Cỡ sð lỵ thuyát h m Dira delta
ành nghắa h m Dira delta
ành nghắa 1.1.1 KhổnggianShwartzS ( R ) ữủ ành nghắa l khổng gianĂ h mf : R → CkhÊ vivổhÔn lnv x α D β f (x) → 0 khi x → ∞ vợi mồi °p h¿ số α, β ∈ N °t k f k α,β = sup
DÂy h m { f k } ∞ k=1 hởi tử án h m f trong S ( R ) náu k f k − f k α,β khi k → ∞ (1.1)
Vẵ dử 1.1.1 Vợi p(x) l a thự bĐt ký, h m p(x)e − x 2 thuở khổng gian ¡ h m gi£m nhanh S ( R )
Khổng gian Ă h m giÊm nhanh Shwartztrũ mêttrong khổnggian
Hilbert L²(R) là không gian các hàm suy rộng trên R Phép biến đổi tuyến tính T: S(R) → C định nghĩa hàm suy rộng trên R Không gian vecto hàm suy rộng được ký hiệu là S′(R) Nếu T là một phép biến đổi tuyến tính, thì với mỗi hàm ϕ trong S(R), dãy {Tk}∞k=1 hội tụ tới hT, ϕi trong S′(R) nếu Tk, ϕi hội tụ về hT, ϕi.
Vẵ dử 1.1.2 Phiám h m tuyán tẵnh liản tử Dira delta δ ữủ ho bði δ : ϕ ∈ S ( R ) 7→ δ(ϕ) := ϕ(0) ∈ C l mởt h m suy rởng.
Theo ànhlỵbiºuthàRiesz (thamkhÊo[12℄,trang45),vợimồi phiám h m tuyán tẵnh liản tử T trản khổng gian Hilbert L 2 ( R ) , tỗn tÔi duy nhĐt mởt h m số f thuở L 2 ( R ) º h T, ϕ i =
−∞ f (x)ϕ(x)dx vợi mồi ϕ ∈ L 2 ( R ). p dửng ành lỵ biºu thà Riesz ối vợi phiám h m tuyán tẵnh liản tử δ , tỗn tÔi duy nhĐt mởt h m số δ ∗ ∈ L 2 ( R ) sao ho h δ, ϕ i =
Do õ, tứ nay trð i, khi húng tổi ã êp án h m Dira delta δ thẳ nõ ữủ hiºu l h m δ ∗ ∈ L 2 ( R ) tữỡng ựng vợi phiám h m tuyán tẵnh δ
Trong lắnh vỹ xỷ lỵ tẵn hiằu, h m Dira delta thữớng ữủ gồi l h m xung ìn và.
CĂ tẵnh hĐt ừa h m Dira delta
• Tẵh phƠn ừa h m Dira delta
| f ′ (x n ) | , trong õ x n l nghiằm ừa phữỡng trẳnh f (x) = 0 vợi giÊ thiát rơng f ′ (x n ) 6 = 0 Chúng ta thu ữủ tẵnh hĐt dữợi Ơy nhữ mởt hằ quÊ
• H m Dira delta l Ôo h m ừa h m bữợ nhÊy Heaviside dH dx = δ(x), trong â
Vẵ dử 1.1.3 Tẵnh tẵh phƠn
Lới giÊi Sỷ dửng tẵnh hĐt h m hủp ừa h m Dira delta, húng ta thu ữủ δ(x 3 − x) = δ(x) + δ(x + 1)
Vẵ dử 1.1.4 Tẵnh tẵh phƠn
2 dx. delta, húng ta thu ữủ
Vẵ dử 1.1.5 Tẵnh tẵh phƠn
Líi gi£i °t f (x) = e − x 2 , ta â f ′ (x) = − 2xe − x 2 f ′′ (x) = 4x 2 e − x 2 − 2e − x 2 f (3) (x) = 8xe − x 2 − 8x 3 e − x 2 + 4xe − x 2
Bián ời F ourier phƠn thự
ành nghắa bián ời F ourier phƠn thự
Biến đổi Fourier là một công cụ quan trọng trong phân tích tín hiệu, cho phép chuyển đổi các tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số Phương pháp này giúp xác định các thành phần tần số của tín hiệu, từ đó hỗ trợ trong việc xử lý và phân tích dữ liệu hiệu quả hơn Biến đổi Fourier không chỉ áp dụng trong lý thuyết mà còn trong thực tiễn, như trong việc nén âm thanh và hình ảnh.
−∞ g(u)e iux du, (1.3) trong õ ¯ng thự (1.2) thữớng ữủ xem l bián ời Fourier v ¯ng thự (1.3) l bián ời Fourier ngữủ Chuyºn sang dÔng toĂn tỷ, ổng thự ữủ viát lÔi nhữ sau
Biánời Fourier nhênĂ h m Hermiteφ n (x) l hằ h m riảng tữỡng ựng vợi giĂ trà riảng e − in π 2 ,
F π 2 [φ n ] (x) = e − in π 2 φ n (x), (1.6) trong õ h m Hermite φ n (x) vợi n ∈ N ữủ ho bði ổng thự φ n (x) = e − x
2 H n (x), vợi H n (x) = ( − 1) n e x 2 dx d n n e − x 2 l a thự Hermite bê n
Mð rởng phữỡng trẳnh h m riảng (1.6)vợi tham số liản tử α , ta thu ữủ
ToĂn tỷ tờng quĂt F α õ thº biºu diạn dữợi dÔng e − iαA vợi
2 , (1.8) ữủ ành nghắa l toĂn tỷ Fourier phƠn thự gõ α minh trong khổng gian h m giÊm nhanh Shwartz (tham khÊo [24℄) v khổng gian L 2 ( R ) (tham khÊo [26℄).
Dòng toán tỷ mỷ được sử dụng trong nghiên cứu lý thuyết những đặc điểm khô cứng trong toán học Sự khai thác triệt để biến đổi Fourier giúp biểu diễn lối dữ liệu dòng toán thành phần Biến đổi dữ liệu dòng toán được nghiên cứu bởi V Namias, xây dựng luận văn trong bài báo [26] và tiếp tục được phát triển bởi hai tác giả A McBride và F Kerr [24] Biểu diễn biến đổi dòng toán thông qua biến đổi Fourier cho phép phát triển những khái niệm mới trong lĩnh vực này.
F α [φ n ](x) = e − inα φ n (x), ho thĐy Ă h m Hermite l hằ h m riảng ừa toĂn tỷ F α vợi giĂ trà riảng e − inα Mồi h m bẳnh phữỡng khÊ tẵh f ãu khai triºn ữủ thổng qua hằ h m n y
TĂ ởng toĂn tỷ F α lản h m f ta ữủ f α := F α [f ] = F α
X ∞ n=0 a n e − inα φ n án Ơy, húng ta õ ành nghắa ừa bián ời Fourier phƠn thự dữợi dÔng huội, tiáp tử thay a n trong huội bði biºu diạn tẵh phƠn ta thu ữủ f α (p) =
− x 2 + p 2 2 f (x)dx, trong õ bữợ bián ời uối sỷ dửng ổng thự Mehler [4℄
1 − e − 2iα º ỡn giÊn biºu diạn, húng ta sỷ dửng Ă ¯ng thự sau
1 − e − 2iα = − ixp csc α, trong â csc α = 1 sin α ,
2 cot α, trong õ α b = sgn(sin α) Lữu ỵ rơng Ă ¯ng thự n y h¿ úng trong trữớng hủp sin α 6 = 0 , tự l α / ∈ π Z Biºu diạn tẵh phƠn thu ữủ l f α (p) = ( F α f ) (p) = e − 2 i ( π 2 α b − α ) e 2 i p 2 cot α p 2π | sin α | ×
2 x 2 cot α f (x)dx, trong â α b = sgn(sin α) v 0 < | α | < π
Trong dÔng toĂn tỷ, bián ời Fourier phƠn thự ữủ ành nghắa
Biến đổi Fourier là một công cụ quan trọng trong phân tích hàm số, cho phép chuyển đổi giữa miền thời gian và miền tần số Đối với hàm f(p), điều kiện (Fαf)(p) = f(p) khi α = 0 và (Fαf)(p) = f(-p) khi α = ±π cho thấy sự đối xứng trong biến đổi này Khi giới hạn ε tiến gần đến 0, ta có lim ε → 0 f(α + ε) = f(α), chứng tỏ tính liên tục của hàm tại điểm α Điều này dẫn đến việc hàm f có thể được xác định trên khoảng |α| ≤ π, trong khi trường hợp |α| > π cần được xem xét trong khoảng [-π, π].
−∞ f (x)K α (x, p)dx (1.9) trong õ nhƠn ừa bián ời l
√ c(α) 2π exp ia(α) x 2 + p 2 − 2b(α)xp , náu α khổng l bởi ừa π δ (x − p), náu α l bởi ừa 2π δ (x + p), náu α + π l bởi ừa 2π, trong â a(α) = cot α
Biến đổi Fourier là một công cụ quan trọng trong phân tích tín hiệu, cho phép chuyển đổi một hàm số thành các thành phần tần số của nó Đối với các hàm số liên tục, biến đổi Fourier có thể được định nghĩa cho các tham số α, b và c, với điều kiện a, b và c không bằng nhau Khi α = 0, biến đổi Fourier cho kết quả là hàm số ban đầu, trong khi khi α = ±π, nó cho ra hàm số đối xứng Đặc biệt, với α = π/2 và α = -π/2, biến đổi Fourier cho thấy sự thay đổi đáng kể trong các thành phần tần số của hàm số.
Biến đổi Fourier là một công cụ quan trọng trong phân tích tín hiệu, cho phép chuyển đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số Trong nghiên cứu này, chúng tôi xem xét sự tồn tại của biến đổi Fourier dưới các điều kiện nhất định Đặc biệt, chúng tôi tập trung vào việc chứng minh rằng biến đổi Fourier tồn tại trong không gian hàm Lebesgue Kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết tín hiệu và ứng dụng thực tiễn của biến đổi Fourier.
Bián ời Fourier phƠn thự ng thọa mÂn ¯ng thự Parseval
X α (u)Y α ∗ (u)du, tứ õ suy ra tẵnh hĐt bÊo to n nông lữủng (bÊo to n huân) dữợi Ơy
Nhữ vêy, náu h m f (x) ∈ L 2 ( R ) thẳ Ênh ừa h m n y qua bián ời
Fourier phƠn thự ng thuở khổng gian L 2 ( R )
Chúng ta õ thº sỷ dửng biºu diạn tẵh phƠn º tẵnh toĂn bián ời
Fourier phƠn thự ừa mởt số h m thổng dửng nhữ ữủ liằt kả trong
BÊng 1.1 (tham khÊo [26℄) Trong trữớng hủp α = ± π/2 , Ă ổng thự õ thº ữủ hiºu theo nghắa giợi hÔn iãu kiằn χ > 0 l n thiát º biºu thự uối hởi tử.
Ph²p tẵnh toĂn tỷ tờng quĂt
Cng nhữ bián ời Fourier v bián ời Laplae, Ă ph²p tẵnh toĂn tỷ ữủ xƠy dỹng ho bián ời Fourier phƠn thự trong [26℄ vợi giÊ thiát h m f (x) thuở khổng gian L 2 ( R )
Bián ời Fourier phƠn thự ừa x m f (x) ữủ ho bði ổng thự
1 − i cot α 2π exp[ 2 i p 2 cot α − 2px 0 csc α + x 2 0 cot α
1+i tan α 1+χ tan α exp[i p 2 (χ − tan α)+2pγ 2(1+χ tan sec α) α − γ 2 tan α ] exp[ − 1 2 (χx 2 + 2γx)] q
2 ( χ 2 − 1 ) +2pχγ sec α+γ 2 χ 2 +cot 2 α ℄ × exp[ − 1 2 csc 2 α p 2 χ+2pγ χ 2 cos +cot α − 2 χγ α 2 sin 2 α ]
BÊng 1.1: Bián ời Fourier phƠn thự ừa mởt số h m thữớng dũng
Quy tưh¿ra biánời Fourier phƠnthựừa Ôoh m mởth msố.Bơng Ăh sỷ dửng biºu diạn tẵh phƠn (1.9) v phữỡng phĂp tẵh phƠn tứng phn vợi giÊ thiát h m f (x) → 0 khi x → ±∞ , húng ta õ
Bián ời ừa tẵh hộn tÔp
Sỷ dửng ổng thự (1.11) v (1.12) trong trữớng hủp m = 1 , ổng thự bián ời Fourier phƠn thự ừa tẵh hộn tÔp ữủ tẳm thĐy dữợi dÔng
= − sin α + ip 2 cos α sin α F α (f ) + (1.13) p cos 2α d dp F α (f ) + i
Thay bián x trong ổng thự (1.9) bði bián mợi x + b , húng ta thu ữủ
Bián ời F ourier phƠn thự trong m°t ph¯ng thới gian-tn sè
Biến đổi Fourier phân tích biểu diễn tín hiệu trong một không gian thời gian-tần số Trong đó, người ta sử dụng hai trục vuông góc tương ứng với miền thời gian và miền tần số Nếu một tín hiệu được biểu diễn theo trục thời gian, thì nó cũng có thể được biểu diễn theo trục tần số, thể hiện mối liên hệ giữa chúng Biến đổi Fourier cho phép hiểu rõ hơn về tín hiệu và giúp giải quyết các bài toán liên quan đến tín hiệu biến thiên theo thời gian Khác với biến đổi Fourier thông thường, biến đổi Fourier phân tích có khả năng linh hoạt hơn, giúp giải quyết hiệu quả các bài toán toán học liên quan đến tín hiệu trong miền tần số.
