Tài liệu Một số mô hình của cơ học_chương 5 docx

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng - Định luật Hooke: Trong lý thuyết đàn hồi tuyến tính dịch chuyển ui và gradient dịch chuyển được giả sựí đủ nhỏ để cho không có sựü khác biệt nhau về

Chương 5 MỘT SỐ MÔ HÌNH CỦA CƠ HỌC

A VẬT RẮN ĐÁN HỒI - LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH:

I Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng - Định luật Hooke:

Trong lý thuyết đàn hồi tuyến tính dịch chuyển ui và gradient dịch chuyển được giả

sựí đủ nhỏ để cho không có sựü khác biệt nhau về tenxơ biến dạng giữa mô tả theo Lagrange và mô tả theo Euler Ten xơ biến dạng tuyến tính được cho bởi:

( i , j i,)

i

j j

i i

j j

i ij

2

1 x

u x

u 2

1 X

u X

u 2

1











 +

=















 +

=

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ε

Nếu quá trình biến dạng xảy ra trong điều kiện đoạn nhiệt và đẳng nhiệt, thì phương trình cơ bản cho vật thể đàn hồi tuyến tính liên hệ giữa ten xơ biến dạng và tenxơ ứng suất có dạng

km ijkm

σ = :biểu thị định luật Hooke tổng quát [5.21] Trong đó tenxơ hằng số đàn hồi C ijkm có 81 thành phần Vì ten xơ ứng suất và ten

xơ biến dạng đều đối xứng do đó hằng số đàn hồi C ijkm chỉ còn lại 36 thành phần phân biệt Vậy nhằm mục đích biểu diển định luật Hooke cho 36 thành phần khác nhau nầy ta thay hệ thống hai chỉ số (với khoảng cuả mổi chỉ số là 3) của tenxơ ứng suất và tenxơ biến dạng thành hệ thống 1 chỉ số, với khoảng của chỉ số là 6 Theo các ký hiệu sau :

σ11 = σ1

σ22 = σ2

σ33 = σ3

σ23 = σ32 = σ4

σ31 = σ13 = σ5

σ21 = σ12 = σ6

ε11 = ε1

ε22 = ε2

ε33 = ε3

2ε23 = 2ε32 = ε4

2ε13 = 2ε31 = ε5

2ε21 = 2ε12 = ε6

Định luật Hooke có thể được viết: σ =K C KMεM (K, M: 1, 2, 3, 4, 5, 6) [5.22]

Trong đó C KM biểu diển cho 36 hằng số đàn hồi

[ ]









































=

66 65 64 63 62 61

56 55 54 53 52 51

46 45 44 43 42 41

36 35 34 33 32 31

26 25 24 23 22 21

16 15 14 13 12 11

KM

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

II Các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi:

1 Phương trình năng lượng biến dạng:

Theo định lý năng lượng ở chương 4 ta có:

∫

∫

∫

∫

∫

S i i V

V i i S

) n ( i i V

V

i

2

v v dt

d

ρ ρ

ρ ρ

Rút gọn ta được:

( ) ∫ ∫ ∫

∫







V i, V

V i i

V i ji , j V

2

dV C ZdV dV

b v dV

v dV

u 2

v dt

d

ρ ρ

σ ρ

2

C

1 Z b v v

1 u 2

v dt

d

ρ

σ

=







( )i ji , j i i i, i

v dt

du

ρ

σ

= + •

Cộng cho: −v•i v i = −1 v iσji , j −v i b i

dt

du

ρ

σ

=

dt

du

ρ

σ

Nếu ảnh hưởng của nhiệt không đáng kể, ta có phương trình cân bằng năng lượng:

ij ij ij

ji

1 D

1 dt

=

ρ

σ

được gọi là phương trình năng lượng biến dạng ( cơ năng)

ta có: du 1σij dεij

ρ

Nếu đặt u là hàm số của tenxơ biến dạng εij : u = u(εij), ta có:

ij ij d

u

∂ε

∂

=

ij

1 u

σ ρ

∂ε∂ =

Đặt u * = ρu , ta có:

ij

* ij

u

∂ε

∂

Dạng đơn giản nhất của hàm năng lượng biến dạng để dẫn tới quan hệ biến dạng và ứng suất là tuyến tính là:

km ij ijkm

2

1

2

1

Theo hệ thống chỉ số đơn, phương trình trên trở thành:

M K KM

2

1

u = ε ε : hàm số năng lượng biến dạng [5.30]

Vì C KM = C MK (đối xứng) nên hằng số đàn hồi có tối đa 21 trị số khác nhau

2 Hằng số đàn hồi của môi trường đẳng hướng:

a. Môi trường đẳng hướng:

Vật thể có tính đàn hồi giống nhau cho mọi hướng bao hàm tính chất đối xứng hoàn toàn được gọi là đẳng hướng Mọi mặt phẳng cũng như mọi trục đều là mặt đối xứng hay là trục đối xứng đàn hồi

b Hằng số đàn hồi của môi trường đẳng hướng:

Chỉ còn lại 2 hằng số độc lập λ và µ gọi là hằng số Lamê.

[ ]

( )

( )

( )









































+ +

+

=

µ µ µ

µ λ λ

λ

λ µ

λ λ

λ λ

µ λ

0 0 0

0 0

0 0

0 0

0

0 0 0

0 0

0 0 0 2

0 0 0 2

0 0 0 2

Vậy định luật Hooke cho môi trường đẳng hướng được viết:

ij kk

ij

hay:

( ) ij kk ij

1 2

3

µ σ

δ µ λ µ

λ

+

−

Đối với trạng thái ứng suất đơn trục đơn giản theo một phương, giả sử theo hướng

x 1 Hằng số kỹ thuật E gọi là mô đun đàn hồi Young và hệ số Poisson ν được đưa vào cho môi trường đẳng hướng thay cho các hằng số đàn hồi, ta có:

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng cùng phương như sau:

11

11 Eε

và quan hệ giữa biến dạng theo phương x1 với biến dạng theo 2 phương vuông góc

So sánh các công thức xác định ứng suất và xét quan hệ giữa các biến dạng ta rút ra:

( ν)( ν)

ν λ

2 1 1

E

− +

( ν)

µ

+

=

1 2

E

[5.36]

( ) :( )N m 2 2

2 3 E

µ λ

µ λ µ

+

+

(λ µ)

λ ν

+

=

Các công thức xác định ứng suất và biến dạng lúc này trở thành:













−

+ +

ij

2 1 1

ν

ν ε

ν

E E

1

σ δ

ν σ

ν

Đối với trạng thái áp suất thủy tĩnh đồng nhất của ứng suất, mô đun khối được định nghĩa là tỉ số giữa áp suất và sự co giãn thể tích:

ii

p K

ε

−

= là :

) 2 1 ( 3

E K

ν

−

3

) 2 3 (

Đối với trạng thái thuần ứng suất cắt, mô đun cắt G là quan hệ giữa các thành phần

ứng suất tiếp và biến dạng trượt

( ν)

µ

+

=

=

1 2

E

III Bài toán Tĩnh đàn hồi và Động lực đàn hồi:

1 Bài toán Tĩnh đàn hồi:

Đối với vật thể đồng chất đẳng hướng dựa vào các phương trình sau đây:

a Phương trình cân bằng:

b i j

,

ji + ρ =

σ

b Định luật Hooke:

ij kk

ij

c Quan hệ biến dạng và chuyển vị:

( i , j i,)

2

=

ε

Thay phương trình (c) vào (b) sau đó thay vào (a) ta được phương trình Navier -Cauchy:

( )u b 0

Nghiệm của bài toán là vectơ chuyển vị ui phải thỏa mản phương trình trên với các

điều kiện biên được cho đầy đủ dưới dạng chuyển vị: u i g i( )Xr

2 Bài toán đàn hồi động lực:

Phương trình cân bằng được thay thế bằng phương trình của chuyển động:

i i j ,

ij ρb ρv&

Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên được xác định trước Phương trình động lực đàn hồi có dạng:

( ) j , ji i i jj

,

u λ µ ρ ρ&&

Nghiệm của bài toán có dạng u i =u i( )xr t phải thỏa các điều kiện ban đầu của chuyển động:

