Đề thi Giáo viên giỏi THPT cấp trường năm 2018-2019 môn Toán có đáp án – Sở GD&ĐT Nghệ An là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho giáo viên THPT ôn thi, nhằm củng cố kiến thức luyện thi Giáo viên giỏi một cách hiệu quả!
Trang 1S GD&ĐT NGH ANỞ Ệ
LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH
Đ THI GIÁO VIÊN D Y GI I C P Ề Ạ Ỏ Ấ
TRƯỜNG
NĂM H C 2018 – Ọ 2019 Môn: Toán
Th i gian: 120ờ phút (Không k th i gian giao đ ể ờ ề)
Câu 1 (5.0 đi m) ể ( Ph n chung)ầ
Câu 2.(5.0 đi m) ể
Cho đ nh lí v t ng n s h ng đ u c a c p s nhân:ị ề ổ ố ạ ầ ủ ấ ố '' Cho c p s nhân ấ ố ( )u n có công b i ộ q 1 . Đ t ặ S n = + + +u u1 2 u n. Khi đó 1
1 1
n n
q
S u
q
−
=
(Đ i s và Gi i tích l p 11 ạ ố ả ớ Tr 102).
Anh (ch ) hãy thi t k ị ế ế hai ví d khác nhau (kèm hụ ướng d n gi i), trong đó yêuẫ ả
c u ít nh t m t ví d có n i dung liên h th c ti n đ giúp h c sinh v n d ngầ ấ ộ ụ ộ ệ ự ễ ể ọ ậ ụ
đ nh lí trênị trong quá trình h c. ọ
Câu 3. (5.0 đi m) ể
Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành, BC= 2a và ∆ACD
vuông cân t i C. C nh bên ạ ạ SA vuông góc v i đáy và ớ SA a=
a) Tính th tích kh i chóp ể ố S ABCD. theo a
b) G i H là hình chi u vuông góc c a A lên ọ ế ủ SD và I là trung đi m ể SC. Tính tan
c a góc gi a hai m t ph ng ủ ữ ặ ẳ (AHI) và ( ABCD)
Câu 4.(5.0 đi m) ể
a) Cho phương trình: 23 9 4 6 10
4 3x = − +x x−
Anh (ch ) hãy nêu 3 đ nh hị ị ướng đ giúp h c sinh tìm để ọ ược ba cách gi i phả ươ ng trình trên và hãy đ t các câu h i hặ ỏ ướng d n h c sinh gi i chi ti t m t trong cácẫ ọ ả ế ộ cách đó
b) Cho các s th c dố ự ương a, b, c. Ch ng minh r ng:ứ ằ
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 4
a b + b c + c a − a b b c c a
H t ế
Đ chính ề
th cứ
Trang 2Cán b coi thi không gi i thích gì thêm ộ ả
Trang 3HƯỚNG D N CH M Đ THI GIÁO VIÊN D Y GI I C P TRẪ Ấ Ề Ạ Ỏ Ấ ƯỜNG
NĂM H C 2018 – Ọ 2019 Môn: Toán
( g m 05 trang) ồ
m
1
(5đ)
Ph n chungầ
2
(5đ)
Chi t đi mế ể
L y m i m t ví d chính xác, có kèm hấ ỗ ộ ụ ướng d n gi i chi ti t cho 2,5 ẫ ả ế
đi m ể
Yêu c u v l y ví d : ầ ề ấ ụ
+ Chính xác khoa h c, có họ ướng d n gi i chi ti t đi kèm.ẫ ả ế
+ N i dung c n ph i áp d ng đ nh lý đ gi i.ộ ầ ả ụ ị ể ả
+ Ph i có ít nh t m t ví d có tính liên h th c ti n. ả ấ ộ ụ ệ ự ễ
M t s d ng ví d g i ý:ộ ố ạ ụ ợ
Cho u m và u k b t kì, tính t ng các s h ng c a c p s nhân. ấ ổ ố ạ ủ ấ ố
Cho u1 (ho c m t ặ ộ u k b t kì) và q, tính t ng các s h ng c a c p s ấ ổ ố ạ ủ ấ ố
nhân.
