặt cầu đơn vị trong R d , tức là S d−1 := {x ∈ R d : kxk = 1} Khi đó, χ α (ϕ(ã, x 0 )) ∈ [−M, M ], ∀x 0 ∈S d−1
Chứng minh Chox 0 ∈S d−1 bất kỳ Đầu tiờn chỳng ta chứng minh rằngχ α (ϕ(ã, x 0 )) ≤
M Từ công thức biểu diễn tích phân của nghiệm và Bổ đề Gronwall suy rộng 1.1.11: kϕ(t, x 0 )k ≤ E α (M t α )kx 0 k, ∀t ≥ 0.
Như vậy, chỳng ta chỉ cũn phải chứng minhχ α (ϕ(ã, x 0 )) ≥ −M Sử dụng lập luận phản chứng, cho χ α (ϕ(ã, x 0 )) ≤ −M − 2ε với ε > 0 nào đú Theo định nghĩa của χ α , có T > 0 mà kϕ(t, x 0 )k ≤ E α (−(M + ε)t α ), ∀t ≥ T (2.13)
Do tính liên tục của hàm [0, T ] →R , t 7→ kϕ(t, x 0 )k, dẫn đến
K := max t∈[0,T ] kϕ(t, x 0 )k < ∞ (2.14) Hơn nữa, do biểu diễn tích phân của nghiệm và giả thiết kx 0 k = 1, nên kϕ(t, x 0 )k + 1 Γ(α)
Bất đẳng thức này cùng với (2.13), (2.14) và giả thiết kA(t)k ≤ M, dẫn tới lim sup t→∞
M E α (−(M + ε)τ α ) (t − τ ) 1−α dτ ≥ 1 (2.15) Ngoài ra, do E α (−(M + ε)t α ) là nghiệm của C D α 0+ x(t) = −(M + ε)x(t), nên
Từ đây suy ra, lim sup t→∞
M + ε , mâu thuẫn với (2.15) Vậy, giả thiết phản chứng là sai Chứng minh được hoàn thành.
Phổ Lyapunov phân thứ của phương trình (2.10) được định nghĩa là tập Σ α := n χ α (ϕ(ã, x 0 )) : x 0 ∈R d \ {0} o Định lý 2.1.5 khẳng định rằng đối với hệ (2.10) với giả thiết kA(t)k ≤ M cho mọi t ≥ 0, các phát biểu sau đây là đúng.
(ii) Tập Σ α ∩ R≥0 chứa nhiều nhất d phần tử phân biệt và chúng được kí hiệu là λ j < λ j−1 < ã ã ã < λ 1, ở đõy 0 ≤ j ≤ d;
E i := {x 0 ∈R d : χ α (ϕ(ã, x 0 )) ≤ λ i }, i = 1, , j, là các không gian con tuyến tính trong R d , thỏa mãn quan hệ bao hàm thức
S =: E j+1( E j ( E j−1 ( ã ã ã ( E 1 Thờm vào đú, với mọi i = 1, , j, χ α (ϕ(ã, x 0 )) = λ i khi và chỉ khi x 0 ∈ E i \ E i+1 (2.17) Chứng minh (i) Cho x 0 ∈R d \ {0} tùy ý Theo (2.12), thì χ α (ϕ(ã, x 0 )) =
Tớnh chất này cựng với Bổ đề 2.1.4 chỉ ra rằng −∞ < χ α (ϕ(ã, x 0 )) ≤ M.
(ii) Cho x,e x ∈ R d \ {0} thỏa món χ α (ϕ(ã, x)), χ α (ϕ(ã,e x)) ≥ 0 Từ Bổ đề 2.1.3(i) và
Theo Bổ đề 2.1.3(ii), ta có χ α (ϕ(ã, x + e x)) ≤ max { χ α (ϕ(ã, x)), χ α (ϕ(ã, e x)) } (2.18) và χ α (ϕ(ã, x)) = χ α (ϕ(ã, c x)) (2.19) với mọi c ∈ R \ {0} Giả sử phản chứng rằng tập Σ α ∩ R≥0 có d + 1 phần tử phân biệt, được đánh số là λ d+1 < ã ã ã < λ 1 Gọi x 1, , x d+1 ∈ R d \ {0} là các điều kiện đầu thỏa mãn χ α (ϕ(ã, x i )) = λ i, với i = 1, , d + 1 (2.20).
