KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Nhóm, nhóm con
Nhóm G là nhóm hữu hạn nếu số phần tử của nó là hữu hạn
Nhóm con N của nhóm G được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G nếu N thỏa thêm điều kiện chuẩn tắc: ∀ ∈ ∀ ∈g G, n N thìg ng − 1 ∈N (hoặcgng − 1 ∈N)
1.1.3 Nhóm con tối đại,nhóm con tối tiểu
Hđược gọi là nhóm con tối đại của G nếu không tồn tại N ≤G sao cho
Hđược gọi là nhóm con tối tiểu của G nếu H ≠1 và không tồn tại K ≤G sao cho1< < K H
H gọi là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G nếu H S
Mà G là N SN -nhóm nên S G Suy ra SH
Mỗi nhóm con Sylow của H đều chuẩn tắc trong H, do đó với mỗi số nguyên s, H có một s-nhóm con Sylow duy nhất Điều này dẫn đến việc H là tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của nó Từ đó, ta suy ra H là nhóm con lũy linh của G Vì G là N SN-nhóm, nên H là nhóm con Dedekind của G.
Gọi u là ước nguyên tố của G u , ≠ r và U là u-nhóm con Sylow của G.
Thật vậy, giả sử U ′ là u-nhóm con Sylow của H thì U′ cũng là u-nhóm con
Do đó U và U′ liên hợp với nhau trong G
Mà G là T -nhóm siêu giải được nên U G Vậy U là u-nhóm con Sylow duy nhất của G và cũng là u-nhóm con Sylow duy nhất của H
Do G không lũy linh, nếu R là r-nhóm con Sylow của G thì N G ( ) R = R
Thật vậy, giả sử R ≠ N G ( ) R thì RG Vậy mọi nhóm con Sylow của G đều chuẩn tắc trong G, suy ra G lũy linh: mâu thuẫn Vậy N G ( ) R = R
⇒ ≤ là nhóm siêu giải được với N RU ( ) R = R
Thật vậy, giả sử u r < thì r là ước nguyên tố lớn nhất của RU , theo Định lí 1.5.2.5 (2) thì RRU , suy ra N RU ( ) R = RU : mâu thuẫn Vậy r u < r p
⇒ = là ước nguyên tố nhỏ nhất của G và ta có thể chọn P = R
Nhóm con Sylow u của H, với u ≠ r p, là nhóm lũy linh và Dedekind cấp lẻ, do đó theo Định lý 2.3.1 (3), nó là nhóm abel Vì M là p′-nhóm con Hall của G, nên M là tích các u-nhóm con Sylow của G, từ đó suy ra M < H và là nhóm con abel chuẩn tắc của G.
Nếu D < P thì DG và vì N G ( ) P = P , P không được sinh bởi các nhóm con thực sự của nó
Thật vậy, giả sử P = K K | < P thì KG
Do đó P là nhóm cyclic, (2) được chứng minh
Ta có G là một A-nhóm với system normalizer P
Thật vậy, các u-nhóm con Sylow của G là các nhóm abel và P là nhóm cyclic cũng là nhóm abel nên G là một A-nhóm
Gọi P i là các p i -nhóm con Sylow của G Đặt 1 2 ; 1 2 1 1 p m p i i i m
Khi đó Q p G nên N G ( ) Q p =G Hơn nữa N G ( ) Q p i = Q p i
Thật vậy, giả sử N G ( ) Q p i ≠ Q p i thì p i
G = × × × × P P P P lũy linh: mâu thuẫn Vậy N G ( ) Q p i = Q p i
Ta có System normalizer của G là ( ) ( )
Theo [8,Satz 14.4], P là phần bù của G′trong G.Suy ra G G/ ′ ≅P
Vì G M/ ≅P abel nên theo Định lí 1.7.5.2 (2) ta có G ′ ≤ M
P là phần bù của M trong G nênG M/ ≅P
Suy ra G G / ′≅ G M / ⇒ M = G ′ Vậy M = G′, (4) được chứng minh Đặt V = x p Do V abel nênx Vx − 1 = ⇒ ∈V x N G ( ) V
Mà x V∉ nên N G ( ) V ≠ V suy ra V G Hơn nữa G ′ V = 1
