MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO VỀ PHÂN SỐ

Báo cáo tốt nghiệp ngành Giáo dục Tiểu học Hệ thống kiến thức cơ bản, nâng cao, các bài tập nâng cao về phân số ở Tiểu học Mỗi bài tập đều có bài giả ở phía sau.

MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO VỀ PHÂN SỐ Ở TIỂU HỌC

Sinh viên thực hiện : Trần Thị Thu Trang

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan báo cáo tốt nghiệp với đề tài “ Một số dạng toán nâng cao về phân số ở Tiểu học” là nghiên cứu độc lập của tôi Các số liệu được thu thập thông qua quá trình khảo sát và kết quả nghiên cứu hoàn toàn trung thực, không đạo nhái hay sao chép từ bất kỳ một công trình nghiên cứu nào khác Tất cả tài liệu trích dẫn đều được ghi rõ nguồn gốc

Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước khoa và nhà trường nếu phát hiện bất

cứ sự sai phạm hay sao chép trong đề tài này!

Bình Dương, ngày tháng năm 2021

Người thực hiện

Trần Thị Thu Trang

ii

LỜI CẢM ƠN Báo cáo tốt nghiệp chuyên ngành Giáo dục Tiểu học với đề tài “Một số dạng toán nâng cao về phân số ở Tiểu học” là kết quả của quá trình cố gắng không

ngừng của bản thân và được sự giúp đỡ, động viên khích lệ của các thầy, bạn bè

và người thân Qua trang viết này tác giả xin gửi lời cảm ơn tới những người đã giúp đỡ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu vừa qua

Tôi xin tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với thầy Huỳnh Hoa Kim Long,

người đã trực tiếp tận tình hướng dẫn cũng như cung cấp tài liệu thông tin khoa học cần thiết cho báo cáo này

Xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Thủ Dầu Một, khoa Sư phạm

đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tốt công việc nghiên cứu của mình

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn các bạn giáo sinh, đơn vị thực tập đã giúp

đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện báo cáo tốt nghiệp.dzxvdsfdsfsdfdfsdf

iii

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT v

PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Lịch sử nghiên cứu vấn đề 1

3 Mục tiêu nghiên cứu đề tài 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài 2

5 Đối tượng nghiên cứu 2

6 Phương pháp nghiên cứu của đề tài 2

7 Cấu trúc của đề tài 3

PHẦN NỘI DUNG 3

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 3

1.1 Cơ sở lí luận 3

1.2 Thực trạng việc dạy học toán nâng cao về phân số ở trường Tiểu học Hiệp Thành 10

1.3 Tiểu kết chương 1 12

CHƯƠNG 2: CÁC DẠNG TOÁN NÂNG CAO VỀ PHÂN SỐ Ở TIỂU HỌC VÀ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 12

2.1 Nhóm 1: Bài toán nâng cao về phân số và tính chất của phân số 12

2.2 Nhóm 2: Bài toán nâng cao về bốn phép tính trên phân số 24

2.3 Nhóm 3: Bài toán nâng cao về toán đố về phân số 28

2.4 Tiểu kết chương 2 40

CHƯƠNG 3: BÀI TẬP TỰ LUYỆN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 40

3.1 Bài tập tự luyện 40

3.2 Hướng dẫn giải 45

3.3 Tiểu kết chương 3 61

iv

PHẦN KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 61

1 KẾT LUẬN 61

2 ĐỀ XUẤT 62

TÀI LIỆU THAM KHẢO 64

PHỤ LỤC 65

1995 – 1996, các vấn đề về phân số được chính thức đưa vào chương trình môn Toán ở bậc Tiểu học và trở thành một chủ đề quan trọng trong chương trình Đây

là một nội dung khá khó đối với học sinh lớp 4, 5 Hơn thế nữa trong các kì thi học sinh giỏi hiện nay thì các bài toán về phân số luôn xuất hiện Vì thế, việc tìm kiếm một số dạng toán nâng cao về phân số để giúp học sinh có cơ hội tiếp cận với các dạng toán lạ và biết thêm nhiều các giải cho dạng toán này là điều cần thiết đối với giáo viên Ngoài ra, việc nghiên cứu về các dạng toán nâng cao về phân số giúp giáo viên có thể bồi dưỡng kiến thức, nâng cao kinh nghiệm giải toán của bản thân