Vì các vectơ này phụ thuộc tuyến tính, có d + 1 số thực không đồng nhất bằng0 làα 1 , , α d+1 thỏa mãn Pd+1 i α i x i = 0 Đặt k := min i ∈ {1, , d + 1} : α i 6= 0
Chúng ta có biểu diễn x k = −Pd+1 i=k+1 α i α k x i Tính tuyến tính của ánh xạ nghiệm ϕ(t, ã) dẫn đến ϕ(t, x k ) = − d+1
Khẳng định này cùng với (2.18) và (2.19) đưa đến ước lượng sau χ α (ϕ(ã, x k )) ≤ maxn χ α (− α j α k ϕ(t, x j )) : j ∈ {k + 1, , d + 1} với α j 6= 0o
Theo (2.20), thì λ k ≤ max{λ j : j = k + 1, , d + 1}, vô lý Vậy, giả thiết phản chứng là sai.
Khẳng định R 0 cho trước nhỏ tùy ý, thì kϕ(t n , δx 0 kx 0 k )k ≥ δ kx 0 k E α (εt α n ) với n đủ lớn. Điều này chỉ ralim sup t→∞ kϕ(t, kx δx 0
0 k )k = ∞, mâu thuẫn với giả thiết mọi nghiệm của phương trình đều bị chặn.
(ii) Giả sửΣ α ⊂ (−∞, 0) Kớ hiệuk ã k 2 là chuẩn Euclide trờn R d Bởi vỡ cỏc chuẩn trên R d là tương đương, có L > 1 để
Đối với mọi x ∈ R^d, ta có bất đẳng thức L kxk^2 ≤ kxk ≤ L kxk Cho (e_i)_{i=1, ,d} là một cơ sở chuẩn tắc của R^d và δ > 0 Khi chọn x_0 ∈ R^d sao cho kx_0k < δ, ta nhận thấy rằng kx_0k^2 ≤ Lδ Hơn nữa, x_0 có biểu diễn duy nhất trong cơ sở (e_i)_{i=1, ,d} dưới dạng x_0 = d.
X i=1 γ i e i , ở đây các hệ số γ i phải thỏa mãn kx 0 k 2 2 = d
Vỡ χ α (ϕ(ã, e i )) < 0 với i = 1, , d, nờn lim t→∞ ϕ(t, e i ) = 0 với i = 1, , d Kết hợp điều này với (2.21) dẫn tới lim t→∞ ϕ(t, x 0 ) = 0 Định lí được chứng minh xong.
Cấu trúc phổ Lyapunov phân thứ của các nghiệm xuất phát từ mặt cầu đơn vị trong không gian Euclide R d
phát từ mặt cầu đơn vị trong không gian Euclide R d
Phần này thảo luận về cấu trúc phổ Lyapunov phân thứ của (2.10) giới hạn trên mặt cầu đơn vị trong không gian pha R^d Kí hiệu Λ α được định nghĩa là n χ α (ϕ(ã, x 0 )) với x 0 thuộc R^d và kx 0 k = 1.
Định lý 2.2.1 cung cấp thông tin chi tiết hơn về phổ Lyapunov phân thứ của phương trình (2.10) so với kết quả trước đó Tập hợp các số mũ Lyapunov phân thứ của các nghiệm xuất phát từ mặt cầu đơn vị S d−1 của phương trình này được mô tả bởi Λ α =.
Để chứng minh Định lý 2.2.1, ta cần xem xét các trường hợp khác nhau: nếu S không rỗng, ta có [a, b] ∪ {λ 1 , , λ j }; ngược lại, nếu S rỗng, ta chỉ có {λ 1 , , λ j } Các ký hiệu S, λ 1 , , λ j được định nghĩa trong Định lý 2.1.5, trong khi a và b là các tham số được nêu trong Mệnh đề 2.2.2.