Hẳnh 1.1: M°t ph¯ng thới gian-tn số
Mởt trong nhỳng tẵnh hĐt quan trồng ừa bián ời Fourier phƠn thựl mốiquanhằvợiphƠnphốiWigner[22℄.PhƠnphốiWigner W x (t, f ) ừa tẵnh hiằu x(t) ữủ ành nghắa nhữ sau
Hình hài ừa phân phối Wiger W x (t, f) phản ánh thời gian bơng bẳnh phưỡng ở lợn ừa biểu diễn trong miền thời gian, và hình hài lản trử tn số bơng bẳnh phưỡng ở lợn ừa biểu diễn trong miền tn số ừa tẵn hiếu.
Nõi mởtĂhỡn giÊn,W x (t, f ) õ thº ữủ hiºu l mởt phƠn phối nông lữủng ừa tẵn hiằu trong miãn thới gian-tn số.
BƠy giớ, náu W x (t, f ) l phƠn phối Wigner ừa x(t) thẳ phƠn phối
WignerừaX α (u) (bián ời F ourier phƠn thự ừa x(t) ), kỵ hiằu W X α (u, v) ữủ ho bði
W X α (u, v) = W x (u cos α − v sin α, u sin α + v cos α) iãu n y h¿ ra rơng W X α (u, v) l ph²p quay phƠn phối Wigner ừa tẵn hiằu x(t) mởt gõ α ngữủ hiãu kim ỗng hỗ Kát quÊ trản õ thº viát l¤i nh÷ sau
R φ [W x (t, f )] (t α ) = | x α (t α ) | 2, trong đó R φ là toán tỷ Radon, liên quan đến toán tỷ hàm lượng tử của W x (t, f ) Hàm W x (t, f ) là một biểu thức mô tả sự phân bố thời gian và tần số Chúng ta có thể thấy rằng f α là miền Fourier của hàm lượng tử với gõ α f 0 tương ứng với sự phân bố thời gian t và f π/2 tương ứng với sự phân bố tần số f Hiểu rõ về hàm phân phối Wigner và mối quan hệ của nó với biến đổi Fourier là rất quan trọng trong việc nghiên cứu các hiện tượng liên quan đến hàm lượng tử.
Hẳnh 1.2: Bián ời Fourier phƠn thự v phƠn phối Wigner
Cuối ũng, húng ta thÊo luên vẵ dử vã h m hirp (tuyán tẵnh) x(t) = exp[iπ(χt 2 + 2ξt)] (1.19)
1 + χ tan α exp { iπ[u 2 (χ − tan α) + 2uξ sec α − ξ 2 tan φ]/[1 + χ tan α] }
Ph¥n phèi Wigner õa h m hirp x(t) = exp[iπ(χt 2 + 2ξt) l h m delta
W x (t, f) = δ (f − χt − ξ) thể hiện biểu diễn trong không gian pha, mô tả sự biến đổi theo thời gian và tần số Phân phối Wigner cho hàm x(t) = exp(i2πξt) cho thấy W x (t, f) = δ (f − ξ), thể hiện biểu diễn bì mởt theo hướng ngang.
Phân phối Wigner là một công cụ quan trọng trong lý thuyết lượng tử, mô tả sự phân bố của các trạng thái lượng tử trong không gian pha Đặc biệt, hàm delta δ(t − ξ) thể hiện sự đồng nhất trong không gian thời gian và có thể được sử dụng để phân tích các tín hiệu qua biến đổi Fourier Hình 1.4 và Hình 1.5 minh họa rõ ràng mối quan hệ giữa hàm delta và phân phối Wigner, trong đó hàm x(t) = exp[iπ(t² + t)] cho thấy sự biến đổi qua các phép quay Phân phối Wigner cung cấp cái nhìn sâu sắc về cấu trúc của các trạng thái lượng tử và cách chúng tương tác theo thời gian.
Hẳnh 1.3: PhƠn phối Wigner ừa h m hirp x(t) = exp[iπ(χt 2 + 2ξt)]
Hẳnh 1.4: PhƠn phối Wigner ừa h m hirp x(t) = exp[iπ(t 2 + t)]
FRFT gâ π/4 õa h m hirp x(t) = exp[iπ(t 2 + t)]
CĂ ành lỵ tẵh v hêp liản kát vợi bián ời F ourier phƠn thù
bián ời Fourier phƠn thự
Trữợ hát, húng tổi như lÔi ành nghắa hêp ho bián ời Fourier ờ iºn Vợi hai h m x(t) , y(t) õ bián ời F ourier ln lữủt l X (ω) , Y (ω) , x(t) ∗ y(t) =
−∞ x(τ )y(t − τ )dτ (1.20) thọa mÂn ¯ng thự nhƠn tỷ hõa
Tứ ¯ng thự nhƠn tỷ hõa, húng ta õ thº thĐy rơng hêp ừa hai tẵn hiằu trong miãn thới gian õ Ênh Fourier l tẵh thổng thữớng Ênh
Fourier ừa húng trong miãn tn số Chêp (1.20) thọa mÂn Ă tẵnh hĐt giao hoĂn, kát hủp v phƠn phối.
Trong trữớng hủp hai h m f , g ∈ L 1 ( R ) , hêp ừa húng ng thuở khổng gian L 1 ( R ) dỹa v o bĐt ¯ng thự huân Nhữ vêy , khổng gian
Banah L 1 (R) là không gian các hàm số có tích phân tuyệt đối khả thi Nếu f và g thuộc L 1 (R), thì tổng f + g cũng thuộc L 1 (R) Các hàm số trong không gian này có tính chất quan trọng trong việc nghiên cứu các vấn đề liên quan đến tích phân và giải tích.
Tính chất nón yếu của không gian Lp (R) với p > 1 cho phép chúng ta áp dụng định lý Young Cụ thể, khi 1 ≤ p ≤ +∞, không gian L1(R) và Lp(R) có quan hệ bao hàm L1(R) ⊆ Lp(R) Đối với mọi hàm số f ∈ Lp(R) và g ∈ L1(R), ta có bất đẳng thức k f * g k p ≤ k f k p k g k 1.
(ii) Náu 1 ≤ p, q ≤ + ∞ v r thọa mÂn 1 r = 1 p + 1 q − 1 thẳ L p ( R ) ∗ L q ( R ) ⊆
Xét hai hàm f ∈ Lp(R) và g ∈ Lq(R), chúng ta có bất đẳng thức kf * gk r ≤ kf kp kg kq Điều này mở ra nhiều khả năng thiết kế trong lĩnh vực khối phổ tần số Mặc dù vậy, với các phân phối Wigner, chúng ta không thể áp dụng một cách tổng quát trong không gian thời gian và tần số, vì lý do trong miền Fourier, các hàm này thực hiện một giải pháp tốt hơn với các tham số phù hợp và tối ưu Do đó, đã hình thành lý thuyết tần số và hệ thống biến đổi thời gian.
Phép biến đổi Fourier là một công cụ quan trọng trong phân tích tín hiệu, giúp phát sinh các hàm số từ các tín hiệu phức tạp Kể từ những năm 1990, lĩnh vực này đã chứng kiến sự phát triển mạnh mẽ, với nhiều ứng dụng đa dạng trong việc xử lý và phân tích tín hiệu Nghiên cứu trong lĩnh vực này đã thu hút sự quan tâm lớn từ cộng đồng khoa học, dẫn đến việc phát triển nhiều phương pháp mới nhằm cải thiện hiệu suất và độ chính xác trong việc xử lý tín hiệu.
Nôm 1997, Almeida [3℄ ữa ra ành nghắa tẵh v hêp ho bián ời
Fourier phƠn thự bơng Ăh x²t hai h m x, y ∈ L 1 ( R ) ∩ W , trong õ W l Ôi số Wiener gỗm Ă h m õ Ênh Fourier thuở L 1 ( R ) Chêp ữủ ho bði z(t) = (x ⊗ y)(t) =
−∞ x(τ )y(t − τ )dτ (1.21) vợi bián ời Fourier phƠn thự
2 tan α dv (1.22) ành lỵ tẵh ữủ ho bði z(t) =x(t)y(t) ↔ Z α (u) = | csc α | e i u
2 cot α dv, trong õ Y (u) l bián ời F ourier ừa y(t)
Nôm 1998, Zayed [46℄ ữa ra ành nghắa hêp ừa hai h m x, y ∈ L 1 ( R ) z(t) = (x ∗ y) (t) = r 1 − i cot α
−∞ x(τ )e 2 i τ 2 cot α y(t − τ )e 2 i (t − τ) 2 cot α dτ (1.23) thọa mÂn ¯ng thự nhƠn tỷ hõa
Z α (u) = e − 2 i u 2 cot α X α (u)Y α (u) (1.24) ành lỵ tẵh ng ữủ tĂ giÊ ữa ra z(t) = x(t)y(t)e i t
Nôm2009, mởtành nghắakhĂ ừahêp ho biánời Fourier phƠnthự ữủ trẳnh b y trongổng trẳnh [42℄ Trữợ khi ành nghắahêp, Ă tĂ giÊ ành nghắa mởt dàh huyºn ừa h m y(t) kẵ hiằu l y(tθτ ) y(tθτ ) =
Y α (u)K α (u, τ )K α ∗ (u, t)du trong õ K α v K α ∗ ln lữủt l nhƠn ừa bián ời F ourier phƠn thự v
Fourier phƠn thự ngữủ Dỹa trản h m n y, hêp tờng quĂt ữủ ành nghắa
−∞ x(τ )y(tθτ )dτ (1.25) thọa mÂn ¯ng thự nhƠn tỷ hõa
Nôm 2011, dỹa trản nhỳng kát quÊ Â õ ð trản,hai tĂ giÊ A K Singh v R Saxena [37℄ Â phĂt triºn v ữa ra ành lỵ mợi vã hêp liản kát z(t) = (xΘy) (t) =
−∞ x(τ ) y(t − τ )e iτ (τ − t) cot α dτ (1.26) thọa mÂn ¯ng thự nhƠn tỷ hõa
Khi nghiên cứu về không gian L¹(R) và L²(R), chúng tôi nhận thấy rằng không gian L¹(R) có những đặc điểm khác biệt so với L²(R) Điều này được thể hiện qua các nghiên cứu trước đây [3], trong khi không gian L²(R) lại có những tính chất ổn định hơn Chúng tôi cũng đưa ra một số so sánh giữa hai không gian này để làm rõ sự khác biệt trong tính chất và ứng dụng của chúng.
Biểu thức (1.21) trong tài liệu [3] mô tả sự hợp nhất trong không gian Hilbert, với hàm Fourier ở tần số α = π/2 Hình 7.8 [34] cho thấy sự phát biểu trong không gian Schwartz, mở rộng trong không gian L1(R) và L2(R) Với x, y thuộc W ∩ L1(R), tồn tại x0, y0 thuộc L1(R) sao cho F(x0) = x và F(y0) = y Do đó, ta có z = F(x0) * F(y0) = F(x0 * y0).
W ∩ L 1 ( R ) thẳ ( F 2 f )(u) = f ( − u) := ˇ f (u) ho hu khưp u ∈ R (vợi ở o Lebesgue) Do vêy, ( F z)(u) = F 2 (x 0 ∗ y 0 )(u) = (x 0 ∗ y 0 )( − u)
Z π/2 (u) = ( F z)(u) õ thº ữủ oi l hêp m° dũ ữủ biºu diạn dữợi dÔng ân Chúng ta s³ hựng minh rơng vá phÊi ừa ¯ng thự uèi l biºu thù (2) trong [3℄ Ta â
= ( F 2 x 0 ∗ F 2 y 0 )(u) = ( F x ∗ F y)(u), l biºu thự (2) trong [3℄ Tuy nhiản, náu khổng õ giÊ thiát x, y ∈
W ∩ L 1 ( R ) , Ă biºu diạn (2), (4) v (8) trong [3℄ õ thº khổng ỏn l ¯ng thự tẵh bði F 2 x hữa h¯n  tỗn tÔi T Đt nhiản, Ă ành lỵ hêp v tẵh trong [3℄ văn õ nghắa vợi x, y ∈ L 2 ( R )
• Biºu thự (1.23) trong [46℄ l hêp, õ ổng thự khổng quĂ ỗng kãnh v ữủ sỷ dửng trong nhiãu ựng dửng khĂ nhau.
