Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó.. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình [r]
Trang 1Câu 1 (5 ) Cho hàm số y x3 x2 1 1
1 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 biết tiếp tuyến này vuông góc với
đường thẳng d có phương trình x 5y 1 0
2 Tìm m để đường thẳng có phương trình y m 1 x 1 cắt đồ thị hàm số 1 tại ba điểm phân biệt A 0;1 , B C , biết hai điểm ,, B C có hoành độ lần lượt là x x thỏa mãn: 1; 2
1
Câu 2 (5, )
1 Giải phương trình:
2
1 tan sin 3 sin 5
x
2
x y
Câu 3 (2 ) Tính tổng:
Câu 4 (4 )
1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A 1;1 , B 3; 2 , C 7;10 Lập phương trình đường thẳng đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến đường thẳng lớn nhất
2 Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai mặt cầu S1 :x2 y2 z 1 2 4
tuyến là một đường tròn Tính bán kính đường tròn đó
Câu 5 (3 )
Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng 1 Gọi M N là hai điểm thay đổi , lần lượt thuộc các cạnh AB CD sao cho mặt phẳng SMN luôn vuông góc với mặt phẳng ,
( ABC ) Đặt AM x AN, y Chứng minh rằng x y 3xy , từ đó tìm , x y để tam giác SMN có diện tích bé nhất, lớn nhất
Câu 6 ( )
Cho ba số dương , ,a b c thỏa mãn a2 b2 c2 a3 b3 c Chứng minh rằng 3
1
- -
( 01 trang)
UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013
================
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN THI : TOÁN – LỚP 12 – THPT
Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013
==============
Câu
1.1
Cho hàm số y x3 x2 1 1
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 biết tiếp tuyến này vuông góc
với đường thẳng d có phương trình x 5y 1 0
3.0
y x x
Hệ số góc của d là 1
5 Hệ số góc của tiếp tuyến là k 5
1.0
Gọi M x y là tiếp điểm 0; 0
Khi đó
2
1.0
Từ đó tìm được phương trình hai tiếp tuyến: y 5x 2; 5 202
27
y x
1.0
1.2
Tìm m để đường thẳng có phương trình y m 1 x 1 cắt đồ thị hàm số 1
tại ba điểm phân biệt A 0;1 , B C , biết điểm ,, B C có hoành độ lần lượt là x x 1; 2
thỏa mãn:
1
2
1 2
2.0
Phương trình hoành độ giao điểm:
2
0
x
cắt đồ thị hàm số 1 tại ba điểm phân biệt A B C , , phương trình (*) có
hai nghiệm phân biệt khác 0
5
(**) 4
1
m
m
0.5
Trang 3Gọi x x là hai nghiệm của (*), ta có: 1, 2
0.5
2
2 2
1 2
2
2
x x x x
x x
Kết hợp với hệ thức Viet ta biến đổi (3) trở thành
2
2
1
3
m m
Kết hợp điều kiện (**) ta có m 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán
0.5
Câu
2.1 1.Giải phương trình:
2
sin 3 sin 5
x
x
Biến đổi được 1 sinx cosx 2 1 2sin 2x 2 sin 4x cosx sinx
0.5
2
4
3 cosx sinx sin 3x sinx cos3x cosx 2 sin 4x
2 4
4
k x
0.5
Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình là
k
0.5
Trang 42.2 Giải hệ phương trình:
2
x y
Phương trình
Thế vào (2) ta có 2log22x 6log2x xlog2x 3x 0
2
2
x
x x
0.5
ln 2
x
2
ln 2
Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm x y; : 8;7 ; 2;1 ; 4;3
1.0
Câu
3
Tính tổng:
Xét 1 2x 2013 C20130 C12013 2x C20132 2x 2 C20132013 2x 2013 0.5
2014
2
1 2
1
x
2
1
2
1
0.5
Vậy S
2014 2014
4028
0.5
Trang 5Câu
4.1
1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A 1;1 , B 3; 2 , C 7;10 Lập
phương trình đường thẳng đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến
TH1: cắt đoạn thẳng BC tại M
d B d C BM CM BC
0.5
TH2: không cắt đoạn thẳng BC , gọi I 5;6 là trung điểm BC
d B d C d I AI
0.5
Vì BC 80 2 41 2AI nên d B; d C; lớn nhất bằng 2AI 2 41
khi vuông góc với AI
0.5
đi qua A 1;1 và nhận AI 4;5 là véc tơ pháp tuyến
0.5
4.2
2 Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai mặt cầu S1 :x2 y2 z 1 2 4
nhau theo giao tuyến là một đường tròn Tính bán kính đường tròn đó
2.0
1
S có tâm I1(0;0;1), bán kính R1 2
2
S có tâm I2(3;1; 1), bán kính R2 5
0 5
B
∆
∆
C
M
A
B
C
A
∆
I
Trang 62 2 2 2 2
x y z
Do đó hai mặt cầu trên cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn Đường tròn
đó là giao tuyến của măt cầu S và mặt phẳng ( )1 P : 6 x 2y 4z 11 0
1
7
;( )
56
2 2
5 2
;
4
r R d I P
0.5
Câu
5
Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng 1 Gọi M N là hai điểm ,
thay đổi lần lượt thuộc cạnh AB CD sao cho mặt phẳng SMN luôn vuông góc ,
với mặt phẳng ( ABC ) Đặt AM x AN, y Chứng minh rằng x y 3xy, từ
đó tìm ,x y để tam giác SMN có diện tích bé nhất, lớn nhất
3.0
Kẻ SO MN tại O SO ABC ( Vì SMN ABC )
O là trọng tâm tam giác đều ABC
( Vì S ABC là hình chóp đều )
0 5
AMN AMO ANO
0.5
1 2
S SO MN S nhỏ nhất khi MN nhỏ nhất ( Vì SO không đổi)
0.5
9
xy x y xy xy
1
2
0.5
S
B
N
M
O
Trang 7Đặt , 4 1;
9 2
t xy t MN2 9t2 3t
Lập bảng biến thiên hàm số f t 9t2 3t , 4 1;
9 2
9
3
x y
2
1 1 2
x
1 2 1
x y
1.0
Câu
6
Cho ba số dương , ,a b c thỏa mãn a2 b2 c2 a3 b3 c Chứng minh rằng 3
1
Ta có a3 a3 1 3 ;a2 b3 b3 1 3 ;b2 c3 c3 1 3c 2
2
0 5
Biến đổi được 3 4x 4y 4z 12 ( Bất đẳng thức này luôn đúng bằng cách
sử dụng bất đẳng thức Côsi, với chú ý x y z 3 ) đpcm
0.5
1 Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được tính điểm tối đa
2 Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ
3 Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm tròn điểm