Chính vì vậy tôi đã đi sâu tìm tòi và nghiên cứu về các dạng toán nâng cao về phân số ở Tiểu học để có thể có cái nhìn sâu rộng hơn về các dạng toán phân số, làm giàu ngân hàng bài tập toán nâng cao về phân số của bản thân Ngoài ra có thể bồi dưỡng cho những học sinh khá và giỏi toán ở lớp 4,5 nhằm giúp các em phát triển về tư duy trong việc giải toán, giúp các em tháo gỡ các khó khăn khi gặp các bài toán khó về phân số

2

toán và đưa ra các phương pháp giải toán phù hợp Giáo trình gồm 10 chương chính tương ứng với 10 chuyên đề, trong đó có chuyên đề về phân số và được kết hợp cùng với số thập phân tạo thành một chương Trong quyển “Bồi dưỡng Toán lớp 4” của tác giả Lê Hải Châu, Nguyễn Nhân Quỳ, Nhà xuất bản Đại học

Sư phạm, các tác giả cũng đã sắp xếp và phân chia các bài toán theo từng chủ đề

từ mức độ cơ bản đến nâng cao dần giúp học sinh dần làm quen với các dạng toán, trong cuốn sách này cũng có đề cập đến một số bài toán nâng cao về phân

số nhưng không chia cụ thể vào các dạng và cũng không chuyên sâu về nội dung này

Ngoài ra tôi cũng có tìm hiểu thêm một số giáo trình về phương pháp dạy học Toán ở Tiểu học của các tác giả Đỗ Trung Hiệu – Nguyễn Hùng Quang – Kiều Đức Thành, hay “ Toán – Bồi dưỡng học sinh Tiểu học 4” của tác giả Huỳnh Bảo Châu,…

Qua đó có thể thấy rằng các dạng toán nâng cao về phân số ở Tiểu học đã nhận được sự quan tâm từ khá nhiều tác giả Tuy nhiên các công trình này chưa có sự chuyên sâu về kiến thức cũng như các dạng bài tập nâng cao về phân số

3 Mục tiêu nghiên cứu đề tài

- Tìm hiểu thực trạng dạy và học các dạng toán nâng cao về phân số ở Tiểu học

- Nghiên cứu hệ thống bài tập và đề xuất cách giải một số dạng toán nâng cao về phân số ở Tiểu học

4 Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài

- Làm rõ cơ sở lí luận về dạng toán nâng cao về phân số ở Tiểu học và cơ sở thực tiễn về việc dạy học các dạng toán nâng cao về phân số ở một trường Tiểu học

- Nghiên cứu các dạng toán và bài tập nâng cao về phân số từ đó đưa ra một số cách giải phù hợp

5 Đối tượng nghiên cứu

- Một số dạng toán nâng cao về phân số ở chương trình Tiểu học

6 Phương pháp nghiên cứu của đề tài

7 Cấu trúc của đề tài

Đề tài dự kiến sẽ gồm các phần sau

A.Mở đầu

B.Nội dung

Chương 1: Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn của đề tài

Chương 2: Các dạng toán nâng cao về phân số ở Tiểu học và các bài tập cụ thể Chương 3: Bài tập tự luyện và cách giải bài toán

Kết luận

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Cơ sở lí luận

1.1.1 Đặc điểm môn toán ở Tiểu học

Môn Toán ở Tiểu học không chia thành các phân môn như môn Tiếng Việt Chương trình bao gồm các tuyến kiến thức: số học, đại lượng và đo lường, một số yếu tố hình học, giải toán có lời văn,… Các tuyến kiến thức này không chia ra thành từng chương, từng phần riêng biệt mà được sắp xếp nhằm tạo ra sự gắn bó, hỗ trợ nhau được thể hiện trong từng bài, từng tiết học

Trong đó, số học nói chung, phân số nói riêng vẫn luôn được coi là tuyến kiến thức trọng tâm, quan trọng trong chương trình toán Tiểu học

1.1.2 Hệ thống các kiến thức cơ bản cho học sinh khi giải các dạng toán

về phân số

1.1.2.1 Phân số và tính chất cơ bản của phân số

- Phân số là số do một hay nhiều phần bằng nhau của đơn vị tạo thành

4

- Mỗi phân số có hai bộ phận:

+ Mẫu số ( viết dưới gạch ngang): Chỉ ra rằng đơn vị đã được chia ra thành mấy phần bằng nhau

+ Tử số ( viết trên gạch ngang): Chỉ ra rằng đã lấy bao nhiêu phần bằng nhau

ấy

- Phân số là thương đúng của phép chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên ( khác 0)

