TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM PHÁT SỐ TRÊN TRIỂNMỘT ĐỀ MINH ĐOẠNHỌA LẦN 1 −∞.. Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA..[r]
Trang 1CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trên đoạn [a; b].
Hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (xi) = 0, xi ∈ [a; b] Khi đó giá trị lớn nhất của hàm
số f (x) là M = max {f (a), f (b), f (xi)}.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) trên đoạn [a; b].
Hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (xi) = 0, xi∈ [a; b] Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm
số f (x) là m = min {f (a), f (b), f (xi)}.
Hàm số y = f (x) đồng biến trên đoạn [a; b] thì max
[a;b]
f (x) = f (b); min
[a;b]
f (x) = f (a).
Hàm số y = f (x) nghịch biến trên đoạn [a; b] thì max
[a;b] f (x) = f (a); min
[a;b]f (x) = f (b).
Ví dụ 1 (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = −x4+ 12x2+ 1 trên đoạn [−1; 2] bằng
A 1 B 37 C 33 D 12.
Phân tích hướng dẫn giải
a) DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số đa thức.
b) HƯỚNG GIẢI:
Bước 1: Hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] Tính f (x), cho f (x) = 0 tìm các
nghiệm xi∈ [a; b] Bước 2: Tínhf (a), f (b), f (xi) Tìm M = max {f (a), f (b), f (xi)} Bước 3: Kết luận giá trị lớn nhất của hàm số.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Lời giải.
Hàm số f (x) = −x4+ 12x2+ 1 liên tục trên đoạn [−1; 2].
Ta có: f0(x) = −4x3+ 24x = −4x x2− 6.
Trang 2f0(x) = 0 ⇔
x = −√
6 /∈ [−1; 2]
x = 0 ∈ [−1; 2]
x =√
6 /∈ [−1; 2]
f (−1) = 12; f (0) = 1; f (2) = 33.
Vậy max
[−1;2]f (x) = 33.
Chọn phương án C
Câu 1.
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [−1; 3] và có đồ thị như hình
vẽ Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên
đoạn [−1; 3] Giá trị của M − m là
−1 1 2 3 y
−4
−3
−2
1 2
O
Lời giải.
Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn [−1; 3] ta thấy
Hàm số đạt GTLN là M = 2 tại x = −1 và đạt GTNN là m = −4 tại x = 2.
Khi đó M − m = 2 − (−4) = 6.
Chọn phương án C
Câu 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3− 3x + 4 trên đoạn [0; 2].
A min
[0;2] y = 2 B min
[0;2] y = 0 C min
[0;2]y = 1 D min
[0;2]y = 4.
Lời giải.
Tập xác định: D =R.
Hàm số liên tục trên đoạn [0; 2].
y0= 3x2− 3; y0 = 0 ⇔ 3x2− 3 = 0 ⇔
ñ
x = 1 ∈ [0; 2]
x = −1 /∈ [0; 2]
Ta có y(0) = 4, y(2) = 6, y(1) = 2.
Do đó min
[0;2]
y = 2 đạt được khi x = 1.
Chọn phương án A
Câu 3 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x4− 8x2+ 18 trên đoạn [−1; 3] bằng
A 2 B 11 C 27 D 1.
Lời giải.
Trang 3Tập xác định: D =R.
Hàm số liên tục trên đoạn [−1; 3].
Ta có: y0= 4x3− 16x = 4x(x2− 4).
y0= 0 ⇔
x = 0 ∈ [−1; 3]
x = 2 ∈ [−1; 3]
x = −2 /∈ [−1; 3]
y(−1) = 11, y(0) = 18, y(3) = 27, y(2) = 2.
Do đó: min
[−1;3]
y = y(2) = 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x4− 8x2+ 18 trên đoạn [−1; 3] bằng 2.
Chọn phương án A
Câu 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x
2− 4x 2x + 1 trên đoạn [0; 3].
A min
[0;3] y = 0 B min
[0;3] y = −3
[0;3]y = −4 D min
[0;3]y = −1.
Lời giải.
Tập xác định D =−∞; −1
2
∪−1
2; +∞
Hàm số liên tục trên đoạn [0; 3].
