Về bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân và một số bài toán liên quan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC——————–o0o——————– LA TRẦN THÙY TRANG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Phương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

LA TRẦN THÙY TRANG

VỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, 01/2021

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

LA TRẦN THÙY TRANG

VỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mục lục

Danh sách kí hiệu viết tắt ii

Chương 1 Về bất đẳng thức trung bình cộng–trung bình nhân và một số bài toán liên quan 3

1.1 Bất đẳng thức trung bình cộng–trung bình nhân 3

1.2 Một số ví dụ vận dụng bất đẳng thức AM-GM 6

1.2.1 Một số vận dụng cơ bản 6

1.2.2 Kỹ thuật Cauchy ngược dấu 16

Chương 2 Một số kết quả về bất đẳng thức trung bình cộng–trung bình nhân 22 2.1 Làm chặt bất đẳng thức AM-GM và một số vận dụng 22

2.1.1 Một số ví dụ về làm chặt bất đẳng thức AM-GM 22

2.1.2 Làm chặt bất đẳng thức AM-GM 30

2.2 Bất đẳng thức trung bình với trọng số hỗn hợp 34

Danh sách kí hiệu viết tắt

AM-GM Arithmetic mean - Geometric mean

APMO Asian Pacific Mathematiccal Olympiad

IMO Internetional Mathematiccal Olympiad

log x Logarit cơ số thập phân của x

ψ(x1, , xn) Hàm số n biến ψ theo biến x1 đến xn

max(P ) Giá trị lớn nhất của P

min(P ) Giá trị nhỏ nhất của P

Mở đầu

Bất đẳng thức là một đề tài thú vị, có ý nghĩa quan trọng trong Toán học.Ngày nay việc tìm lời giải đúng của các bài toán trong các lĩnh vực như: kỹthuật, kinh tế, trở thành phổ biến do có sự hỗ trợ mạnh mẽ của máy tính.Việc làm đó đòi hỏi ta ước lượng đánh giá để thu được lời giải gần đúng cầnthiết Trong trường phổ thông các bài toán bất đẳng thức (hay bài toán so sánh)luôn được khai thác để đưa vào rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh Đặcbiệt trong các kì thi học sinh giỏi các cấp thì chủ đề bất đẳng thức hầu như luônxuất hiện trong các đề thi

Trong toán học trung học phổ thông, bất đẳng thức được đưa vào chươngtrình dạy học của Đại số 10 Trong đó có giới thiệu và giảng dạy một số định

lý, hệ quả, bài toán ứng dụng liên quan đến bất đẳng thức giữa trung bình cộng

và trung bình nhân cho hai số dương a, b: a + b

2 >√ab.Chuyên đề của bất đẳng thức khá rộng liên quan đến nhiều khía cạnh toánhọc Với phạm vi luận văn thạc sĩ Toán học chuyên ngành Phương pháp toán sơcấp, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bất đẳng thức trung bình cộng–trungbình nhân ( hay còn gọi là bất đẳng thức AM - GM ), tôi tìm hiểu về dạng bấtđẳng thức AM - GM, tìm mối liên hệ với các lớp bất đẳng thức sơ cấp và một

số dạng toán vận dụng trong chương trình phổ thông và ứng dụng của bất đẳngthức này trong việc giải các bài toán đại số sơ cấp, tôi đã lựa chọn đề tài “Về bấtđẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân và một số bài toán liên quan”dưới sự hướng dẫn của TS Trần Xuân Quý và TS Đỗ Thị Phương Quỳnh.Nội dung của đề tài luận văn dự kiến viết trong hai chương

Chương 1 trình bày về bất đẳng thức trung bình cộng–trung bình nhân vàmột số ví dụ vận dụng cơ bản và kỹ thuật Cauchy ngược dấu Nội dung chươngnày được tham khảo từ các tài liệu [1]-[3].