Ví dụ: 3 : 4 = ; 12 : 5 =

Như vậy ta có thể coi dấy gạch ngang của phân số là dấu chỉ phép chia

- Các phân só lớn hơn đơn vị còn được viết dưới dạng hỗn số như sau:

( đọc là “một và ba phần tư” hay “một, ba phần tư”)

m = 2 m ( đọc là “ hai và ba phần năm mét” hoặc “hai, ba phần năm mét”, hoặc “hai mét ba phần năm”)

- Phân số thập phân là các phân số có mẫu số là 10;100;1000;…

- Phân số thập phân viết dưới dạng không có mẫu số, gọi là số thập phân

Ví dụ:

= 0,18 ;

= 1,968

Ở mẫu số của phân số thập phân có bao nhiêu chữ số 0 thì có bấy nhiêu chữ số ở phần thập phân của số thập phân tương ứng

*Các tính chất cơ bản của phân số

- Khi ta nhân ( hay chia) cả tử số và mẫu số của phân số với cùng một số tự nhiên (khác 0) thì giá trị của phân số không đổi

- Một phân số không thể rút gọn được nữa gọi là phân số tối giản

Ví dụ: là phân số tối giản

 Quy đồng mẫu số các phân số

- Quy đồng mẫu số các phân số là làm cho các phân số ấy có cùng mẫu số chung

mà giá trị của chúng vẫn không thay đổi

- Muốn quy đồng mẫu số ta thường làm như sau:

+ Bước 1: Tìm mẫu số chung

+ Bước 2: Chia mẫu số chung cho từng mẫu số để tìm thừa số phụ

+ Bước 3: Lần lượt nhân cả tử số và mẫu số của từng phân số với thừa số phụ tương ứng

- Ba cách tìm mẫu số chung:

+ Quy tắc 1: Nhân tất cả các mẫu số với nhau

+ Quy tắc 2: Nếu mẫu số lớn nhất chia hết cho các mẫu số khác thì lấy mẫu số lớn nhất làm mẫu số chung

+ Quy tắc 3: Đem mẫu số lớn nhất lần lượt nhân với 2;3;4;… cho đến khi tích chia hết cho các mẫu số còn lại thì lấy tích đó làm mẫu số chung

 Vận dụng quy tắc so sánh 2 phân số có cùng mẫu

n

c d

Bước 2: Tóm tắt bài toán

Từ những cái đã có và những thứ phải tìm các em có thể dùng sơ

đồ, hình vẽ hay kí hiệu, lời văn ngắn gọn biểu diễn lại mối quan hệ này, sao cho trực quan, sinh động

(

8

Bước 3: Xác định dạng toán và giải toán

Từ những cái đã đọc, đã xem học sinh cần tìm ra được mối quan

hệ và hướng giải quyết bài toán

Bước 4 : Thử lại

Đây là bước không thể thiếu trong giải toán, nhất là những bài

toán được sáng tạo từ bài toán gốc Công việc này giúp các em có thể

kiểm tra lại chắc chắn bài làm của mình cũng như đánh giá được việc

nhận dạng đề toán của bản thân

1.1.3 Các dạng toán về phân số ở Tiểu học

a Nhóm 1: Phân số và tính chất cơ bản của phân số:

Dạng 1: Các bài toán về cấu tạo số

1.1.4 Một số phương pháp dạy học các dạng toán về phân số

Một trong những điều cần làm trước tiên là phải tạo được sự hứng thú học tập cho học sinh khi học chương phân số:

+ Giới thiệu, gợi ý bài một cách hấp dẫn, khơi gợi sự chú ý và muốn khám phá của học sinh

9

+ Qua các hình thức tổ chức dạy học nêu vấn đề, lồng vào các tình huống thực tế

để học sinh nêu hướng giải quyết Ví dụ: Có 4 bạn học sinh nhưng chỉ có 3 cái bánh,…Học sinh thảo luận để tìm ra giải pháp chia đều số bánh cho mỗi bạn Ngoài việc tạo hứng thú học tập, giáo viên cần chọn các phương pháp dạy học phù hợp

a) Phương pháp trực quan:

Sử dụng PPTQ với phương tiện trực quan là mô hình, bộ đồ dùng Toán băng giấy, các sơ đồ đoạn thẳng, … trong dạy học toán ở Tiểu học là quá trình kết hợp giữa cái cụ thể và trừu tượng, nghĩa là tổ chức hướng dẫn cho HS nắm bắt được các kiến thức trừu tượng, khái quát của môn Toán dựa trên cái cụ thể, gần gũi với HS ; sau đó vận dụng những quy tắc, khái niệm trừu tượng đó để giải quyết những vấn đề cụ thể của học tập và đời sống

b) Phương pháp thực hành – Luyện tập:

PP thực hành , luyện tập là phương pháp dạy học có liên quan đến hoạt động thực hành luyện tập các kiến thức, kĩ năng của môn học Qua thực hành luyện tập, HS càng hiểu và nắm vững kiến thức mới

Để sử dụng phương pháp này có hiệu quả , GV cần chuẩn bị chu đáo nội dung thực hành luyện tập : bài tập cho từng đối tượng HS, thời gian để hoàn thành và

cả những gợi ý nếu cần

c) Phương pháp gợi mở – vấn đáp:

Đây cũng là biện pháp làm sôi nổi bầu không khí lớp học, gây hứng thú học tập, tạo niềm tin và khả năng học tập của từng HS, rèn luyện cho HS cách suy nghĩ, cách diễn đạt bằng lời, làm cho kết quả học tập vững chắc Khi sử dụng PP này cần xây dựng hệ thống câu hỏi gợi mở sao cho:

+ Mọi câu hỏi đều phải có nội dung chính xác, phù hợp với mục đích, yêu cầu và nội dung bài học ; câu hỏi phải rõ ràng

+ Cùng một nội dung có thể đặt câu hỏi dưới những hình thức khác nhau, để giúp HS nắm vững kiến thức và linh hoạt trong suy nghĩ

– Câu hỏi phải gợi ra vấn đề để HS suy nghĩ, giải quyết

– Căn cứ vào kinh nghiệm dạy hoc, GV có thể dự kiến những tình huống để chuẩn bị sẵn những câu hỏi phụ nhằm dẫn HS tập trung vào những vấn đề chủ yếu, trọng tâm của hệ thống câu hỏi

10

1.2 Thực trạng việc dạy học toán nâng cao về phân số ở trường Tiểu học Hiệp Thành

1.2.1 Về học sinh

Qua việc khảo sát ý kiến 46 em học sinh lớp 4 và 5 tại trường Tiểu học

Hiệp Thành, tôi nhận thấy rằng các em ít được tiếp xúc với các dạng toán

nâng cao nói chung và toán nâng cao về phân số nói riêng Vì thế, các em

rất bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn khi gặp một bài toán nâng cao Đa số

các em chỉ có thể giải những bài toán cộng, trừ, nhân, chia, so sánh,… cơ

bản chứ chưa thực sự biết phân tích, khả năng tư duy, lập luận, khát quát

và tổng hợp bài toán của học sinh chưa cao Nguyên nhân dẫn đến tính

trạng trên là học sinh chưa được tiếp cận với các bài tập nâng cao, nằm

ngoài chương trình học nên việc tư duy, phát hiện vấn đề mới của các em

còn hạn chế Thực tế số em tìm được hướng giải và giải đúng các bài tập

nâng cao rất ít, phần nhiều giải sai hoặc bỏ giấy trắng, nhiều em giải dài

Gặp khó khăn khi học toán nâng cao về phân số

HS tự tìm hiểu

về toán nâng cao về phân số

Chủ động làm

BT toán nâng cao trong tiết học bình thường

Học sinh

Biểu đồ khảo sát ý kiến của học sinh về việc học các dạng

toán nâng cao về phân số

11

Qua tìm hiểu và trao đổi với các giáo viên tại trường Tiểu học Hiệp Thành tôi nhận thấy rằng các giáo viên hầu như không lồng ghép các dạng toán nâng cao nói chung và các dạng toán nâng cao về phân số nói riêng và chương trình dạy học Nguyên nhân là do thời lượng một tiết học có giới hạn, giáo viên phải chú trọng việc học sinh nắm được các kiến thức cơ bản và hoàn thành các bài tập bắt buộc trong chương trình Vì thế họ không thể đưa thêm các bài tập khó vào Hơn nữa, học lực chung của các học sinh trong khối 4 và 5 ở mức khá nên việc đưa thêm các bài tập khó ở ngoài sẽ gây ra khó khăn và áp lực cho học sinh

1.2.3 Kết quả khảo sát

Trong quá trình thực tập tại trường Tiểu học Hiệp Thành, tôi đã thực hiện khảo sát 3 bài tập về dạng toán nâng cao về phân số ở 46 em học sinh lớp 5/3:

Bài 1: So sánh các cặp số sau mà không quy đồng

Bài 2: Trung bình cộng của 3 phân số bằng Trung bình cộng của phân

số thứ nhất và phân số thứ hai là , của phân số thứ hai và phân số thứ

ba là Tìm 3 phân số đó

Bài 3: Một cửa hàng bán vải, buổi sáng bán được tấm vải, buổi chiều bán được số vải còn lại, thì tấm vải còn lại 20m Hỏi tấm vải dài bao nhiêu mét và mỗi lần bán bao nhiêu mét ?