( )x , 0 u

u i = i r và u&i =u&i ( xr, 0 ) [5.44]

và điều kiện biên dưới dạng chuyển vị:

( )x t, g

hoặc dưới dạng ứng suất mặt: t t ( n )( )x t,

i ) n (

IV Định lý độc lập tác dụng - Tính duy nhất nghiệm:

1 Định lý độc lập tác dụng: ( định lý cộng tác dụng)

Vì những phương trình đàn hồi tuyến tính là những phương trình tuyến tính Nên các nguyên lý độc lập tác dụng được phát biểu như sau: Nếu ( 1 )

i ) 1 (

ij , u

σ đặc trưng

cho 1 nghiệm của hệ phương trình (a), (b), (c) với lực khối là bi(1) và ( 2 )

i ) 2 (

ij , u

trưng cho 1 nghiệm của hệ phương trình (a), (b), (c) với lực khối là bi(2) thì:







+

=

+

=

) 2 ( i ) 1 ( i i

) 2 ( ij ) 1 ( ij ij

u u u

σ σ σ

của hệ phương trình đối với lực khối ( 2 )

i ) 1 ( i

2 Tính duy nhất nghiệm:

Nghiệm của bài toán tĩnh đàn hồi tổng quát của vật thể đàn hồi có tính duy nhất Tính duy nhất nghiệm này được chứng tỏ bởi nguyên lý độc lập tác dụng cùng với định luật bảo toàn năng lượng

3 Nguyên lý St Venant:

Phát biểu về sựü khác biệt xãy ra trên ứng suất và biến dạng tại các vị trí

khác nhau bên trong vật rắn đàn hồi như sau: “ Đối với những vị trí đủ xa miền đặt tải trọng, những sự khác biệt nói trên là không đáng kễ “.

Tức là nếu tác dụng lên một bộ phận của vật thể một hệ tải trọng tự cân bằng thì hệ tải trọng nầy chỉ gây nên những ứng suất cục bộ giảm rất nhanh theo khoảng cách đến vị trí đặt tải trọng

Tại các điểm của vật rắn có khoảng cách đủ xa đến miền đặt tải trọng, ứng suất rất ít phụ thuộc vào cách đặt lực cụ thể ( Tải trọng phân bố trên miền nhỏ của

bề mặt vật thể có thể thay bằng lực tập trung.)

V ĐÀN HỒI HAI PHƯƠNG ỨNG SUẤT PHẲNG VÀ BIẾN DẠNG PHẲNG:

Nhiều bài toán đàn hồi có thể giải hai phương hoặc bằng lý thuyết đàn hồi phẳng Thường có hai dạng bài toán:

-Bài toán ứng suất phẳng, dạng hình học của vật thể phải là dạng bản mỏng, có kích thước của một chiều rất nhỏ hơn hai chiều còn lại Tải trọng tác dụng đều lên chiều dày của bản và có phương song song với mặt bản

- Bài toán biến dạng phẳng, dạng hình học của vật thể phải là hình trụ hoặc lăng trụ với một chiều có kích thước phải lớn hơn nhiều so với hai chiều còn lại Tải trọng tác dụng phân bố đều lên cạnh dài nhất và có phương vuông góc với nó 5.1 Bài toán ứng suất phẳng:

Trong đó các thành phần ứng suất bao gồm

23 13

33 ,σ ,σ

σ được lấy = 0 ở mọi nơi, các thành phần còn lại có giá trị là các hàm số của

x 1 , x 2 mà thôi.

) 2 , 1 , (

; ) x , x

Tương ứng, các phương trình cơ bản cho bài toán ứng suất phẳng là:

a σαβ,β +ρbα =0 [5.48]

b εαβ νσαβ ν δαβσγγ

E E

αα σ

ν ε

E

33 = ( α β β α)

αβ

2

Trong đó

























∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

2

2 1 2 2

1 1 1 ,

x

u x u x

u x

u





















=

0 0 0

0

0 22 12

12 11

σ σ

σ

σ





















=

33

22 12

12 11

0 0

0 0

ε

ε ε

ε

ε

εαβ

Do dạng đặc biệt của ten xơ biến dạng trong trường hợp ứng suất phẳng, sáu phương trình tương thích (chương 3) có thể giãm còn 1 phương trình với độ chính xác hợp lý cho bản rất mỏng:

12 , 12 11

, 22 22 ,

Theo thành phần chuyển vị uα , nếu kết hợp các phương trình cơ bản lại ta có phương trình chủ đạo như sau:

0 b u

) 1 ( 2

E u

) 1 ( 2

E

,

− +

∇

ν

5.2 Bài toán biến dạng phẳng:

x 2

x 2

Hình 5-1

Thành phần chuyển vị u3 = 0 và các thành phần còn

lại là hàm số của x1 , x 2 mà thôi.

) x , x ( u

Trường hợp này các phương trình cơ bản là:

b σαβ =λδαβεγγ +2µεαβ [5.54]

αα

µ λ

λ νσ

σ

) (

2

c εαβ (uα,β uβ,α)

2

1

+

Từ a, b, c, phương trình Navier cho biến dạng phẳng có dạng:

0 b u

) (

Giống như bài toán ứng suất phẳng, các phương trình tương thích cho biến dạng phẳng cũng trở thành một phương trình như [5.51]

VI HÀM ỨNG SUẤT AIRY:

Nếu lực khối bằng không hoặc hằng số, thì nghiệm của bài toán đàn tĩnh phẳng (biến dạng phẳng hoặc ứng suất phẳng suy rộng) thường được giải bằng hàm ứng suất Airy Ngay khi lực khối bắt buột phải đưa vào tính toán thì người ta có thể dùng nguyên lý cộng tác dụng để tính thêm vào tác dụng của nó bằng cách tích phân riêng các phương trình vi phân tuyến tính cơ bản

Đối với bài toán đàn tĩnh phẳng khi lực khối = 0 , phương trình cân bằng trở thành:

0 ,β = αβ

và phương trình tương thích [5.51] biểu diễn bằng ứng suất có dạng như sau:

0 )

các thành phần ứng suất được cho dưới dạng đạo hàm riêng phần của hàm ứng suất Airy φ =φ( x 1 , x 2 )như sau:

11 , 22

; 12 , 12

; 22 ,

Phương trình cân bằng [5.57] cũng được thỏa và điều kiện tương thích [5.58] trở thành phương trình điều hoà kép:

0 ,

, 2 , )

Những hàm số thoả mản [5.60] được gọi là hàm điều hòa kép

VII CÁC BÀI TOÁN ĐÀN HỒI TĨNH 2 PHƯƠNG TRONG TOẠ ĐỘ CỰC:

Để tiện lợi người ta thường dùng hệ tọa

độ cực (r , θ) để quy

chiếu dạng hình học của vật thể trong bài toán đàn tĩnh 2 phương Các phương trình biến đổi toạ độ là:

θ

cos r

θ

sin r

ứng với các thành phần ứng suất trong hình 5-3 phương trình cân bằng có dạng:

x 3

x 1

x 2

Hình 5-2

x1

x2

θr

σrr

dr

dr r

rr

rr ∂

∂ + σ σ

θ θ

∂

σ

∂ +

Hình 5-3

0 R r

r

1 r

rr r

∂

∂ +

∂

θ

σ

0 Q r

2 r r

∂

∂ +

∂

θ

trong đó R và Q là các thành phần của lực khối trên đơn vị thể tích theo các phương

Dùng hàm ứng suất Airy Φ =Φ r ,θ) thành phần ứng suất được cho bởi:

2

2 2 rr

r

1 r r

1

θ

Φ Φ

σ

∂

∂ +

∂

∂

2

2 r

∂

∂

= Φ













∂

∂

∂

∂

−

=

θ

Φ

σ θ

r

1 r

Điều kiện tương thích dẫn tới phương trình điều hòa kép:

0 )

trong tọa độ cực 2 2 2 2 2 2

r

1 r r

1

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

=

∇

B CHẤT LƯU:

I Áp suất chất lưu - Tenxơ ứng suất nhớt:

Khi chất lưu ở trạng thái tĩnh, vectơ ứng suất ( n )

i

t ∧ trên 1 mặt phân tố bất kỳ thì cùng phương với pháp tuyến n) của mặt đó và có độ lớn bằng nhau ở mọi phương tại 1 điểm cho trước Do đó:

i o j

ij ) n (

trong đó po là cường độ ứng suất hay áp suất thủy tĩnh Dấu âm chỉ ứng suất nén Ở

đây mọi phương đều là phương chính, ta có:

ij o

đặc trưng cho trạng thái ứng suất cầu

Thành phần ứng suất tiếp tuyến ở đây bằng không khi chất lưu ở trạng thái tĩnh Đối với chất lưu chuyển động thành phần ứng suất tiếp thường khác không và ten

xơ ứng suất trong trường hợp này được viết:

ij ij

trong đó τij là ten xơ ứng suất nhớt (ma sát).

p là áp suất ( thủy động)

Tất cả chất lưu thực đều có tính nhớt và tính nén được Tuy nhiên, các tính chất này thay đổi tùy theo loại chất lưu và trong một số trường hợp có thể bỏ qua các ảnh hưởng của nó mà vẫn không làm mất sự chính xác khi tính toán Tương ứng khi bỏ qua tính nhớt ta có chất lưu hoàn hảo trong đó τij = 0 ngay cả khi chất lưu này

chuyển động, ngược lại ta sẽ có chất lưu nhớt Từ [5.3] ứng suất pháp bình quân được cho bởi:

ii 3

1 ii

3

Trường hợp chất lưu đứng yên τij = 0 và p trở thành p o và bằng trừ ứng suất pháp

bình quân

Với chất lưu nén được: Áp suất p, khối lượng riêng ρ và nhiệt độ tuyệt đối T có liên

quan với nhau bởi phương trình:

p = p(ρ, T). [5.3b] Chẳng hạn như phương trình trạng thái biểu diễn định luật khí lý tưởng:

• Với sựü thay đổi của chất lưu có phương trình trạng thái không phụ thuộc nhiệt

độ, p = p(ρ), được gọi là quá trình barotropic Chẳng hạn như quá trình đẳng

nhiệt trong khí lý tưởng là một thí dụ

II Phương trình Navier-Stokes:

1 Quan hệ giữa tenxơ ứng suất và tenxơ vận tốc biến dạng:

Thành phần của ten xơ ứng suất ma sát trong ten xơ ứng suất có liên quan đến sựü tiêu hao năng lượng Người ta giả sử rằng tenxơ ứng suất nhớt τij là hàm số của ten

xơ vận tốc biến dạng Dij

Nếu quan hệ hàm số không tuyến tính ta có:

( )pq ij

ij =f D

thì chất lưu được gọi là chất lưu Stokes

Khi hàm số là tuyến tính ta có chất lưu Newton

pq ijpq

ij =K D

trong đó K ijpq là hệ số nhớt

Đối với chất lưu Newton đẳng hướng và đồng chất, phương trình cơ bản có dạng:

ij

* kk ij

* ij

trong đó λ* và µ* là hệ số nhớt của chất lưu Từ [5.6] ta có giá trị ứng suất pháp bình

ii 3

1σ = −p+ ( 3λ* +2µ*) D = −p+κ* D [5.6a] trong đó κ* = 3 1 ( 3λ*+2µ*) được gọi là hệ số nhớt thể tích Khi κ* =λ*+3 2µ* =0

được gọi là điều kiện Stokes

Theo thành phần tenxơ lệch ta có 3 1 ij kk

ij ij

ij

'

D = − δ , phương trình [5.6] được viết thành:

ij ii

3

2 ij

ij kk

ij 3

1

Từ [5.6a] và [5.6b] ta có:

ij

ij 2 * D '

ii

ii 3 p 3κ* D

[5.6c] phản ánh thành phần biến dạng trượt của chất lưu và [5.6d] cho ta quan hệ biến dạng thể tích

2 Phương trình Navier-Stokes-Duhem: Thay thế trị số σij vào phương trình chuyển động ta được:

* ii ij

* ij i

jj , i

* ij , i ij

* ij j ,

=

Suy ra: ρv•i = ρb i −p i, +(λ* +µ*)v j , ij +µ* v i , jj [5.8]

