De thi chon hsg vong 1 cap tinh nam 20101011

Bài IV4 điểm Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.. Tam giác AMN cân.[r]

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN YÊN ĐỊNH

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2011-2012 (VÒNG I)

Môn: Toán Thời gian: 150 phút

Họ tên thí sinh: SBD:

(ĐỀ CHÍNH THỨC)

Đề bài

Bµi I(4 điểm) Cho biÓu thøc:

3 2

A

1 Tìm điều kiện xác định và rút gọn A

2 Tìm x để A x  2

Bài II(4 điểm)

1 Giải phương trình:

2 Cho 2011 số tự nhiên x x1 , , , 2 x2011 thỏa mãn điều kiện:

111 112 112011

2048

Tính tổng 11 22 20112011

M

   

Bài III(5 điểm)

1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

4 8

4 8

x N





 

2 Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn: 2a 1 2  a 2 2  a 3 2.6b 992

Bài IV(4 điểm)

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Lấy điểm M nằm trên đoạn HB, điểm N nằm trên đoạn HC sao cho AMCANB 900 Chứng minh:

1 Tam giác AMN cân

2

AF

Bài V(3 điểm)

Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC, biết AB=5cm, AM=6cm và AC=13cm Đường thẳng qua B và vuông góc với BC cắt đường thẳng AM ở D Đường thẳng qua C và vuông góc với BC cắt đường thẳng AB ở E Chứng minh CD vuông góc ME

Cán bộ coi thi không giải thích gì

thêm

Hướng dẫn chấm đề thi chọn HSG dự thi cấp tỉnh năm học: 2011-2012

(vòng I) Môn: Toán

Bài

I

1 (2điểm)

+) điều kiện xác định x 1 và x 3

+) rút gọn A

3

2

3 8 24

8 1

A

A

x A x



  







 Vậy

1

x A x







0,5 0,5

0.5

0,5

2 (2 điểm)

2

8

1 10

0 1

10 0 à 1 0

10 0 à 1 0 1

10

x

x x x

x x











     



 



  

A  0   0



Vậy x > -1 hoặc x 10 và x 3 thì A x  2

0,25 0,5 0,5

0,5 0.25

Bài

II

1 (2,5 điểm)

+) điều kiện x 1, 2,3, 4.

+) dùng hằng đẳng thức, tách các phân thức đưa phương

trình về dạng:

0,5

 

x

5x 8 0

   hoặc        

0

x x  x x 

*)

8

5 8 0

5

(thỏa mãn)

*)        

0

x x  x x  (chứng tỏ phương trình vô

nghiệm)

Vậy phương trình có nghiệm

8 5

x 

0,5

0,5

0,5 0,5

2 (1,5 điểm)

- Nếu có ít nhất 1 số bé hơn 2 thì:

x x   x >1>

2011

2048 ( trái giả thiết)

- Nếu có 1 số bằng 2, các số còn lại lớn hơn 2 thì:

2 2  2 2048 ( trái giả thiết)

     , thay vào biểu thức ta có:

2011 2011

2

M M

   



0,5

0,5

0,5

Bài

III

1 (3 điểm)

2 2

4 8 1

x M

M

 

 

với mọi x Dấu “=” xảy ra khi x = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của M = -1 tại x = 0

2

4

4 8 1

x M

M

 

 

Với mọi x

Dấu “=” xảy ra khi x = 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của M = 1 tại x = 4

0,5

0,5 0,5

0,5 0,5 0,5

2 (2 điểm)

vì 2a1, 2a2, 2a3 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số

chia hết cho 3 2a 1 2  a 2 2  a 3

chia hết cho 3

- Nếu b 1 thì vế trái chia hết cho 3 còn vế phải không

chia hết cho 3 (vô lí)  b = 0

Thay b = 0 vào ta tìm được a = 3

Vậy a = 3 và b = 0

0,5 0,5

0,5 0,5

Bài

IV

N M

H F

E

D

C B

A

1.(2 điểm)

2

(1)

2

AF

AF

AC

AN





0,5

0,5

0,5 0,5 0,5

Từ (1), (2) và (3)  AM AN Vậy AMN cân

2.(1,5 điểm)

Theo câu 1: AF(4)

Chia từng vế (4) cho (5) ta được

0,5 0,5 0,5

câu

V

(3đ

)

K I

M

E

D

C B

A

(2,5 điểm)

Gọi AM cắt EC tại K trên đoạn MK lấy điểm I sao cho

MI = MA = 6cm

     vuông tại I  AIC 900

0

BEK

 có BC, KM là các đường cao

 M là trực tâm EMBK (I)

0,5

0,5 0,5 0,5 0,5

( )

Mà MB=MC và DMCBMK  DMCKMB c g c( )

/ / ( )