Bậc trùng của một cặp ánh xạ - Phần lớn các phương trình vi phân,tích phân

M Ở ĐẦU Phần lớn các phương trình vi phân,tích phân xuất phát từ khoa học tự nhiên và xã hội đưa đến việc giải phương trình dạng x = A x hay bài toán điểm bất động.Bậc tôpô của một ánh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Tr ần Duy Thúc

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Tôi xin cảm ơn tất cả các Thầy Cô, các cán bộ trong khoa Toán – Tin của

trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là các Thầy trong tổ Giải Tích đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Xin cảm ơn các bạn học viên nghành toán đã động viên giúp đỡ tôi và có nhiều ý kiến đóng góp trong quá trình hoàn thành luận văn

Do trình độ và thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của các Thầy Cô và các Bạn

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2014

Tác giả

M ỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

M Ở ĐẦU 1

Chương 1 BẬC TRÙNG CỦA MỘT CẶP ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ 3

1.1 Ánh xạ fredholm 3

1.2 Bậc trùng cho ánh xạ L -compact 10

1.3 Định lí tồn tại nghiệm cho những phương trình toán tử 18

Chương 2 BẬC TRÙNG CHO ÁNH XẠ ĐA TRỊ 23

2.1 Bậc cho trường vectơ compact trù mật đa trị 23

2.2 Bậc trùng cho ánh xạ đa trị 34

2.3 Các tính chất cơ bản của bậc trùng 46

KẾT LUẬN 62

TÀI LIỆU THAM KHẢO 63

M Ở ĐẦU

Phần lớn các phương trình vi phân,tích phân xuất phát từ khoa học tự nhiên và

xã hội đưa đến việc giải phương trình dạng x = A x( ) hay bài toán điểm bất động.Bậc tôpô của một ánh xạ là công cụ quan trọng bậc nhất trong nghiên cứa sự

tồn tại và cấu trúc của điểm bất động

Bậc tôpô của ánh xạ liên tục trong không gian hữu hạn chiều được xây dựng trong những năm 1910 và ban đầu được xây dựng trong Giải tích phức,trong Lí thuyết đường và mặt.Năm 1934 Leray-Schauder đã xây dựng bậc tôpô cho ánh xạ hoàn toàn liên tục,tác động trong không gian Banach và ứng dụng nó để nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng Từ đó bậc tôpô được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu có hệ thống và đã mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ mới xuất hiện trong khoa học,kĩ thuật Trong những năm 1960-1970, bậc tôpô đã được xây dựng cho ánh xạ dương trong không gian Banach có thứ tự, cho ánh xạ đơn điệu, ánh xạ cô đặc theo một độ đo phi compact và cho ánh xạ đơn trị compact,…

Một hướng mở rộng khác của bậc tôpô là xây dựng lí thuyết bậc tôpô để nghiên cứu phương trình dạng L x = N x( ) ( )mà bài toán điểm bất động là trường hợp riêng khi L x = x( ) hoặc L có ánh xạ ngược liên tục.Trong những năm 1970, bậc trùng của cặp ánh xạ L, N đã được J.Mawhin xây dựng như một mở rộng tự nhiên của bậc tôpô Bậc trùng có nhiều tính chất tương tự bậc tôpô và là công cụ

hửu hiệu để nghiên cứu nhiều lớp phương trình vi phân và tích phân

Trong phạm vi luận văn này tôi đi sâu tìm hiểu về bậc trùng của ánh xạ đơn trị

và ánh xạ đa trị

Bố cục luận văn chia làm hai chương:

 Ch ương1 Bậc trùng của cặp ánh xạ đơn trị

Chương này giới thiệu về lí thuyết bậc của Mawhin cho ánh xạ L -compact

Chương này gồm ba phần chính

Trong phần1.1 giới thiệu về ánh xạ Fredholm và mối hệ của nó với ánh xạ proper

A-Trong phần 1.2 đưa ra định nghĩa về ánh xạ L -compact (ở đây L là ánh xạ

Fredholm) và giới thiệu về bậc trùng Một vài tính chất của bậc trùng cũng được trình bày trong phần này

Trong phần 1.3, trình bày nhiều kết quả của lí thuyết bậc đưa ra trong 1.2

 Ch ương2 Bậc trùng cho ánh xạ đa trị

Trong chương này sẽ trình bày một vài kết quả về lí thuyết bậc Những kết quả

về lí thuyết bậc của Petryshyn và Fitzpatrick (1974), Mawhin (1972), Gaines và Mawhin(1972), Nussbaum (1969 và 1971), và Vainiko và Sadovshii (1968) Chương này gồm ba phần chính