• Trong [13℄ v [42℄, Ă tĂ giÊ xƠy dỹng hêp ho bián ời hẵnh tư tuyán tẵnh, l dÔng tờng quĂt ừa bián ời Fourier phƠn thự Biºu thự(1.25) trong[42℄thỹsỹ l hêptờngquĂt(thamkhÊo[19,20℄).
Ùng dửng
LĐy mău v khổi phử tẵn hiằu
Trữợ hát và húng tổi là hai loại cây có giá trị dinh dưỡng cao, thường được sử dụng trong nhiều món ăn Chúng không chỉ mang lại hương vị đặc trưng mà còn cung cấp nhiều lợi ích cho sức khỏe Việc sử dụng các loại cây này trong chế biến thực phẩm đã trở thành một xu hướng phổ biến trong ẩm thực hiện đại.
Chuội xung lỹ ữủ ho bði ổng thự s δ (t) =
X n= −∞ δ(t − nT ), trong õ δ l h m Dira delta Chuội xung lỹ õ biºu diạn dữợi dÔng huéi Fourier (tham kh£o [9℄) s δ (t) =
Sự biến đổi Fourier là một công cụ quan trọng trong phân tích tín hiệu, cho phép chuyển đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số Phương pháp này giúp hiểu rõ hơn về các thành phần tần số của tín hiệu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như viễn thông, xử lý âm thanh và hình ảnh.
Bián ời Fourier ừa huội xung lỹ s δ (t) =
Chựng minh TĂởng bián ời Fourier lảnhuội xung lỹ,húng ta thu ữủ
Do tẵnh hĐt tành tián ừa h m Dira delta, kát quÊ trản ữủ viát lÔi th nh
ành lỵ ữủ hựng minh.
Hẳnh 1.9: Chuội xung lỹ ành lỵ lĐy mău Shannon-Nyquist ln u tiản ữủ giợi thiằu v ựng dửng trong lỵ thuyát thổng tin liản lÔ bði Shannon v Nyquist Tuy nhiản, trữợ õ, ành lỵ n y  ữủ phĂt triºn trong Ă ổng trẳnh ừa
Kotelnikov v J M Whittaker là một vụ án quan trọng vào năm 1930, đóng vai trò then chốt trong lĩnh vực lý thuyết thông tin Vụ án này đã thiết lập phương pháp khôi phục tín hiệu từ các mẫu đã lấy, khi tín hiệu được truyền qua một kênh Đặc biệt, nó đã chứng minh rằng tín hiệu có thể được tái tạo chính xác nếu các mẫu được lấy đủ thường xuyên theo thời gian.
Khi tần số |ω| ≥ π/T, hàm Fourier X(ω) sẽ bằng 0, cho thấy x(t) có thể được khôi phục từ mẫu x(nT) thông qua công thức x(t) = Σ x(nT) sinc((t − nT)/T) Trong đó, hàm sinc(t) được định nghĩa là sinc(t) = sin(πt)/(πt) Điều này cho thấy rằng việc khôi phục tín hiệu là khả thi khi tần số nằm trong miền xác định, với tần số f = 1/T.
T lằ lĐy mău f = 1/T ữủ gồi l t lằ Nyquist Trong hựng minh, viằ khổi phử tẵn hiằu văn thỹ hiằn ữủ vợit lằ lĐy mău bơng ho° lợn hỡn t lằ Nyquist Tự l ổng thự (1.4.2) văn úng khi húng ta thay thá T bði T ′ ≤ T.
1.4.3.3 Tẵn hiằu õ dÊi tn bà h°n theo nghắa Fourier phƠn thù ành lỵlĐy măuShannon-Nyquist lnu tiản ữủ mð rởngho lợp Ă tẵn hiằu õ dÊi tn bà h°n trong miãn Fourier phƠn thự trong b i bĂo tẵn hiằu õ dÊi tn bà h°n theo nghắaFourier phƠn thự ữủ ành nghắa nh÷ sau. ành nghắa 1.4.1 Náu bián ời Fourier phƠn thự ừa tẵn hiằu x(t) thọa mÂn iãu kiằn
X α (u) = 0, | u | > Ω h , thẳ x(t) ữủ gồi l tẵn hiằu õ dÊi tn bà h°n trong miãn F ourier phƠn thự gõ α , trong õ Ω h l ở rởng dÊi tn.
Trong nghiên cứu [45℄, tác giả đã chỉ ra rằng nếu một hàm liên tục có giá trị lớn hơn một hàm khác trong một khoảng nào đó, thì hàm đó sẽ có giá trị lớn hơn trong khoảng tương ứng của nó Cụ thể, nếu β = ± α + nπ, với n là số nguyên, thì hàm liên tục này sẽ duy trì tính chất đó trong các khoảng thời gian và không gian khác nhau Do đó, điều này dẫn đến việc khẳng định rằng hàm liên tục sẽ không thay đổi tính chất của nó qua các khoảng thời gian và không gian khác nhau.
Rỗng, mở tẵn hàm khổng lồ dãy tín hiệu theo nghĩa thống nhất rất rõ ràng là tẵn hàm dãy tín hiệu theo nghĩa Fourier phân thức với gốc α = π/2 Vậy nên, việc xây dựng và lý thuyết về tẵn hàm dãy tín hiệu trong miền Fourier phân thức sẽ mở ra hởi khởi phục tẵn hàm từ màu (tín hiệu khổng lồ) hoặc lập lại tẵn hàm này.
Trong nghiên cứu về tín hiệu, chúng ta phân tích một tín hiệu x(t) trong miền thời gian, sử dụng công thức Fourier x(t) = r1 + i cot α, với α là một tham số xác định Tín hiệu này được mô tả bằng cách sử dụng các số nguyên n, trong đó 6 = nπ Việc áp dụng biến đổi Fourier giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc và đặc tính của tín hiệu trong miền tần số.
Dạ d ng nhên thĐy rơng g l tẵn hiằu õ dÊi tn bà h°n theo nghắa
Fourier vợi ở rởng dÊi tn Ω h csc α Dỹa v o phƠn tẵh n y , Xia [45℄ Ăp dửng ành lỵ lĐy mău Shannon ho h m g theo Ăh dữợi Ơy. g(t) = X n g(n∆ α ) sin [Ω h csc α (t − n∆ α )]
Thay (1.29) v o trong biºu thù x(t) = g(t) r 1 + i cot α
2π e − iat 2 , tĂ giÊ thu ữủ ành lỵ lĐy mău ho tẵn hiằu õ dÊi tn bà h°n trong miãn phƠn thự gõ α x(t) = e − iat 2 X n x(n∆ α )e ia∆ 2 α sin [Ω h csc α (t − n∆ α )]
Ω h csc α (t − n∆ α ) (1.30) Ơy l mởtổng thự khổi phử tẵnhiằu tứ măuãu ho lợp Ă tẵnhiằu õ dÊi tn bà h°n trong miãn Fourier phƠn thự gõ α Sau ổng bố ừa
Xia, Ă nghiản ựu vã quy trẳnh lĐy mău v khổi phử ho lợp tẵn hiằu n y ữủ mð rởng theo nhiãu hữợng khĂ nhau Nôm 1999, Zayed v
Garia là một loại hàm số liên quan đến biến đổi Hilbert, cho phép chuyển đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số Cổng biến đổi Hilbert giúp phân tích các tín hiệu phức tạp, trong đó hàm số f(t) được xác định là một tín hiệu thực Nếu e^{-iat} f(t) là tín hiệu được biến đổi theo nghĩa Fourier, thì f(t) có thể được xác định bằng cách sử dụng biến đổi Hilbert, cho thấy mối liên hệ giữa các hàm số trong miền tần số và miền thời gian.
X ∞ k= −∞ n f (t k ) cos [β (t − t k )] − f ˜ (t k ) sin [β (t − t k )] o sin [β (t − t k )] β (t − t k ) , trong õ β = Ω h /(2 sin α) , t k = 2kπ sin α/Ω h , k ∈ Z v f ˜ l kỵ hiằu ho bián ời Hilbert ừa tẵn hiằu f
Kết quả nghiên cứu cho thấy rằng việc sử dụng mô hình LCT trong việc phân tích biến đổi tần số có thể cải thiện độ chính xác trong việc mô tả các tín hiệu phức tạp Mô hình này dựa trên biến đổi Fourier và bao gồm bốn tham số chính, giúp tối ưu hóa quá trình phân tích.
Trong nghiên cứu này, tác giả đã tập trung vào việc phân tích và cải tiến các phương pháp lấy mẫu trong miền Fourier Đồng thời, nghiên cứu cũng đề xuất các phương pháp khôi phục tín hiệu hiệu quả hơn dựa trên những cải tiến này.
Vợi kÿ thuêt n y đã chỉ ra rằng kát quÊ tữỡng tỹ ng ữủ phĂt triºn ho bián ời hẵnh tư tuyán tẵnh Ngoài ra, trong nghiên cứu của Stern, ông đã làm rõ về sự phát triển của ngành liên quan đến việc truyền tải thông tin qua mạng.
Trong[43℄,Ă tĂgiÊsỷdửngdÔngtờngquĂtừa¯ngthựParseval ho huội Fourier phƠn thự º ữa ra mởt Ăh hựng minh khĂ ho ànhlỵ lĐy măudÔngShannon ừatẵn hiằuõdÊi tnbà h°n theo nghắa
Fourier phƠn thự.CĂ tĂ giÊ ng h¿ra rơng ổng thự lĐy mău n y l mởt trữớng hủp ° biằt ừa ¯ng thự Parseval ho huội Fourier phƠn thù.
Chêp liản kát vợi bián êi Fourier ph¥n thù
Trong hữỡng n y, húng tổi trẳnh b y Ă hêp liản kát vợi bián ời
Bài viết này đề cập đến các khái niệm trong lý thuyết Fourier, bao gồm sự so sánh giữa các hàm như hàm Gauss và hàm Hermite Nó nhấn mạnh tầm quan trọng của các hàm này trong việc xây dựng các hàm khổng lồ và các ứng dụng của chúng trong lĩnh vực phân tích toán học Các hàm Hermite và Gauss đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển các phương pháp phân tích và xử lý tín hiệu.
Nởi dung ừa hữỡng n y dỹa trản Ă b i bĂo [1℄, [2℄ v [4℄ trong
Danh mử Ă ổng trẳnh ừa luên Ăn.
Chêp khổng õ h m trồng
ành lỵ hêp
ành lỵ 2.1.1 Náu f, g ∈ L 1 ( R ), thẳ bián ời ữủ ành nghắa b ði (f ⋆ F α g) s/ √
2 ) f (u)g(s − u)du (2.1) l hêp liản kát vợi F α ũng ¯ng thự nhƠn tỷ hõ a
Chựng minh º thuêntiằntrongviằtrẳnhb yph²p hựngminh,húng tổi kỵ hiằu P (a,b) (x, y) := ax 2 − 2abxy + ay 2 Bơng tẵnh toĂn, húng ta thu ữủ
R 2 e i(ax 2 − 2abxu+au 2 ) e i(ax 2 − 2abxv+av 2 ) f (u)g(v)dudv
2x). ành lỵ ữủ hựng minh.
CĂ tẵnh hĐt ỡ bÊn
• Tẵnh giao hoĂn p dửng (2.1) húng ta õ
F α f )(x) ho hu khưp x bơng Ăh Ăp dửng bián ời ngữủ õa F α
• Tẵnh kát hủp Sỷ dửng (2.1), húng ta õ
• Tẵnh phƠn phối Chúng ta õ f ⋆
B§t ¯ng thù Young v ¤i sè Wiener
Trong phn n y, húng tổi hựng minh bĐt ¯ng thự huân ho hêp vứa ữủ trẳnh b y Ơy, giÊ sỷ 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ thọa mÂn ¯ng thự
CĂ khổng gian Banah liản quan bao gỗm L p ( R ), L q ( R ), L r ( R ) Chúng tổi s³ hựng minh k f ⋆
F α g k r ≤ C k f k p k g k q , vợi f ∈ L p ( R ), g ∈ L q ( R ), (2.3) trong õ C l mởt hơng số dữỡng º ỡn giÊn vã kỵ hiằu, húng tổi °t
√ π H (s), trongõ F := E ch − 1 f, G := E ch − 1 g, H := F ∗ G Hiºn nhiản E ch − 1 f ∈
Trong không gian Lp(R), nếu f ∈ Lp(R) và g ∈ Lq(R), thì theo bất đẳng thức Hẹp Young, tồn tại một hàm số H ∈ Lr(R) với điều kiện 1/p + 1/q = 1/r + 1 Đặc biệt, với h = c(π) − 1/2, ta có Ech − 2.H ∈ Lr(R) và |Ech − 2(x)| = 1 cho mọi x Chúng tôi đã thực hiện nghiên cứu và minh họa cho các biểu thức liên quan đến bất đẳng thức này.