Ta có y0 = 2x
2+ 2x − 4 (2x + 1)2 ; y0 = 0 ⇒
ñ
x = 1 ∈ [0; 3]
x = −2 /∈ [0; 3]
f (0) = 0, f (3) = −3
7 , f (1) = −1 suy ra min
[0;3]y = y(1) = −1 Chọn phương án D
Câu 5 Cho hàm số f (x) = x − 1
x + 1 Kí hiệuM = max
x∈[0;2]
f (x), m = min
x∈[0;2]
f (x) Khi đó M + mbằng
A −4
Lời giải.
Tập xác định D = (−∞; −1) ∪ (−1; +∞).
Hàm số liên tục trên đoạn [0; 2].
f0(x) = 2
(x + 1)2 > 0, ∀x ∈ D.
Từ đó f (x) = x − 1
x + 1 là hàm số liên tục và đồng biến trên [0; 2] Suy ra M = max
x∈[0;2]f (x) = f (2) = 1
3, m = min
x∈[0;2]f (x) = f (0) = −1 Vậy M + m = 1
3 − 1 = −2
3 Chọn phương án B
Câu 6 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 − 3x + 2
trên đoạn [0; 2] Khi đó tổng M + m bằng
Lời giải.
Trang 4Tập xác định: D =R.
Hàm số liên tục trên đoạn [0; 2].
Ta có y0 = 3x2− 3 = 0 ⇔
ñ
x = −1 /∈ [0; 2]
x = 1 ∈ [0; 2]
Khi đó: M = max
x∈[0;2]y = y(2) = 4, m = min
x∈[0;2]y = y(1) = 0 Vậy M + m = 4.
Chọn phương án A
Câu 7 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x − e2x trên đoạn [−1; 1].
A max
[−1;1]y = −(ln 2 + 1)
[−1;1]y = 1 − e2.
C max
[−1;1]
[−1;1]
y = ln 2 + 1
2 .
Lời giải.
Tập xác định: D =R.
Hàm số liên tục trên [−1; 1].
Ta có: y0= 1 − 2e2x= 0 ⇔ x = 1
2ln
1
2 ∈ [−1; 1].
y(−1) = −1 − e−2; y1
2ln
1 2
= 1
2ln
1
2− e2·
1
2ln
1
2 = −1
2ln 2 −
1
2 =
−(ln 2 + 1)
2 ; y(1) = 1 − e2 Vậy max
[−1;1]y = −(ln 2 + 1)
Chọn phương án A
Câu 8 Giá trị lớn nhất của hàm số y = 4x2+ 1
x − 2 trên đoạn [−1; 2] bằng
A 29
2 B 1 C 3 D Không tồn tại.
Lời giải.
Vì0 ∈ [−1; 2] và
lim x→0 −y = −∞
lim x→0 +y = +∞
nên hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất
trên [−1; 2].
Chọn phương án D
Câu 9 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x3+ 3x2− 12x + 2 trên đoạn [−1; 2] đạt được tại x0 Giá trị x0 bằng
Lời giải.
Tập xác định: D =R.
Hàm số liên tục trên [−1; 2].
y0= 6x2+ 6x − 12.
y0= 0 ⇔ 6x2+ 6x − 12 = 0 ⇔
ñ
x = 1 ∈ [−1; 2]
x = −2 /∈ [−1; 2]
Khi đó: y(−1) = 15; y(1) = −5; y(2) = 6.
Trang 5Vậy min
[−1;2]y = y(1) ⇒ x0 = 1.
Chọn phương án A
Câu 10 GọiM vàm lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốf (x) = 2x−4√
6 − x
trên [−3; 6] Tổng M + m có giá trị là
A −12 B −6 C 18 D −4.
Lời giải.
Tập xác định: D = (−∞; 6].
Hàm số liên tục trên [−3; 6].
f0(x) = 2 +√ 2
6 − x > 0, ∀x ∈ (−3; 6).
Ta có: f (−3) = −18; f (6) = 12.
Khi đó: m = min
[−3;6]f (x) = f (−3) = −18; M = max
[−3;6]f (x) = f (6) = 12 Vậy M + m = 12 + (−18) = −6.
Chọn phương án B
Câu 11 GọimvàM lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm sốf (x) = 2x+√
5 − x2 Giá trị của m2+ M bằng
Lời giải.
