CHƯƠNG 4 TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA MẠCH TUYẾN TÍNH Mạch điện xét là mạch tuyến tính hệ số hằng nên cần làm rõ tính chất cơ bản của nó là tính tuyến tính tức là quan hệ tuyến tính giữa các bi
Trang 1CHƯƠNG 4 TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA MẠCH TUYẾN TÍNH
Mạch điện xét là mạch tuyến tính hệ số hằng nên cần làm rõ tính chất cơ bản của nó là tính tuyến tính tức là quan hệ tuyến tính giữa các biến trạng thái Đối với các biến điều hòa, quan hệ này đặc trưng bởi những hàm truyền đạt ảnh phức Ngoài ra còn có tính đối xứng, tính tương hỗ, nên cần phải nắm thật vững để vận dụng trong phân tích, tính toán mạch tuyến tính
Quan hệ tuyến tính giữa các biến
Định nghĩa :
Các biến trạng thái x1(t), , xk(t) gọi là các đáp ứng liên hệ với nhau và với kích thích f1(t), , fk(t) bởi một hệ phương trình vi tích phân tuyến tính, ta bảo các biến ấy quan hệ tuyến tính với nhau
Ta xét trường hợp riêng rất phổ biến là khi có các hệ số hằng Ví dụ dòng, áp trong mạch Kirhof tuyến tính liên hệ với nhau trong hệ phương trình tuyến tính dạng :
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
∑
∑
∑
∑
e u
j u
Y hay
e i
Z
j i
(4-1)
Trong đó có :
C
D R LD dt C
1 dt
d L R Z
1
−
+ +
= +
+
hay :
L
D g D C Y
1
−
+ +
=
Ý nghĩa các quan hệ tuyến tính :
Một quan hệ tuyến tính với những toán tử và hệ số đã cho là đặc trưng toàn bộ của mạch tuyến tính Do đó dùng những quan hệ tuyến tính ấy có thể xây dựng những phương pháp khảo sát mạch Từ quan hệ tuyến tính đó đưa ra hai tính chất cơ bản của mọi qua hệ tuyến tính :
Tính chất tuyến tính giữa đáp ứng và kích thích
Tính chất xếp chồng đáp ứng đối với các kích thích
Quan hệ tuyến tính giữa các biến điều hòa
Quan hệ tuyến tính giữa các ảnh phức :
Khi biến điều hòa dùng biểu diễn phức thì hệ vi tích phân tuyến tính thành hệ đại số với ảnh phức Ta sẽ có quan hệ giữa các biến với nhau qua hệ số phức :
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
.
.
.
.
E U
J U
Y hay
E I
Z
J I
(4-2)
Trong đó :
.
.
U Y I , I Z U , Z
1 Y , C
1 L j R
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ω
− ω +
= Một số định lý về quan hệ tuyến tính giữa các đáp ứng và kích thích :
Dựa vào quan hệ tuyến tính trên ta có các định lý :
Trong một mạch tuyến tính mô tả bởi hệ phương trình tuyến tính nếu chỉ có một
.
F
.
E
.
.
.
.
I
Trang 2sẽ liên hệ tuyến tính với kích thích dạng : m(4-3) Trong đó T
km k
.
F T
thuộc vào tần số ω Tkm là hàm truyền đạt riêng từ ở nhánh m sang nhánh k tạo ra
m
.
F
k
.
X
Ví dụ : Lập quan hệ tuyến tính dòng các nhánh với Sđđ trong sơ đồ mạch hình (h.4-1) Từ đó xác định các hàm truyền đạt tương ứng Giải ra các dòng điện theo :
1
.
E
1
.
E
3 2 3 1 2 1
3 2 1
3 2
3 2 1
1 1
.
Z Z Z Z Z Z
) Z Z ( E Z
Z
Z Z Z
E I
+ +
+
= + +
=
3 2 3 1 2 1
3 1
3 2
3 1 2
Z Z Z Z Z Z
Z E Z
Z
Z I I
+ +
= +
=
3 2 3 1 2 1
2 1
3 2
2 1 3
Z Z Z Z Z Z
Z E Z
Z
Z I I
+ +
= +
=
11 3 2 3 1 2 1
3 2 11
1 11
1
.
Y Z Z Z Z Z Z
Z Z T
E T
+ +
+
=
→
21 3 2 3 1 2 1
3 21
1 21
2
.
Y Z Z Z Z Z Z
Z T
E T
+ +
=
→
=
31 3 2 3 1 2 1
2 31
1 31
3
.
Y Z Z Z Z Z Z
Z T
E T
+ +
=
→
=
Z2
I.2
I.1
I.3
E.1
h.4-1
Trong mạch tuyến tính nếu có n nguồn kích thích , , thì mỗi đáp ứng sẽ quan hệ tuyến tính với ít nhất n kích thích dạng :
1
.
.
.
X
n kn k
kk 1
1 k
.