Chóng ta â thº x¥y düng §u tró ¤i sè Banah giao ho¡n ho
L 1 ( R ). ành lỵ 2.1.3 Khổng gian Banah L 1 ( R ) , ữủ trang bà tẵh (2.1), trð th nh mởt Ôi số Banah giao hoĂn.
F α l õng trong khổng gian L 1 ( R ) Thêt vêy , bơng Ăh lỹa hồn p = q = r = 1 trong ành lỵ 2.3.4, húng ta h¿ ra ữủ f ⋆
F α g ∈ L 1 ( R ) nhữ mong muốn Hỡn nỳa, tẵnh giao hoĂn v tẵnh kát hủp l hai tẵnh hĐt ỡ bÊn ừa hêp (2.1) Tứ Ơy, húng ta suy ra iãu phÊi hựng minh.
Vợi mội α ∈ R ố ành, húng ta kỵ hiằu têp W α := n
. ành lỵ 2.1.4 W α l mởt Ôi số Banah giao ho Ăn ành huân vợi ph²p nhƠn h m số theo tứng iºm.
Chứng minh rằng không gian tuyến tính W α mởt khổng gian têp hủp, trong đó các hàm số được xác định theo từng điểm trong không gian W α Đặc biệt, với các hàm số F, G ∈ W α, tồn tại các hàm f, g ∈ L 1 (R) sao cho
F α g ∈ L 1 ( R ) Sỷ dửng ¯ng thự nhƠn tỷ hõa (2.2), ta suy ra iãu n hựng minh.
Chêp õ h m trồng dÔng hirp
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày hai hệ thống trồng dòng hình Fourier phân thực, nhằm minh họa sự ảnh hưởng của chúng Hai hệ thống này xuất hiện trong không gian L1(R) và không gian L2(R) Tuy nhiên, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng hệ thống này không thể được minh họa trong không gian L1(R), mà chỉ có thể được minh họa trong không gian L2(R) thông qua hình thức biểu diễn khác nhau.
Trong Ă nởi dung tiáp theo, vợi f ∈ L 1 ( R ) húng tổi ành nghắa hu©n: k f k 0 := 1 p 2π | sin α |
R | φ n (x) | dx > 0 (2.5) ành nghắa 2.2.1 ToĂn tỷ hêp ⊙ ữủ ành nghắa bði h(s) := (f ⊙ g) (s) = c
2ab du (2.6) ành lỵ 2.2.1 °t ψ(x) := e i(x − ax 2 ) Náu f, g ∈ L 1 ( R ) , k f ⊙ g k 0 ≤ k f k 0 k g k 0 , (2.7)
Nõi Ăh khĂ, tẵh f ⊙ g xĂ ành mởt h m số tr ong khổng gian L 1 ( R ) , thọa mÂn ành lỵ hêp ho bián ời Fourier phƠn thự vợi h m trồng ψ
Chựng minh Chúng ta s³ bưt u bơng viằ hựng minh bĐt ¯ng thự huân (2.7) vợi hú ỵ l | c | = | sin α | − 1/2 Sỷ dửng giÊ thiát f, g ∈ L 1 ( R ) , v ph²p ời bián số s − u + 1/2ab = v, húng ta õ k f ⊙ g k 0 = 1 p 2π | sin α |
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét một dãy số liên quan đến bài toán bất đẳng thức Huân (2.7) Dựa vào bất đẳng thức Huân, chúng ta suy ra một hàm số liên tục trên không gian L¹(R) Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh bất đẳng thức nhân tỷ lệ (2.8) Cuối cùng, từ định nghĩa (1.9) và biến đổi Fourier, chúng ta có thể xác định rằng ψ(x) là Fα[f](x) Fα[g](x).
−∞ e ia [ x 2 +u 2 +v 2 − 2xb ( u+v − 2ab 1 )] f (u) g (v) dudv. ời bián số u = u v s = u + v − 1
2ab , húng tổi thu ữủ ψ(x) F α [f ] (x) F α [g] (x)
−∞ e ia [ x 2 +2u 2 +s 2 − 2su+ ab s − ab u − 2xbs ] f (u) × g s − u + 1
Chựng minh ữủ ho n th nh. f (t)
Hẳnh 2.1: Biºu diạn hêp (2.6) theo Ăh thự nhĐt
Chúng tổi kỵ hiằu m(t) := e iat 2 , n ± (t) := e ia(t 2 ± ab 1 t) , v xem x²t g ± (t) := g(t ± 1 ab ) trong õ g ± l h m trạ pha ho° tành tián ừa h m g vợi bữợ (1/ab)
Ró r ng hai h m số m v n ± ãu khổng õ 0-iºm v module khổng ời, tự l , | m(t) | = | n ± (t) | = 1 Do õ, húng ta õ thº viát m − 1 (t) := 1 m(t) , n − ± 1 (t) := 1 n ± (t)
Cõ hai Ăh biºu diạn hêp (2.6) thổng qua hêp Fourier ờ iºn ữủ kỵ hiằu bði ∗ , nhữ s³ giÊi thẵh dữợi Ơy
(1) Chúng ta biºu diạn lÔi h(s) := (f ⊙ g) (s) th nh h(s) = m ã f
Trong trữớng hủp n y, hêp ừa hai h m f v g thu ữủ bơng Ăh nhƠn f vợi hirp ( m ), hêp vợi h m g  ữủ l m trạ pha (1/ab) v nhƠnvợihirpmợi(n + ), uối ũng hia ho ( m ) v lĐy t¿ lằ ( c/ √
Chêp ừa hai h m f v g thu ữủ bơng Ăh nhƠn f vợi hirp ( n − ), hêp vợi h m g  ữủ l m trạ pha (1/ab) v nhƠn vợi hirp m , uối ũng hia ho n − v lĐy t¿ lằ ( c/ √
Do hai phương ăn lỹa hồn ảnh hưởng đến tỷ lệ, việc so sánh ảnh hưởng của chúng trong bài toán thống kê là rất quan trọng Tuy nhiên, việc lựa chọn hồn ảnh biểu diễn không thể thiếu biến đổi Fourier, nhằm đảm bảo tính chính xác trong biểu thức.
2.2 minh hồa hai Ăh biºu diạn hêp ữủ phƠn tẵh ð trản Nõi Ăh khĂ, hêp (2.6), khi Ăp dửng trong Ă b i toĂn ử thº s³ linh hoÔt hỡn Ă hêp  õ [3, 13, 37, 42, 46℄. f (t)
Hẳnh 2.2: Biºu diạn hêp (2.6) theo Ăh thự hai
Chêp (2.6) thọa mÂn Ă tẵnh hĐt giao hoĂn, kát hủp v phƠn phối nhữ húng tổi ln lữủt h¿ ra dữợi Ơy.
• Tẵnh giao ho Ăn Tứ ¯ng thự nhƠn tỷ hõa (2.8), húng ta õ
• Tẵnh kát hủp Tứ ¯ng thự nhƠn tỷ hõa (2.8), húng ta õ
• Tẵnh phƠn phối Sỷ dửng
Do â, f ⊙ (g + h) = f ⊙ g + f ⊙ h. ành nghắa 2.2.2 ToĂn tỷ hêp f ⊗ g ữủ ành nghắa bði h(s) := (f ⊗ g) (s) = c
2ab du (2.9) ành lỵ 2.2.2 °t ζ (x) = e i( − x − ax 2 ) Náu f , g ∈ L 1 ( R ) , k f ⊗ g k 0 ≤ k f k 0 k g k 0 , (2.10)
Nõi Ăh khĂ, tẵh f ⊗ g xĂ ành mởt h m số thuở khổng gian L 1 ( R ) , v thọa mÂn ành lỵ hêp ho bián ời Fourier phƠn thự vợi h m trồng ζ
Tữỡng tỹ nhữ hêp (2.6), õ hai Ăh biºu diạn hêp (2.9) qua hêp
Chúng tôi sẽ chép lại các công thức (2.6) và (2.9) liên quan đến toán học trong không gian L¹(R), trong đó mô tả các khía cạnh của hàm số giao hoán và phân phối Việc áp dụng phương pháp hình minh họa cho phép chúng tôi hiểu rõ hơn về các tính chất của các hàm này, đồng thời khẳng định sự tồn tại của chúng trong không gian L¹(R) thông qua các hệ (2.6) và (2.9).
Chêp õ h m trồng liản quan án h m Gauss v h m
CĂ ành lỵ hêp
º bưt u,húng tổinhư lÔi ành nghắah m Hermitehuân hõaφ n (x) vợi n ∈ N ữủ ho bði φ n (x) = ( − 1) n 2 n n! √ π − 1 2 e x
2 d n dx n e − x 2 ành lỵ 2.3.1 Cho h m số η(x) := e − 1 2 x 2 − iax 2 Náu f, g ∈ L 1 ( R ) , bián ời dữợi Ơy ành nghắa mởt hêp ũng vợi bĐt ¯ng thự huân v ¯ng thù nh¥n tû hâa:
Nõi Ăh khĂ, tẵh f ⊕ g xĂ ành mởt h m thuở khổng gian L 1 ( R ) và thọa mÂn ành lỵ hêp liản kát vợi bián ời Fourier phƠn thự vợi h m trồng η Cho h m số Φ n (x) = e − i2ax 2 φ n (x) Náu f , g ∈ L 1 ( R ), bián ời dữợi Ơy ành nghắa mởt hêp ũng vợi bĐt ¯ng thự huân v ¯ng thù nh¥n tû hâa.
R 2 e 2ia ( u 2 +v 2 − xu − xv+uv ) φ n (x − u − v) × f (u)g(v)dudv (2.15) k f ⊖ g k 0 ≤ k φ n k 0 k f k 0 k g k 0 , (2.16)
Nõi Ăh khĂ, tẵh f ⊖ g xĂ ành mởt h m số thuở khổng gian L 1 ( R ) Thọa mÂn ành lỵ hêp liản kát vợi bián ời Fourier phƠn thự vợi h m trồng φ n ữủ t lằ bði e − i2ax 2 Nếu f, g ∈ L 1 ( R ), bián ời dữợi Ơy ành nghắa mởt hêp ũng vợi bĐt ¯ng thự huân v ¯ng thự nhƠn tỷ hõa.
R 2 e ia(2u 2 − 2ux − 2uv+2xv) φ n (x − u + v) × f (u)g(v)dudv (2.18) k f ⊚ g k 0 ≤ k φ n k 0 k f k 0 k g k 0 , (2.19)
F α [f ⊚ g] (x) = φ n (x) F α [f ] (x) F − α [g] (x) (2.20) iãu n y ỗng nghắa vợi f ⊚ g xĂ ành mởt h m số trong L 1 ( R ) , v thọa mÂn ành lỵ hêp liản kát vợi bián ời Fourier phƠn thự v bián ời ngữủ (IFrFT) vợi h m trồng φ n (x)
CĂ hêp (2.12), (2.15) thỏa mãn tính chất giao hoán, phân phối và kết hợp Trong phần này, chúng tôi sẽ chứng minh tính chất này thông qua các ví dụ cụ thể và minh họa rõ ràng theo từng bước.
• Tẵnh giao hoĂn Tứ ¯ng thự nhƠn tỷ hõa (2.14), húng ta õ
• Tẵnh kát hủp Sỷ dửng (2.14) húng ta thu ữủ
• Tẵnh phƠn phối Chúng ta hú ỵ rơng
Nhên x²t 2.3.1 (a) Cố ành h m f ∈ L 1 ( R ) v sỷ dửng Ă bĐt ¯ng thự (2.13), (2.16), (2.19), húng ta h¿ ra ữủ rơng Ă toĂn tỷ hêp
Để hiểu rõ hơn về tỷ lệ hẹp trong bài toán (2.18), cần xem xét các yếu tố ảnh hưởng đến việc giao hoán, cũng như cách phân phối các biến liên quan Tỷ lệ này không chỉ liên quan đến các biến độc lập mà còn tới các biến phụ thuộc, cho thấy sự tương tác giữa chúng qua các hàm Fourier Việc phân tích này giúp làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các biến và cách chúng ảnh hưởng lẫn nhau trong mô hình.
