Lưu ý khi chấm bài: Trên đây chỉ là sơ lược đáp án, bài làm của học sinh phải được trình bày tỉ mỉ.. Mọi cách giải khác, nếu đúng, vẫn cho điểm tương đương như trên..[r]
Trang 1http://toanhocmuonmau.violet.vn
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN - LỚP 12 PHỔ THÔNG
Ngày thi: 31/03/2013
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (4 điểm)
Cho điểm I(-1; 2) và hàm số 2
1
x y x
= + (1)
1) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B (A, B khác O) sao cho OB = 2 OA
2) Tìm các điểm M, N trên hai nhánh của đồ thị hàm số (1) sao cho độ dài MN nhỏ nhất
Câu 2 (4 điểm)
1) Giải phương trình
2 sin(4 ) sin 2 cos 2 2 sin 3 sin cos 1 0,
4
x−π + x+ x− x+ x+ x− =
(x ∈ℝ )
2) Giải phương trình
2
x
x+ − + + < x+ x+ −
(x ∈ℝ )
Câu 3 (2 điểm)
Tính tích phân
2 2
3 4
cos sin sin( )
4
xdx
x x
π
Câu 4 (2 điểm
Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình
2
x y x my
xy y x
có đúng ba nghiệm thực phân biệt
Câu 5 (6 điểm)
1) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, AD = 2a, SA=a SB, =a 3.Mặt phẳng
(SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
a Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BD
b Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;0;0) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + y – z - 1 = 0 Lập phương trình đường thẳng d đi qua A, d nằm trong (P) sao cho góc giữa
d và Oz có số đo nhỏ nhất
Câu 6 (2 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + + = b c 1 Chứng minh rằng
3 2
a bc b ca c ab
a bc b ca c ab
-Hết -
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh Số báo danh:
Giám thị 1 (Họ tên và ký)
Giám thị 2 (Họ tên và ký)
Trang 2http://toanhocmuonmau.violet.vn
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NGÀY THI /3/2013 MÔN THI:TOÁN LỚP 12 PHỔ THÔNG
Bản hướng dẫn chấm có 04 trang
Câu
'
x
Tiếp tuyến của ĐT hàm số cắt các trục Ox,Oy tại A, B thoả mãn OB = 2OA suy ra
hệ số góc của tiếp tuyến là k = ±2 Do y’ >0 nên k = 2
Xét phương trình
2 2 1
+ suy ra x = -2 hoặc x = 0
Với x = 0 thì phương trình tiếp tuyến là d1: y = 2x (không thoả mãn)
Với x = -2 thì phương trình tiếp tuyến là d2: y = 2x +8 (thoả mãn)
2 Không mất tính tổng quát, ta giả sử xM > -1, xN < -1
Khi đó M( 1 a; 2 2), N( 1 b; 2 2)
− + − − − + , với a, b > 0
2
2
2
2
2
1 1 ( ) 4
64
a b
a b
a b
= + + +
+
+
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2
2
0
2
64
a b
a b
a b
a b
= >
⇔ = =
Từ đó tìm được M( 2-1; 2- 2) và N(- 2-1; 2 + 2)
0,5
0,5 0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
II 1 Phương trình đã cho tương đương với
sin 4x - cos 4x +sin2x + cos 2x – 2sin 3x + sin x + cos x – 1 = 0
⇔(sin 4x + sin2x) - (cos 4x – cos 2x) – 2sin 3x + sin x + cos x – 1 = 0
⇔ 2sin3xcosx + 2sin 3x sin x – 2sin 3x + sin x + cos x - 1 = 0
⇔ 2sin3x(cosx + sin x – 1) + sin x + cos x - 1 = 0
