Chứng minh được H’ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.. Tọa độ B, C là nghiệm của phương trình.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA NĂNG LỰC CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN
NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn: Toán
1
(2,0 điểm)
1.1 (1,0 điểm)
TXĐ: D
2
1.2 (1,0 điểm)
2
2
x
0,25
Để đường thẳng d y : k x 2 cắt đồ thị tại A, B, D thì phương trình (1) phải có ba
nghiệm phân biệt phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác 2
3
* 4
3
k
k
0,25
Do A(2 ; 0) nên hoành độ B, D B x k x1; 1 2 ,D x k x2; 2 2
x1, x2 hai (2) Ta có
2
Ta có
,
0,25
Theo giả thiết
2 2
2
1
k
k
k = 2 là giá trị cần tìm
0,25
2
(2,0 điểm)
2.1 (1,0 điểm)
3
3
,
k
KL nghiệm của phương trình là ,
k
0,25
Trang 22.2 (1,0 điểm)
2 2
2
x
y x
x
ĐK:
2
3
1
1 0
x y
y x
2
0,25
Với y 3 ta có 2 ln 1 ln 1
Xét hàm số g a ln a , a 0;
2
1 ln
a
0,25
Từ đó suy ra x 3,y 3
Thử lại x 3,y 3thỏa mãn hệ phương trình
0,25
3
(2,0 điểm)
3.1 (1,0 điểm)
Tính
2 2
e
e
I x xdx
Đặt
2
3
ln 3
dx
x
dv x dx
v x
2 2
1
e e
0,25
Tính
2 3 2
ln 1
e
e
x
x
ln x 1 t ln x t 1 dx 3 t dt
x e t x e t
1
3 2
3
t
0,25
1 2
12
Trang 3Điều kiện n ,n 3
5 100
) 1 ( 2 ) 2 )(
1 ( 100 )!
2 (
! 2 )!
3 (
! 100
2 2
3
n n
n n
n n n
n n
n A
10
0 10 10
3 )
3 1 (
k
k k k
x C
x Số hạng chứa x5 tương ứng k = 5 Vậy hệ số của số hạng chứa x5
là C105 35 61236
0,5
4
(2,0 điểm)
4.1 (1,0 điểm)
H' y
x O
H
N
M
C
B
A
Gọi H’ là điểm đối xứng với H qua BC
Phương trình HH’: x y 0
Khi đó, giao điểm của HH’ và BC là I 4; 4
Suy ra tọa độ điểm H ' 3;3
0,25
Chứng minh được H’ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi Pt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 2 2 2 2
x y ax by c a b c
Do M, N, H’ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có
36
c
Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 2 2
0,25
Vì A HH' C A 6; 6 (vì A H')
;
B C BC C Tọa độ B, C là nghiệm của phương trình
3 5
2
x y
y
0,25
3 2
Diện tích tam giác ABC là
6 6 8
ABC
0,25
Trang 44.2 (1,0 điểm)
Tọa độ điểm A 1; 0; 1
u a b c a b c là một vectơ chỉ phương của
Vì ( )P nên u n P 0 hay 2 a b c 0 c 2 a b u a b ; ; 2 a b
0,25
Do tạo với d góc 300 nên
2
cos ,
2
d
0,25
Vậy phương trình của
1 :
1
x
0,25
5
(1,0 điểm)
5 (1,0 điểm)
Gọi x là độ dài cạnh bên của lăng trụ, O là tâm của tam giác ABC, I và M lần lượt là trung
điểm của BC và B’C’
Ta có
2 2
3
A O ABC A M AI A I x IM x
0
' '
0,25
TH1: A IM'
M
O
I C
B A
C'
B' A'
Theo định lí Cosin ta có
2
2
x
3 ' ' ' '.
a
0,5
TH2: 1800 A IM'
Theo định lí Cosin ta có
Trang 52 2 2 2
2
2
x
3 ' ' ' '.
a
Lưu ý: Nếu thí sinh chỉ làm được một trường hợp thì cả bài chỉ cho 0,5 điểm
0,25
6
(1,0 điểm)
6 (1,0 điểm)
Giả sử a b c 3 Khi đó, ta có
0,25
Từ đó suy ra
3
0
a a b a c b b a b c c c a c b
0,25
Điều này vô lý vì a a b a c b b a b c c c a c b 0 * , a b c, , 0
Thật vậy, do vai trò của a, b, c như nhau nên ta có thể giả sử a b c 0,25 Khi đó
2
0
0
c c a c b
Nên (*) luôn đúng với mọi a, b, c không âm
Vậy a b c 3
0,25