Phần 2.1 trình bày định nghĩa và những tính chất cho bậc trường vectơ compact trù mật đa trị

Phần 2.2 xây dựng định nghĩa bậc trùng của ánh xạ đa trị

Phần 2.3 trình bày những tính chất của bậc được đưa ra trong phần 2.2

Chương 1.BẬC TRÙNG CỦA MỘT CẶP ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ

Chứng minh

Để thuận tiện cho việc chứng minh, trước hết xin nhắc lại một kết quả trong không gian định chuẩn và định lí Riesz như sau:

( )1′ Một tập đóng và bị chặn trong không gian hữu hạn chiều là tập compact

( )2′ Định lí Riesz: Nếu không gian định chuẩn X có quả cầu (0,1) B là tập compact thì dim X( )< ∞

Bây giờ ta trở lại phần chứng minh

Điều kiện đủ, ta biết từ giả thuyết đó {x Tx: = 0, x ≤ 1}là tập compact và áp dụng định lí Riesz ta có đượcKer T( ) là hữu hạn chiều Chúng ta có:X =Ker( )T ⊕M

với M là một tập đóng trong X Rõ ràng , chúng ta có ( ) Im( )T M = T Từ : Im( )

T M → T là một đơn ánh thoả:

Tx ≤c x ,∀ ∈x M c, > o

Từ đây suy ra ( )T M là tập đóng Do đó Im( )T là tập đóng

Điều kiện cần, giả sử rằng x n∈B(0,1) sao cho Tx n →y Như trước đó

Ker(T) M

X = ⊕ , vì vậy x n = z n +m n với z n∈Ker T( ) và m n∈M Do đó Tm n → y Tuy nhiên thu hẹp của T trên M vàoIm T( )là đơn ánh liên tục, vì vậy m n → ∈m M Nhắc lại rằng dim Ker T( ( ) )< ∞, và từ ( )1′ dẫn đến {x Tx: = 0, x ≤ 1}là tập compact,

vì vậy( )x n n∞=1có dãy con hội tụ Điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.1.3

Cho X là không gian Banach,và T X: →X là ánh xạ Frelhom tuyến tính bị

chặn vàK X: →X là ánh xạ tuyến tính compact Khi đóT +Klà ánh xạ Fredholm

Chứng minh

Để thuận tiện cho việc chứng minh, trước hết xin nhắc lại một vài kết quả như sau:

( )3′ Cho X và Ylà các không gian định chuẩn vàT X: →Y là một ánh xạ tuyến tính liên tục Khi đó ( )* ( )

Giả sử rằng x n∈B(0,1) sao cho (T +K x) n → y do tính compact của K dẫn đến

Trong phần tiếp theo, nhắc lại rằng nếu L là ánh xạ Fredholm thì chỉ số của

nó được cho bởi: Ind L( )= dim Ker( ( )L )− dim(Coker( )L ).

Bây giờ, giả sử L là ánh xạ Fredholm Khi đó tồn tại hai phép chiếu tuyến tính liên tụcP X: →X ,Q Y: → sao cho: Y

và P x n → ∀ ∈x, x X khi n→ ∞

Rõ ràng,PP n =P P, n(Ker( )P )⊂ Ker( )P và (I−P n)( )X ⊂Ker( )P

Đặt Q n = +Q LP K n PQ khi đó Q n liên tục Chúng ta có thể kiểm tra được rằng

Chú ý rằng Lx=L I( −P x) ,∀ ∈x X và từ những điều này chúng ta kết luận rằng:

= có dãy con ( )x n k l với x n k l →x0 và x0−Px0−J QNx' 0−K Nx PQ 0 =K PQ y+J Qy'

Bởi mệnh đề 1.1.8 chúng ta có Lx −Nx = y Do đó L−Nlà A-proper đối với

T

Trong phần tiếp theo, giả sử rằng L là ánh xạ Fredholm với Ind L( )=0 Khi

đó với bất kì đẳng cấu tuyến tínhJ: Im( )Q →Ker( )L , ánh xạ JQ+K PQlà một đẳng

Trong phần này , chúng ta sẽ xác định bậc trùng cho ánh xạ L -compact và

trình bày một vài chất của bậc trùng

Vì vậy QTx= và 0 (I−Q)(Lx Tx+ )=0 Do đó Lx Tx+ = 0, điều này mâu thuẩn

Bởi tính chất L -compact của T dẫn đến:

Bậc Laray Shauder deg(I− +P (JQ+K PQ)T, , 0Ω ) là định nghĩa tốt

Bây giờ chúng ta định nghĩa một bậc bởi:

( , , 0) deg( ( ) , , 0 )

Biểu thức này được gọi là bậc trùng của L và T− trên Ω ∩D L( ) Chúng ta có

thể kiểm tra được rằng định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn ,P Q Nó thì

có nghĩa rằng D J(L T+ Ω, , 0)là một hằng số đối với một vài Jphụ thuộc vào định hướng trên Ker L( )và Coker L( ) Định nghĩa đưa ra trên đây phụ thuộc vào J

Nhận xét

( )1 Nếu dim( )X =dim( )Y < +∞và chúng ta lấy L=0, khi đó với bất kì ánh liên

tục T trên Ω là L -compact Nếu chúng ta lấy P I = và, Q I= , khi đó dẫn đến

( )2 Nếu X Y= và chúng ta lấy L I= , khi đó với bất kì ánh xạ liên tục

compact T trên Ω là L -compact Nếu chúng ta lấy P= = thì: Q 0

Bậc trùng của L và T− trên Ω có những tính chất sau:

( )1 Nếu Ω 1vàΩ2là các tập con mở rời nhau của Ω sao cho

0∉F D L ∩ Ω Ω ∪ Ω\ thì D J(L T+ Ω, , 0)=D J(L T+ Ω, 1, 0)+D J(L T+ Ω, 2, 0 ) ( )2 Nếu H t x( ), : 0,1[ ]× Ω →Y là L -compact trên [ ]0,1 × Ω và 0≠Lx H t x+ ( ),

với mọi ( )t x, ∈[ ]0,1 × Ω thì D J(L+H t x( ), , Ω , 0) không phụ thuộc vào t∈[ ]0,1 ;

Khi đó, H là ánh xạ L -compact Rõ ràng, 0≠Lx H t x+ ( ), với mọi

( )t x, ∈[ ]0,1 × Ω, dẫn đếnD J(L+H t x( ), , Ω , 0) không phụ thuộc vào t∈[ ]0,1 ;

Vì thế, theo tính chất ( )2 của định lí 1.2.2 và bằng việc chọn 1, 0t= t= Ta có được:D J(L T+ 1, , 0Ω )=D J(L T+ 1, , 0 Ω )

-compact trênΩ ∩D L( ),T( )Ω ⊂Y0, khi đó:

( , , 0) det deg( , Ker( ), 0 ,)

J

Trong đó deg ,.,.( ) là bậc Brouwer

Chứng minh

Trước hết xin nhắc lại một tính chất trong bậc Leray Schauder như sau:

( )6′ Cho E là không gian Banach, E0 là không gian con đóng của E và E

Ω ⊂ là tập mở bị chặn Nếu T:Ω →E0 là ánh xạ hoàn toàn liên tục và p E∈ thì:

deg I− ΩT, ,p =deg I− Ω ∩T, E p,

Bây giờ ta trở lại phần chứng minh

Từ L là ánh xạ Fredholm với Ind L( )=0, chúng ta có Y =Im( )L ⊕Y0 là tổng

trực tiếp tôpô Chọn :Q Y → vY ới Im Q( )=Y0, khi đó QTx Tx= với mọix∈Ωvà

Nhưng I P= trên Ker L( ) và do đó chúng ta có được:

( , , 0) deg( , Ker( ), 0) det( )deg( , Ker( ), 0 )

H − = −L LA PA − P+ PA − P Hơn nửa, nếu T là ánh xạ L -compact trên Ω thì:

hợp này là đúng Điều phải chứng minh

Từ bổ đề 1.2.6, chúng có được kết quả sau:

Giả sử Ω ⊂ là tX ập mở bị chặn với 0 ∈Ω, Ωlà đối xứng đối với phần tử

không và T là L compact− trên Ω ∩D L( ) sao cho T( )− = −x Tx với mọi

( )

x∈∂Ω ∩D L , khi đó D J(L+T, Ω , 0) là số lẻ

Chứng minh

Trước hết xin nhắc lại định lí Borusk

( )9′ Định lí Borusk Cho Ω ⊂n là tập mở bị chặn và cân đối đối với 0∈Ω

.Nếu f ∈C( )Ω là hàm lẽ và 0∉ f ( )∂Ω thì deg(f, , 0Ω ) là số lẽ

Bây giờ ta trở lại phần chứng minh

Từ D J(L+T, Ω , 0)= deg(I− +P H PQ A T, Ω , 0) và bởi định nghĩa bậc Leray Schauder và định lí Borusk chúng ta có được kết quả trên