Cho n, S n và q, tìm u1 ho c ặ u knào đó
Cho n, S nvà u1 (ho c ặ u knào đó), tìm q
Cho m, n và S m, S ntìm u kvà q
Cho S nvà q, u1. Tìm n. …
Tính t ng các s h ng c a m t dãy s có qui lu t …ổ ố ạ ủ ộ ố ậ
Các ví d th c ti n liên quan đ n tăng trụ ự ễ ế ưởng kinh t , t l tăng dân s , ế ỉ ệ ố
tính t ng,…ổ
M t s g i ý:ộ ố ợ
1) Cho c p s nhân ấ ố ( )u n có u9 = 64, q= − 2. Tính t ng ổ 2019 s h ng đ u ố ạ ầ
tiên c a c p s nhân đã cho.ủ ấ ố
L i gi i: ờ ả
8
1 64 256
4
2019
1 1 ( 2). 1 .(1 2 )
4 1 2 12
�
+
2) Cho c p s nhân ấ ố ( )u n có S10 = 341, q= − 2. Tìm u1.
L i gi i: ờ ả
Trang 4Ta có: 1 10 1 1
1 ( 2)
1 2
u − − = � − u = �u = −
+
3) Cho c p s nhân ấ ố ( )u n có u1 = 2, q= 3,S n = 2186. Tìm n
L i gi i: ờ ả
Ta có 1
n
q
q
−
4) Cho c p s nhân ấ ố ( )u n có S3 = 168, S6 = 189. Tìm công b i q c a c p s ộ ủ ấ ố nhân đó
L i gi i: ờ ả
3
3 1
1
1
q
S u
q
−
1
1
q
S u
q
−
3 3
5) B n Nam v a t t nghi p đ i h c đi làm. Năm đ u tiên b n dành d mạ ừ ố ệ ạ ọ ầ ạ ụ
được A tri u đ ng. B n d đ nh m i năm s dành m t s ti n tích lũyệ ồ ạ ự ị ỗ ẽ ộ ố ề theo nguyên t c s ti n tích lũy năm sau s tăng h n s ti n tích lũy nămắ ố ề ẽ ơ ố ề
k trề ước là 20%. H i v i m c tăng nh v y thì sau 5 năm đi làm t ng sỏ ớ ứ ư ậ ổ ố
ti n b n Nam d đ nh s tích lũy đề ạ ự ị ẽ ược là bao nhiêu ?
L i gi i: ờ ả
S ti n năm th nh t b n Nam tích lũy đố ề ứ ấ ạ ược là A tri u đ ng.ệ ồ
S ti n năm th hai b n Nam tích lũy đố ề ứ ạ ược là:
A +20%. A = 120%. A =6.
5 A ( tri u đ ng)ệ ồ
S ti n năm th ba b n Nam tích lũy đố ề ứ ạ ược là:
6
.
5 A+20%.6.
5 A = 6 2
( )
5 A ( tri u đ ng)ệ ồ …
Nh v y s ti n tích lũy hàng năm c a Nam l p thành m t c p s nhânư ậ ố ề ủ ậ ộ ấ ố
có công b i ộ 6
5
q= Sau 5 năm thì s ti n Nam tích lũy đố ề ược là:
5
5 1
1
.
