Mối liên hệ giữa các nguyên lí đối xứng của không gian thời gian và các định luật bảo toàn

Mối liên hệ giữa các nguyên lí đối xứng của không gian thời gian và các định luật bảo toàn.Định luật bảo toàn xung lượng, momen xung lượng và cơ năng được rút ra từ các định luật Niuton phương trình Lagrange loại 2

Mối liên hệ giữa các nguyên lí đối xứng

của không gian, thời gian và các định

luật bảo toàn

Định luật bảo toàn xung

l ượng, mômen xung lượng

và cơ năng đ ược rút ra từ các định luật Niutơn.

+ Trong những lĩnh vực khác của vật

lí học, khi mà những định luật Niutơn mất hết hiệu lực ( nh ư trong

điện động lực, cơ học l ượng tử )

nh ưng các định luật bảo toàn xung

l ượng và năng lượng của hệ kín vẫn còn đúng đắn.

+ Các định luật bảo toàn xung

l ượng, mômen xung lượng và năng

l ượng là những định luật tổng quát

và chính xác, không thể xem các

định luật bảo toàn này có nội dung hẹp so với các định luật Niutơn.

+ Trong cơ học nói riêng và trong vật lí học nói chung, các định luật bảo toàn xung l ượng, mômen xung

l ượng và năng lượng của hệ kín

đ ược suy ra từ các tính chất đối xứng của không gian , thời gian và các ph ương trình Lagrange.

1) định luật bảo toàn xung l Ựợng của cơ hÊ.

Xét một cơ hệ kín gồm N chất điểmtrong không gian theo thời gian của

hệ qui chiếu quán tính K

Chọn các bán kính véctơ với

k = 1,2 , N là toạ độ suy rộng của cơ hệ, khi đó vận tốc suy rộng

t ương ứng với toạ độ suy rộng là : Hàm Lagrange của cơ

hệ kín xác định mọi tính chất vật lí của cơ hệ có dạng :

Không gian trong hệ qui chiếu quán tính là đồng nhất, nghĩa là mọi điểm của không gian là t ương

đ ương nhau về mặt vật lí Hay nói cách khác các tính chất vật lí của cơ hệ kín là bất biến đối với phép tịnh tiến không gian :

r t

r t

r t

trong phép tịnh tiến không gian tất cả các véctơ toạ độ của các chất điểm của mọi hệ cơ học đều biến đổi giống nhau Vậy hàm Lagrange của cơ hệ phải bất biến

đối với phép biến đổi này :

) ,

( )

, ( rk rk L rk r rk

L         

k k

r r

L r

r

L L

suy ra :

do tÝnh chÊt tuú ý

(kh¸c kh«ng vµ kh«ng trùc giao víivÐct¬ trong ngoÆc) nªn

0

1 1

L r

r

L L

áp dụng phương trình Lagrange loại

II trong toạ độ suy rộng ta có:

d r

L





0 )

L dt

d r

L dt

d









k k

k

N

i

ik i

i

N

i i

N

N

i

i i k

k

p v

m v

m v

v m

r r

r U v

m v

2

2

1 1

1



Trong đó là độnglượng của chất điểm mk thuộc hệ.Thế vào biểu thức trên ta có :

Vậy xung lượng của một hệ kín:

là một đại lượng bảo toàn

k k

Xung lượng là đại lượng cộng

được Xung lượng của một hệ bằngtổng các xung lượng của các chất

điểm tạo nên hệ

Vậy, từ tính chất đồng nhất củakhông gian suy ra định luật bảotoàn xung lượng toàn phần

B©y giê ta chøng minh tæng néi lùc cñac¬ hÖ kÝn b»ng kh«ng ThËt vËy:

Ta cã : lµ lùc do

tÊt c¶ c¸c chÊt ®iÓm kh¸c cña c¬ hÖ t¸cdông lªn chÊt ®iÓm mk, lùc nµy gäi lµ hîp cña néi lùc

k k

k

F r

U r

2) định luật bảo toànmômen xung lƯợng củacơ hệ :