Chương 2 trình bày về làm chặt bất đẳng thức AM-GM và bất đẳng thứctrung bình với trọng số hỗn hợp Nội dung chương này được tham khảo từ cáctài liệu [1] và [4]-[11]

Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, ngoài sự nỗ lực học hỏicủa bản thân, em luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của TS.Trần Xuân Quý và TS Đỗ Thị Phương Quỳnh Em xin chân thành bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của em đối với những điềuthầy đã dành cho em

Em xin chân thành cảm ơn Khoa Toán - Tin, quý thầy cô giảng dạy lớp Caohọc K13 (2018 - 2020), Trường đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tậntình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho em hoànthành khóa học

Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu Trường THPT Na Rì, Na Rì, Bắc Kạn đã tạođiều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp,những người đã động viên, hỗ trợ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trìnhhọc tập và thực hiện luận văn

Xin trân trọng cảm ơn

Thái Nguyên, tháng 01 năm 2021

Tác giả luận văn

La Trần Thùy Trang

Chương 1

Về bất đẳng thức trung bình

cộng–trung bình nhân và một số

bài toán liên quan

Nội dung chính của chương này sẽ trình bày một số bất đẳng thức trung bìnhcộng–trung bình nhân Thông qua đó xây dựng một hệ thống bài tập điển hình

để phục vụ cho công tác giảng dạy bất đẳng thức ở trung học phổ thông Nộidung của chương này sẽ tham khảo chính trong các tài liệu về mảng bất đẳngthức liên quan tới đề tài của luận văn, cụ thể các tài liệu [1, 2, 3]

1.1 Bất đẳng thức trung bình cộng–trung bình nhân

Tên đề tài luận văn là “Về bất đẳng thức trung bình cộng–trung bình nhân

và một số bài toán liên quan”, tuy nhiên để ngắn gọn, bất đẳng thức này thườngđược gọi ngắn gọn là bất đẳng thức AM-GM khi vận dụng để giải toán Do đó,

để thống nhất trong toàn luận văn, ta gọi bất đẳng thức AM-GM thay vì gọi là

“bất đẳng thức trung bình cộng–trung bình nhân”

Định lý 1.1.1 (Bất đẳng thức AM-GM) Với mọi số thực dương x1, x2, , xn,

ta luôn có bất đẳng thức

x1+ x2+ · · · + xn

n > √ n

x1x2· · · xn. (1.1)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1 = x 2 = · · · = x n

Chứng minh Chứng minh bằng phương pháp qui nạp của Cauchy Ta thấy bấtđẳng thức hiển nhiên đúng vớin = 2. Nếu bất đẳng thức đúng với n số thì cũngđúng với 2n số vì

Bất đẳng thức (1.3) có thể mở rộng dạng sau

Định lý 1.1.3 Giả sử cho trước hai cặp dãy số dươngx 1 , x 2 , , x n vàp 1 , p 2 , , p n.Khi đó

là bất đẳng thức H¨older

Định lý 1.1.4 (Bất đẳng thức H¨older) Cho hai bộ sốa1, a2, , an vàb1, b2, , bn

là hai bộ số n số thực dương và p > 1, thỏa mãn 1

p+

1

q = 1 Khi đó ta có bất đẳngthức sau

Kết quả tiếp theo là bất đẳng thức H¨older ở dạng giải tích, chúng tôi chỉtrình bày kết quả mà không chứng minh.

Định lý 1.1.5 (Bất đẳng thức H¨older dạng giải tích) Giả sử p, q > 1 thỏa mãn

|f (x)g(x)|dx6

 Z b a



>3 · 3

√ abc · √3 3

Ví dụ 1.2.2 (Bất đẳng thức Nesbitt) Cho ba số thực dươnga, b, cbất kì, chứngminh rằng

> 4(a + c)

a + b + c + d +

4(b + d)

a + b + c + d = 4.

Vậy M + N + 2S >8 suy ra S >2. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = d.

Ví dụ 1.2.4 Giả sửa1, a2, , an là các số thực dương sao choa1+a2+· · ·+an = n.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k ta có bất đẳng thức

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1= a2 = · · · = an = 1.

