Bài tập VDC tiệm cận của đồ thị hàm số có lời giải chi tiết

x+2 , sao cho x−2 tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là nhỏ nhất.. Tọa độ điểm M là:.[r]

Trang 1

 Bậc của P x( ) lớn hơn bậc của Q x ( ) lim

    Không có tiệm cận ngang

Dạng 2: y f x u= ( )= − v (hoặc u− v): Nhân liên hợp y f x ( ) u2 v

3 - Kĩ thuật "ước lượng bậc nhỏ hơn"

− khi x→ ±∞ ⇒ = ±y 1 là hai đường TCN

4 - Kỹ năng sử dụng máy tính (tham khảo):

Trang 2

− +

=

− − có bao nhiêu đường tiệm cận?

Câu 4: (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

2 2019

x y

Trang 3

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2

Trang 4

Câu 15: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số

có bao nhiêu đường tiệm cận?

Câu 16: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Đồ thị hàm như hình vẽ Hỏi đồ thị

hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Câu 17: Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

4 2( )

f x =ax bx c+ +

2018( )

Trang 5

A B C D

Trang 6

Câu 21: (Chuyên Thái Nguyên) Cho hàm số f x( )=ax3+bx2 +cx d a b c d R+ ( , , , ∈ ) có đồ thị như

( 2)( )

Trang 7

Câu 24: Cho hàm số 2

1

x y x

−

=+ có đồ thị ( )C Phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số ( )C tạo với

hai đường tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất Khi đó, khoảng cách

từ tâm đối xứng của đồ thị ( )C đến ∆ bằng?

− Gọi M là điểm bất kỳ trên (C), d là tổng khoảng cách từ M đến hai

đường tiệm cận của đồ thị (C) Giá trị nhỏ nhất của d là

Câu 26: Số điểm thuộc đồ thị (H) của hàm số 2 1

1

x y x

−

=+ có tổng các khoảng cách đến hai tiệm cận của (H) nhỏ nhất là

Câu 27: (Sở Vĩnh Phúc) Cho M là điểm có hoành độ dương thuộc đồ thị hàm số 2

2

x y x

+

=

− , sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là nhỏ nhất Tọa độ điểm M

+

=+ có đồ thị ( )C Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của đồ thị

( )C đến một tiếp tuyến của ( )C Giá trị lớn nhất của d có thể đạt được là:

DẠNG 2 TIỆM CẬN CHỨA THAM SỐ

Câu 30: (ĐH Vinh Lần 1) Có bao nhiêu giá trị nguyên để đồ thị hàm số có đúng

m m

Trang 8

Câu 32: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Cho hàm số 22 1

ax x y

x bx

+ −

=+ + có đồ thị ( )C ( a b, là các hằng số dương, ab = ) Biết rằng 4 ( )C có tiệm cận ngang y c= và có đúng 1 tiệm cận đứng Tính tổng

3 25

x mx m Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc

đoạn [−6;6] của tham số m để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận?

h x =mx nx+ + px qx+ (m n p q ∈ Hàm số , , , ) y h x= ′( ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Tìm các giá trị m nguyên để số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g x là ( ) 2

Trang 9

Câu 39: (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho hàm số

2

11

+

=

+

x y

ax có đồ thị ( )C Biết rằng ( )C có tiệm cận

ngang và tồn tại tiếp tuyến của ( )C song song và cách tiệm cận ngang của ( )C một khoảng bằng

3 Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

x

+

=+ có đúng một đường tiệm cận

A − ≤ <1 m 0 B − ≤ ≤1 m 0 C m < − 1 D m > 0

Câu 41: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số 2 4 2

3

x y mx

m m

=

− + có đồ thị ( )C Tìm tập m S tất cả các giá trị của tham số thực m để ( )C có đúng hai tiệm cận đứng m

x ax b y

Trang 10

Câu 47: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số 2 1 2017

x y

− +

=

− + + có đúng ba đường tiệm cận?

A m >2 hoặc m < − 1 B 2<m<3

Câu 48: Số các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y= mx2−4x mx− +1 có tiệm cận ngang là:

Câu 49: (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Gọi S là tập tất cả các giá trị của

tham số m để đồ thị hàm số y= 3 x3+3x2+ −2 4x2+3x+ +2 mx có tiệm cận ngang Tổng các phần tử của S là

tham số m để đồ thị hàm số y= 9x2−5x+ −3 364x3+3x2−5x+ +2 mx có tiệm cận ngang Tổng bình phương tất cả các phần tử của S là

Câu 52: (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để đồ thị hàm số

35

x m y

x

+

=

− Với giá trị nào của tham số m thì đường tiệm cận đứng, tiệm cận

ngang cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8

x

+

=+ với 1

2

a ≠ Tìm tất cả các giá trị thực dương của a để các tiệm cận của hai đồ thị hàm số tạo thành một hình chữ nhật có diện tích là

