Bài báo dùng phương pháp lực trong phân tích kết cấu hệ siêu tĩnh dùng công cụ lập trình tính toán Mathcad. Nội lực của kết cấu siêu tĩnh được xác định bằng cách giải hệ phương trình cân bằng tĩnh học và điều kiện tương thích biến dạng. Một số ví dụ tính toán kết cấu phẳng được thực hiện nhằm đánh giá tính chính xác và độ tin cậy của phương pháp đề xuất. Mời các bạn tham khảo!
Trang 1PHÂN TÍCH NỘI LỰC HỆ KẾT CẤU PHẲNG SIÊU TĨNH
BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC SỬ DỤNG PHẦN MỀM MATHCAD
Đinh Hoàng Long, Phạm Đình Nhật
Khoa Xây dựng, trường Đại học Công nghệ TP Hồ Chí Minh
GVHD: TS Võ Minh Thi ện
TÓM TẮT
Bài báo dùng phương pháp lực trong phân tích kết cấu hệ siêu tĩnh dùng công cụ lập trình tính toán Mathcad Nội lực của kết cấu siêu tĩnh được xác định bằng cách giải hệ phương trình cân bằng tĩnh học và điều kiện tương thích biến dạng Một số ví dụ tính toán kết cấu phẳng được thực hiện nhằm đánh giá tính chính xác và độ tin cậy của phương pháp đề xuất
Từ khóa: hương pháp lực, Mathcad, phân tích nội lực, hệ siêu tĩnh
1 ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong thiết kế công trình, kỹ sư xây dựng thường sử dụng hệ kết cấu siêu tĩnh bậc cao có tác dụng làm tăng độ cứng của hệ và đảm bảo điều kiện biến dạng bé Tuy nhiên, việc phân tính nội lực và biến dạng kết cấu siêu tĩnh thường rất phức tạp do khối lượng tính toán lớn Việc giải hệ siêu tĩnh bậc cao bằng cách sử dụng các phương trình cân bằng tĩnh học kết hợp với phương trình biến dạng là việc không đơn giản Do đó, trong bài báo này nhóm tác giả đề xuất sử dụng phần mềm tính toán Mathcad[1] để phân tích nội lực hệ siêu tĩnh bằng phương pháp lực giải quyết các bài toán dầm, khung chịu tác dụng của tải trọng.Đ là công cụ lập trình mạnh, hỗ trợ tốt trong việc tính toán kết cấu
2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1 Công của thành phần nội lực
2.1.1 Thành phần lực dọc và lực cắt
Công của ngoại lực do thành phần lực dọc [2] được xác định theo Hình 1
Hình 1
Ta lấy ,
Trang 2
Công của ngoại lực do thành phần lực cắt [3] được xác định như Hình 2
Hình 2
Ta lấy ,
Ta có:
Thay (4) vào (3):
∫
với µ – hệ số phụ thuộc hình dạng mặt cắt ngang
∫
2.1.2 Thành phần momen
Công của ngoại lực do thành phần momen uốn , , xác định bởi:
Ta có:
Công do các thành phần nội lực tác dụng đồng thời:
( ) ( ) ( ) ( ) (9) Thế năng biến dạng đ n hồi của hệ:
Trang 3∑ ∫ ( )
(10)
2.2 Công khả dĩ của ngoại lực và nội lực
2.2.1 Công khả dĩ của ngoại lực
Hình 3
Hình 4
Nếu lực tác dụng tại một điểm nhất định của cơ hệ, và sau đó tại một điểm khác tác dụng lực
sẽ xuất hiện chuyển dịch khả dĩ (Hình 3) Vì tại thời điểm này lực không thay đổi độ lớn nên công khả dĩ được xác định bởi diện tích hình chữ nhật (Hình 4)
Định lý về tính tương hỗ của công khả dĩ ngoại lực đã được chứng minh bởi Enrico Betti Glaoui (1823–1892)
Công khả dĩ của lực ở trạng thái thứ i đối với các chuyển vị ở trạng thái thứ j bằng với công khả dĩ của các lực ở trạng thái thứ j đối với các các chuyển vị ở trạng thái thứ i
Hình 5
Hình 6
Trang 4(13) Dựa trên nguyên lý bảo toàn năng lượng, ta có:
2.2.2 Công khả dĩ của nội lực
Xét 2 trạng thái làm việc cơ hệ: Trạng thái i: do lực Pi tác dụng gây ra nội lực Mi, Qi, Ni
Trạng thái j: Do lực Pj tác dụng lên phân tố ds gây ra biến dạng khả dĩ:
(15) Công khả dĩ do nội lực trạng thái i đối với các biến dạng khả dĩ của trạng thái j:
(16) Thay (15) vào (16), ta có:
Nếu xét trên toàn hệ với n thanh có chiều dài L, thì (17) có thể được viết lại:
∑ ∫ ( )
Xét 2 trạng thái của hệ:
Hình 7
Hình 8
Cơ hệ chịu tải trọng như Hình 7 gây ra nội lực MP, QP, NP Tác dụng lực đơn vị P=1 như Hình 8 gây ra nội lực ̅, ̅, ̅ Chúng gây ra các biến dạng đơn vị và sinh công khả dĩ:
∑ ∫ ( ̅ ̅ ) ̅
Công khả dĩ được viết lại:
Trang 5(20)
(21)
Công thức trên được gọi là công thức Mohr [4] dùng để xác định chuyển vị của cơ hệ khi chịu tải trọng
Định lý Maxwell [5]: Chuyển động theo hướng thứ i do lực đơn vị hướng j bằng với chuyển động theo hướng j từ lực đơn vị theo hướng thứ i:
Theo định luật Hooke, đối với một hệ đ n hồi tuyến tính, ta có:
Công thức (23) có thể viết lại:
Theo Mohr:
∑ ∫ ( ̅ ̅)
(25) ∑ ∫ ( ̅ ̅ )
(26)
Giá trị nội lực xác định theo:
∑ ̅
(28) ∑ ̅
(29)
Để giải các công thức tích phân (25) và (26) của Mohr là phức tạp, giả sử biểu đồ Mi có dạng đường cong bất kỳ như Hình 9
Hình 9
Trang 6̅ (30) Tích phân theo công thức (25), (26) viết lại:
Với là diện tích vi phân của biểu đồ ̅, ̅ , (31) trở thành:
Từ (32) nhận thấy rằng ∫ là momen tĩnh của diện tích biểu đồ ̅ đối với trục Oy, nên:
thay , (31) viết lại:
Theo công thức (34), tùy dạng tải trọng tác dụng, áp dụng quy tắc Vereshchagin [6] được thiết lập dưới dạng ma trận dưới dạng tổng quát áp dụng cho các trường hợp phần tử chịu tải trọng tập trung (Hình 10) và phân bố đều (Hình 11)
Áp dụng công thức (34), khi đó (25) viết lại:
∑ ∫ ( ̅ ̅)
Trường hợp tải trọng tập trung:
̅ [ ̅̅
]; ̅ * ̅ ̅
Trường hợp tải trọng phân bố đều:
Trang 7̅ [
̅
̅
̅ ] ; ̅ [
̅
̅
̅ ]; [
]
(37)
3 VÍ DỤ ÁP DỤNG
Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm Cho EI=const, q=const, a=const
Hình 12
Lời giải
Bước 1: Xác định hệ cơ bản (Hình 13), vẽ các biểu đồ đơn vị Mi,j, Qi,j (Hình 14, 15) và MP, QP (Hình 16, 17)
Hình 13: Hệ cơ bản
Hình 14: Biểu đồ momen đơn vị M1
Hình 15: Biểu đồ lực cắt đơn vị Q 1 ;
Hình 16: Biểu đồ momen hệ cơ bản MP;
Hình 17: Biểu đồ lực cắt hệ cơ bản Q P
Trang 8Bước 2: Xác định các ma trận phần tử, ma trận biểu đồ momen, lực cắt đơn vị và ma trận biểu đồ
moment, lực cắt cơ sở
1 0 0
0 0 1
1
2
3
B (a,EI) B(a,EI) : B (a,EI) B(a,EI):=MGraft(B(a,EI))
B (a,EI)
2
M (a) : a 2 M (q,a) : q.a 2 Q : 1 Q (q,a) : q.a 2
2
2 8
4
A(a,EI) : M (a) B(a,EI).M (a) (q,a,EI) : M (a) B(a,EI).M (q,a)
P
17.a.q
Bước 3: Xác định giá trị momen và lực cắt
2
2
2
2
2
17.a.q 16 0
17.a.q 16 17.a q
16 17.a q
16
a q
8 (29.a q)
(33.a.q) 16
8 (4.a q)
(37.a.q) 8
Bước 4: Vẽ biểu đồ lực cắt Qy (Hình 18) và momen uốn Mx (Hình 19)
Trang 9Hình 18: Biểu đồ lực cắt Qy
Hình 19: Biểu đồ momen uốn M x
4 KẾT LUẬN
Việc sử dụng phương pháp lực dưới dạng ma trận bằng phần mềm Mathcad rất hiệu quả khi xác định nội lực trong dầm hay khung siêu tĩnh bậc cao Với sự hỗ trợ của phần mềm Mathcad, các bước tính toán trong bài toán siêu tĩnh trở nên trực quan và dễ kiểm soát Trong hướng nghiên cứu tiếp theo, nhóm tác giả thực hiện phân tính các bài toán siêu tĩnh bậc cao có đặc tính phi tuyến về vật liệu, đặc trưng hình học sử dụng Mathcad
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] B Maxfield, Engineering with Mathcad Elsevier’s Science, 2006
[2] K.-G Olsson, Structural mechanics: Modelling and analysis of frames and trusses John Wiley
& Sons, 2016
[3] S T Mau, Introduction to structural analysis displacement and force methods 2012
[4] R Subramanian, Strength of Materials Oxford University Press, 2010
[5] R Mott and J A Untener, Applied Strength of Materials 2016
[6] S S Rattan, “Strength Of Materials.” Tata McGraw Hill Education Private Limited, 2011