Ph²p hựngminh ừa Ă ành lỵ hêp s³ln lữủtữủ trẳnhb y dữợi ¥y.
Chứng minh ánh lý 2.3.1 cho thấy rằng chúng tôi bắt đầu bằng việc sử dụng định lý (2.13) Cụ thể, với chú ý rằng |c| = |sin α| - 1/2, chúng tôi đã xuyết suốt quá trình ánh lý và khẳng định rằng chúng tôi sẽ sử dụng định lý này để đạt được kết quả mong muốn.
√ 2k e − 4k 1 x 2 (k > 0) (2.21) vợi mồi x ∈ R (xem [34, 40℄) ời bián ab(x − u − v) = t, ta õ
BĐt ¯ng thự (2.13) ữủ hựng minh BĐt ¯ng thự n y Êm bÊo ho h m số (2.12) thuở khổng gian L 1 ( R )
BƠy giớ húng tổitiáp tử hựngminh ¯ngthự nhƠn tỷ hõa(2.14).
R 3 e ia [ x 2 +u 2 +v 2 − 2xb ( u+v − 2ab t )] e − 1 2 t 2 f (u)g(v)dudvdt. ời bián số u = u , v = v , s = u + v − t
= F α [f ⊕ g] (x). ành lỵ ữủ hựng minh.
• Chựng minh ành lỵ 2.3.2 Chúng tổi s³ hựng minh bĐt ¯ng thự hêp (2.16) ời bián u = u, v = v, v t = x − u − v , ỗng thới sỷ dửng
Bài viết này trình bày công thức liên quan đến hàm sin và biến đổi Fourier, với các ký hiệu toán học như 2π | sin α | và các biến số k φ n k 0 Nó nhấn mạnh sự quan trọng của các hàm số trong không gian L 1 (R) và sự tương tác giữa các hàm f và g thông qua biến đổi Fourier Cụ thể, công thức F α [f] (x) F α [g] (x) = e − i2ax 2 φ n (x) thể hiện mối liên hệ giữa các hàm này trong bối cảnh toán học phức tạp.
R 3 e ia [ x 2 +u 2 +v 2 +t 2 − 2xb(u+v+t) ] f (u)g(v)φ n (t)dudvdt. ời bián số u = u , v = v v s = u + v + t , Φ n (x) F α [f ] (x) F α [g] (x)
R e 2ia ( u 2 +v 2 − su − sv+uv ) × f (u)g(v)φ n (s − u − v)dudv
R 2 e 2ia ( u 2 +v 2 − su − sv+uv ) f (u)g(v)φ n (s − u − v)dudv
= F α [f ⊖ g] (x). ành lỵ ữủ hựng minh.
Chứng minh ảnh lý 2.3.3 cho thấy BĐt đứng thự huân (2.19) liên quan đến việc hứng minh từ những biểu thức (2.16), thông qua việc áp dụng các phép hứng minh này Chúng tôi tập trung vào hứng minh đứng thự nhân tỷ hỏa (2.20) Theo định nghĩa của biến đổi Fourier, ta có φ_n(x) F_α[f](x) F^−α[g](x) = e^(inα).
R 2 e ia(2u 2 − 2us − 2uv+2sv) f (u)g(v)φ n (s − u + v)dudv ds
= F α [f ⊚ g] (x), dăn án iãu n hựng minh.
Trong phn n y, húng tổi trẳnh b y hựng minh bĐt ¯ng thự hêp
YounghoĂ hêpữủ ãxuĐt.Trữợ hát,húng tổinhư lÔibĐt¯ng thự tẵh phƠn Minkowski
1 r dà 1 (x), (2.22) trong õ F ( ã , ã ) : Ω 1 ì Ω 2 −→ C l o ữủ trản hai khổng gian (Ω 1 , à 1 ) v (Ω 2 , à 2 ) Kỵ hiằu 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ l Ă tham số thọa mÂn
CĂ khổng gian Banahliản quan gỗm L p (R), L q (R), L r (R) Chúng tôi chứng minh hai tính chất hĐt gồm: k f ⊛ g k r ≤ C 1 k f k p k g k q, với f ∈ L p (R), g ∈ L q (R); và k f ⊛ g k s ≤ C 2 k f k 1 k g k 1 với mọi s ≥ 1, v f, g ∈ L 1 (R) Trong đó, C 1, C 2 là hằng số dương Vẫn có thể chứng minh các điều kiện này thông qua các phương pháp đã nêu và áp dụng các định lý liên quan.
• Chựng minh (2.23) Bơng viằ ời bián t := u + v , húng ta õ h(s) := − abc π ZZ
R 2 E ch (u) E ch (v).[ E ch (s)] − 1 E gd (s − u − v) × f (u)g(v)dudv = − abc π
Hiºn nhiản, E ch f ∈ L p ( R ), E ch g ∈ L q ( R ) p dửng bĐt ¯ng thự hêp
Biểu đồ Young cho trữớng hủp Fourier cho biết rằng nếu \( F \in L^r(R) \) và \( |E| = 1 \), thì \( E \) là một hàm trong \( L^1(R) \) Khi áp dụng định lý Young cho \( E \) và \( F \), ta có thể suy ra rằng hàm \( h \) thuộc không gian \( L^r(R) \) Điều này cho thấy mối liên hệ giữa các không gian hàm và các phép toán trong phân tích hàm.
• Chựng minh (2.24) Chú ỵ rơng E gd ∈ L s ( R ) vợi mồi s > 0 , v
R |E gd ( ± x ± u ± v) | s dx = kE gd k s s (u, v l è ành R ). p dửng (2.22) dăn tợi
Đoạn văn này đề cập đến việc sử dụng các biến đổi Fourier để xây dựng trữ liệu trong ngành lý thuyết dữ liệu Cụ thể, các công thức (2.12), (2.15), và (2.18) thể hiện sự thỏa mãn điều kiện của định lý Young, cho thấy mối quan hệ giữa các hàm số và sự hội tụ trong không gian hàm.
(ii) CĂ hêp (2.12), (2.15), (2.18) õ bĐt ¯ng thự hêp Young ữủ ho bði (2.24).
Nếu f ∈ L^p(R) và g ∈ L^q(R), thì mọi phép hợp của f và g sẽ tạo ra một hàm số trong không gian L^r(R), với điều kiện 1/p + 1/q = 1/r + 1 Hơn nữa, nếu f và g thuộc L^1(R), thì mọi phép hợp của chúng sẽ tạo ra một hàm số trong không gian L^s(R) với mọi s ≥ 1.
Nhên x²t 2.3.2 (a) Sỷ dửng Ă kỵ hiằu húng ta õ thº viát lÔi:
Vợi p = q = r = 1 trong (2.23), ho° s = 1 trong (2.24), húng ta thu ữủ bĐt ¯ng thự huân trong Ă ành lỵ 2.2.1, 2.2.2 v 2.3.1.
(b) Chồn s = 2 trong (2.24), húng ta nhên thĐy rơng: náu f, g ∈
Lớp hàm L¹(R) là không gian chứa các hàm liên tục và tích phân được, trong khi L²(R) là không gian chứa các hàm có bình phương tích phân được Kết quả này liên quan đến việc hợp nhất hai hàm f và g, cho thấy rằng sự kết hợp của chúng tồn tại trong không gian L¹(R) ∩ L²(R) Cụ thể, hàm hợp nhất được xem là một hàm liên tục, có tính chất trung bình và là một hàm số ổn định Đặc biệt, hàm Hermite được sử dụng để tạo ra các hàm trong không gian Hilbert L²(R), cho thấy sự liên kết giữa các hàm này trong lý thuyết hàm số.
() VợihêpừaFourierthổngthữớng,húngtah¿õ bĐt¯ngthự hêp Young (2.23), v (2.24) ho s = 1 Do õ, bĐt ¯ng thự Y oung
(2.24) l mởt ° trững riảng õ ừa Ă hêp mợi. ành lỵ 2.3.5 Khổng gian Banah L 1 ( R ) , ữủ tr ang bà mởt tr ong hai ph²p nhƠn hêp (2.12) v (2.15), trðth nh mởt Ôi số Banah giaohoĂn.
Chựng minh Chúng ta õ thº ho n tĐt hựng minh bơng Ăh như lÔi Ă kát quÊ Â hựng minh ð trản Thêt vêy, sỷ dửng ành lỵ 2.3.1,
2.3.2, ta õ Ă ph²p nhƠn hêp (2.12) v (2.15) l õng trong khổng gian L 1 ( R ) , thảm nỳa húng õ tẵnh hĐt tẵnh giao hoĂn v kát hủp. ành lỵ ữủ hựng minh.
Bảng luận về hướng nghiên cứu cho thấy chúng tôi đã mở rộng một số nghiên cứu liên quan đến hàm số và các phép biến đổi Fourier Nghiên cứu này tập trung vào việc so sánh và phân tích các kết quả theo tiến trình thời gian.
• Biºu thự (1.21) ừa L B Almeida [3℄ thỹ sỹ l hêp dữợi mởt v i iãu kiằn vã khổng gian h m.
• Trong [46℄, A I Zayed giợi thiằu hai hêp ⋆ v ⊗ liản kát vợi bián ời Fourier phƠn thự iãu ° biằt l húng biºu diạn ữủ qua hêp
Fourierthổng thữớng.Cử thº,hêp f ⋆ g ữủ tẵnh toĂn trong thỹ h nh theo quy trẳnh lĐy t lằ tẵn hiằu thự nhĐt f bði nhƠn tỷ e iax 2 º hêp
Fourier thổng thữớng vợi tẵn hiằu thự hai g ng  ữủ lĐy t lằ bði e iax 2 v uối ũng kát quÊ ữủ t lằ bði ce − ix 2 / √
2π hêp ⊗ õ ũng ỵ tữðng vợi hêp ⋆ vợi iºm khĂ biằt l tẵn hiằu ữủ nhƠn vợi e − iax 2 v nhƠn tỷ t lằ l ce ix 2 / √
• CĂ ành nghắa hêp ữủ xƠy dỹng ho bián ời hẵnh tư tuyán tẵnh
LCT trong bài viết của B Deng trình bày về sự kết hợp giữa biến đổi Fourier và các phương pháp liên quan Nghiên cứu này xem xét các biến đổi Fourier trong không gian đa chiều và ứng dụng của chúng trong việc phân tích tín hiệu Mô hình hóa và sự phân tích trong lĩnh vực này có thể mang lại nhiều ứng dụng hữu ích trong thực tế.
Năm 2009, D W ei v ởng sỹ trong nghiên cứu đã xuất khái niệm τ -dàh huyºn tờng quĂt ừa tẵn hiằu, nhằm xác định sự biến đổi của LCT Nghiên cứu này tập trung vào việc xây dựng mô hình dựa trên các yếu tố ảnh hưởng đến biến đổi thời gian của LCT Điều này thể hiện sự phức tạp trong việc mô tả áp lực, bao gồm các yếu tố như nhà ở, linh hoạt, và sự thay đổi nhân khẩu học Tuy nhiên, cần lưu ý rằng sự biến đổi của LCT phải phản ánh được tính linh hoạt trong việc điều chỉnh các yếu tố tác động do bốn tham số chính.
Chùng minh
Ph²p hựngminh ừa Ă ành lỵ hêp s³ln lữủtữủ trẳnhb y dữợi ¥y.
Chứng minh ảnh lý 2.3.1, chúng tôi bắt đầu bằng việc sử dụng định lý (2.13) Chú ý rằng |c| = |sin α| - 1/2 Suốt quá trình chứng minh, chúng tôi sẽ sử dụng định lý này để hỗ trợ cho các bước tiếp theo.
√ 2k e − 4k 1 x 2 (k > 0) (2.21) vợi mồi x ∈ R (xem [34, 40℄) ời bián ab(x − u − v) = t, ta õ
BĐt ¯ng thự (2.13) ữủ hựng minh BĐt ¯ng thự n y Êm bÊo ho h m số (2.12) thuở khổng gian L 1 ( R )
BƠy giớ húng tổitiáp tử hựngminh ¯ngthự nhƠn tỷ hõa(2.14).
R 3 e ia [ x 2 +u 2 +v 2 − 2xb ( u+v − 2ab t )] e − 1 2 t 2 f (u)g(v)dudvdt. ời bián số u = u , v = v , s = u + v − t
= F α [f ⊕ g] (x). ành lỵ ữủ hựng minh.
• Chựng minh ành lỵ 2.3.2 Chúng tổi s³ hựng minh bĐt ¯ng thự hêp (2.16) ời bián u = u, v = v, v t = x − u − v , ỗng thới sỷ dửng
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá công thức 2π | sin α | và các biến thể liên quan đến Fourier Đặc biệt, chúng ta sẽ phân tích sự chuyển đổi Fourier của các hàm số f và g, với công thức F α [f ] (x) F α [g] (x) = e − i2ax 2 φ n (x) Điều này cho thấy mối liên hệ giữa các hàm số trong không gian L 1 (R) và cách chúng tương tác thông qua biến đổi Fourier.
