DE THI HS GIOI LOP 11 LE QUY DON MON TOAN 2013

Trong mpBDD’B’, qua E vẽ đường thẳng song song với D’O O=ACBD cắt B’D’ tại F.. Trong mpAA’D’D, qua R vẽ đường thẳng song song với AD’ cắt AA’ tại S.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG

TRƯỜNG THPT: LÊ QUÝ ĐÔN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 11 - NĂM HỌC 2012-2013

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 22 / 03/ 2013

Câu I (3,0 điểm)

1) Giải phương trình lượng giác: sin 2xcos 2xsinxcosx1

2) Giải phương trình : x2  1 2 x 1 2x2 7x9

Câu II (3,0 điểm)

1) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số : sin 2 2cos 2

y

c x





2) Cho a, b là hai số thực dương Chứng minh rằng phương trình: 1 1 1 0

x  xa  xb 

Có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn : 2 1 ; 2 2

Câu III (2,0 điểm)

Các số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số nhân có tổng bằng 26 Tìm các số

đó, biết a là số hạng thứ nhất, b là số hạng thứ ba , c là số hạng thứ chín của một cấp số

cộng

Câu IV (2,0 điểm)

Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' '. Trên cạnh AB lấy điểm M khác A và B Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (ACD').

a) Trình bày cách dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P)

b) Xác định vị trí của M để thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất

- HẾT -

Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:

CÂU NỘI DUNG ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 ĐIỂM

2 sin cosx x 2c x sinx cosx 0

 (2 cosx 1)(cosx sin )x  0 0,5

sin cos 0

2 cos 1

x



 





tan 1

2 cos 1

x x

 



 

 



0,5

I.1

(2,0đ)

4 2 3





  



 



    



0,5

ĐK: x  1

Đặt 2

PT 2 2

 2 2

3





  



0,25

9 113

( t/m) 2

9 113

( t/m) 2

x

x













0,25

I.2

(2,0đ)

KL: PT có 4 nghiệm 9 113, 0, 1

2

Có sin 2 2cos 2

c x



PT (1) có nghiệm x 1 (2 y) 2y2 0,50

2

II.1

(1,5đ)

+ ĐK: x0;xa x;  b

PT xaxbx x bx x a0(1)

0,25 Xét hàm f x( )xaxbx x bx x a liên tục trên 

Có : f(b)b a( b)0; (0)f  ab0; ( )f a a a( b)0 0,25 Suy ra PT (1) có hai nghiệm x x1, 2 t/m: -b x1 0 x2 a 0,25

II.2

(1,5đ)

+ Ta có



2 3

+Lại có 2

3

a x

x b x  x b x  x  x  ax  

Vậy : 2 2

x

0,25 + CMTT ta có 2 1

x

0,25 Gọi u1a u, 2 b u, 3c là ba số theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội q;

(v n ) là cấp số cộng có công sai d với v1a v, 3b v, 9 c Khi đó ta có: 0,25

1 1

1 1

2 3

2

3 9

1 2 3

2 (1)

8 (2)

26 3 10 26 (3)







 



Dễ thấy q = 1  d = 0, nên: 0,50

3

Câu

III

2,0đ

Nếu q  1 (ad 0) hệ trên trở thành

2

2 1

d a

q











 3

2

q







 



S

J

R

P

K

I

Q F

O

C'

B'

A'

C

A

B D

D'

M

Trong mp(ABCD), qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt DB, BC lần lượt tại

E, N

Trong mp(BDD’B’), qua E vẽ đường thẳng song song với D’O (O=ACBD) cắt

B’D’ tại F

Trong mp(A’B’C’D’), qua F vẽ đường thẳng song song với AC cắt A’D’, D’C’ lần

lượt tại R, Q

Trong mp(AA’D’D), qua R vẽ đường thẳng song song với AD’ cắt AA’ tại S

Trong mp(CC’D’D), qua Q vẽ đường thẳng song song với CD’ cắt CC’ tại P

0,75

IV.a

1,0đ

 '

MN  MB  NB  NM  PC  PQ QC  QP  MJ=NK và PK=QI

0,25

 Các tam giác RQI, JMS, NKP bằng nhau (gọi diện tích của chúng là S1 và gọi diện

tích các tam giác JKI, ACD’ lần lượt là S2, S)

Đặt AM k;

AB  ta có điều kiện 0 k  1 và có:

2 1

k

0,25

 

2

k



       S2 =( k2 + 2k +1)S 0,25

 Diện tích thiết diện: S td S2 3S1

2

td

S

S  S k k  S k  

(dấu bằng xảy ra  1

2

IV.b

1,0đ

S td lớn nhất  1

2

1

x

t x



 

1

1

t

t













Hoặc