Từ câu hỏi truyền thống đến câu hỏi trắc nghiệm khách quan - Chủ đề: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng

Từ câu hỏi truyền thống đến câu hỏi trắc nghiệm khách quan - Chủ đề: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng nhằm giúp học sinh hiểu được phương pháp tính tích phân từng phần, phương pháp đổi biến số để tìm được các nguyên hàm tương ứng, học sinh phải có đầy đủ các kiến thức cơ bản về phép tính đạo hàm của các hàm cơ bản, phép tính đạo hàm đối với hàm hợp.



TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

CHỦ ĐỀ:

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Sinh viên: Hoàng Lê Thu Hằng Lớp: Toán 4T

Mã sinh viên: 13S1011044 Giáo viên hướng dẫn: Thầy Nguyễn Đăng Minh Phúc

Huế, tháng 4 năm 2017

Chủ đề: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng

Bài toán 1: Tính tích phân sau: 𝑰 = ∫ 𝒙 𝐥𝐧 𝒙

(𝒙𝟐+ 𝟏)𝟐𝒅𝒙

𝟑 𝟏

Bài giải:

Đặt {

𝑢 = ln 𝑥

(𝑥2+ 1)2𝑑𝑥 ⇒

{

𝑥

2(𝑥2+ 1)|1

3

3 1

1

1

3 1

1

1

𝑥

𝑥2+ 1) 𝑑𝑥

3 1

1

2ln(𝑥

1 3

1

1

2ln 2)

1

4ln 5

1

4ln 5

Phân tích:

phần, phương pháp đổi biến số để tìm được các nguyên hàm tương ứng, học sinh phải có đầy đủ các kiến thức cơ bản về phép tính đạo hàm của các hàm cơ bản, phép tính đạo hàm đối với hàm hợp

trong bài toán này Sau khi xác định được phương pháp làm (phương pháp tích phân từng phần),

học sinh cần phải hiểu được lượng nào sẽ đặt làm 𝑢 và lượng nào đặt làm 𝑑𝑣 để tìm nguyên hàm Sau đó, bằng những kỹ năng tính toán của bản thân, các em sẽ thu được kết quả

Câu hỏi trắc nghiệm:

Câu 1: Tính 𝐼 = ∫ 𝑃(𝑥) ln 𝑥 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

(𝑎, 𝑏 ∈ ℝ), trong đó 𝑃(𝑥) là đa thức, bằng phương pháp tích phân từng phần

A Đặt {𝑢 = 𝑃(𝑥)

𝑥

𝑎

𝑏

′(𝑥) 𝑥

𝑏 𝑎

𝑑𝑥

B Đặt {𝑢 = 𝑃(𝑥)

𝑥

𝑃(𝑎)

𝑃(𝑏)

′(𝑥) 𝑥

𝑃(𝑏) 𝑃(𝑎)

𝑑𝑥

C Đặt {𝑑𝑣 = 𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝑢 = ln 𝑥 ⟹ {

𝑥𝑑𝑥

𝑣 = ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑄(𝑥)

𝑥

𝑏 𝑎

𝑑𝑥

D Đặt {𝑑𝑣 = 𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝑢 = ln 𝑥 ⟹ {

𝑥𝑑𝑥

𝑣 = ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑄(𝑥)

⟹ 𝐼 = ln 𝑥 𝑄(𝑥)|𝑒𝑒 𝑎𝑏 − ∫ 𝑄(𝑥)

𝑥

𝑒𝑏

𝑒𝑎

𝑑𝑥

Đáp án: C

em bị nhẫm lẫn giữa đạo hàm và nguyên hàm dẫn đến việc đặt sai các lượng 𝑢 và 𝑑𝑣 (phương

án nhiễu A, B)

tích phân từng phần ta cũng phải đổi cận như ở phương pháp đổi biến số dẫn đến việc đưa ra kết quả sai (phương án nhiễu B, D)

Câu 2: Tìm nguyên hàm 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑥

(𝑥2+ 1)2𝑑𝑥

𝑥2+ 1+ 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ

2(𝑥2+ 1)+ 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ

Đáp án: D

ở đây, học sinh thường mắc phải các sai lầm về kỹ năng đạo hàm, kỹ năng tìm nguyên hàm các hàm cơ bản dẫn đến sai sót (phương án nhiễu A, B, C)