F T
F T
F T
Trong đó Tkn(ω) là những hàm truyền đạt riêng từ mỗi kích thích ở nhánh thứ n đến đáp ứng ở nhánh thứ k Rõ ràng dạng (4-4) là sự xếp chồng những đáp ứng dạng (4-3) Vậy (4-4) là tính xếp chồng đáp ứng đối với các kích thích Có thể phát biểu như sau : " Trong một mạch tuyến tính có nhiều nguồn tác dụng thì đáp ứng ở một nhánh
do nhiều nguồn tác động đồng thời gây ra bằng tổng đại số các đáp ứng do từng nguồn riêng rẽ gây ra tại nhánh đó "
Minh họa tính xếp chồng bằng hình (h.4-2) :
31 33 3 23 21 2 13 11
.
1
.
I I I , I I I , I I
Z1
I.2
Z2
I.11
I.21
Z3
Z1
Z2
=
E.3
E.1
I.33
.
Z3
Z1
Z2
E.3 +
h.4-2
Trang 3Trong đó : là dòng do một mình gây ra, là dòng do một mình gây ra Vậy nguyên lý xếp chồng giúp thêm một giải pháp tính mạch phức tạp
31 21
11,I ,I
3
.
E
Từ đó suy ra : trong mạch có nhiều kích thích cùng tần số, nếu chỉ có một kích thích biến động thông số (thay đổi về trị hiệu dụng và góc pha) còn các kích thích khác xác định, thì có thể viết mỗi đáp ứng liên hệ tuyến tính với riêng dạng :
(4-5)
1
.
F
k
.
.
F
0 1
.
1
k
.
X F
T
Từ (4-4) ta thấy chính là tổng những số hạng và là một số phức xác định vì các nguồn tương ứng gây nên chúng là không đổi
0
.
.
klF
.
X
Cũng suy tương tự nếu có hai nguồn biến thiên là 1, thì :
.
.
F
0 2 2 1 1 k
.
X F T F T
Nếu có l nguồn biến thiên 1, , , :
.
.
.
F
0 l kl 2
2 1 1 k
.
X F T
F T F T
Quan hệ tuyến tính giữa các đáp ứng :
Khi trong mạch tuyến tính có một thông số biến thiên (hoặc một nguồn kích thích thay đổi) thì đáp ứng ở nhánh k là liên hệ tuyến tính với đáp ứng ở nhánh j bất
k
.
.
X B
X A
kj k
.
+
= Quan hệ này được suy ra từ (4-5)
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
+
=
0 j 1 1 j j
.
0 1 1 k
.
X F T
X
X F T
X
coi là 1thay đổi
.
F
Thực hiện việc biến đổi khử 1lập quan hệ giữa ,
.
.
.
X
-
0 j 1 1 j 1 1 1
j
.
0 1 j 1 j 1 1 1
j
k
.
X T T F T T
X
X T T F T T
X
+
=
+
=
-
B X A ) T
T X X ( T
T X X X
T X T T X T
kj 1
j
1 0 j 0 1 j
1 j k 0 j 1 0 1 j 1 j 1
j
k
.
+
=
− +
=
→
−
=
−
Khi trong mạch tuyến tính có hai thông số (hoặc hai nguồn) biến thiên Thì ba đáp ứng ở ba nhánh bất kỳ sẽ liên hệ nhau trong biểu thức tuyến tính dạng :
0 2 2 1 1 k
.
X X A X A
Nếu có l thông số biến thiên thì các đáp ứng liên hệ nhau như sau :
0
l kl 2
2 1 1 k
.
X X A
X A X A
Ví dụ : Lập quan hệ với trên tải Z
.
U
.
I t biến động ở sơ đồ mạch như hình (h.4-3)
Trang 4Vì mạch có một phần tử biến động nên U( )là quan hệ bậc nhất dạng (4-8)
.
B I A U
.
+
= Cần phải xác định các hệ số A, B Ta thấy quan hệ trên phải đúng với mọi chế độ của mạch điện Ta xét quan hệ trên ở hai chế độ hở mạch và ngắn mạch tải để rút ra A, B (tất nhiên có thể xét ở hai chế dộ bất kỳ)
b
a
I.
U.
Zt
Z2
Z1
E.1
.
=
hở mạch cực a, b nên :
2 1
2 1 hở
.
Z Z
Z E U
U
+
=
h.4-3
hở hở
.
U B B
0
A
Khi ngắn mạch tải : Zt = 0 nên
1 1 ngắn
.
Z
E I
, 0
2 1
1 2 1
2 1
1 2 1
2 1
2 1
1 1 hở 1 1 ngắn
hở
.