R 3 e ia [ x 2 +u 2 +v 2 +t 2 − 2xb(u+v+t) ] f (u)g(v)φ n (t)dudvdt. ời bián số u = u , v = v v s = u + v + t , Φ n (x) F α [f ] (x) F α [g] (x)
R e 2ia ( u 2 +v 2 − su − sv+uv ) × f (u)g(v)φ n (s − u − v)dudv
R 2 e 2ia ( u 2 +v 2 − su − sv+uv ) f (u)g(v)φ n (s − u − v)dudv
= F α [f ⊖ g] (x). ành lỵ ữủ hựng minh.
Chứng minh ảnh lý 2.3.3 cho thấy BĐt ứng thự huân (2.19) liên quan đến việc sử dụng các hàm Fourier để phân tích Chúng tôi tập trung vào ứng minh ứng thự nhân tỷ số hóa (2.20) Theo định nghĩa của biến đổi Fourier, ta có φ_n(x) F_α[f](x) F^−α[g](x) = e^(inα).
R 2 e ia(2u 2 − 2us − 2uv+2sv) f (u)g(v)φ n (s − u + v)dudv ds
= F α [f ⊚ g] (x), dăn án iãu n hựng minh.
Trong phn n y, húng tổi trẳnh b y hựng minh bĐt ¯ng thự hêp
YounghoĂ hêpữủ ãxuĐt.Trữợ hát,húng tổinhư lÔibĐt¯ng thự tẵh phƠn Minkowski
1 r dà 1 (x), (2.22) trong õ F ( ã , ã ) : Ω 1 ì Ω 2 −→ C l o ữủ trản hai khổng gian (Ω 1 , à 1 ) v (Ω 2 , à 2 ) Kỵ hiằu 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ l Ă tham số thọa mÂn
CĂ khổnggian Banahliản quan gỗm L p ( R ), L q ( R ), L r ( R ) Trong không gian này, chúng tôi đã chứng minh hai tính chất quan trọng: (1) k f ⊛ g k r ≤ C 1 k f k p k g k q với f ∈ L p ( R ), g ∈ L q ( R ); (2) k f ⊛ g k s ≤ C 2 k f k 1 k g k 1 với mọi s ≥ 1, v f, g ∈ L 1 ( R ) Các hằng số C 1 và C 2 là các hằng số dương Vả lại, phương pháp chứng minh đã được áp dụng để thảo luận về các tính chất này, đồng thời chúng tôi cũng đã trình bày các kết quả liên quan đến hàm Gauss và hàm Hermite.
• Chựng minh (2.23) Bơng viằ ời bián t := u + v , húng ta õ h(s) := − abc π ZZ
R 2 E ch (u) E ch (v).[ E ch (s)] − 1 E gd (s − u − v) × f (u)g(v)dudv = − abc π
Hiºn nhiản, E ch f ∈ L p ( R ), E ch g ∈ L q ( R ) p dửng bĐt ¯ng thự hêp
Trong bài viết này, chúng ta nghiên cứu về phép biến đổi Fourier và các kết quả liên quan đến không gian L^r (R) Đặc biệt, chúng ta xem xét các điều kiện cần thiết cho hàm E gd thuộc L^1 (R) và mối quan hệ giữa nó với hàm F thuộc L^r (R) Qua việc áp dụng định lý Young, chúng ta có thể suy ra các đặc điểm của hàm h trong không gian L^r (R) và các tính chất của nó, từ đó làm rõ hơn về ý nghĩa của các khái niệm liên quan trong bài toán này.
• Chựng minh (2.24) Chú ỵ rơng E gd ∈ L s ( R ) vợi mồi s > 0 , v
R |E gd ( ± x ± u ± v) | s dx = kE gd k s s (u, v l è ành R ). p dửng (2.22) dăn tợi
Do õ húng ta thu ữủ (2.24), giỳa Ă hêp ữủ ã xuĐt v Ă hêp ữủ xƠy dỹng trữợ Ơy liản kát vợi bián ời Fourier phƠn thự v bián ời hẵnh tư tuyán tẵnh nhữ ữủ h¿ ra trong ành lỵ dữợi Ơy Các hêp (2.12), (2.15), (2.18) thọa mÂn bĐt ¯ng thự hêp Young.
(ii) CĂ hêp (2.12), (2.15), (2.18) õ bĐt ¯ng thự hêp Young ữủ ho bði (2.24).
Nếu \( f \in L^p(R) \) và \( g \in L^q(R) \), thì mọi phép hợp \( f \ast g \) sẽ tạo ra một hàm số trong không gian \( L^r(R) \), với điều kiện \( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r} + 1 \) Hơn nữa, nếu \( f, g \in L^1(R) \), thì mọi phép hợp \( f \ast g \) cũng sẽ tạo ra một hàm số trong không gian \( L^s(R) \) với mọi \( s \geq 1 \).
Nhên x²t 2.3.2 (a) Sỷ dửng Ă kỵ hiằu húng ta õ thº viát lÔi:
Vợi p = q = r = 1 trong (2.23), ho° s = 1 trong (2.24), húng ta thu ữủ bĐt ¯ng thự huân trong Ă ành lỵ 2.2.1, 2.2.2 v 2.3.1.
(b) Chồn s = 2 trong (2.24), húng ta nhên thĐy rơng: náu f, g ∈
Lớp hàm \( L^1(R) \) là không gian chứa các hàm có thể tích hợp được trên thực, và khi kết hợp với \( L^2(R) \), nó tạo thành một không gian mạnh mẽ cho việc xử lý tín hiệu Kết quả của việc này cho phép xây dựng một hàm sản phẩm \( f * g \), trong đó một hàm \( f \) và một hàm \( g \) được tích hợp với nhau Ví dụ, hàm trung bình và hàm tỷ lệ có thể được xem là những công cụ quan trọng trong lý thuyết hàm, với việc áp dụng định lý Young (2.24) để chứng minh tính chất của các hàm này Định lý Young cung cấp một cơ sở vững chắc cho việc phân tích hàm trong không gian \( L^2(R) \) và cho phép xây dựng các hàm Hermite, từ đó tạo ra các mô hình trong không gian Hilbert \( L^2(R) \).
() VợihêpừaFourierthổngthữớng,húngtah¿õ bĐt¯ngthự hêp Young (2.23), v (2.24) ho s = 1 Do õ, bĐt ¯ng thự Y oung
(2.24) l mởt ° trững riảng õ ừa Ă hêp mợi. ành lỵ 2.3.5 Khổng gian Banah L 1 ( R ) , ữủ tr ang bà mởt tr ong hai ph²p nhƠn hêp (2.12) v (2.15), trðth nh mởt Ôi số Banah giaohoĂn.
Chựng minh Chúng ta õ thº ho n tĐt hựng minh bơng Ăh như lÔi Ă kát quÊ Â hựng minh ð trản Thêt vêy, sỷ dửng ành lỵ 2.3.1,
2.3.2, ta õ Ă ph²p nhƠn hêp (2.12) v (2.15) l õng trong khổng gian L 1 ( R ) , thảm nỳa húng õ tẵnh hĐt tẵnh giao hoĂn v kát hủp. ành lỵ ữủ hựng minh.
Bản luận về xu hướng cho thấy chúng tôi đưa ra một số nhận xét, theo đó luôn mang tính so sánh và hệ thống liên kết với biến đổi Fourier phân tích Các nghiên cứu này được thực hiện theo tiến trình thời gian như sau:
• Biºu thự (1.21) ừa L B Almeida [3℄ thỹ sỹ l hêp dữợi mởt v i iãu kiằn vã khổng gian h m.
• Trong [46℄, A I Zayed giợi thiằu hai hêp ⋆ v ⊗ liản kát vợi bián ời Fourier phƠn thự iãu ° biằt l húng biºu diạn ữủ qua hêp
Fourierthổng thữớng.Cử thº,hêp f ⋆ g ữủ tẵnh toĂn trong thỹ h nh theo quy trẳnh lĐy t lằ tẵn hiằu thự nhĐt f bði nhƠn tỷ e iax 2 º hêp
Fourier thổng thữớng vợi tẵn hiằu thự hai g ng  ữủ lĐy t lằ bði e iax 2 v uối ũng kát quÊ ữủ t lằ bði ce − ix 2 / √
2π hêp ⊗ õ ũng ỵ tữðng vợi hêp ⋆ vợi iºm khĂ biằt l tẵn hiằu ữủ nhƠn vợi e − iax 2 v nhƠn tỷ t lằ l ce ix 2 / √
• CĂ ành nghắa hêp ữủ xƠy dỹng ho bián ời hẵnh tư tuyán tẵnh
LCT là một phương pháp quan trọng trong việc phân tích biến đổi Fourier Nghiên cứu của B Deng cho thấy mối liên hệ giữa các biến đổi này và ứng dụng của chúng trong các lĩnh vực khác nhau Biến đổi Fourier giúp chuyển đổi các tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số, mở ra cơ hội mới trong phân tích dữ liệu Các ứng dụng của phương pháp này rất đa dạng, từ xử lý tín hiệu đến nghiên cứu hình ảnh, mang lại nhiều lợi ích cho việc phát triển công nghệ hiện đại.
Năm 2009, D W ei v ởng sỹ trong nghiên cứu đã xuất khai niềm τ -dàh huyºn tờng quĂt ừa tẵn hiằu, tứ õ sỷ dửng dàh huyºn n y º ữa ra ành nghắa hêp liản kát vợi bián ời LCT Hệ thống này được xây dựng dựa trên những biến động thời gian và biến ời LCT Điều này lý giải tại sao hệ thống này biểu diễn áp lực, bao gồm nhà và linh hoạt, mặc dù nó không hoàn toàn ổn định Tuy nhiên, cần lưu ý rằng những biến động ời LCT vẫn rất linh hoạt trong việc sử dụng những hi phẵ tẵnh toĂn ưt do hựa tợi bốn tham số.
Trong nghiên cứu của T Rong và A K Singh về sự phát triển của hệ thống Fourier, các tác giả đã phân tích và so sánh các phương pháp khác nhau để cải thiện hiệu quả trong việc xây dựng và phát triển hệ thống Họ nhấn mạnh tầm quan trọng của việc áp dụng các kỹ thuật hiện đại nhằm tối ưu hóa quy trình này.
Phương trình Fourier thể hiện sự biến đổi của hàm số qua các hàm cơ bản, cho phép chúng ta phân tích và hiểu rõ hơn về cấu trúc của hàm Trong bài viết này, chúng tôi xây dựng các phương trình như (2.12), (2.15), và (2.18) để mô tả sự tương tác giữa các biến và hàm Fourier Đặc biệt, chúng tôi đề cập đến các hàm E_ch và E_gd, trong đó E_ch biểu diễn hàm sóng và E_gd là hàm Gauss, giúp làm rõ hơn về tính chất của các hàm này Các kết quả này cung cấp cái nhìn sâu sắc về sự phân tích hàm và ứng dụng của nó trong các lĩnh vực khác nhau.
NhƠnE l tẵh ừa ba hirp E ch (u), E ch (v), [ E ch (s)] − 1 v phƠn phối Gauss
E gd Tữỡng tỹ, Ă hêp khĂ m húng tổi ã xuĐt ng l sỹ kát hủp ừa ba h m hirp ũng vợi phƠn phối Gauss ho° Hermite ừa tẵn hiằu.
CĐutrú n y giúp Ă hêp ừahúng tổi trð nản linh hoÔt nhớ Ă tẵnh hĐt trạ pha v dàh huyºn tành tián trong h m Hermite v h m hirp nơm ð dÔngy ừ Sỹ bờ sung Ă hêp n y õ thº phũ hủp vợiĂ mổ hẳnh toĂn ho nhiãu b i toĂn kÿ thuêt.
Trong hướng này, chúng tôi xây dựng các hàm trồng gồm: hàm khổng, hàm trồng dòng Hermite và hàm trồng liên quan đến hàm Gauss và hàm Hermite Hàm khổng được biểu diễn qua một tác phẩm đơn giản trong không gian gồm nhà và không gian nhân tỷ lệ tưởng tượng trong trường hợp hợp lệ Hai hàm (2.6) và (2.9) được biểu diễn qua hàm Fourier, do đó, trong toán học thực hành, chúng tôi sử dụng thuật toán Fourier nhanh để tính toán Nhờ hàm (2.12), (2.15), (2.18) là sự kết hợp giữa hàm Hermite với phân phối Gauss và phân phối Hermite.