Nhận xét 1.2.5 Từ các chứng minh trên ta suy ra

ak1 + ak2+ · · · + akn

n >a1+ a2+ · · · + an

n

k ,

với mọi số nguyên k Ngoài ra cả hai bất đẳng thức này đều đúng khi k > 1 làmột số thực Nếu xét k < 1 ta có bất đẳng thức

với mọi số thực dương m> 1.

Ví dụ 1.2.6 (IMO Shortlist 1998) Với a, b, c là các số thực dương có tích bằng

1, chứng minh bất đẳng thức sau

a3(1 + b)(1 + c)+

b3(1 + c)(1 + a) +

c3(1 + a)(1 + b) > 3

4.

Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số ta có

a3(1 + b)(1 + c) +

8 +

1 + a

8 +

c3(1 + a)(1 + b) +

b3(1 + c)(1 + a) +

c3(1 + a)(1 + b) > a + b + c

Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho bốn số

1 b(b + c)+

1 c(c + a) > 27

2(a + b + c) 2

Lời giải Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức AM-GM cho vế trái ta có

1 a(a + b) +

1 b(b + c)+

1 c(c + a) > p3 3

Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Ví dụ 1.2.9 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a2+ b2+ c2 = 3 Chứng minh bấtđẳng thức sau

|a| + |b| + |c| − abc64.

Lời giải Ta áp dụng trực tiếp bất đẳng thức AM-GM như sau

a2b2c26a

2 + b2+ c23

3

= 1.

Suy ra −abd 6 1, (|a| + |b| + |c|)2 6 3(a2+ b2+ c2) = 9 suy ra |a| + |b| + |c| 6 3.

Cộng các vế của bất đẳng thức trên ta được điều kiện cần phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi trong ba số a, b, c có hai số bằng 1 và một sốbằng −1.

Ví dụ 1.2.10 (Iran MO 1998) Cho các số a, b, c, d thỏa mãn abcd = 1. Chứngminh rằng

a3+ b3+ c3> 3abc,

b3+ c3+ d3>3bcd,

c3+ d3+ a3 >3cda,

d3+ a3+ b3 >3dab.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1.

Ví dụ 1.2.11 (USA MO 1998) Chứng minh với mọi số thực dương a, b, c ta có

Xây dựng thêm hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có điều phải chứngminh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Ví dụ 1.2.12 (France Pre - MO 2005) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điềukiện a2+ b2+ c2 = 3 Hãy chứng minh

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Nhận xét 1.2.13 Từ bất đẳng thức a3+ b3 > ab(a + b), với hai số dương a, b

và hai số nguyên dương m, n ta dễ dàng chứng minh được

Ví dụ 1.2.14 (IMO Shortlist 1996) Cho các số dương a, b, c có tích bằng 1.Chứng minh bất đẳng thức

Ta có n − 1 bất đẳng thức tương tự với mỗi số a1, a2, , an−1, sau đó nhân các

vế tương ứng củan bất đẳng thức trên suy ra điều phải chứng minh Đẳng thứcxảy ra khi và chỉ khi a1 = a2= · · · = an = n − 1

Ví dụ 1.2.16 (APMO 1998) Chứng minh với mọi a, b, c dương ta có



1 + ab



+



1 + bc



+



1 + ca



>2 + 2(a + b + c)√3

abc .

Lời giải Dễ dàng nhận thấy bất đẳng thức trên là hệ quả từ bất đẳng thứcsau



> √33aabc +

3b

3

√ abc +

3c

3

√ abc.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Ví dụ 1.2.17 (Canada MO 2002) Với mọi a, b, c dương, hãy chứng minh

Cộng theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Ví dụ 1.2.18 (Macedonia MO 2000) Chứng minh với mọi a, b, c dương

Ví dụ 1.2.19 Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d dương ta luôn có

16(abc + bcd + cda + dab) 6(a + b + c + d)3.

Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số

16(abc + bcd + cda + dab) = 16ab(c + d) + 16cd(a + b)

64(a + b)2(c + d) + 4(c + d)2(a + b)

= 4(a + b + c + d)(a + b)(c + d)

6(a + b + c + d)3.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d.