Khi đó G ′ < C V G ( ) Thật vậy: lấy g ∈ G v ′ , ∈ V Do G′G nên v gv G − 1 ∈ ′
Mặt khácdo P abel nên P C V ≤ G ( ).Giả sử P = C V G ( )⇒ G ′< P : mâu thuẫn Vậy
Do đó V ≤ Z G ( ) Thật vậy với v ∈ V g , ∈ G g , = ab với a ∈ P b , ∈ G ′
Khi đó vg = vab = avb = abv = gv ⇒ ∈ v Z G ( ) , suy ra V ≤ Z G ( )
Vì G làA-nhóm nên theo [8, Satz 14.3] ta có G ′ Z G ( ) = 1 và vì thế Z G ( ) ≤ P
Thật vậy, giả sử Z G ( ) không là p-nhóm Lấy a ∈ Z G ( ) có cấp là q≠ p thì a∈M =G′ , suy ra G ′ Z G ( ) ≠ 1 : mâu thuẫn Vậy Z G ( ) là p-nhóm, do đó
Z G ≤ P′ với P′ là p-nhóm con Sylow của G, suy ra P′ liên hợp với P trong G
Suy ra V = x p = Z G ( ) , (3) được chứng minh
Ta có H = MZ G ( ) Thật vậy:
Do H M/ và M Z ( ) G / M ≅ Z G ( ) / ( Z G ( ) M ) = Z G ( ) = V đều là nhóm con cấp p k − 1 của G M/ ≅P nhóm cyclic cấp p k nên H M / = MZ G ( ) / M ⇒ H = MZ G ( )
Vậy Habel và chuẩn tắc trong G, nên mỗi nhóm con của nó chuẩn tắc trong G
Do đó xbiến mỗi phần tửhcủa H thành lũy thừa của h
Thật vậy, ∀ ∈ h H , ta có h G nên xhx − 1 ∈ h hay xhx − 1 = h n x với n x ∈
Vì H là nhóm abel hữu hạn nên ∃ ∈ n N xhx : − 1 = h n , ∀ ∈ h H
Theo [2, Định lí 3.4.1] vì H abel nên tồn tại một số nguyên cố địnhnthỏa w x = w n với mọi w∈H, (5) được chứng minh.■
Cho G là một nhóm hữu hạn Khi đó G là một N SN -nhóm khi và chỉ khi hoặc G là nhóm Dedekind hoặc G thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) G chứa một nhóm con abel chuẩn tắc H có chỉ số là số nguyên tố p;
(2) một p-nhóm con Sylow P của G là cyclic và tự chuẩn hóa trong G;
(3) nếu x là phần tử sinh của P thì w x = w n với mọi w∈H và số nguyên cố định n
Nếu G là N SN -nhóm hữu hạn thì từ Mệnh đề 2.4.2 và lưu ý về N SN -nhóm, hoặc G là nhóm Dedekind hoặc G thỏa các điều kiện (1)-(3)
Do đó ta chỉ cần chứng minh nếu G là nhóm không lũy linh thỏa các điều kiện (1)-(3) thì G là N SN -nhóm
Gọi Q là nhóm con của G; ta cần chỉ ra hoặc Q G hoặc N G ( ) Q = Q
Nếu Q ≤ H thì Q G Thật vậy, do H abel nên Q H Lấy q ∈ Q , với h ∈ H thì h qh Q − 1 ∈ ; với a = x l ∈ P thì a qa − 1 = ( ) x l − 1 qx l = ( ) x l − 1 − 1 q x x l − 1 Do q ∈ H nên theo (3) thì q x = q n
Làm tương tự như trên, sau l bước ta có a qa − 1 =q n l ∈Q Vậy Q G
Giả sử Q < H , từ (1) và (2) có P ≤ Q g với g ∈ G và ta có thể giả sử không mất tính tổng quát rằng P ≤ Q
Thật vậy, lấy x ∈ N G ( ) Q Ta có x Px − 1 ⊂ ⇒ Q x Px − 1 liên hợp với P trong Q
Sau khi hoàn thành luận văn, người viết đưa ra một số kết luận như sau:
Luận văn đã trình bày một số kết quả về T-nhóm giải được hữu hạn, T-nhóm siêu giải được hữu hạn và các tính chất của chúng Bên cạnh đó, các khái niệm về N-nhóm, H*-nhóm, P-nhóm cũng được nghiên cứu, với trọng tâm là các N-nhóm, H*-nhóm, P-nhóm hữu hạn Đặc biệt, luận văn đã đi sâu vào mối liên hệ giữa các nhóm con chuẩn tắc, á chuẩn tắc, H-nhóm con và ứng dụng chúng để mô tả các T-nhóm giải được hữu hạn, T-nhóm siêu giải được hữu hạn.