4

Trang 11

Câu 56: (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Cho hàm số y x a

x a

+

=

− có đồ thị ( )C

(với a là số thực dương) Gọi P , Q là 2 điểm phân biệt nằm trên ( )C sao cho tổng khoảng cách

từ P tới hai đường tiệm cận của ( )C là nhỏ nhất và tổng khoảng cách từ Q tới hai đường tiệm cận của ( )C là nhỏ nhất Độ dài đoạn thẳng PQ là

Trang 12

 Bậc của P x( ) lớn hơn bậc của Q x( ) lim

    Không có tiệm cận ngang

Dạng 2: y f x u= ( )= − v (hoặc u− v): Nhân liên hợp y f x ( ) u2 v

3 - Kĩ thuật "ước lượng bậc nhỏ hơn"

− khi x→ ±∞ ⇒ = ±y 1 là hai đường TCN

4 - Kỹ năng sử dụng máy tính (tham khảo):

Trang 13

2 1 1lim

2

2 1 1lim

x x y

− +

=

− − có bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải Chọn D

Tập xác định: D = −( 1;1]

Trang 14

Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

Suy ra đường thẳng x = − là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 1

Vậy đồ thị hàm số đã cho chỉ có một đường tiệm cận đứng là x = − 1

Câu 6: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị

Trang 15

Lời giải Chọn A

Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận

Câu 7: Đồ thị hàm số y= 4x2+4x+ −3 4x2+1 có bao nhiêu tiệm cận ngang?

suy ra đường thẳng y = −1 là tiệm cận ngang

Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang

Câu 8: Số tiệm cận của đồ thị hàm số ( ) 21 21

Trang 16

Điều kiện: 22 2 0 2.

00

Điều kiện xác định:

2 2

Trang 17

⇒ = là một đường tiệm cận ngag của đồ thị hàm số

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận

Câu 10: (SỞ PHÚ THỌ LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số y f x= ( ) có bảng biến thiên như sau:

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình 3 ( ) 2 0f x − = (hay ( ) 2

Trang 18

y = − là tiệm cận ngang duy nhất

Ta có 0 ( )

1lim

Dựa vào bảng biến thiên, ( )1 có 3 nghiệm x = −1 1, x ∈2 ( )0;2 , x ∈3 (2;+∞ )

Câu 13: Cho hàm số y f x= ( ) có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số y= f(3− −1x) 2 có bao nhiêu tiệm cận đứng

Trang 19

A 0 B 2 C 3 D 1

Lời giải Chọn C

Ta thấy f x = có 3 nghiệm ( ) 2 ⇒ đồ thị hàm số y= f (3− −1x) 2 có 3 tiệm cận đứng

Câu 14: (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho hàm số y f x có đồ thị như = ( )

Số tiệm cận đứng là số nghiệm của phương trình ( 2 2 2) 5

f x x có 4 nghiệm nên đồ thị hàm số có 4 tiệm cận đứng

Câu 15: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số

có bao nhiêu đường tiệm cận?

4 2( )

f x =ax bx c+ +

2018( )

Trang 20

A. B C. D.

Lời giải Chọn B Ta có là hàm phân thức hữu tỷ với bậc của tử nhỏ hơn bậc cảu mẫu nên , do

đó đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang

Mỗi phương trình đều có nghiệm phân biệt khác nên đồ thị hàm số có đúng tiệm cận đứng

Câu 16: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Đồ thị hàm như hình vẽ Hỏi đồ thị

hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Lời giải Chọn A Xét 2( ) ( ) ( ) ( ) 0

Trang 21

Xét h x( )=x2−x=x x( 1− ) có hai nghiệm đơn là x = và 0 x = 1

Trang 22

Ta có f x là hàm đa thức có đồ thị hàm như hình vẽ nên: ( )

 f x = có hai nghiệm ( ) 0 x a= < − (nghiệm đơn) và 11 x = (nghiệm kép)

 f x = có ba nghiệm đơn ( ) 2 x c= ∈( ; 1)a − , x = và 0 x b= >1

Như vậy, ta thấy:

Hàm số y g x= ( ) có nghiệm đơn x = ở mẫu sẽ triệt tiêu với ở trên tử nên mất 0

Nghiệm kép x = ở mẫu và trong khi ở tử thì có 1 x = là nghiệm đơn, do đó không triệt tiêu hết, 1 x = 1vẫn là một tiệm cận đứng của hàm số y g x= ( )

Vậy đồ thị hàm số y g x= ( ) có 4 đường tiệm cận đứng là x a= , x b= , x c= và x = 1

Câu 20: (Lý Nhân Tông) Cho hàm số f x( )=ax bx cx d3+ 2+ + có đồ thị như hình vẽ bên Hỏi đồ thị