⇔ (2sin3x + 1)(cosx + sin x – 1) = 0
⇔
2
18 3
sin 3
sin cos 1 2
2 2
k x
k
π
= +
KL
2.Đặt t = 2 x
ta có bất phương trình
1
1
0,5
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3http://toanhocmuonmau.violet.vn
2 1
2
t
t− + + < t + t−
, 1 4
t≥
⇔
2
2
2
7 44
7 44
t t
≠ +
⇔
≠ −
Suy ra [ ; 71 44) (7 44; 7 44) (7 44; )
4
Từ đó tìm được
2; log (7 44) log (7 44); log (7 44) log (7 44);
0,5
0,5
0,5
Câu
III Ta có 2 2
2 4
cot 2
sin (1 cot )
xdx I
π π
=
+
∫
Đặt t = 1 + cot x ⇒ dt = 2
sin
dx x
− Đổi cận:
2 4
1 2
π π
Khi đó
2
1
2 1
2 ln 2
2
t
t
∫
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu
IV
Nhận xét (0; 0) luôn là một nghiệm của hệ với mọi m
Nếu x = 0 ⇒ y = 0 và ngược lại
Xét xy ≠0 HPT tương đương với
2 2 2 2
2 1
m
y y
x x
(*)
Đặt
Khi đó hệ phương trình (*) thành
2
u
u
−
(**)
Dễ thấy yêu cầu bài toán tương đương với (1) có đúng 2 nghiệm u ≠ 0 và u ≠ 2
Đặt ( ) 2 9
2
u
f u u
u
− , u ∈ ℝ\ 0; 2{ }
Lập bảng biến thiên của f(u) suy ra m ∈ (−∞; 0)∪(0;1)∪(25;+∞)
0,5
0,5
0,5 0,5
Trang 4http://toanhocmuonmau.violet.vn
V a) Kẻ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ (ABCD)
Theo giả thiêt ∆SAB vuông tai S Từ đó tính được SH = 3
2
a
Suy ra
3
S ABCD ABCD
a
V = SH S =
+) Dựng hình bình hành ADBE ⇒ BD // (SAE)
⇒ d(SA;BD) = d(B; (SAE))
Kẻ HK ⊥ AE, HI ⊥ SK
Chứng minh được HI = d(H; (SAE))
∆AHK vuông cân tại K ⇒ HK = 2
4
a
Ta có ∆SHK vuông tại H từ đó tính được HI = 21
14
a
Chứng minh được ( ; ( )) 4 ( ; ( )) 2 21
d B SAE
d H SAE = HA= ⇒ =
2) Gọi O = AC ∩BD suy ra OA = OB = OC = OD
Gọi M là trung điểm AB suy ra OM ⊥ (SAB)
Suy ra hình chiếu của OA, OS lên (SAB) lần lượt là MA, MS
Do MA = MS ⇒ OA = OS
Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
2
AC a
2) Gọi u=( ; ; )a b c ≠0 là vectơ chỉ phương của d
( )
p
u n
A P
∈
Khi đó u=( ; ;a b a b+ )
Gọi α là góc giữa d và Oz
Ta có
2 2 2
a b ab
a b ab
Do 00 ≤ α ≤ 900 nên góc α nhỏ nhất khi và chỉ khi cos2α lớn nhất ⇔ m lớn
nhất
Xét b = 0, ta có 1
2
m= (1)
Xét b ≠ 0, chon b = 1 Khi đó
2
2 2
2 1
(2 1) 2( 1) 2 1 0
a a
a a
Nếu 1
2
m= thì có một giá trị của a
Nếu 1
2
m≠ , (*) có nghiệm khi và chỉ khi ∆’ ≥ 0
⇔ -3m2 + 2m ≥ 0 ⇔ 0 2
3
m
≤ ≤ (2)
Từ (1) và (2) suy ra Max {m} = 2
3 khi đó a = 1, b = 1
Từ đó tìm được (d): 1
x− = =y z
0,5 0,5
0,5
0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu Bất đẳng thức đã cho tương đương với
Trang 5http://toanhocmuonmau.violet.vn
3 2
a bc + b ca + c ab − ≤
+ + + (*)
Ta có a+bc=a a( + + +b c) bc= +(a b a)( +c)
Do đó
2
a b c abc ≤ + + =
nên
3
ab + bc + ca ≥ a b c = a b c ≥ abc a b c = abc
Từ đó suy ra bất đẳng thức được chứng minh
Dấu “=” xảy ra khi a = = b c
0,5
0,5
0,5
0,5
Lưu ý khi chấm bài:
Trên đây chỉ là sơ lược đáp án, bài làm của học sinh phải được trình bày tỉ mỉ
Mọi cách giải khác, nếu đúng, vẫn cho điểm tương đương như trên