Phần cuối chương 2 đã trình bày về các nhóm hữu hạn, bao gồm các nhóm con của nó, được phân loại thành chuẩn tắc và tự chuẩn hóa, gọi là N SN - nhóm Để đạt được các kết quả chính, tác giả đã tham khảo và tự chứng minh nhiều kết quả nhỏ nhằm hỗ trợ cho nội dung chính.
T-nhóm có nhiều tính chất và ứng dụng quan trọng khác mà bài viết chưa thể đề cập do giới hạn về thời gian và kiến thức.
Người viết chân thành hi vọng nhận được sự góp ý của thầy cô và những ai quan tâm đến vấn đề này
N SN -nhóm
Nhóm G được gọi là N SN -nhóm nếu tất cả nhóm con của G hoặc chuẩn tắc hoặc tự chuẩn hóa
Dễ thấy rằng N SN -nhóm là H * -nhóm và do đó theo Định lí 2.1.2 và 2.3.3 các
N SN -nhóm hữu hạn là T -nhóm siêu giải được Ta cũng có nhóm Dedekind là
Tất cả các nhóm con lũy linh của nhóm N SN đều là nhóm Dedekind Hơn nữa, nếu G là nhóm lũy linh, thì G sẽ là N SN -nhóm nếu và chỉ nếu G cũng là nhóm Dedekind.
Thật vậy, nếu H là nhóm con lũy linh của N SN -nhóm G và N ≤H thì
N H Theo Định lí 2.2.7 (2) thì N H
Cho G là một nhóm hữu hạn không lũy linh, với p là ước nguyên tố nhỏ nhất của G Gọi P là p-nhóm con Sylow và M là p′-nhóm con Hall của G.
(1) M là nhóm con chuẩn tắc abel của G;
(2) P là nhóm con cyclic tự chuẩn hóa của G, và gọi P = x ;
(5) Tồn tại một số nguyênnsao cho w x = w n với mọi w ∈ MZ G ( ) ;
Theo chú ý ở 2.4.1 thì G là T -nhóm siêu giải được Gọi H là nhóm con chuẩn tắc của G có chỉ số là số nguyên tố r
Giả sử G = p 1 k 1 p 2 k 2 p m k m r k với k k i , > 0 và p 1 , , p p m , là các số nguyên tố phân biệt thì H = p 1 k 1 p 2 k 2 p m k m r k − 1
Nếu s là ước nguyên tố của H và S là s-nhóm con Sylow của H thì theo Bổ đề Frattini ta có G = HN G ( ) S , suy ra N G ( ) S > S
Thật vậy, giả sử N G ( ) S = S thì G =HS =H : mâu thuẫn Do đó N G ( ) S > S
Mà G là N SN -nhóm nên S G Suy ra SH
Mỗi nhóm con Sylow của H đều chuẩn tắc trong H, do đó với mỗi số nguyên s, H có một nhóm con Sylow duy nhất Điều này dẫn đến việc H là tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của nó Từ đó, ta suy ra H là nhóm con lũy linh của G, và vì G là N SN -nhóm, nên H là nhóm con Dedekind của G.
Gọi u là ước nguyên tố của G u , ≠ r và U là u-nhóm con Sylow của G.