Trong phần tiếp theo, cho L D L: ( )⊂ X →Y là ánh xạ Fredholm chỉ số không,

và L=L1+L2 trong đó L L1 , 2 thoã mãn điều kiện sau:

(1) L D L1: ( )→Y là ánh xạ Fredholm chỉ số không;

(2) L2:D L( )→Ylà ánh xạ tuyến tính và L1-compact trên X

Bây giờ,giả sử rằng Ω ⊂ là tX ập con mở khác rổng,bị chặn của X , T: Ω →Y

là L -compact trên Ω và Tcũng là L1-compact trên Ω Đặt T1 =L2 +T. Khi đó T1 là

L -compact và L T+ =L +T

Cho , ,P Q J là các ánh x ạ tuyến tính kết hợp với L như trong mục 1.1 và

D L +T Ω = D L+T Ω = Điều phải chứng minh

1.3 Định lí tồn tại nghiệm cho những phương trình toán tử

Cho X và Y là các không gian định chuẩn trên R , L D L: ( )⊆X →Y là ánh xạ Fredholm với Ind L( )=0và tập con mở bị chặn Ω ⊂ vX ới Ω ∩D L( )≠ 0.

Định lí 1.3.1

Cho 0∈Ω và Ω là đối xứng đối với phần tử không và T: Ω →Y là L

-compact Nếu Lx Tx− ≠ −t( Lx T− ( )−x ) với mọi ( ) (t x, ∈ 0,1]×D L( )∩ ∂Ω thì

Điều này mâu thuẩn

Chúng ta có thể giả sử rằng Lx Tx− ≠0 với x∈∂Ω Nếu không thì ta có điều phải chứng minh Theo định lí 1.2.9, chúng ta có D J(L T− Ω, , 0)≠0, do đó

Khi đó H là L -compact và từ giả thuyết chúng ta có Lx H t x− ( ), ≠0 với mọi

( )t x, ∈[ ]0,1 ×D L( )∩ ∂Ω.Theo (2) của định lí 1.2.2 thì D J(L+H t( ), , ⋅ Ω , 0)không phụ thuộc vào t∈[ ]0,1 Do đó chúng ta có:

Với p∈(L+T2) ( ) (D L ∩ Ω), khi đó Lx T x− 1 = 0 có nghiệm trên D L( )∩ Ω

Cho A X: →Y là ánh xạ tuyến tính liên tục L -compact với Ker(L−A) { }= 0

và T: Ω →Y là L -compact Thêm vào các điều kiện sau được thực hiện:

Do đó Lx=Tx có nghiệm trên D L( )∩ Ω Điều phải chứng minh

Định lí 1.3.5

Cho T T1, 2:Ω →Y là L -compact Cho Z ⊂ là mY ột tập con với Y =Im( )L ⊕Z

tổng trực tiếp đại số và T2( )Ω ⊂ Z Giả sử rằng các điều kiện sau được thực hiện

( )1 Lx− −( )1 t T x T x2 − 1 ≠0 với mọi ( ) ( )t x, ∈ 0,1 ×D L( )∩ ∂Ω;

( )2 T x2 ≠ 0 với mọi x∈Ker( )L ∩ ∂Ω

( )3 deg(TKer ( )L ,Ω ∩Ker( )L , 0)≠0 , trong đó T Ker L( ) là thu hẹp của T2 trên

Cho T: Ω →Y là L -compact Giả sử các điều kiện sau được thực hiện:

( )1 Lx tTx− ≠ 0 với mọi ( ) ( )t x, ∈ 0,1 ×(D L( )\ Ker( )L )∩ ∂Ω

( )2 Tx∉Im( )L =0 với mọi x∈Ker( )L ∩ ∂Ω

( )3 deg(QTKer ( )L,Ω ∩Ker( )L , 0)≠0, trong đó :Q Y → là phép chiY ếu sao cho

( ) ( )

Ker Q =Im L

Khi đó Lx=Tx nghiệm trên D L( )∩ Ω

Chứng minh

Đặt Z =Im( )Q và T2 =QT trong định lí 1.3.5 Do giả thuyết ( )2 , chúng ta có

0,

QTx≠ với mọi x∈Ker( )L ∩ ∂Ω

Bây giờ, nếu Lx− −( )1 t QTx tTx− =0 với ( ) ( )t x, ∈ 0,1 ×(D L( )\ Ker( )L )∩ ∂Ω thì chúng ta có QTx=0,Lx tTx− =0