Tập xác định: D =
−√5;√
5.
Hàm số liên tục trên đoạn −√5;√
5.
Ta có f0(x) = 2 − √ x
5 − x2 = 2
√
5 − x2− x
√
5 − x2 .
f0(x) = 0 ⇔ 2√
5 − x2 − x = 0 ⇔ 2√5 − x2 = x ⇔
®
x ≥ 0
4 5 − x2= x2 ⇔
x ≥ 0
ñ
x = 2
x = −2
⇔ x = 2 ∈
−√5;√
5.
Ta có: f (−√
5) = −2√
5; f (2) = 5; f (√
5) = 2√
5 Suy ra M = 5 và m = −2√
5 Vậy m2+ M = (−2√
5)2+ 5 = 25 Chọn phương án B
Câu 12 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f0(x) = x(x + 1)(x − 2)2 với mọix ∈R Giá trị nhỏ nhất
của hàm số y = f (x) trên đoạn [−1; 2] là
Lời giải.
Ta có f0(x) = x(x + 1)(x − 2)2= 0 ⇔
x = 0
x = −1
x = 2
Bảng biến thiên của hàm số y = f0(x) trên đoạn [−1; 2]:
Trang 6x
f0(x)
f (x)
f (−1)
f (0)
f (2)
Dựa vào bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [−1; 2] là f (0) Chọn phương án B
Câu 13 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f0(x) = x4+ 3x3− 3x2+ 3x − 4 với mọi x ∈ R Giá trị
nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [−4; 2] là
Lời giải.
Ta có f0(x) = x4+ 3x3− 3x2+ 3x − 4 = (x − 1)(x + 4) x2+ 1.
f0(x) = 0 ⇔
ñ
x = 1
x = −4
Bảng biến thiên trên đoạn [−4; 2]:
x
f0(x)
f (x)
f (−4)
f (1)
f (2)
Dựa vào bảng biến thiên, giá trị nhỏ nhất là f (1).
Chọn phương án C
Câu 14 Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = x − m
2− 2
x − m trên đoạn [0; 4] bằng −1?
Lời giải.
Điều kiện: x 6= m.
Hàm số đã cho xác định trên [0; 4] khi m /∈ [0; 4] (*).
Ta có y0 = m
2− m + 2 (x − m)2 =
m − 1 2
2 +7 4 (x − m)2 > 0 với ∀x ∈ [0; 4] Hàm số đồng biến trên đoạn [0; 4] nên max
[0;4] y = y(4) = 2 − m
2
4 − m .
max
[0;4] y = −1 ⇔ 2 − m
2
4 − m = −1 ⇔ m
2+ m − 6 = 0 ⇔
ñ
m = 2
m = −3
Kết hợp với điều kiện (*) ta được m = −3 Do đó có một giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán Chọn phương án D
Trang 7Câu 15 Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + m
x + 1 trên [1; 2] bằng 8 (m là tham số thực) Khẳng định nào sau đây đúng?
A m > 10 B 8 < m < 10 C 0 < m < 4 D 4 < m < 8.
Lời giải.
Điều kiện: x 6= −1.
Nếu m = 1 thì y = 1 (không thỏa mãn tổng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng 8).
Nếu m 6= 1 thì hàm số đã cho liên tục trên [1; 2] và y0= 1 − m
(x + 1)2 Khi đó đạo hàm của hàm số không đổi dấu trên đoạn [1; 2].
Do vậy min
x∈[1;2]y + max
x∈[1;2]y = y(1) + y(2) = m + 1
m + 2
3 = 8 ⇔ m =
41
5 ⇒ m ∈ (8; 10) Chọn phương án B
Câu 16 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = −x3− 3x2+ m
trên đoạn [−1; 1] bằng 0.
Lời giải.
Tập xác định: D =R.
Hàm số liên tục trên đoạn [−1; 1].
Ta có: y0= −3x2− 6x.
y0= 0 ⇔
ñ
x = 0 ∈ [−1; 1]
x = −2 /∈ [−1; 1]
y(−1) = m − 2; y(0) = m; y(1) = m − 4.