Z Z
Z Z E
) Z Z (
Z Z E A
0 Z Z
Z E A Z
E U A Z
E B I
A
0
U
+
= +
−
=
→
= + +
= +
= +
=
=
Vậy :
2 1
2 1
2 1
2 1
Z Z
Z E I Z Z
Z Z U
+
+ +
−
=
Các hàm truyền đạt của mạch tuyến tính hệ số hằng
Ta xét hàm truyền đạt Tkm trong những trường hợp cụ thể :
Hàm truyền đạt áp : Chỉ khả năng cấp áp cho nhánh l từ riêng một nguồn áp ở nhánh thứ k :
k l
Ulk
E
U K
∂
∂
l Ulk = =
Hàm truyền đạt dòng : Đo khả năng cấp dòng vào nhánh l từ một mình nguồn dòng
ở nhánh thứ k :
k l
Ilk
J
I K
∂
∂
l Ilk = =
Hàm tổng dẫn : Đo khả năng truyền dòng đến nhánh thứ l từ một mình nguồn áp ở nhánh thứ k :
k l
lk
E
I Y
∂
∂
k k
kk
E
I Y
∂
∂
gọi là tổng dẫn vào, chỉ rõ khả năng tạo dòng ở nhánh k do một mình nguồn áp ở chính nhánh đó
Hàm tổng trở :
Trang 5Tổng trở vào :
k
k kk
J
U Z
∂
∂
Tổng trở tương hỗ :
k l
lk
J
U Z
∂
∂
Các hàm truyền đạt là những thông số đặc trưng của mạch có tính toàn cục, nó
phụ thuộc cấu trúc, thông số, tần số, không phụ thuộc vào kích thích, nó biễu diễn theo
tần số gọi là đặc tính tần Có thể đo, tính bằng thực nghiệm
Hình vẽ (h.4-4) cho mô tả quan hệ tạo tổng trở, tổng dẫn :
I.k
Zl
U l
Il
U.k
I k
Zkk
Ykk
U k
h.4-4
Tính đối xứng, tính tương hỗ của mạch :
Tính đối xứng : Truyền đạt giữa nhánh k và l của mạch gọi là đối xứng khi thỏa
mãn : Tlk = Tkl với tất cả 4 loại truyền đạt Tức là bảo đảm :
⎩
⎨
⎧
=
=
=
=
kl lk kl lk
Ikl Ilk
Ukl Ulk
Z Z , Y Y
K K
, K K
(4-17) Tính tương hỗ : Mạch có tính tương hỗ khi thỏa mãn quan hệ :
⎩
⎨
⎧
=
=
kl lk
kl lk
Z Z
Y Y
Từ quan hệ (4-18) thấy khi đặt áp vào nhánh k gây trong nhánh l dòng
thì khi chuyển áp đó đặt sang nhánh l sẽ gây trong nhánh k dòng điện
k
.
U
k
.
lk
l
.
U
Y
I =
l k lk l
.
kl
k
.
I U Y U
Y
Tính tương hỗ đôi khi còn gọi là nguyên lý tương hỗ nhiều khi được vận dụng để
giải ra đáp ứng của một nhánh theo đáp ứng của một nhánh khác ứng với sơ đồ dễ tính
toán hơn Điều đó được minh họa qua sơ đồ ở hình (h.4-5) :
h.4-5a h.4-5b
2
5
E
2 4
I 6
6
Trang 6Việc tính ở nhánh 5 sơ đồ hình (h.4-5a) bằng việc tính toán ở nhánh 6 của
sơ đồ hình (h.4-5b) Tức ở hình (h.4-5a) bằng ở hình (h.4-5b)
5
.
.
I
5
.
.
I Lưu ý chiều của đặt vào nhánh 6 ở hình (h.4-5b) cùng chiều với dòng ở hình (h.4-5a) Ta thấy mạch Kirhof chứa các phần tử thụ động R, L, C đều có tính tương hỗ Còn mạch chứa các đèn điện tử, bán dẫn là mạch không tương hỗ Mạch tương hỗ thì bảng Z
.
.
I
nh, Yđ sẽ đối xứng qua trục chéo chính
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
nn 2
1
n 22
21
n 12
11 nh
Z
Z Z
Z
Z Z
Z
Z Z
Các phần tử trên đường chéo chính Z11, Z22, , Znn là tổng trở phức các nhánh Các phần tử ngoài đường chéo chính Zji = Zij (với i≠j) là tổng trở phức hỗ cảm giữa các nhánh i và j suy ra Zij = jXij = jωMij
Ma trận tổng dẫn nhánh của mạch hỗ cảm là nghịch đảo của ma trận Znh
nh
nh Z
Từ (4-17), (4-18) ta thấy mạch có thể tương hỗ nhưng chưa chắc đã đối xứng Nhưng mạch đã đối xứng thì đương nhiên là tương hỗ Ví dụ như mạch ở hình (h.4-6) :
Có : M12 = M21 nên Y12 = Y21 , Z12 = Z21 vậy mạch tương hỗ Nhưng :
21 U 12 U 1
2 1
2 21 U
2 1 2
1 12 U
K K
W
W U
U K
W
W U
U K
≠
→
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=
=
=
=
vậy mạch không đối
xứng
W2
W1
∗ ∗
M
h.4-6