Ta có thể kiểm tra được rằng x∈(D L( )\ Ker( )L )∩ ∂Ω , ta có điều mâu thuẩn

giả thuyết ( )1 Do đó điều kiện của định lí 1.3.5 được thực hiện và do đó Lx=Tx

nghiệm trên D L( )∩ Ω Điều phải chứng minh

Chương2.BẬC TRÙNG CHO ÁNH XẠĐA TRỊ

2.1 B ậc cho trường vectơ compact trù mật đa trị

Cho X là một không gian vectơ tôpô lồi địa phương, khả li trên trường số

thực và thêm tính chất với mỗi tập con compact A của X , tồn tại một phép chiếu

của X vào bao lồi đóng của A Khái niệm này vẫn giử nguyên khi X là khả mêtric, đặc biệt khi X là không gian tuyến tính định chuẩn Với bất kì tập B , ta kí hiệu coB là bao lồi đóng của B và cho B và ∂B lần lượt là bao đóng của B và biên của

B Cho K B( ) và CK B( ) lần lượt là họ tất cả các tập con lồi đóng, khác rỗng của

B và h ọtất cả các tập con lồi compact, khác rỗng của B Nếu F là ánh xạ đa trị thì

( ) x B ( )

Định nghĩa 2.1

Cho X và Z là không gian vectơ tôpô lồi địa phương trên trường số thực Cho

B là m ột tập con của X và F là một ánh xạ xác định trên B nhận giá trị trong họ

các tập con của Z F được gọi là nửa liên tục trên tại x nếu cho một tập con mở

V trong Z sao cho F x( )⊂V thì tồn tại một tập con mở W của X chứa x và

Cho Ω ⊂ là tX ập mở và cho F: Ω →K X( ) là ánh xạ nửa liên tục trên Chúng

ta xác định dãy { }Kα như sau:

( )

0

Cho A là tập gồm các số α sao choKα−1tồn tại và cho B là tập gồm các số

α sao cho Kα−1 không tồn tại

β α β

αα

Chúng ta có thể kiểm tra được rằng:

Mỗi Kα là tập đóng, lồi và Kα ⊂Kβ với mọi α β≥ ; ( )2.3

F Kα∩ Ω ⊂ Kαvới mọi số α ( )2.4

Từ dãy { }Kα vô hạn không tăng, dẫn đến có một số γ sao cho Kγ =Kγ +1 và

Kβ =Kγ với mỗi β γ≥ Chúng ta kí hi ệu Kγ bởi K F( ),Ω hoặc đơn giản là K khi

nó được hiểu rỏ ánh xạ được thiết lập Rõ ràng,

Một ánh xạ nửa liên tục trên F: Ω →K X( ) được gọi là compact trù mật nếu

K∩ Ω = ∅ hoặc K∩ Ω ≠ ∅ thì F(Ω ∩K) là tập compact tương đối

Nếu F ánh xạ compact trù mật thì ta gọi (I−F) là một trường vectơ compact

trù mật, trong đó I là ánh xạ đồng nhất trên X

Bổ đề 2.1

Cho Ω ⊂ là một tập mở và X F: Ω →K X( ) là mộtánh xạ compact trù mật

Giả sử rằng 0∉ −x F x( ) với mỗi x∈∂Ω Giả sử rằng K∩ Ω ≠ ∅ và cho p là một

phép chiếu của X vào K Khi đó:

x∈Kβ với mỗi β η< Nếu một số η sao cho Kη−1 tồn tại thì Kη =coF(Ω ∩Kη−1)và

Do đó từ ( )2.5 chúng ta có F p x( ( ) )⊂K , vì vậyx∈K và x∈F x( ) với x∈Ω do

x∉∂Ω bởi giả thuyết Điều phải chứng minh

Định nghĩa 2.3

Cho Ω ⊂ là mX ột tập mở và F: Ω →K X( ) là một ánh xạ compact trù mật

Giả sử rằng 0∉ −x F x( ) với mỗi x∈∂Ω Nếu K∩ Ω = ∅, chúng ta định nghĩa bậc

của (I−F) trên Ωđối với phần tử không kí hiệu d I( −F, , 0Ω ) và trường hợp này

x∉∂p− Ω vì Ω là tập mở

Nhận xét của 2.1 cho thấy rằng vế phải của 2.8 được định nghĩa tốt Định lí

sau đây cho thấy rằng vế trái của 2.8 là không phụ thuộc phép chiếu p và do đó

x∈F x thì x∈A, dẫn đến x∈∂Ω và x∈F x( ) Điều này mâu thuẩn

Bây giờ giả sử rằng K∩ Ω = ∅, ta chứng tỏ rằng d c(I−Fτ τ, − 1( )Ω , 0)= 0 Từ

K∩ Ω = ∅ dẫn đến F không có điểm bất động trong K∩ Ω Bây giờ, ta giả sử trái

lại ( 1( ) )