Câu 3: Khi tính tích phân 𝐼 = ∫ 1

3 1

, một học sinh làm như sau:

Bước 1: 1

1

𝑥

𝑥2+ 1

Bước 2: 𝐼 = ∫ (1

𝑥

𝑥2+ 1) 𝑑𝑥

3 1

𝑥2+ 1|1

3

Bước 3: 𝐼 = ln 3

1

2= ln 3 − ln 5

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Sai từ Bước 1 B Sai từ Bước 2 C Sai từ Bước 3 D Đúng

Đáp án: B

Học sinh thường thiếu giá trị 1

𝑥

𝑥2+ 1 dẫn đến sai sót trong quá trình làm bài (phương án nhiễu D)

Bài toán 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝒚 = |𝒙𝟐− 𝟒𝒙 + 𝟑|

và đường thẳng 𝒅: 𝒚 = 𝒙 + 𝟑

Bài giải:

Gọi 𝑆 là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

Gọi 𝑆1 và 𝑆2 lần lượt là phần diện tích hình phẳng giới hạn

𝑥 + 3 và trục hoành

Suy ra: 𝑆 = 𝑆1− 2𝑆2

Ta có:

 𝑥2− 4𝑥 + 3 = 𝑥 + 3 ⟺ 𝑥2− 5𝑥 = 0 ⟺ [𝑥 = 0

𝑥 = 5 Suy ra: 𝑆1 = ∫ |(𝑥2 − 4𝑥 + 3) − (𝑥 + 3)|𝑑𝑥

5 0

5 0

5 0

2

𝑥3

3)|

0 5

6

𝑥 = 3 Suy ra: 𝑆2 = ∫ |𝑥2− 4𝑥 + 3|𝑑𝑥

3 1

3 1

𝑑𝑥

3

1 3

3

4

109

Phân tích:

đường thẳng 𝑑: 𝑦 = 𝑥 − 3, ta cần xác định được phần hình phẳng đó trên mặt phẳng tọa độ Do

đó, việc vẽ được đồ thị hai hàm số này đóng vai trò quan trọng trong việc định hướng giải quyết bài toán

quan sát, tư duy, suy luận để tìm được cách tính sao cho hợp lý, dễ dàng và thuận tiện

Ngoài ra, học sinh cần phải hiểu được cách tính một tích phân có chứa giá trị tuyệt đối, biết xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối phục vụ cho việc tính toán được chính xác

Câu hỏi trắc nghiệm:

Câu 1: Đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) được cho như hình vẽ:

Đáp án: B

hiểu rõ bản chất của mỗi loại hàm số (phương án nhiễu A) Cũng vì chưa hiểu rõ bản chất của hàm số 𝑦 = |𝑓(𝑥)| mà học sinh có những cách vẽ hình không đúng (phương án nhiều C, D)

Câu 2: Cho hai hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) và y= 𝑔(𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏] Gọi 𝐷 là phần hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đó và các đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 (𝑎 < 𝑏) Gọi

𝑆𝐷 là diện tích của hình phẳng 𝐷 Lúc đó, 𝑆𝐷 được biểu diễn theo công thức nào?

𝑏

𝑎

𝑏 𝑎

𝑏

𝑎

𝑏 𝑎

Đáp án: B

tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số là máy móc, dẫn đến việc bị nhầm lẫn giữa hai phép tính cộng và trừ (thay vì tính 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥), học sinh lại tính 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) (phương án nhiễu A, C)

vào trong dấu giá trị tuyệt đối Từ đó, học sinh đưa ra kết quả sai (phương án nhiễu C, D)

Câu 3: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏] Gọi 𝐷 là phần hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 (như hình

vẽ dưới đây)

Gọi 𝑆𝐷 là diện tích của hình phẳng 𝐷 Khi đó, 𝑆𝐷 được tính bởi công thức nào?