Sau khi thực hiện khảo sát, tôi thu được kết quả như sau:

cách giải

Tìm được hướng giải nhưng chưa hoàn thành

Hoàn thành đúng

Số lượng

125

247

113

83

Chương 1 đã trình bày được một số đặc điểm về tâm lí của HSTH như: tri giác,

sự chú ý, trí nhớ,… Đồng thời, hệ thống được các đặc điểm của môtoán và nội dung dạy học phân số trong môn toán ở Tiểu học Ngoài ra, báo cáo đã trình bày được thực trạng, cũng như khó khăn khi dạy học phân số hiện nay

CHƯƠNG 2: CÁC DẠNG TOÁN NÂNG CAO VỀ PHÂN SỐ Ở TIỂU HỌC VÀ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

2.1 Nhóm 1: Bài toán nâng cao về phân số và tính chất của phân số

2.1.1 DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ CẤU TẠO PHÂN SỐ

2.1.1.1: CHUYỂN TỪ TỬ XUỐNG MẪU, HOẶC THÊM VÀO TỬ BỚT MẪU CÙNG MỘT SỐ HOẶC NGƯỢC LẠI

Cách giải tổng quát

Bước 1: Tìm tổng tử sô và mẫu số phân số đã cho

Bước 2: Nêu lưu ý: Khi bớt ở tử số và thêm vào mẫu số cùng một số tự

nhiên thì tổng trên không thay đổi

Bước1: Tìm hiệu của mẫu số và tử số cảu ohân số đã cho

Bước 2: Nêu ý: Khi thêm vào mẫu số và tử sô cùng một số tự nhiên thì

hiệu gứi tử số và mẫu số khong thay đổi

Bước 3: Vẽ sơ đồ, tìm hiệu số phần bằng nhau

Bước 4: Tìm tử số của phân số mới , hoặc mẫu số của phân số mới

Lưu ý: Ở dạng bài này, để tìm hiệu mới ta thực hiện thêm bớt , giải toán dạng

hiệu tỷ để tìm phân số lý luận ( bớt cộng, thêm trừ) và tìm ra phân số ban đầu

Ví dụ: Tìm một phân số biết nếu chuyển 5 đơn vị từ mẫu số lên tử số thì được

phân số có giá trị bằng 1 Nếu chuyển 1 đơn vị từ tử số xuống mẫu số thì được phân số có giá trị bằng?

Nếu chuyển 5 đơn vị từ mẫu lên tử thì phân số mới có giá trị bằng 1

tử số hoặc mẫu số) để tìm ra giá trị của một phần

Bước 4: Lấy giá trị của một phần nhân với cả tử và mẫu của giá trị phân số đã cho (sau khi đã quy đồng) để tìm phân số đã cho

Ví dụ :Tìm một phân số biết phân số đó có giá trị bằng và biết nếu thêm vào tử

số 45 đơn vị thì ta được phân số mới có giá trị bằng

Lưy ý: Ở dạng này, ta thực hiện quy đồng mẫu nếu thêm ở tử, quy đồng tử nếu

thêm vào mẫu

Tìm phân số nếu thêm vào tử 5 đơn vị được phân số có giá trị , còn nếu bớt 5 đơn vị ở tử số thì được phân số có giá trị

Quy đồng mẫu và thành và

Nội dung so sánh phân số học sinh lớp 4 và lớp 5 được học chủ yếu thông qua

so sánh phân số có cùng mẫu số và khác mẫu số; cùng tử số và khác tử số Nhưng trên thực tế khi so sánh các phân số với nhau, ta có nhiều cách so sánh, trong đó có những cách so sánh phân số nhanh gọn mà không cần quy đồng mẫu

số hoặc quy đồng tử số

2.1.2.1 SO SÁNH VỚI PHÂN SỐ TRUNG GIAN

Phương pháp này áp dụng khi tử số của phân số thứ nhất bé hơn tử số của phân

số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất lại lớn hơn mẫu số của phân số thứ hai hoặc ngược lại