, , 0 0

c

d I−Fτ τ− Ω ≠ , khi đó Fτ có điểm bất động trong τ− 1( )Ω Điểm bất

động này cũng là điểm bất động của F trong Ω Điều này mâu thuẩn

Bây giờ chúng ta giả sử rằng K∩ Ω ≠ ∅và cho p là m ột phép chiếu của X vào K Do điểm bất động của Fτ trong τ− 1( )Ω và Fp trong 1( )

p− Ω được chứa trong 1( ) 1( )

B=τ− Ω ∩ p− Ω Bởi tính chất cộng của bậc trên tập xác định, chúng ta

có được: deg(I−Fτ, , 0B )=deg(I−Fp B, , 0)

x∈Ω Do F p x và ( ( ) ) F( )τ( )x nằm trong K0 và K0 là lồi, đóng dẫn đến x∈K0 Cho η là một số sao cho x∈Kβ với mỗi β η< Nếu một số η sao cho Kη−1 tồn tại thì Kη =coF(Ω ∩Kη−1) và x∈Ω ∩Kη−1, dẫn đến F x( )⊂Kη Nhưng F p x( ( ) )⊂K và

K ⊂Kη với Kηlà lồi nên x K∈ η Nếu ηlà một số sao cho Kη −1 không tồn tại thì

Kη = <β η< Kβ và do đó x∈Kη Do vậy x∈K Ta có được p x( )=x và x∈F x( ) do

( )

F x là lồi và do vậy x∉∂B Vậy ta có được kết quả trên từ tính chất bất biến đồng

luân cho trường vectơ compact đa trị Điều phải chứng minh

Nh ận xét 2.2

Bằng việc đặt A K= , định lí trên cho thấy rằng bậc xác định trong định nghĩa 7.3 không phụ thuộc vào phép chiếuρ và do đó nó được định nghĩa tốt

2.1.1 Nh ững tính chất của bậc của trường vectơ compact trù mật

Trong phần tiếp theo trình bài một vài tính chất của bậc của trường vectơ compact trù mật đa trị Do phần này chỉ dùng cho việc chứng phần bậc trùng cho ánh xạ đa trị phía sau nên ở đây, xin phép chỉ trình bài phần nội dung của những tính chất Những kết quả dưới đây được trình bài bởi Petryshyn và Fitzpatrick (1971) [ ]4

Nếu d I( −F, , 0Ω )≠0, tồn tại x∈Ω sao cho x∈F x( ) với F: Ω →K X( ) là

một ánh xạ ánh xạ compact trù mật không có điểm bất động trong∂Ω

Định lí 2.3

Cho Ω ⊂ là một tập mở và X F: Ω →K X( ) là một ánh xạ compact trù mật sao cho 0∉ −x F x( ) với mỗi x∈∂Ω Cho Ω Ω , là các tập mở rời nhau của X sao

cho Ω ∪ Ω ⊂ Ω1 2 và Ω ∪ Ω = Ω1 2 Thêm giả thuyết x∉F x( ) với mỗi

của X chứa bao đóng của F( )Ω Khi đó:d I( −F, , 0Ω )=d I( −F|Ω∩E0,Ω ∩E0, 0 )

2.1.2 Ánh xạ đa trị k - ο/-cô đặc

Định nghĩa 2.4

Cho X là không gian vectơ tôpô lồi địa phương trên trường số thực và 2Xlà

họ tất cả các tập con của X Cho C là một tập có hướng với phần tử nhỏ nhất ta kí hiệu 0 Một ánh xạφ: 2X →C được gọi là một độ đo phi compact nếu với bất kì tập

0c= 0. Một ánh xạ nửa liên tục trên F: Ω →CK X( ) được gọi là một ánh xạ k− /o

-cô đặc hay ánh xạ k - o/ -cô đặc nếu tồn tại một số k≥ 0 sao cho với mọi tập con