BĐt ¯ng thự hêp dÔng Y oung
Trong hữỡng n y, húng tổi nghiản ựu tẵnh giÊi ữủ ừa mởt số lợp phữỡng trẳnh tẵh phƠn dÔng hêp Sỷ dửng Ă ành lỵ hêp trong
Chữỡng 2 trình bày về việc ứng dụng húng tổi trong việc phân tích tín hiệu thông qua miền Fourier Bài viết nhấn mạnh tầm quan trọng của việc thiết kế các thuật toán trong miền Fourier để cải thiện độ chính xác và hiệu suất trong việc xử lý tín hiệu Đồng thời, nghiên cứu cũng đề cập đến các phương pháp tối ưu hóa trong miền thời gian và tần số để nâng cao khả năng phân tích và nhận diện tín hiệu một cách hiệu quả.
Nởi dung ừa hữỡng n y dỹa trản Ă b i bĂo [1℄, [2℄ v [3℄ trong
Danh mử Ă ổng trẳnh ừa luên Ăn.
CĂ lợp phữỡng trẳnh tẵh phƠn dÔng hêp
CĂ phữỡng trẳnh tẵh phƠn dÔng hêp
Chúng tổi s³ bưt u bơng viằ x²t phữỡng trẳnh tẵh phƠn dữợi Ơy trong khổng gian Banah L 1 ( R ) : λϕ(s) + k ⊙ ϕ
(s) = f (x), (3.1) trong õ λ ∈ C v k ∈ L 1 ( R ) ho trữợ, v ϕ s³ ữủ xĂ ành trong khổng gian n y Chúng tổi sỷ dửng kỵ hiằu
Mằnh ã sau l n thiát ho hựng minh ành lỵ 3.1.1.
Mằnh ã 3.1.1 (1) Náu λ 6 = 0 , thẳ A(s) 6 = 0 vợi mồi s nơm ngo i mởt khoÊng hỳu hÔn.
(2) Náu A(s) 6 = 0 vợi mồi s ∈ R, thẳ h m số 1/A(s) l bà h°n v liản tử trản R.
Chựng minh (1) p dửng bờ ã Riemann-Lebesgue, h m số A(s) l liản tử trản R v
| s lim |→∞ A(s) = λ 6 = 0, tự l , A(s) nhên giĂ trà λ tÔi vổ ũng Vẳ λ 6 = 0 v A(s) liản tử, tỗn tÔi mởt giĂ trà R > 0 sao ho A(s) 6 = 0 vợi mồi | s | > R Mử (1) ữủ hùng minh.
(2) Do tẵnh liản tử ừa h m số A v lim | s |→∞ A(s) = λ 6 = 0 , tỗn tÔi
Vẳ A liản tử v khổng triằt tiảu trản têp ompat
Chóng ta suy ra sup s ∈ R
< ∞ iãu n y dăn án h m số 1/ | A(s) | l liản tử v bà h°n trản R Mằnh ã ữủ hựng minh. ành lỵ 3.1.1 GiÊ sỷ rơng A(s) 6 = 0 vợi mồi s ∈ R , v mởt tr ong Ă iãu kiằn sau thọa mÂn:
Phữỡng trẳnh (3.1) õ nghiằm trong khổng gian L 1 ( R ) náu v h¿ náu
Trong trữớng hủp n y, nghiằm ừa phữỡng trẳnh ữủ ho bði ổng thự ϕ = F − α F α f /A
Thỏa mãn điều kiện n Giải sỹ răng (3.1) mở một nghiềm φ ∈ L¹(R) Tầng biến đổi Fourier phân thức Fα lấn hai và vừa phương trình (3.1) và sử dụng đúng thức nhân tỷ hoá trong ảnh lý 2.2.1, chúng tôi thu được.
H m số 1/A(s) bà h°n v liản tử trản R (tham khÊo Mằnh ã 3.1.1) v F α f ∈ L 1 ( R ) , húng ta suy ra rơng F α f /A
Trong không gian L¹(R), chúng ta xem xét các biến đổi ngữ nghĩa của hàm Fα và các phương trình liên quan Phương trình (3.3) được thu thập để nghiên cứu mối quan hệ giữa các phương trình và các phát biểu trong phần 3.1.1, với các điều kiện minh họa rõ ràng Điều kiện này cho phép xác định số ϕ như là F trừ đi α.
iãu n y h¿ ra rơng ϕ ∈ L 1 ( R ) Do õ, F α ϕ = F α f /A Mởt Ăh tữỡng ữỡng, A ( F α ϕ) = F α f Tứ ¯ng thự nhƠn tỷ hõa, húng ta õ
= F α f. p dửng ành lỵ vã tẵnh duy nhĐt ừa F α , húng tổi kát luên rơng ϕ thọa mÂn phữỡng trẳnh (3.1) vợi hu khưp s ∈ R Mử (i) ữủ hựng minh.
Vẳ | ψ(x) | = 1, h m số 1/ψ liản tử v bà h°n trản R iãu n y dăn án F α f / F α k ∈ L 1 ( R ) náu v h¿ náu F α f / ψ ã F α k
∈ L 1 ( R ) Do â, tỹ nhữ vợi giÊ thiát (i) ành lỵ 3.1.1 ữủ hựng minh.
Phữỡng trẳnh tẵh phƠn (3.1) õ thº l phữỡng trẳnh loÔi mởt ho° loÔi hai tữỡng ựng vợi λ = 0 ho° λ 6 = 0 Trong ành lỵ 3.1.1, húng tổi  phƠn tẵh ho Ê hai tẳnh huống n y.
CĂ ành lỵ dữợi Ơy õ thº ữủ hựng minh theo Ăh tữỡng tỹ nh÷ ành lþ 3.1.1. ành lỵ 3.1.2 GiÊ sỷ rơng
B(s) := λ + ζ (s) F α [k] (s) 6 = 0 vợi mồi s ∈ R , v mởt trong Ă iãu kiằn sau thọa mÂn:
(s) = f (s) õ nghiằm trong khổng gianL 1 ( R ) náu v h¿ náu F − α F α f /B
Trong trữớng hủp n y, nghiằm ừa phữỡng trẳnh õ ổng thự ϕ = F − α F α f /B
(3.4) ành lỵ 3.1.3 GiÊ sỷ rơng
C (s) := λ + η (s) F α [k] (s) 6 = 0 vợi mồi s ∈ R , v mởt trong Ă iãu kiằn sau thọa mÂn:
(s) = f (s), õ nghiằm trong khổng gian L 1 ( R ) náu v h¿ náu F − α F α f /C
Trong trữớng hủp n y, nghiằm ừa phữỡng trẳnh õ ổng thự ϕ = F − α F α f /C
(3.5) ành lỵ 3.1.4 GiÊ sỷ rơng
C n (s) := λ + Φ n (s) F α [k] (s) 6 = 0 vợi mồi s ∈ R , v mởt trong Ă iãu kiằn sau thọa mÂn:
(s) = f (s) õ nghiằm trong khổng gian L 1 ( R ) náu v h¿ náu F − α F α f /C n
L 1 ( R ) T rong trữớng hủp n y, nghiằm ừa phữỡng trẳnh õ ổng thự ϕ = F − α F α f /C n
Chúng tôi tiếp tục nghiên cứu các phương trình toán học để hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các biến số trong lĩnh vực này Cụ thể, chúng tôi sử dụng hàm kỵ hiểu Θ và θ(x) để mô tả các tỷ lệ hợp lý trong bài toán nghiên cứu Phương trình chính được xem xét là: λϕ(s) + kΘϕ.
(s) = f (s), (3.7) trong õ λ ∈ C v k ∈ L 1 ( R ) ho trữợ, v ϕ ữủ tẳm trong khổng gian n y Chúng tổi °t
T (s) := λ + θ(s) F α [k] (s). ành lỵ 3.1.5 GiÊ sỷ rơng T (s) 6 = 0 vợi mồi s ∈ R , v mởt tr ong Ă iãu kiằn sau thọa mÂn:
Phữỡng trẳnh (3.7) õ nghiằm L 1 ( R ) náu v h¿ náu
Trong trữớng hủp n y, nghiằm ừa phữỡng trẳnh ữủ ho bði ổng thự ϕ = F − α F α f /T
Chúng tổi bọ qua hựng minh ừa ành lỵ n y do õ sỹ tữỡng tỹ vợi ¡h hùng minh ành lþ 3.1.1.
Vấn đề nghiên cứu trong bài viết này liên quan đến phương trình sau lặp vết dữ liệu minh họa, bao gồm các hệ số và điều kiện cụ thể Chúng tôi sẽ trình bày các giải pháp trong không gian L1 (R) và L2 (R) cùng với các tính chất của chúng Phương trình biên dạng λϕ(x) + (kΘϕ)(x) = f(x) được xem xét, với λ thuộc tập số phức C và k là một hằng số có liên quan trong các điều kiện đã nêu.
Chúng tôi lựa chọn hàm k(x) = e^{-a|x|} với ℜ(a) > 0 và f(x) = e^{-1/2 x^2} Đặc điểm của k và f là chúng thuộc không gian L1(R) Chúng tôi cũng hiểu rằng Kα(x) là biến đổi Fourier của k Hiện tại, ta có |θ(x)| = 1, và với mọi giá trị λ, hàm số sẽ được xác định.
M (x) = λ + θ(x)K α (x), l bà h°n v liản tử, dn tợi λ khi | x | → + ∞
• Trữớng hủp λ 6 = 0 Ta õ K α ∈ L 1 ( R ) Thảm v o õ, húng ta n hú ỵ rơng θ(x)K α (x) l liản tử v bà h°n v triằt tiảu tÔi vổ ũng.
Do õ, náu λ l tũy ỵ v ừ lợn, thẳ M (x) 6 = 0 vợi mồi x GiÊ thiát
| λ | > max x ∈ R | θ(x)K α (x) | l ừ º Êm bÊo rơng M (x) l mởt h m khĂ khổng Têp trung v o giÊ thiát thự hai, húng ta õ
Do õ, phữỡng trẳnh  ho l giÊi ữủ v húng ta thu ữủ ổng thự nghiằm dÔng hiºn nhữ  h¿ ra trong Ă ổng thự (3.2),
(3.4), (3.5), (3.6), v (3.8) Cử thº, do k(x) = e − a | x | vợi ℜ (a) > 0 , f (x) = e − 1 2 x 2 , nản k, f ∈ L 1 ( R ) Khi phữỡng trẳnh ữủ x²t trong vẵ dử n y l mởt trong Ă hêp (2.6), (2.9), (2.12), (2.15), (2.18)
(ho° hêp ữủ ã xuĐt trong [13, 37, 42, 46℄), giÊ thiát trong Ă ành lỵ 3.1.1, 3.1.2,3.1.3, 3.1.4,v 3.1.5 ữủ thọa mÂn (nhữ Â h¿ lỵ vứa nảu tữỡng ựng vợi phữỡng trẳnh hêp ữủ x²t.
• Trữớng hủp λ = 0 Chúng ta õ thº h¿ ra F α [f ]/ F α [k] ∈ L 1 ( R )
Ch¯ng hÔn, vợi trữớng hủp Fourier thữớng, ta õ
Nghiằm n ythuở khổnggian L 1 ( R ), v do õ nõ thọa mÂn Ă iãu kiằn ừa ành lỵ 3.1.5.
Trong Ê hai trữớng hủp, Ă iãu kiằn ừa ành lỵ 3.1.1, 3.1.2, 3.1.3,
3.1.4, 3.1.5 ữủ thọa mÂn, do õ phữỡng trẳnh  ho õ nghiằm v ổng thự nghiằm dÔng hiºn nhữ  phƠn tẵh ho trữớng hủp λ 6 = 0 ð trản.
Phữỡng trẳnh tẵh phƠn vợi nhƠn Hermite
Trong phn n y, húng tổi x²t Ă phữỡng trẳnh tẵh phƠn vợi nhƠn ừa húng ữủ hẳnh th nh bði hai h m Hermite Cử thº, °t φ m , φ n l h m Ă Hermite ho trữợ, v k 1 , k 2 l Ă h m thuở khổng gian
L 1 ( R ) º ỡn giÊn hõa ổng thự, húng tổi kỵ hiằu E m − ch (u, v, s) := e imα e i2a(v 2 +us − uv − sv) ho m ∈ N Chúng tổi s³ trẳnh b y iãu kiằn nv ừ ho viằ giÊi lợp Ă phữỡng trẳnh tẵh phƠn õ dÔng λϕ(s) + 1.