Ví dụ 1.2.20 Chứng minh rằng với các số dương a, b, c có tổng bằng 3 thì

1.2.2 Kỹ thuật Cauchy ngược dấu

Bây giờ chúng ta sẽ xem xét bất đẳng thức AM-GM và một kỹ thuật đặcbiệt, được gọi là kỹ thuật Cauchy ngược dấu Đây là một trong những kỹ thuậthay, khéo léo, mới mẻ và ấn tượng nhất của bất đẳng thức AM-GM Các kếtquả trình bày dưới đây được tham khảo trong tài liệu [1] của tác giả Phạm KimHùng Ta xét các ví dụ cụ thể sau

Ví dụ 1.2.21 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3 Chứngminh bất đẳng thức

c 2a > 3

2 .

Ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số 1 + b2>2b ở dưới mẫu nhưng lạiđược một đẳng thức thuận chiều? Sự may mắn ở đây là một cách dùng ngượcdấu AM-GM, một kỹ thuật rất ấn tượng và bất ngờ Nếu không sử dụng phươngpháp này thì chứng minh bất đẳng thức trên rất khó và dài Từ bất đẳng thứctrên, xây dựng hai bất đẳng thức tương tự với b, c rồi cộng ba bất đẳng thức lạisuy ra

Vì ta có ab + bc + ca63 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Ví dụ 1.2.22 Chứng minh rằng với a, b, c, d là các số thực dương và có tổngbằng 4 ta có bất đẳng thức

Lời giải Tương tự Ví dụ 1.2.21 ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d

Ví dụ 1.2.23 Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, d thỏa mãn điều kiện

c = a −

ab √ c

2 .

Ta lại có

a − ab

√ c

2 = a −

b √ aac

1 + d 2 a >c − 1

4(cd + cda),d

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1.

Ví dụ 1.2.24 Chứng minh với một số thực dương a, b, c, d ta luôn có

Nghĩa là phải chứng minh

Cộng theo vế của ba bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 1.2.27 Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương có tổng bằng 3 thì

Lời giải Sử dụng biến đổi và áp dụng bất đẳng thức AM-GM

= 3 + a + b + c − ab − bc − ca

2 >3.

Đẳng thức chỉ xảy ra khi và chỉ hi a = b = c = 1.

Tương tự, ta có các ví dụ sau cho trường hợp 4 biến

Ví dụ 1.2.28 Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d dương có tổng bằng 4 thì

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = d = 1.

Lời giải Tương tự Ví dụ 1.2.27, ta thu được

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = d = 1.

Lời giải Dễ thấy

1

1 + a 2 = d + 1

1 + a 2 − d

1 + a 2 , 1

1 + b 2 = a + 1

1 + b 2 − a

1 + b 2 ,

1 + c 2 = b + 1

1 + c 2 − b

1 + c 2 , 1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d

Nhận xét 1.2.30 Kĩ thuật Cauchy ngược dấu được sử dụng rất hiệu quả đốivới các nhóm bất đẳng thức mà khi sử dụng AM - GM trực tiếp cho mẫu số thìbất đẳng thức sau đó sẽ đổi chiều

Kĩ thuật này thật sự hiểu quả với các bài toán bất đẳng thức hoán vị

Chương 2

Một số kết quả về bất đẳng thức

trung bình cộng–trung bình nhân

Trong chương này, để đơn giản ta đặt

p1 = p2 = · · · = pn = 1/n, thì bất đẳng thức sau được gọi là Bất đẳng thứcRado

cho bất đẳng thức AM-GM dạng đơn giản (tức là dạng có 2 hoặc 3 số) Các bàitoán trình bày minh họa dưới đây được tham khảo từ tài liệu [2] của PGS TS.Nguyễn Vũ Lương và cộng sự Xuất phát từ ý tưởng rất đơn giản “Nếu A > B

thì bất đẳng thức

(1 − α)(A − B)>0 (06α 61)

mạnh hơn tùy thuộc vào độ gần 1 của α Chúng ta xây dựng một số bất đẳngthức mạnh hơn nhờ việc đưa tham số vào bất đẳng thức và các trường hợp đặcbiệt của nó.”