2 2

Trang 23

Câu 21: (Chuyên Thái Nguyên) Cho hàm số f x( )=ax3 +bx2 +cx d a b c d R+ ( , , , ∈ ) có đồ thị như

x x

( 2)( )

Trang 24

A. 6 B 3 C 2 D. 1

Lời giải Chọn C

Xét phương trình: ( 2 )

3 0( 3) ( ) 3 ( ) 0 ( ) 0

x+ = ⇔ = −3 0 x 3 mặt khác x = − hàm số 3 y g x= ( ) không xác định nên đường thẳng x = − không 3

là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số



21( ) 0

13

x x

f x

x x

Trang 25

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số ( ) ( )

2

2 2

Điều kiện:

( )

201

−

=+ có đồ thị ( )C Phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số ( )C tạo với

hai đường tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất Khi đó, khoảng cách

từ tâm đối xứng của đồ thị ( )C đến ∆ bằng?

Lời giải

Trang 26

11

x

x x

1

x A x

− Gọi M là điểm bất kỳ trên (C), d là tổng khoảng cách từ M đến

hai đường tiệm cận của đồ thị (C) Giá trị nhỏ nhất của d là

Tọa độ điểm M có dạng 0

0 0

;2

Trang 27

Câu 26: Số điểm thuộc đồ thị (H) của hàm số 2 1

1

x y x

−

=+ có tổng các khoảng cách đến hai tiệm cận của (H) nhỏ nhất là

Lời giải Chọn B

+

=

− , sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là nhỏ nhất Tọa độ điểm M

là:

A. ( )4;3 B (0; 1− ) C (1; 3− ) D ( )3;5

Vì M là điểm có hoành độ dương thuộc đồ thị hàm số 2

2

x y x

+

  (với a  ) 0Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là : ∆1:x=2 và Δ :2 y 1

Trang 28

Chọn A

Đồ thị hàm số 2

2

x y x

+

=+ có đồ thị ( )C Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của đồ thị

( )C đến một tiếp tuyến của ( )C Giá trị lớn nhất của d có thể đạt được là:

Ta có

11

a

a a

Trang 29

DẠNG 2 TIỆM CẬN CHỨA THAM SỐ

Câu 30: (ĐH Vinh Lần 1) Có bao nhiêu giá trị nguyên để đồ thị hàm số có đúng

một tiệm cận đứng

Dễ thấy tử số có một nghiệm Do đó để đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng thì cần xét hai trường hợp sau:

m m

x→±∞y= nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang y = 0

Để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận thì đồ thị có hai đường tiệm cận đứng

x bx

+ −

=+ + có đồ thị ( )C ( a b, là các hằng số dương, ab = ) Biết rằng 4 ( )C có tiệm cận ngang y c= và có đúng 1 tiệm cận đứng Tính tổng

T = a b+ − c

Trang 30

Câu 33: (Cụm THPT Vũng Tàu) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số

2 2

3 25

− − + không có đường tiệm cận đứng khi

và chỉ khi phương trình x mx m2− − + = vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm là 1 và 2 5 0

+) Xét phương trình x mx m2− − + = 5 0 (1) , ta có ∆ =m2+4m−20 nên (1) vô nghiệm khi và chỉ khi 0

∆ < hay − −2 2 6<m< − +2 2 6

+) Phương trình (1) có hai nghiệm là 1 và 2 khi và chỉ khi m = 3

Trên khoảng (− −2 2 6 ; 2 2 6− + )có 9 số nguyên là − − − − − −6; 5; 4; 3; 2; 1;0;1;2 nên có 10 giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số 2 2 3 2

− − + không có đường tiệm cận

Câu 34: (Sở Bắc Ninh) Cho hàm số 3 2 32

x mx m Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc

đoạn [−6;6] của tham số m để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận?

x mx m nên đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là

Trang 31

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khác 3 22 2

m

31153

Vậy có 9 giá trị m thỏa mãn

Câu 35: (CHUYÊN ĐHSP HN) Tập hợp các giá trị của m để đồ thị hàm số

2 1

x y

x = : ta thấy trường hợp này vô lí (vì m >1)

Th2c: (2) vô nghiệm, (1) có nghiệm kép 1

2

x = : ta thấy trường hợp này vô lí (vì − < <1 m 1)

Câu 36: (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho hàm số g x( ) ( )20182

Trang 32

Tìm các giá trị m nguyên để số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g x là ( ) 2

Ta có h x′( )=4mx3+3nx2+2px q+ Từ đồ thị ta có ( )

150

43

m x= − x −x + x− có 2 nghiệm phân biệt

Từ bảng biến thiên kết hợp thêm điều kiện m < ta có 0 35 1

− < < −

Do m nguyên nên m∈ −{ 11; 10; ; 2− − } Vậy có 10 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trang 33