1
q
S u
q
−
=
− Thay u1 =A và 6
5
q= ta đượ ố ềc s ti n là: 7,4. A tri u đ ng. ệ ồ
Trang 5(2,5đ)
a) . 2 . 2.1 2 .1 2 3
a a
0,5
0,5 0,5 0,5 0.5
3.b
(2,5đ)
b) Ta có CD AC SA a= = = �AI ⊥SC (1)
L i cóạ CD SA⊥ và CD AC⊥ �CD⊥ AI (2)
T (1) và (2) ừ �AI ⊥ (SCD) �AI ⊥SD
( )
SD AI
SD AHI
SD AH
⊥
⊥
�
⊥
Ta có: ( ) (( );( )) ( ; )
( )
SA ABCD
ABCD AHI SA SD ASD
SD AHI
⊥
tan ASD AD 2
SA
Ngoài ra có th gi i theo cách xác đ nh góc, công th c hình chi u ho c ể ả ị ứ ế ặ
t a đ hóa.ọ ộ
0,5 0,5
0,5 0,5
4.a
(3,5đ)
Câu 4. a)
Đ nh hị ướng 1: ( T o bình phạ ương) .
H th ng câu h i:ệ ố ỏ
Câu 1: Nêu m t s đ nh h ng gi i ph ng trình ch a căn?ộ ố ị ướ ả ươ ứ
Câu 2: Bi n đ i ph ng trình đã cho và nêu đi u ki n có nghi m c a ế ổ ươ ề ệ ệ ủ
phương trình ?
Câu 3: Do trong bi u th c c a ph ng trình xu t hi n tích c a hai s ể ứ ủ ươ ấ ệ ủ ố
h ng ạ (4 3 ) 4 − x −x, v y ta đ nh hậ ị ướng phương pháp gi i nào?ả
Câu 4: Đ làm xu t hi n bình ph ng c n thêm b t các s h ng nh ể ấ ệ ươ ầ ớ ố ạ ư
th nào?ế
Câu 5: Hãy gi i chi ti t ph ng trình đã cho.ả ế ươ
Gi i chi ti t.ả ế
Đi u ki n có nghi m: ề ệ ệ 3 4 0 4 (*)
x
x x
− <
<
�
V i đk (*)ớ
2 6 7 (4 3 ) 4 8 24 28 4(4 3 ) 4 0
0,5
0,5
Trang 62 2
9x − 24x+ − 16 4(4 3 ) 4 − x − +x 4(4 − = −x) x 4x+ 4
�
2 2 4 3 2 (1) (4 3 2 4 ) ( 2)
− = −
− = −
2
2
11 41
8
4 11 5 0
x
x
−
=
(2)
2
3 0
x
x
x x
−
=
− − =
Đ nh hị ướng 2: ( Đ t n ph không hoàn toàn)ặ ẩ ụ
Đi u ki n có nghi m: ề ệ ệ 3 4 0 4 (*)
x
x x
− <
<
�
V i đk (*)ớ
2 6 7 (4 3 ) 4 4 (4 3 ) 4 2 5 3 0
Đ t ặ t= 4 −x t( > 0) Ta có pt: t2 − − (4 3 ) 2x t+ x2 − + = 5x 3 0 ; ∆ = − (x 2) 2
Pt có hai nghi m: ệ t= − 3 2 ;x t= − 1 x suy ra 4 3 2
− = −
( Cũng có th đ a v ể ư ề 2x2 + (3 5)t− x t+ − + = 2 4 3 0t ; ∆ = + ( 1)t 2
Pt có hai nghi m: ệ 1 ; 3
2
t
x= −t x= − suy ra 4 3 2
− = −
Đ nh hị ướng 3: ( Phương pháp liên h p không dùng MTBT h tr )ợ ỗ ợ
2
3 4
x
�
−
Đi u ki n có nghi m: ề ệ ệ 3 4 0 4 (*)
x
x x
− <
<
�
Ta bi n đ i ế ổ 2 2 6 7 (ax ) 4 (ax )
3 4
x
�
−
Đ xu t hi n nhân t chung ta c n tìm a, b sao cho:ể ấ ệ ử ầ
2x 6x 7 (ax b x)(3 4) k[4 x (ax b) ] (k R)
(3a+ 2)x + (3b− 4a− 6)x+ − 7 4b k a x= [ + + (1 2 )x+ 4] (ab b k R)