Bài toán 2.1.1 Với 06α, β, γ 61, chứng minh các bất đẳng thức sau

a2+ b2 >2ab + α(a − b)2, (2.2)

a2+ b2+ c2 >ab + bc + ca + α

2(a − b)

2 +β

2(b − c)

2 + γ

2(c − a)

2 (2.3)Lời giải Ta có (2.2) ⇔ (1 − α)(a − b)2 >0.

c + a và sử dụng kết quả của Bài toán 2.1.1 thì

ta thu được bài toán sau:

Ví dụ 2.1.3 Với 1>a, b, c > 0, a, b, c > 0, chứng minh rằng

a2+ b2+ c2 >ab + bc + ca + a(a − b)

2 2(a + b) +

b(b − c)22(b + c) +

c(c − a)22(c + a).

Với a, b, c > 0, a + b + c = 1 ta suy ra 0 < a, b, c < 1, sử dụng kết quả của Bài toán2.1.1 với α = a, β = b, γ = c, ta thu được

⇔ 1 = (a + b + c)2 >3(ab + bc + ca) +a(a − b)

2

2 +

b(b − c)22 +c(c − a)

2 2

⇔ 2>6(ab + bc + ca) + a(a − b)2+ b(b − c)2+ c(c − a)2.

Vậy ta có bài toán sau:

Ví dụ 2.1.4 Với a, b, c > 0; a + b + c = 1, chứng minh rằng

6(ab + bc + ca) + a(a − b)2+ b(b − c)2+ c(c − a)2 62.

Từ điều kiện suy ra0 < a, b, c < 1và sử dụng Bài toán 2.1.1 vớiα = a, β = b, γ = c,nhận được

⇔ (1 − a)(b2+ c2) + (1 − b)(c2+ a2) + (1 − c)(a2+ b2)>2 − 6abc.

Vậy từ đó ta có bài toán

Ví dụ 2.1.5 Với a, b, c > 0; ab + bc + ca = 1, chứng minh rằng

(1 − a)(b2+ c2) + (1 − b)(c2+ a2) + (1 − c)(a2+ b2)>2 − 6abc.

Sử dụng Bài toán 2.1.1 với α = 2b

Vậy từ đó ta có bài toán.

Ví dụ 2.1.6 Với a, b, c thỏa mãn a >2b>4c > 0, chứng minh rằng

4(b − c)

2 +1

5(c − a)

2

Chọn α = b, β = a, γ = c, theo Bài toán 2.1.7 ta thu được bài toán sau:

Bài toán 2.1.11 Với m, n là các số tự nhiên, a, b > 0, chứng minh rằng

Lời giải Ta có (2.6) ⇔ (1 − α)(am− bm)(an− bn)>0 (hiển nhiên đúng)

Bài toán 2.1.12 Với a, b > 0; m, n là các số tự nhiên, chứng minh rằng

am+n+ bm+n

2 >a + b

2

m+n + α

4(a

m − bm)(an− bn). (2.7)Lời giải Ta có

Điều phải chứng minh

Bài toán 2.1.14 Với a, b, c > 0; 0 < α, β, γ < 1, chứng minh rằng

2 − c2)(b − c) + 2γ

3a(c

2 − a2)(c − a). (2.8)

3a 4(c + a), theo Bài toán 2.1.14 ta thuđược bài toán sau.

3a 4(c + a),

theo Bài toán 2.1.14 ta thu được bài toán sau

2(b − c)

2 +ca

2 (c − a)

2

Bài toán 2.1.17 Với a, b, c > 0; 0 < α, β, γ < 1; m, n là các số tự nhiên, chứngminh rằng

(1 − α)(am− bm)(an− bn) + (1 − β)(am− cm)(an− cn) + (1 − γ)(bm− cm)(bn− cn)>0.