Ta thấy m − 4 = min {y(−1); y(0); y(1)} Theo yêu cầu bài toán ⇔ m − 4 = 0 ⇔ m = 4.
Chọn phương án D
Câu 17 Tìm giá trị của tham số thực m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x + m
x + 1 trên đoạn
[0; 4] bằng 3.
Lời giải.
Tập xác định: D =R\ {−1}.
Hàm số liên tục trên đoạn [0; 4].
Ta có y0 = 2 − m
(x + 1)2 Nếu m < 2 thì hàm số đồng biến trên đoạn [0; 4].
Khi đó min
[0;4]
y = y(0) = m, theo đề m = 3 > 2 (loại).
Nếu m > 2 thì hàm số nghịch biến trên đoạn [0; 4].
Khi đó min
[0;4]
y = y(4) = 8 + m
5 , theo đề bài 8 + m
5 = 3 ⇔ m = 7 (thỏa mãn).
Nếu m = 2 thì y = 2 trên đoạn [0; 4] nên không thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Trang 8Vậy m = 7 thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3.
Chọn phương án C
Câu 18 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 sin x + 2
sin x + 1 trên đoạn h0;π
2
i
Khi đó giá trị của M2+ m2 là
A 31
4 .
Lời giải.
Đặt t = sin x, t ∈ [0; 1].
Xét hàm f (t) = 3t + 2
t + 1 liên tục trên đoạn [0; 1] có f0(t) = 1
(t + 1)2 > 0, ∀t ∈ [0; 1] Suy ra hàm số đồng biến trên [0; 1].
⇒ M = max
[0;1] f (t) = f (1) = 5
2 và m = min
[0;1]f (t) = f (0) = 2 Khi đó M2+ m2=5
2
2 + 22= 41
4 Chọn phương án C
Câu 19 GọiS là tập tất cả các giá trị nguyên củam để giá trị lớn nhất của hàm sốy = sin x + m
3 − 2 sin x
thuộc đoạn [−2; 2] Khi đó số phần tử của S là
A 11 B 10 C Vô số D 9.
Lời giải.
Đặt sin x = t, t ∈ [0; 1] ta có f (t) = t + m
−2t + 3 với ∀t ∈ [−1; 1].
Ta có f0(t) = 2m + 3
(−2t + 3)2.
Do m ∈Z nên ta xét hai trường hợp sau
∀m ≥ −1 thì hàm số đồng biến trên [−1; 1]
⇒ max
[−1;1]f (t) = f (1) = m + 1.
Xét m + 1 ∈ [−2; 2] ⇒ −3 ≤ m ≤ 1 Vậy m ∈ {0; ±1}.
∀m ≤ −2 thì hàm số nghịch biến trên [−1; 1]
⇒ max
[−1;1]f (t) = f (−1) = m − 1
5 Xét m − 1
5 ∈ [−2; 2] ⇒ −9 ≤ m ≤ 11 Vậy m ∈ {−9; −8; −7; −6; −5; −4; −3; −2} Vậy tập S = {−9; −8; −7; −6; −5; −4; −3; −2; 0; ±1}có 11 phần tử.
Chọn phương án A
Câu 20 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
g(x) = f 4x − x2+1
3x
3− 3x2+ 8x + 1
3 trên đoạn [1; 3].
Trang 9x
f0(x)
f (x)
+∞
−3
5
−∞
A 15 B 25
Lời giải.
Ta có g0(x) = (4 − 2x)f0 4x − x2+ x2− 6x + 8 = (2 − x)
2f0 4x − x2+ 4 − x.
Với x ∈ [1; 3] thì
®
4 − x > 0
3 ≤ 4x − x2≤ 4 ⇒ f
0 4x − x2> 0 Suy ra 2f0 4x − x2+ 4 − x > 0, ∀x ∈ [1; 3].
Bảng biến thiên
x
g0(x) g(x)
g(1)
g(2)
g(3)
Suy ra max
[1;3] g(x) = g(2) = f (4) + 7 = 12.
Chọn phương án D
Trang 10BẢNG ĐÁP ÁN
1 C 2 A 3 A 4 D 5 B 6 A 7 A 8 D 9 A 10 B
11 B 12 B 13 C 14 D 15 B 16 D 17 C 18 C 19 A 20 D