Thật vậy, giả sử U ′ là u-nhóm con Sylow của H thì U′ cũng là u-nhóm con
Do đó U và U′ liên hợp với nhau trong G
Mà G là T -nhóm siêu giải được nên U G Vậy U là u-nhóm con Sylow duy nhất của G và cũng là u-nhóm con Sylow duy nhất của H
Do G không lũy linh, nếu R là r-nhóm con Sylow của G thì N G ( ) R = R
Thật vậy, giả sử R ≠ N G ( ) R thì RG Vậy mọi nhóm con Sylow của G đều chuẩn tắc trong G, suy ra G lũy linh: mâu thuẫn Vậy N G ( ) R = R
⇒ ≤ là nhóm siêu giải được với N RU ( ) R = R
Thật vậy, giả sử u r < thì r là ước nguyên tố lớn nhất của RU , theo Định lí 1.5.2.5 (2) thì RRU , suy ra N RU ( ) R = RU : mâu thuẫn Vậy r u < r p
⇒ = là ước nguyên tố nhỏ nhất của G và ta có thể chọn P = R
Hơn nữa, nhóm con Sylow u của H, với u ≠ r p là nhóm lũy linh, theo định lý 2.3.1 (3) sẽ là nhóm abel Vì M là p′-nhóm con Hall của G, nên M là tích của các u-nhóm con Sylow của G, từ đó suy ra M < H và là nhóm con abel chuẩn tắc của G, điều này đã được chứng minh.
Nếu D < P thì DG và vì N G ( ) P = P , P không được sinh bởi các nhóm con thực sự của nó
Thật vậy, giả sử P = K K | < P thì KG
Do đó P là nhóm cyclic, (2) được chứng minh
Ta có G là một A-nhóm với system normalizer P
Thật vậy, các u-nhóm con Sylow của G là các nhóm abel và P là nhóm cyclic cũng là nhóm abel nên G là một A-nhóm
Gọi P i là các p i -nhóm con Sylow của G Đặt 1 2 ; 1 2 1 1 p m p i i i m
Khi đó Q p G nên N G ( ) Q p =G Hơn nữa N G ( ) Q p i = Q p i
Thật vậy, giả sử N G ( ) Q p i ≠ Q p i thì p i
G = × × × × P P P P lũy linh: mâu thuẫn Vậy N G ( ) Q p i = Q p i
Ta có System normalizer của G là ( ) ( )
Theo [8,Satz 14.4], P là phần bù của G′trong G.Suy ra G G/ ′ ≅P
Vì G M/ ≅P abel nên theo Định lí 1.7.5.2 (2) ta có G ′ ≤ M
P là phần bù của M trong G nênG M/ ≅P
Suy ra G G / ′≅ G M / ⇒ M = G ′ Vậy M = G′, (4) được chứng minh Đặt V = x p Do V abel nênx Vx − 1 = ⇒ ∈V x N G ( ) V
Mà x V∉ nên N G ( ) V ≠ V suy ra V G Hơn nữa G ′ V = 1
Khi đó G ′ < C V G ( ) Thật vậy: lấy g ∈ G v ′ , ∈ V Do G′G nên v gv G − 1 ∈ ′
Mặt khácdo P abel nên P C V ≤ G ( ).Giả sử P = C V G ( )⇒ G ′< P : mâu thuẫn Vậy
Do đó V ≤ Z G ( ) Thật vậy với v ∈ V g , ∈ G g , = ab với a ∈ P b , ∈ G ′
Khi đó vg = vab = avb = abv = gv ⇒ ∈ v Z G ( ) , suy ra V ≤ Z G ( )
Vì G làA-nhóm nên theo [8, Satz 14.3] ta có G ′ Z G ( ) = 1 và vì thế Z G ( ) ≤ P
Thật vậy, giả sử Z G ( ) không là p-nhóm Lấy a ∈ Z G ( ) có cấp là q≠ p thì a∈M =G′ , suy ra G ′ Z G ( ) ≠ 1 : mâu thuẫn Vậy Z G ( ) là p-nhóm, do đó
Z G ≤ P′ với P′ là p-nhóm con Sylow của G, suy ra P′ liên hợp với P trong G
Suy ra V = x p = Z G ( ) , (3) được chứng minh
Ta có H = MZ G ( ) Thật vậy:
Do H M/ và M Z ( ) G / M ≅ Z G ( ) / ( Z G ( ) M ) = Z G ( ) = V đều là nhóm con cấp p k − 1 của G M/ ≅P nhóm cyclic cấp p k nên H M / = MZ G ( ) / M ⇒ H = MZ G ( )
Vậy Habel và chuẩn tắc trong G, nên mỗi nhóm con của nó chuẩn tắc trong G
Do đó xbiến mỗi phần tửhcủa H thành lũy thừa của h
Thật vậy, ∀ ∈ h H , ta có h G nên xhx − 1 ∈ h hay xhx − 1 = h n x với n x ∈
Vì H là nhóm abel hữu hạn nên ∃ ∈ n N xhx : − 1 = h n , ∀ ∈ h H
Theo [2, Định lí 3.4.1] vì H abel nên tồn tại một số nguyên cố địnhnthỏa w x = w n với mọi w∈H, (5) được chứng minh.■
Cho G là một nhóm hữu hạn Khi đó G là một N SN -nhóm khi và chỉ khi hoặc G là nhóm Dedekind hoặc G thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) G chứa một nhóm con abel chuẩn tắc H có chỉ số là số nguyên tố p;
(2) một p-nhóm con Sylow P của G là cyclic và tự chuẩn hóa trong G;
(3) nếu x là phần tử sinh của P thì w x = w n với mọi w∈H và số nguyên cố định n
Nếu G là N SN -nhóm hữu hạn thì từ Mệnh đề 2.4.2 và lưu ý về N SN -nhóm, hoặc G là nhóm Dedekind hoặc G thỏa các điều kiện (1)-(3)
Do đó ta chỉ cần chứng minh nếu G là nhóm không lũy linh thỏa các điều kiện (1)-(3) thì G là N SN -nhóm
Gọi Q là nhóm con của G; ta cần chỉ ra hoặc Q G hoặc N G ( ) Q = Q
Nếu Q ≤ H thì Q G Thật vậy, do H abel nên Q H Lấy q ∈ Q , với h ∈ H thì h qh Q − 1 ∈ ; với a = x l ∈ P thì a qa − 1 = ( ) x l − 1 qx l = ( ) x l − 1 − 1 q x x l − 1 Do q ∈ H nên theo (3) thì q x = q n
Làm tương tự như trên, sau l bước ta có a qa − 1 =q n l ∈Q Vậy Q G
Giả sử Q < H , từ (1) và (2) có P ≤ Q g với g ∈ G và ta có thể giả sử không mất tính tổng quát rằng P ≤ Q
Thật vậy, lấy x ∈ N G ( ) Q Ta có x Px − 1 ⊂ ⇒ Q x Px − 1 liên hợp với P trong Q
Sau khi hoàn thành luận văn, người viết đưa ra một số kết luận như sau:
Luận văn đã trình bày kết quả về T-nhóm giải được hữu hạn, T-nhóm siêu giải được hữu hạn và các tính chất của chúng Nó cũng đề cập đến các khái niệm N-nhóm, H*-nhóm, P-nhóm và nghiên cứu về các nhóm này Đặc biệt, luận văn đi sâu vào mối liên hệ giữa các nhóm con chuẩn tắc, á chuẩn tắc, H-nhóm con, và sử dụng chúng để mô tả các T-nhóm giải được hữu hạn và T-nhóm siêu giải được hữu hạn.
Phần cuối chương 2 đã trình bày về các nhóm hữu hạn, bao gồm các nhóm con của nó, được phân loại thành chuẩn tắc và tự chuẩn hóa, gọi là N SN - nhóm Để đạt được các kết quả chính đã nêu, tác giả đã tham khảo và tự chứng minh nhiều kết quả nhỏ nhằm hỗ trợ cho nội dung chính.
T-nhóm giải sở hữu nhiều tính chất và ứng dụng quan trọng khác, nhưng do hạn chế về thời gian và kiến thức, người viết chưa thể trình bày đầy đủ.
Người viết chân thành hi vọng nhận được sự góp ý của thầy cô và những ai quan tâm đến vấn đề này