Khi dòng chảy không nén được: v j , j =0, ta có phương trình Navier-Stokes cho chất lưu không nén được

jj , i

* i, i

III Dòng ổn định - Thủy tĩnh - Dòng không xoáy:

1 Dòng ổn định: Khi vận tốc độc lập với thời gian Tức là đạo hàm riêng của vận tốc 0

t

∂

∂ Do đó đạo hàm của vận tốc sẽ là:

j , i j j , i j

i i

t

v v t d

v d

= +

=

= •

∂

∂

2 Thủy tĩnh: Khi dòng ổn định có vận tốc bằng 0 ở mọi nơi phương trình

Navier-Stokes trở thành phương trình cân bằng thủy tĩnh:

i ,

3. Dòng không xoáy: là dòng có tenxơ xoáy triệt tiêu mọi nơi Vectơ xoáy qi liên

hệ với tenxơ xoáy bởi phương trình:

0 v V

Vì ∇x ×v→ =0 là điều kiện cần và đủ cho thế vận tốc φ hiện hữu Vectơ vận tốc trong dòng không xoáy là:

i, i

IV Chất lưu lý tưởng - Phương trình Bernoulli:

Nếu hệ số nhớt λ* vaì µ* bằng không thì chất lưu được gọi là chất lưu lý tưởng hay chất lưu không nhớt (không ma sát) Phương trình Navier Stokes trở thành:

i, i

gọi là phương trình Euler của chuyển động

Đặt: b i =−Ωi, và ( )=∫p

p o

dp p

P

ρ

ta có: v•i =−(Ω +P)i, gọi là phương trình Euler của chuyển động Nếu phương trình Euler được tích phân dọc theo đường dòng ta sẽ được phương trình Bernoulli có dạng:

( )

+ +

t

v 2

v

∂

∂

trong đó Ω là hàm thế, P là hàm áp suất

Chứng minh: gọi dxi là vectơ gia số của dịch chuyển dọc theo đường dòng Nhân vô

hướng cho phương trình Euler và tích phân ta được:

( )

∫

∫

∫ dx + dx + P dx =C t t

d

dv

i i, i i, i

mà ta có: ∫ =∫ i i +∫ j j i

i i

dx v v dx t

v dx

t d

v d

∂

∂

và: ∫Ωi, dx i =∫dΩ =Ω;∫P i, dx i =∫dP =P

Vậy: ( ) dx v v dx P

t

v t

∂

∂

v

v











v

v v v dS v

v v v dx v

j , i i

i j , i j i j , i j

= i i , j j i i v i v i

2

1 dv v dx v

∫

Cuối cùng: ( )= + + 2 +∫ i dx i

t

v v

2

1 P t

C

∂

∂ Ω

Đối với dòng ổn định: 0

t

∂

∂ và C(t) trở thành hằng số Bernoulli C, nói chung sẽ

khác nhau cho các đường dòng khác nhau

Trong dòng không xoáy, C là hằng số mọi nơi trong trường chảy.

Khi lực khối chỉ gồm trọng lực, thế Ω = g.h ; trong đó g là gia tốc trọng trường, h là độ

cao so với cao trình chuẩn

Đặt:

g

P

h p = là cột áp suất và 2 h v

g 2

v = là cột lưu tốc Vậy phương trình Bernoulli thỏa điều kiện tổng cột áp toàn phần dọc theo đường dòng bất kỳ là hằng số Ta có:

const g

2

v g

p h h h h

2 v

+

V Dòng chảy có thế - Dòng chảy có thế phẳng:

Dòng chảy có thế: là dòng chảy không xoáy, có vectơ vận tốc là:

i, i

Đối với dòng chảy có thế không nén được phương trình liên tục có dạng:

0 ii , =

Đối với dòng thế nén được Phương trình liên tục có dạng:

trong đó C là vận tốc âm thanh trong chất lưu Còn gọi là phương trình khí động lực

học

Dòng chảy có thế phẳng: là dòng có thế không nén được song song với mặt phẳng

0

trong đó α là chỉ số có khoảng xác định là 2.