Khi đó ta so sánh với phân số trung gian là phân số có tử số bằng tử số của phân số thứ nhất và mẫu số bằng mẫu số của phân số thứ hai hoặc ngược lại, phân số trung gian là phân số có tử số bằng tử số của phân số thứ hai và mẫu số bằng mẫu số của phân số thứ nhất

Ví dụ 1: So sánh và

Ta có: > =

17

* Cách chọn phân số trung gian:

– Trong một số trường hợp đơn giản, có thể chọn phân số trung gian là những phân số dễ tìm được như: 1, , ,… (ví dụ 1, 2, 3) bằng cách tìm thương của mẫu số và tử số của từng phân số rồi chọn số tự nhiên nằm giữa hai thương vừa tìm được Số tự nhiên đó chính là mẫu số của phân số trung gian còn tử số của phân số trung gian chính bằng 1

– Trong trường hợp tổng quát: So sánh hai phân số và (a, b, c, d khác 0) – Nếu a > c còn b < d (hoặc a < c còn b > d) thì ta có thể chọn phân số trung gian

là (hoặc )

– Trong trường hợp hiệu của tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và hiệu của mẫu số phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai có mối quan hệ với nhau về tỉ số (ví dụ: gấp 2 hoặc 3 lần,…hay bằng ; ; …) thì ta nhân cả tử số và mẫu số của cả hai phân số lên một số lần sao cho hiệu giữa hai

tử số và hiệu giữa hai mẫu số của hai phân số là nhỏ nhất Sau đó ta tiến hành chọn phân số trung gian như trên

Ví dụ: So sánh hai phân số

và

Ta có:

Ta so sánh

với

Chọn phân số trung gian là:

<

hay

<

Ví dụ 3: So sánh các cặp số sau mà không quy đồng

2

và 12

5

c, 9

7

và 10 13

18

b, + Cách 1:

9

2 <

4 =

3 1

Vậy

9

2 <

2 <

12 5

+ Cách 2:

9

2 <

8

2

mà 8

2 = 4

1 = 12

3 ;

12

3 <

12

5 nên 9

2 <

12 5

c, Ta có:

9

7 < 1 và

10

13 > 1 Vậy

9

7 < 1 <

10

13 hay 9

7 <

10 13

Tóm lại: So sánh qua phân số trung gian là ta tìm một phân số trung gian

sao cho phân số trung gian lớn hơn phân số này nhƣng nhỏ hơn phân số kia

Lưu ý: Có 3 loại phân số trung gian

Loại 1: Phân số trung gian có tử số bằng tử số của một trong hai phân số

đã cho, mẫu trùng với mẫu của phân số còn lại loại phân số trung gian này có hai cách chọn

Cách 1: Phân số trung gian có tử số là tử của phân số thứ nhất, mẫu là

mẫu của phân số thứ hai

Cách 2: Phân số trung gian có mẫu số là mẫu của phân số thứ nhất, tử là

tử của phân số thứ 2

Loại phân số trung gian này chỉ áp dụng với những bài toán so sánh hai phân số mà tử của phân số thứ nhất bé hơn tử của phân số thứ hai và mẫu của phân số thứ nhất lớn hơn mẫu của phân số thứ hai

Loại 2: Phân số trung gian thể hiện mối quan hệ giữa tử và mẫu của hai

phân số (Ví dụ 7 phần b)

Loại 3: Phân số trung gian là đơn vị áp dụng với các bài toán so sánh hai

phân số mà trong đó một phân số lớn hơn đơn vị, phân số còn lại nhỏ hơn đơn vị

2.1.2.2 SO SÁNH PHÂN SỐ BẰNG “PHẦN BÙ CỦA ĐƠN VỊ”

1 Ví dụ 1: So sánh phân số sau bằng cách nhanh nhất:

và

* Cách nhận diện: Phát hiện và chỉ ra điểm chung giữa tử và mẫu của hai phân

số

(dạng phân số < 1, có Hiệu giữa mẫu số và tử số của 2 phân số bằng nhau)

+) 2012 < 2013; 2013 < 2014

Vì

> nên

<

Từ ví dụ trên, ta có thể nhận diện bài toán và thực hiện các bước giải như sau:

 Đặc điểm của bài toán

+) Tử số (TS) < Mẫu số (MS);