A 𝑆𝐷 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑐

𝑎

− ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏 𝑐

𝑐 𝑎

+ ∫ 𝑓(𝑑)𝑑𝑥

𝑏 𝑐

0

𝑎

− ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏 0

0 𝑎

+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏 0

Đáp án: A

Học sinh thường gặp khó khăn trong việc xác định dấu của biểu thức 𝑓(𝑥) khi 𝑥 thuộc vào một khoảng giá trị nào đó dẫn đến việc nhẫm lẫn về dấu khi loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối của một biểu thức (phương án nhiều B)

Học sinh chưa phân biệt được |𝐴|, với 𝐴 là một biểu thức đại số ẩn 𝑥, và |𝑥| nên khi xét dấu của biểu thức 𝐴 học sinh lại xét đến các trường hợp 𝑥 ≥ 0, 𝑥 < 0 thay vì phải tìm các giá trị 𝑥 để 𝐴 ≥ 0, 𝐴 < 0 Điều này dẫn đến việc học sinh chọn sai cận để tính tích phân (phương

án nhiễu C, D)

Bài toán 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H giới hạn bởi đồ thị

hàm số 𝒚 = √𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝟒𝒙 + 𝐬𝐢𝐧𝟒𝒙 , trục hoành và hai đường thẳng 𝒙 = 𝝅

𝟐,

𝒙 = 𝝅 quanh trục hoành

Bài giải:

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục hoành là:

𝜋 𝜋 2

𝜋 𝜋 2

1 + cos 2𝑥

𝜋 𝜋 2

𝜋 𝜋 2

𝜋 𝜋 2

= 𝜋 ∫ (7

1

𝜋 𝜋 2

= 𝜋 [(7

1

16cos 4𝑥)|𝜋

2

𝜋

]

1

1

2

8

2

8 (đvtt)

Phân tích:

khối tròn xoay được tạo thanh khi quanh một phần hình phẳng quanh trục 𝑂𝑥

kỹ năng biến đổi và nhớ các công thức lượng giác, các tính chất cơ bản để đơn giản hóa phép tính tích phân

lượng giác cơ bản để tránh nhầm lẫn dẫn đến sai sót

Câu hỏi trắc nghiệm:

Câu 1: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏] Gọi H là phần tích hình phẳng giới

hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 Khi

xoay H quanh trục 𝑂𝑥 ta thu được một khối tròn xoay Hãy tính thể tích 𝑉 của khối

tròn xoay này

A 𝑉 = ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥

𝑏

𝑎

𝑏 𝑎

𝑏

𝑎

𝑏 𝑎

Đáp án: D

khối tròn xoay bằng tích phân nên chọn sai công thức để làm bài (phương án nhiễu A, B) Đối

với bài toán thể tích, một sai lầm học sinh hay gặp đó chính là quên nhân kết quả tích phân với

số 𝜋 (phương án nhiễu A, C)

Câu 2: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào sai?

Đáp án: C

Câu 3: Với 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ và 𝑎 ≠ 0, cho các biểu thức:

(1) ∫ sin(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = − cos(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ

Đáp án: C (Hai biểu thức đúng là (2) và (3))

𝑎 (phương án nhiễu (1)) Học sinh nhầm lẫn về dấu của các nguyên hàm chứa sin 𝑥 và cos 𝑥 (phương án nhiễu (4))

Câu 4: Khi tính tích phân 𝐼 = ∫ sin3𝑥

𝜋 𝜋 2

cos2𝑥 𝑑𝑥, một học sinh làm như sau:

Bước 1: 𝐼 = ∫ sin3𝑥

𝜋 𝜋 2

𝜋 𝜋 2

(1 − cos2𝑥) sin 𝑥 𝑑𝑥

Bước 2: Đặt 𝑡 = cos 𝑥 ⟹ 𝐼 = ∫ 𝑡2(1 − 𝑡2)𝑑𝑡

−1 0

−1 0

Bước 3: 𝐼 = (𝑡3

𝑡5

5)|

0

−1

15 Bài làm của học sinh đó đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

Đáp án: C

sai và đưa ra kết quả chưa chính xác (phương án nhiễu A)