Chọn các bán kính véctơ với k =1, 2,

3 , N là toạ độ suy rộng của cơ hệ, khi

đó vận tốc suy rộng t ương ứng với toạ độ suy rộng :

Hàm Lagrange của cơ hệ kín xác địnhmọi tính chất vật lí của cơ hệ có dạng

Không gian trong hệ qui chiếu quántính là đẳng hướng, nghĩa là mọihướng trong không gian đều tương

k

k k k

đương nhau về mặt vật lí Điều đó cónghĩa là khi quay toàn bộ cơ hệ kínxung quanh một trục bất kì một góc

( mọi chất điểm thuộc cơ hệ đềuquay cùng một góc , véctơ vận tốccủa mỗi chất điểm vẫn giữ nguyên về

độ lớn và chỉ thay đổi về phương) thìmọi tính chất vật lí của cơ hệ kín khôngthay đổi và do đó hàm



 



Lagrange của cơ hệ kín là bất biến đốivới phép biến đổi này:

 L L L



¸p dông phư¬ng tr×nh Lagrange lo¹i II

thÕ vµo phư¬ng tr×nh trªn ta ®ưîc :

k k

v v

L r

r

L L

k k

k k

v v

L r

d r

L





Theo chøng minh ë môc 1 ta cã

thÕ vµo biÓu thøc trªn vµ ¸p dông tÝnhchÊt tÝch hçn t¹p cña c¸c vÐct¬ ta cã :

k

r

d v

L r

v

L dt

p v





do tính chất tuỳ ý ( khác không và không trực giao với véctơ đạo hàm) nênsuy ra :

, ,

.

1 1

k k

k k

N

k

N k

k k

k k

p

r dt

d p

r dt d

dt

p

d r

p dt

r d

hay là một véctơ hằng số.

xung lượng của chất điểm k và

gọi là mômen xung lượng của cơ hệ

đối với gốc O của hệ qui chiếu quán

tính K Đối với cơ hệ kín thì mômen

xung l ượng của cơ hệ với gốc O bất kì

là đại l ượng bảo toàn.

k

k p r

Vậy, từ tính chất đẳng hướng củakhông gian suy ra định luật bảo toànmômen xung lượng toàn phần.

Thực hiện đạo hàm theo thời gian biểuthức

Vậy, tổng mômen của tất cả các nội lực đặt lên cơ hệ

đối với gốc O bất kì bằng không.

3) định luật bảo toàn cơ năng:

Định luật bảo toàn năng l ượng của cơ hệ kín liên hệ chặt chẽ với tính

đồng nhất của thời gian Thời gian trong hệ qui chiếu quán tính là đồng nhất, nghĩa là mọi thời điểm đều t ư-

ơng đ ương nhau về mặt vật lí Vậy hàm Lagrange đặc tr ưng cho cơ hệ phải bất biến khi ta làm phép tịnh tiến

thêi gian

nªnTÝnh biÓu thøc biÕn ph©n :

víi , k=1, 2, …N, vËy

t t

L v

v

L r

r

L L

N

k

k k

k k

Do tính chất tuỳ ý của (khác không)nên ta có Vậy hàm

Lagrange của cơ hệ không phụ thuộc tườngminh vào thời gian Tính đạo hàm toàn phầncủa L theo thời gian, ta có :

k k

k k

N k

k k

k k

dt

v d v

L v

r L

dt

v d v

L v

r

L t

L dt

Dïng phư¬ng tr×nh Lagrange lo¹i 2

d r

v v

L dt

d dt

v

d v

L v

v

L dt

d dt

dL

1 1

L

v v

L dt



MÆt kh¸c ta nhí l¹i vµ

L = T - U, suy ra

E lµ c¬ n¨ng cña c¬ hÖ :

k k

k

v

m v

T U

T T

U T

v p

L

v v

L

N

k

k k

N

k

k k

Vậy, từ sự đồng nhất của thời gian suy ra định luật

phần.