+) MS1 - TS1 = MS2 - TS2

 Các bước giải

+) Bước 1: Tìm “phần bù của đơn vị” của 2 phân số đã cho

+) Bước 2: So sánh 2 “phần bù” vừa tìm được, kết luận 2 phân số đã cho

Ví dụ 2: So sánh phân số sau bằng cách hợp lí nhất:

và

* Cách nhận diện: Phát hiện và chỉ ra điểm chung giữa tử và mẫu của hai phân

số (dạng phân số < 1, có hiệu giữa mẫu số và tử số của phân số này chia hết cho hiệu giữa mẫu số và tử số của phân số kia)

+) 1006 < 1007; 2013 < 2015;

+) 1007 - 1006 = 1 (hiệu 1); 2015 - 2013 = 2 (hiệu 2)

Suy ra hiệu 2 bằng 2 lần hiệu 1 (vì 2 : 1 = 2)

Để thực hiện được cách so sánh như ví dụ 1 thì ta phải có thêm một bước

phụ: Biến đổi phân số sao cho “hiệu 1” và “hiệu 2” bằng nhau

+) Bước 2: Tìm “phần bù” của hai phân số có “hiệu 1” bằng “hiệu 2”

hay

Hoặc có thể trình bày theo cách sau đây:

+) Bước 1: Tìm “phần bù” của hai phân số sao cho chúng có tử số bằng nhau

Ta có: 1 ; 1

; +) Bước 2: So sánh hai “phần bù” vừa tìm được, kết luận 2 phân số đã cho

Từ ví dụ trên, ta có thể nhận diện bài toán và thực hiện các bước giải như sau:

 Đặc điểm của bài toán

+) Tử số < Mẫu số

+) MS1 - TS1 = n x (MS2 - TS2) (Trường hợp 1) hoặc MS2 - TS2 = n x (MS1 - TS1) (Trường hợp 2)

* Cách nhận diện: Phát hiện và chỉ ra điểm chung giữa tử và mẫu của hai phân

số (dạng phân số < 1, có hiệu giữa MS và TS của PS này và hiệu giữa MS và TS của PS kia lập thành tỉ số dạng x

;

Từ ví dụ trên, ta có thể nhận diện bài toán và thực hiện các bước giải như sau:

 Đặc điểm của bài toán

+) Bước 2: Tìm “phần bù” của hai phân số mới

+) Bước 3: So sánh 2 “phần bù” vừa tìm được, kết luận 2 phân số ban đầu (theo cấu trúc: Vì……….nên………hay……… )

4 Ví dụ 4: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất:

và

* Cách nhận diện: Phát hiện và chỉ ra điểm chung giữa tử và mẫu của hai phân

số (dạng phân số < 1, nhưng TS và MS của 2 phân số có dạng lặp lại nhóm chữ

số giống nhau)

+) 2323 < 2424; 20132013 < 20142014

+) Số 2323 có 2 nhóm chữ số 23; số 2424 có 2 nhóm chữ số 24; số 20132013 có

2 nhóm chữ số 2013 và số 20142014 có 2 nhóm chữ số 2014

Để thực hiện được cách so sánh như ví dụ 1, ví dụ 2, ví dụ 3 nêu trên thì

ta phải có thêm một bước phụ: Biến đổi về 2 phân số mới sao cho hiệu của MS

;

+) Bước 2: Tìm “phần bù” của hai phân số có “H1” bằng “H2”

Từ ví dụ trên, ta có thể nhận diện bài toán và thực hiện các bước giải như sau:

 Đặc điểm của bài toán

+) Tử số < Mẫu số

+) Cả TS và MS của 2 phân số đều có dạng lặp lại nhóm chữ số giống nhau; khi rút gọn các phân số đó ta được các phân số mới mà hiệu giữa MS và TS của hai phân số bằng nhau hoặc có mối quan hệ với nhau về tỉ số

 Các bước giải

+) Bước 1: Sử dụng tính chất rút gọn phân số để có phân số tối giản Sau đó nhận xét đặc điểm của 2 phân số mới tìm được xem chúng có đặc điểm của ví dụ 1, ví

dụ 2 hay ví dụ 3 nêu trên

+) Bước 2: Tìm “phần bù” của hai phân số mới

+) Bước 3: So sánh 2 “phần bù” vừa tìm được, kết luận 2 phân số ban đầu (theo cấu trúc: Vì……….nên………hay……… )

Tóm lại: Ta có thể sử dụng cách so sánh bằng “phần bù của đơn vị” trong các

23

- Nếu các phân số có TỬ SỐ bé hơn MẪU SỐ và có đặc điểm lặp lại các

nhóm chữ số giống nhau thì ta sử dụng tính chất rút gọn phân số để có phân số tối giản