Đ ng nh t h s ta đồ ấ ệ ố ược:
2
2
3 2 (1 2 ) 3 4 6 ( 4) 7 4
ka a
= +
− = −
Thường thì k s b ng 1 ho c 1. Bài này v iẽ ằ ặ ớ k = 1 khi đó ch ng h n ẳ ạ
c p ặ
a = 1 và b = 1 th a mãn ( cũng có th ch n k = 1 và c p a = 2; b =3)ỏ ể ọ ặ
T đó ta có l i gi i nh sau: ừ ờ ả ư
V i đk (*) ớ 2 2 6 7 (1 ) 4 (1 )
3 4
x
�
2
x x
pt
− − =
Đ nh hị ướng 4: ( Phương pháp liên h p có dùng MTBT h tr )ợ ỗ ợ
Đi u ki n có nghi m: ề ệ ệ 3 4 0 4 (*)
x
x x
− <
<
�
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 7
V i đk (*) ớ pt� 2x2 − 6x+ = − 7 (4 3 ) 4x −x
Dùng máy tính b túi ta tìm đỏ ược 1 nghi m c a pt là: ệ ủ x0 0.5746
Thay x0 = 0.5746 vào 4 x− ta được 4 −x0 1,8508 = − 2x0 + 3 nên ta bi n ế
đ i phổ ương trình nh sau: ư pt� (4 3 ) − x 4 − − −x (3 2x)] = − 4x2 + 11x− 5
2 2
2 4 11 5 0
4 11 5
Đ nh hị ướng 5: ( Bình phương 2 v đ a v tích)ế ư ề …
Đi u ki n có nghi m: ề ệ ệ 3 4 0 4 (*)
x
x x
− <
<
�
V i đk (*) ớ pt� 2x2 − 6x+ = − 7 (4 3 ) 4x −x
Bình ph ươ ng hai v v i đk (*) ta đ ế ớ ượ c
4 36 49 24 84 28 (16 24 9 )(4 )
pt� x + x + − x − x+ x = − x+ x −x
4 3 2
4x − 15x + 4x + 28x− = 15 0
�
Dùng MTBT ta b m đấ ược 4 nghi m:ệ
1 0.5746, 2 2,1754, 3 1,30278, 4 2,30278
Ta có:
2,75 , 1, 25
x + =x = x x = =
Suy ra x x1 , 2 là hai nghi m c a phệ ủ ương trình : 4x2 − 11x+ = 5 0
3 4 1, 3 4 3
x + =x x x = −
Suy ra x x3 , 4 là hai nghi m c a phệ ủ ương trình : x2 − − =x 3 0
Đó là c s đ ta phân tích pt ơ ở ể � (x2 − −x 3)(4x2 − 11x+ = 5) 0
Gi i xong đ i chi u đk có nghi m…ả ố ế ệ
4.b
(1,5đ)
b) Bđt c n ch ng minhầ ứ
( ) 4 ( ) 4 ( ) 4 ( )( )( ) 2
a b − + b c − + c a − − a b b c c a −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Đ t ặ x a b;y b c;z c a
+ + + . Ta có 1 x 2a ;1 y 2b ;1 z 2c
Nh n xét:ậ
(1 +x)(1 +y)(1 + = −z) (1 x)(1 −y)(1 −z) ( vì cùng b ng ằ 8
( )( )( )
abc
a b b c c a+ + + )
0
x y z xyz+ + + =
Suy ra bđt c n ch ng minh ầ ứ x2 + y2 + +z2 2(1 +x)(1 + y)(1 + −z) 2 0
x +y + +z x y z xyz xy yz xz+ + + + + +
D u b ng x y ra ch ng h n khi x=y=z=0, hay a=b=c.ấ ằ ả ẳ ạ
0,25 0,25
0,5
0,25 0,25
Trang 8N u bài làm theo cách khác đáp án mà đúng thì v n đ ế ẫ ượ c đi m nh đáp án qui đ nh ể ư ị
H tế