+ E n − ch (v, u, s).φ n (s − u + v)k 2 (u) i ϕ(v)dudv = p(s), (3.10) trong õ λ ∈ C v p ∈ L 1 ( R ) ữủ ho trữợ, v ϕ l mởt h m hữa biát trong khổng gian L 1 ( R ) Chú ỵ rơng E m − ch l mởt hirp v |E m − ch | = 1
Chúng tasuy ra k 1 [ E m − ch ] − 1 ∈ L 1 ( R ) v (ho°) k 2 [ E n − ch ] − 1 ∈ L 1 ( R ) náu v h¿náu k 1 ∈ L 1 ( R ) v (ho°) k 2 ∈ L 1 ( R ) mởt Ăh tữỡng ựng Do õ, sỹ xuĐt hiằn ừa nhƠn tỷ
Phương trình (3.10) không mang tính bất biến khi áp dụng các điều kiện nhất định Chúng ta có thể xác định các hàm k 1 và k 2 trong không gian L 1 (R) thông qua các công thức: k 1 = E m − ch [( E m − ch ) − 1 k 1 ] và k 2 = E n − ch [( E n − ch ) − 1 k 2 ] Điều này cho thấy rằng, với các hàm k 1 và k 2 thuộc L 1 (R), phương trình (3.10) có thể được xem như một phương trình tách thành phần.
Hermite phức là một công cụ quan trọng trong việc giải các phương trình khác nhau Nó được áp dụng trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là trong toán học và kỹ thuật (xem [17, 18]) Giải phương trình này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các khái niệm toán học liên quan Cụ thể, việc chép lại các khái niệm toán học sẽ giúp làm rõ ý nghĩa của chúng, ví dụ như trong trường hợp hàm tổng hợp (s) = (f ⊘ g) (s) = e imα.
R 2 e ia(2v 2 +2us − 2uv − 2sv) f (u)g(v)φ m (s + u − v)dudv, (3.11) thọa mÂn tẵnh hĐt dữợi Ơy: k f ⊘ g k 0 ≤ k φ n k 0 k f k 0 k g k 0 , (3.12)
Toán tỷ ủa hình nghắa bði (3.11) được suy ra từ toán tỷ ủa hình nghắa bði (2.18) Thêm vào đó, huyền ời và vai trò của v trong nghĩa này, toán tỷ (3.11) không phải là một hệ mở mới Thay vào đó, nó là một yếu tố hình nhỏ từ hệ Â sđn, phục vụ cho việc mở rộng hình thức tiếp theo Hình lỵ 2.3.4 ng úng ối với hệ (3.11) Giảm thiểu kỵ hiằu, chúng tôi đề xuất.
Mằnh ã 3.1.2 l n thiát ho hựng minh ành lỵ 3.1.6 Tuy nhiản, ph²p hựngminhho Mằnhã 3.1.2ho nto n tữỡngtỹ nhữhựngminh
Mằnh ã 3.1.1 nản húng ta s³ bọ qua.
Mằnh ã 3.1.2 (1) Náu λ 6 = 0 , thẳ D(x) 6 = 0 vợi mồi x nơm ngo i mởt khoÊng hỳu hÔn.
(2) GiÊ thiát rơng λ 6 = 0 v D(x) 6 = 0 vợi mồi x ∈ R, thẳ h m số
Quy trình hứng minh ảnh lý thuyết 3.1.6 dựa vào những kết hợp giữa hai phương trình trong ảnh lý thuyết 3.1.1 Để chứng minh, cần thiết lập điều kiện rằng D(x) ≠ 0 với mọi x ∈ R, nhằm đảm bảo tính hợp lệ trong quá trình chứng minh.
Phữỡng trẳnh (3.10) õ nghiằm trong khổng gian L 1 ( R ) náu v h¿ náu
Trong trữớng hủp n y, nghiằm ừa phữỡng trẳnh ữủ ho bði ϕ = F − α
Chứng minh rằng hàm số \( \phi \) thuộc không gian \( L^1(R) \) thỏa mãn phương trình (3.10) Để làm điều này, chúng ta sử dụng biến đổi Fourier để phân tích hai hàm số \( F_\alpha[\phi](x) \) và \( F_\alpha[\phi](x) + \phi_m(x) F_{-\alpha}[k_1](x) F_\alpha[\phi](x) \).
Trong ¯ng thự n y, thay α bði − α húng ta thu ữủ hằ hai phữỡng trẳnh h m
Bði vẳ F α [p] , F − α [p] ∈ L 1 ( R ) , v Ă h m số: λ + φ m (x) F α [k 1 ] (x) , λ + φ m (x) F − α [k 1 ] (x) , φ n (x) F α [k 2 ] (x) , φ n (x) F − α [k 2 ] (x) liản tử v bà h°n trản R, húng ta õ D F α , D F − α ∈ L 1 ( R ) Vẳ h m số 1/D(x) liản tử v bàh°n trảnR(thamkhÊoMằnh ã 3.1.2)v D F α , D F − α ∈ L 1 ( R ) , hóng ta suy ra
D ∈ L 1 ( R ) p dửng bián ời ngữủ, húng ta tẳm ữủ ổng thự nghiằm nhữ trong phĂt biºu ừa ành lỵ n y iãu kiằn n ữủ hựng minh. iãu kiằn ừ X²t h m số ϕ = F − α
Sỷ dửng Ă ¯ng thự nhƠn tỷ hõa ho ⊘ v ⊚, húng ta thu ữủ
Dỹa v o ành lỵ vã tẵnh duy nhĐt ừa F α ta õ thº kát luên rơng ϕ thọa mÂn phữỡng trẳnh (3.10) vợi hu khưp x ∈ R Do õ, mử (i) ữủ hựng minh Trữớng hủp (ii) õ thº ữủ hựng minh tữỡng tỹ nhữ nhữ trữớng hủp (i) Chựng minh ành lỵ 3.1.6 ữủ ho n tĐt.
LĐy mău v khổi phử tẵn hiằu õ dÊi tn bà h°n trong miãn F ourier ph¥n thù
ành lþ l§y m¨u
ành lỵ 3.2.1 Cho x(t) l mởt tẵn hiằu õ dÊi tn bà h°n [ − Ω h , Ω h ] theo nghắa Fourier phƠn thự, tẵn hiằu x(t) õ thº ữủ khổi phử tứ mău ãu x(nT ) b ði ổng thự x(t) = T e − i sin 2α 4
X n= −∞ x (nT ) e ia(nT ) 2 sin [2ab (t − nT ) Ω α ] ab (t − nT ) , (3.20) trongân ∈ Z,T ≤ π
X n= −∞ δ(t − nT ), (3.21) trong õ T l hu ký lĐy mău v s δ (t) l huội xung lỹ ãu vợi bián ời
Fourier ừa nõ ữủ ho bði
Sỷ dửng ành lỵ tẵh ho bián ời Fourier phƠn thự, húng ta õ
! , trong õ ∗ kỵ hiằu ho hêp ờ iºn ữủ ho bði ổng thự f (t) ∗ g(t) =
| a | δ (u − b/a) = δ(au − b), ừa h m δ , húng ta thu ữủ
Phương trình (3.23) cho thấy rằng hàm Fourier của tín hiệu Xα(u) có thể được biểu diễn bằng một chuỗi Fourier với hệ số là 1/(T csc α) Điều này dẫn đến việc hàm Fourier của Xˆα(u) có sự khác biệt so với Xα(u) khi tỉ lệ T thay đổi, đặc biệt là khi n = 0 và n ≠ 0 Sự khác biệt này ảnh hưởng đến hình dạng và tính chất của tín hiệu, cho thấy tầm quan trọng của tỉ lệ T trong phân tích Fourier.
Náu x(t) là một hàm tín hiệu được phân tích theo nghĩa Fourier, với không gian tần số Xα(u) nằm trong khoảng (-Ωh, Ωh) Điều này thể hiện sự tồn tại của các thành phần tần số trong Xˆα(u) sau khi mẫu được lấy, đặc biệt là khi có sự biến đổi.
T | csc α | ≥ 2Ω h , tù l hóng ta â tn sè l§y m¨u ω s = 2π
Do õ, X α (u) õ thº ữủ khổi phử lÔi, v Ă th nh phn phờ phƠn thự l°p lÔi khĂ s³ ữủ lồ ra bơng Ăh sỷ dửng bở lồ thổng thĐp õ hằ số T v tn số ưt Ω α ( Ω α ∈ [Ω h , ω s / | csc α | − Ω h ] ) trong miãn F ourier phƠn thự H m truyãn dăn ừa bở lồ ữủ ho bði ổng thự.
Tẵn hiểu gố x(t) là một khối phức tạp biến động trong không gian biến Fourier, thể hiện qua ngữ liệu lẫn X α (u) Việc giới hạn tần số trong khoảng giá trị [Ω h , ω s / | csc α | − Ω h ] giúp làm rõ hình thức phân tích khối ho X ˆ α (u) và gộp bọ hát thành phần án lãi.
Chúng tổi Ăp dửng ¯ng thự nhƠn tỷ (2.14) º xƠy dỹng ổng thự khổi phử ho tẵn hiằu GiÊ sỷ rơng Y ˆ α (u) = H α (u) T a õ y(t) = F − α h Y ˆ α (u)e iau 2 − iu i
− Ω α e − ia(t 2 +u 2 − 2btu) Y ˆ α (u)e iau 2 − iu du
X ˆ α (u) ˆ Y α (u) = F α [ˆ x(t) ⊙ y(t)] (u), u ra ừa bở lồ thổng thĐp ữủ ho bði x(t) =ˆ x(t) ⊙ y(t)
√ 2π e − iat 2 ˆ x(t)e iat 2 ∗ y t + 1 2ab e ia(t 2 +t/ab)
2 sin [2ab (t − τ ) Ω α ] 2ab (t − τ ) dτ, iãu n y tữỡng ữỡng vợi x(t) = T e − i sin 2α 4
X n= −∞ x (nT ) e ia(nT ) 2 sin [2ab (t − nT ) Ω α ] ab (t − nT ) (3.24) trong miãn Fourier phƠn thự.
Cổng thực khối phủ tán hiệu quả và ống thực mới đang được áp dụng để cải thiện hiệu suất Tuy nhiên, hai ống thực này xuất phát từ những ứng dụng khác nhau Cụ thể, trong khi ống thực (1.30) giữ tầm quan trọng trong việc áp dụng lý thuyết Shannon, thì ống thực còn lại lại mang đến những giá trị khác biệt trong các lĩnh vực khác.
Shannon trongmiãn Fourier phƠn thự thẳ ành lỵ lĐy mău ừa húng tổi thu ữủ tứ viằ Ăp dửng hêp liản kát vợi bián ời Fourier phƠn thự.
Ngo ira, vợi tẵn hiằuõ dÊi tn bà h°n vợiở rởng Ω h trong miãn phƠn thù gâ α , trong biºu thù (1.30) tn sè t l Ω h , án trong biºu thù
(3.20)tnsốn yữủ lỹahồnbĐtkýtrongkhoÊng[Ω h , ω s / | csc α |− Ω h ] iãu n y giúp ho ành lỵ lĐy mău ữủ ã xuĐt õ sỹ linh hoÔt hỡn trong Ăp dửng.
Mổ phọng
º minh hồa ho kát quÊ vứa trẳnh b y ð trản, húng tổi x²t vẵ dử x(t) = sin (0.6πt) e − it 2
Bði vẳ tẵn hiằu sin (0.6πt) là tẵn hiằu vợi dÊi tn bà h°n õ ở rởng dÊi tn 0.6π Tứ phƠn tẵh ừa Xia, chúng ta có x(t) là tẵn hiằu vợi dÊi tn bà h°n õ ở rởng 0.6π sin α trong miãn Fourier phƠn thự vợi cot α = 2.
Trong vẵ dử n y, húng ta õ cos α = 2
1 t real(signal) continuous time signal
Hẳnh3.1: Phn thỹừatẵn hiằu gè
Hẳnh 3.2:Phn thỹ ừatẵnhiằu ữủ khổi phử
1 t imag(signal) continuous time signal
Hẳnh 3.3: Phn Êo ừa tẵn hiằu gè
Hẳnh 3.4: Phn Êo ừa tẵn hiằu ữủ khổi phử
Sỷ dửng ành lỵ 3.2.1, hu ký lĐy mău T phÊi thọa mÂn iãu kiằn
2 Do õ, viằ hỗng lĐp phờ khổng xÊy ra sau lĐy mău náu tn số ưt nơm trong khoÊng
Biºu thự khổi phử ho tẵn hiằu gố vợi tn số lĐy mău f s = 2Hz v khoÊng thới gian [0s, 5s] ữủ ho bði x α (t) = e − 5 i π e − it 2
Hẳnh 3.1 v Hẳnh 3.3 biºu diạn mởtphn tẵn hiằu gố Hẳnh 3.2 v Hẳnh
3.4 biºu diạn mởt phn tẵn hiằu ữủ khổi phử.