Câu 37: (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn [−2019;2019] của tham số

m để đồ thị hàm số y 2 x 3

x x m

−

=+ − có đúng hai đường tiệm cận

2

1 33

 (tmđk) Trường hợp 3: Phương trình x2+ − =x m 0 có nghiệm kép x >3

Theo đề bài m∈ −[ 2019;2019],m nguyên do đó m∈[12;2019 ]

Vậy có (2019 12) 1 2008− + = giá trị của m

Trang 34

Vậy có 2018 giá trị nguyên của m

Câu 39: (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho hàm số

2

11

+

=

+

x y

ax có đồ thị ( )C Biết rằng ( )C có tiệm cận

ngang và tồn tại tiếp tuyến của ( )C song song và cách tiệm cận ngang của ( )C một khoảng bằng

3 Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Để đường cong ( )C có tiệm cận ngang khi và chỉ khi: a>0

Suy ra ta có hai đường tiệm cận ngang là: y1= 1 ;y2 = − 1

'

+ − +

−+

y

Gọi tiếp tuyến của đường cong ( )C tại điểm M x y là đường thẳng ( M; M) ∆

Ta có ∆ song song tiệm ngang của ( )C suy ra:

Trang 35

+) Khoảng cách từ ∆ đến tiệm cận ngang cũng chính là khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận ngang

x

+

=+ có đúng một đường tiệm cận

A. − ≤ <1 m 0 B − ≤ ≤1 m 0 C m < − 1 D m > 0

+) Nếu m ≥ ta thấy 0 lim 2 1

1

x

mx x

+ với m = ta nhận thấy 0 lim , lim

x→+∞y= +∞ x→−∞y= +∞ suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

+ Với m < , khi đó hàm số có TXĐ 0 D 4 3;4 3

= − − − 

 , khi đó lim , lim

x→+∞y x→−∞y không tồn tại suy ra đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang

Trang 36

+ Với m > , khi đó hàm số có TXĐ 0 D =  suy ra

hàm số có một đường tiệm cận ngang

Vậy m > thỏa YCBT 0

m m

  nên đồ thị hàm số luôn có một đường tiệm cận ngang y = 0

Do đó để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có 3đường tiệm cận đứng Ta có lim

Trang 37

− + có đồ thị ( )C Tìm tập m S tất cả các giá trị của tham số thực m để ( )C có đúng hai tiệm cận đứng m

Điều kiện 4x x− 2 ≥ ⇔ ∈0 x [ ]0;4

Dễ thấy 12+ 4x x− 2 > ∀ ∈0, x [ ]0;4

Nhận xét: Nếu phương trình x2−6x+2m = có hai nghiệm 0 a b a b, , < thì x2−6x+2m< ∀ ∈0, x ( )a b;

Do đó để đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận đứng thì phương trình x2−6x+2m=0 có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn ( )0;4

Xét g x( )=x2−6x= −2m có g x′( )=2x− = ⇔ = ∈6 0 x 3 0;4( )

Ta có bảng biến thiên của hàm số g x trên đoạn ( ) ( )0;4 :

Từ đó ta thấy phương trình x2−6x+2m=0 có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn ( )0;4 khi

x ax b y

xg'

g

0

Trang 38

Ta có bảng biến thiên của hàm số y f x= ( ) trên khoảng [− + ∞1; ):

Từ bảng biến thiên trên ta thấy để phương trình x mx m2− −3 =0 có hai nghiệm phân biệt x > −1 thì

− +

=

− + + có đúng ba đường tiệm cận?

yy'x

Trang 39

Chọn B

Ta có lim 0,

x→+∞y = đồ thị hàm số luôn có 1 đường tiệm cận ngang y =0

Để ĐTHS có ba đường tiệm cận ⇔ ĐTHS có đúng 2 đường tiệm cận đứng

⇔ phương trình x2 −2mx m+ + =2 0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 lớn hơn 1

Với m = 1

( )2

2 2

Vậy có một giá trị thực của m để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang

tham số m để đồ thị hàm số y= 3 x3+3x2+ −2 4x2+3x+ +2 mx có tiệm cận ngang Tổng các phần tử của S là

x→+∞y=x→+∞ x + x + − x + x+ +mx

Trang 40

tham số m để đồ thị hàm số y= 9x2−5x+ −3 364x3+3x2−5x+ +2 mx có tiệm cận ngang Tổng bình phương tất cả các phần tử của S là

Lời giải

Tiêu đề	Bài Tập VDC Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số Có Lời Giải Chi Tiết
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông Yên Khánh Ninh Bình
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	bài tập
Năm xuất bản	2018-2019
Thành phố	Ninh Bình

Định dạng
Số trang	43
Dung lượng	0,94 MB