Quy tắc: Khi so sánh hai phân số, phân số nào có “phần bù” lớn hơn thì

bé hơn; phân số nào có “phần bù” bé hơn thì lớn hơn

Chú ý: TỬ SỐ bé hơn MẪU SỐ là điều kiện cần; Hiệu giữa MẪU SỐ và

TỬ SỐ của các phân số là điều kiện đủ để từ đó chúng ta định hướng cho học

sinh cách giải phù hợp cho từng bài tập cụ thể

2.1.2.3 SO SÁNH PHÂN SỐ BẰNG PHẦN HƠN CỦA ĐƠN VỊ

Ví dụ: So sánh

và

Bước 1: Tìm phần hơn

– 1 =

Bước 2: So sánh phần hơn của đơn vị, kết luận hai phân số cần so sánh

+ TS1 – MS1 = TS2 – MS2

Tương tự như phương pháp so sánh bằng phần bù của đơn vị, trong tường hợp

hiệu của tử số và mẫu số của hai phân số có mối quan hệ với nhau về tỉ số, ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về hai phân số mới có hiệu giữa tử số và mẫu số của hai phân số bằng nhau

 Đặc điểm bài toán

+) Tử số < Mẫu số

+) TS1 - MS1 = n x (TS2 - MS2) (Trường hợp 1) hoặc TS2 - MS2 = n x (TS1 - MS1) (Trường hợp 2)

Ta có:

=

=

– 1 =

– 1 =

Bước 2:

Vì

nên

<

hay

<

2.2 Nhóm 2: Bài toán nâng cao về bốn phép tính trên phân số

Trong nhóm các bài toán nâng cao về bốn phép tính trên phân số thì đặc trưng chính là dạng bài tập toán tính nhanh phân số Ở dạng toán này ta sẽ áp dụng các tính chất cơ bản của các phép tính trên phân số để giải quyết các bài tập nâng cao Để làm được các bài toán tính nhanh phân số chúng ta cần phải nắm được các dạng sau đây

2.2.1 Dạng 1: Tổng nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu của phân số sau gấp mẫu số của phân số liền trước 2 lần

25

=

= Bước 3:

Ví dụ 1: A =

Cách giải:

A =

27

A =

A =

B =

= =

=

2.2.5 Dạng 5: Tính tích của nhiều phân số trong đó tử số của phân số này có

quan hệ với tỉ số với mẫu số của phân số kia

28

Ví dụ:

= (

)

= 1

=

= (

) (

)

2.3 Nhóm 3: Bài toán nâng cao về toán đố về phân số

2.3.1 Dạng 1: Tìm tỉ số của hai số

29

Ví dụ 1: Trên đồng cỏ, người ta đếm được số trâu bằng số bò và cùng bằng

số ngựa Hỏi số trâu bằng mấy phần số bò? Số ngựa bằng mấy phần số bò?

Ví dụ 2:Có một sợi dây dài 1m8dm Không dùng thước để đo Em hãy làm thế

nào để cắt ra một đoạn dài 4dm5cm

- Số học sinh giỏi bằng một nửa số học sinh ba loại kia

- Số học sinh khá bằng số học sinh ba loại kia

- Số học sinh yếu bằng số học sinh ba loại kia

Tìm số học sinh mỗi loại

Giải

30

Phân số chỉ số học sinh giỏi là :

(số học sinh) Phân số chỉ số học sinh khá là

(số học sinh) Phân số chỉ số học sinh yếu là :

16 + 12 + 6 = 34 (học sinh)

Số học sinh trung bình là

48 – 34 = 14 (học sinh) Đáp số : Giỏi : 16 học sinh

Khá : 12 học sinh Trung bình : 14 học sinh Yếu : 6 học sinh

Ví dụ 2 : Người ta cho ba vòi nước chảy vào một bể bơi Nếu để vòi thứ nhất

chảy một mình thì mất 18 giờ mới đầy bể Nếu để một mình vòi thứ hai chảy thì sau 6 giờ mới đầy bể Vòi thứ ba do chảy nhanh hơn nên nếu chảy một mình thì chỉ trong 3 giờ đã đầy bể nước Hỏi cùng một lúc mở cả ba vòi nước thì sau bao lâu mới đầy bể?

Giải

Nếu vòi thứ nhất chảy 1 mình thì sau 1 giờ sẽ được

(bể) Nếu vòi thứ hai chảy 1 mình thì sau 1 giờ sẽ được (bể)