Mệnh đề 2.2.2 Cho S là không gian con được định nghĩa như trong (2.16):
Giả sử rằng S 6= ∅ Đặt a = inf{χ α (ϕ(ã, x)) : x ∈ S ∩S d−1 }, b = sup{χ α (ϕ(ã, x)) : x ∈ S ∩S d−1 } Khi đó,
(ii) Ánh xạ λ α : S ∩S d−1 → R, định nghĩa bởi λ α (x) := χ α (ϕ(ã, x)), ∀x ∈ S ∩S d−1 , liên tục Lipschitz;
Chứng minh (i) Cho u 1 , , u ` là một cơ sở trực chuẩn của S Định nghĩa g :
Chúng ta sẽ chứng minh rằnggliên tục Thật vậy, với bất kì(γ 1 , , γ ` ), (b γ 1 , , b γ ` ) ∈
Theo Định lí 2.1.2, ta có
Thay vai trò (γ 1 , , γ ` ) và (b γ 1 , , b γ ` ) trong bất đẳng thức ở trên dẫn tới
1 , ,γ ` ) liên tục và hàm g(γ 1 , , γ ` )cũng liên tục Do tất cả các chuẩn trên R d đều tương đương, tồn tại m > 0 sao cho
Vì vậy, sup χ α (ϕ(ã, x)) : x ∈ S ∩S d−1 ≤ sup χ α (ϕ(ã, x)) : x ∈ S, kxk 2 ≤ m
Do {(γ 1 , , γ ` ) ∈ R ` : P` i=1 γ i 2 ≤ m} là compact trong R ` và hàm g liên tục trên đó, nên sup n g(γ 1 , , γ ` ) :
Kết hợp khẳng định này với (2.22) dẫn đến b := sup{χ α (ϕ(ã, x)) : x ∈ S ∩S d−1 } < 0
Chứng minh của (ii) hoàn thành.
(ii) Cho x, y ∈ S ∩S d−1 và x 6= y Chúng ta có
Vì vậy, lim sup t→∞ t α ||ϕ(t, x)|| + ||x − y|| lim sup t→∞ t α ||ϕ(t, kx−yk x−y )|| ≥ lim sup t→∞ t α ||ϕ(t, y)|| , kết hợp với Định lí 2.1.2(ii), dẫn tới
|b| ≤ 1 χ α (ϕ(ã, y)) Thay đổi vai trò của x và y trong bất đẳng thức trên, chúng ta có
Kết hợp điều trờn với χ α (ϕ(ã, x)), χ α (ϕ(ã, y)) ∈ [−M, b], cho ta
(iii) Từ tính liên tục Lipschitz của ánh xạ λ α và định nghĩa của a và b, có x, y ∈ S ∩S d−1 thỏa mãn λ α (x) = a, λ α (y) = b.
Như vậy, ta còn phải chỉ ra rằng(a, b) ⊂ λ α (S ∩S d−1 ) Choh : [0, 1] →Rxác định bởi h(u) := λ α ux + (1 − u)y kux + (1 − u)yk
Dễ thấy h liên tục Hơn nữa, h(0) = b, h(1) = a Theo Định lí giá trị trung bình:
Chứng minh Định lý 2.2.1 Chúng ta chỉ cần xét trường hợp S 6= ∅ Theo Mệnh đề 2.2.2(iii), Λ α ∩R0 , ψ ∈ [−π, π) và (x 1 , x 2 ) T ∈R 2 \ {0} , chúng ta có χ α ( 0, λ = 0 và λ < 0.
Trường hợp 1: λ > 0 Từ Bổ đề 1.1.10, khi t → ∞, chúng ta có
Trường hợp 2: λ = 0 Chú ý rằng E α 0 (0) = Γ(1+α) 1 Vì vậy,
Khẳng định này cùng với Định lí 2.1.2 suy ra χ α (E α (λt α )x 1 + t α E α 0 (λt α )x 2 ) = 0. Trường hợp 3: λ < 0 Sử dụng Bổ đề 1.1.10, chúng ta có
1 Γ(1 − α)t α + O( 1 t 2α ). Điều này cùng với Định lí 2.1.2 dẫn đến χ α E α (λt α )x 1 + t α E α 0 (λt α )x 2
|x 2 − λx 1 | Chứng minh của (ii) hoàn thành.
(iii) Xét ba trường hợp: |ψ| < απ 2 , |ψ| = απ 2 và ψ > απ 2
Trường hợp 1: |ψ| < απ 2 Theo Bổ đề 1.1.10, chúng ta có
= 1 α exp(r 1/α t cos(ψ/α)) cos(r 1/α t sin ψ α ) + i sin(r 1/α t sin ψ α )
+ O( 1 t α ), khi t → ∞ Do đó, x 1