100 câu trắc nghiệm thể tích khối đa diện và tròn xoay vận dụng cao có đáp án và lời giải chi tiết

Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy ABCD và góc giữa SC với mặt phẳng SAB... thể tích của khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân chiều ca

TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Câu 1. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt

đáy ABCD và góc giữa SC với mặt phẳng SAB

V 

32

V 

22

V 

62

Gọi B , C lần lượt là điểm trên SB , SC sao cho SA SB SC   1

Suy ra S AB C  là tứ diện đều có .

212

Câu 3 Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB 1, BC  Gọi 2 I, J lần lượt là trung điểm của

hai cạnh BC và AD Khi quay hình chữ nhật đó xung quanh IJ ta được một hình trụ

tròn xoay thể tích của khối trụ tròn xoay được giới hạn bởi hình trụ tròn xoay đó là

Câu 4: Cho hình chóp đều S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Gọi E, F lần lượt là trung

điểm của các cạnh SB SC, Biết mặt phẳng (AEF) vuông góc với mặt phẳng (SBC) Tính thể tích khối chóp S ABC

A

3 5.24

a

B

3 5.8

a

C

3 3.24

a

D

3 6.12

a

Lời giải

Chọn A

N F

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , do S ABC là hình chóp đều nên

Từ đó suy ra ANM ∽SOM

a AM

 

;3

Câu 5.Cho hình chóp đều S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Gọi E, F lần lượt là các điểm

nằm trên các cạnh SB , SC sao cho

k

SB SC  0k1 Biết mặt phẳng (AEF)vuông góc với mặt phẳng (SBC) Tính thể tích khối chóp S ABC

Câu 6. Cho hình chóp đều S ABCD có đáy là tam giác đều cạnh a Gọi E, F lần lượt là trung

điểm của các cạnh SB SC, Biết mặt phẳng (ADFE) vuông góc với mặt phẳng (SBC) Tính thể tích khối chóp S ABCD

A

3

26

a

3

22

a

3

212

a

3

218

a

Lời giải

1

a SM

Câu 7: Cho hình chóp đều S ABCD có đáy là tam giác đều cạnh a Gọi E, F lần lượt là các

điểm nằm trên các cạnh SB , SC sao cho

k



.

Câu 8:Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Gọi M , N , P, Q lần lượt là

trọng tâm các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA Biết thể tích khối chóp S MNPQ. là V ,

khi đó thể tích của khối chóp S ABCD là:

A

274

V

818

V

Lời giải

Chọn A

F E

J

Q P

H

N

K M

I O

D

S

A

B C

4 2 8

DEJ

BDA

S S

JAI

DAB

S S

S S

 

  

 

29

Câu 9:Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy

ABCD, góc giữa hai mặt phẳng SBDvà ABCD bằng 60 Gọi M , N lần lượt là

trung điểm của SB , SC Tính thể tích khối chóp S ADMN

A

3 616

a

V 

3 624

a

Lời giải

Chọn A

N M

 

2.tan 60 3

1

8V S ABCD



3 2

S

B'

Ta có:

2

a



Vì B, D là hình chiếu của A lần lượt lên SB , SDnên ta có SCAB D 

Gọi Clà hình chiếu của A lên SC suy ra SCACmà ACAB D  nênA

AC AB D 

hay CSCAB D .Tam giác S AC vuông cân tại A nên C là trung điểm của SC

Trong tam giác vuông S AB ta có

2 2

23

a a

SAB C D

a

V    

Câu 11:Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Một mặt phẳng thay đổi nhưng

luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên SA , SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P,

Q Gọi M  , N, P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M , N , P, Q lên mặt

A

D S

H M

P'

Đặt

SM k

SM

Câu 12:Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều Đường cao SH với chân đường cao nằm

trong ABC và 2SH BC; SBC tạo với ABC một góc 600 Biết có một điểm O

thuộc SH sao cho d0,ABd0,AC d O SBC ,    Tính thể tích khối cầu ngoại1tiếp chóp đã cho

A

25681



125162



50081



34348



Lời giải

Chọn D

Gọi E F, lần lượt là chân đường cao hạ từ O xuống AB AC;

Tương tự HFAC ; HOE HOF  HE HF  AH là tia phân giác của góc BAC

AH BC D  là trung điểm của BC

Câu 13:Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB2CD2 18 và các cạnh khác bằng 5 Biết thể tích tứ

diện ABCD đạt giá trị lớn nhất có dạng max 4 ; , ;( , ) 1

x y

Khi đó x, ythỏa mãn bất đẳng thức nào dưới đây

A x y 2 xy4550 B xy2x y 2550

;

2

11002

82

2 .2

Suy ra : .

3 824

Câu 14:Cho lăng trụ đứngABC A B C.   có cạnhBC2 ,a góc giữa hai mặt phẳng ABC

a

V 

3 33

a

V 

Lời giải Chọn B

Kẻ AI BC ( I BC ) A I BC

Ta có

1.2

Câu 15: Cho lăng trụ đềuABC A B C.   có cạnh đáy a 4, biết diện tích của tam giác A BC bằng 8

Tính thể tíchV của khối lăng trụ ABC A B C.   

Lời giải

Khi đó AA AI2A I 2 2 VậyV ABC A B C.   AA S ABC 8 3

Câu 16:Cho lăng trụ ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , hình chiếu của Alên

a

V 

3 38

GọiI là trung điểmBC, nên

VậyV ABC A B C.    A G S ABC 2a3 3

Câu 17: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy

(ABCD) và SA a Điểm M thuộc cạnh SA sao cho , 0 1.

Chọn A

Phân tích: Bài toán trên chính là bài toán về tỉ số thể tích, vì vậy trước hết phải xác định

thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (BMC)

Do (BMC) chứa BC song song với AD nên (BMC) cắt (SAD) theo giao tuyến song

song AD.

Để tính V S BCNM. nếu xác định đường cao thì phức tạp vì vậy sẽ chia thành hai khối và sử

dụng bài toán tỉ số thể tích

Kẻ MN/ /AD N SD;  khi đó thiết diện của hình chóp S ABCD với (BMC)là hình

thang BCNM Suy ra (BMC) chia khối chóp thành hai khối đa diện SBCNM và

DABCNM

Đặt V1V S BCNM. ; V2 V DABCNM ; V V S ABCD.

Để V1 V2 thì 1

12

Khi đó 1

12

SA a Gọi B, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB , SD

Mặt phẳng AB D   cắt SC tại C Tính thể tích của khối chóp  S AB C D  





2

z t xyzt





với

SA x

SA ,

SB y

SB ,

SC z

SC ,

SD t

SD

Câu 19:Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì thể tích bằng nhau.

B Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì thể tích bằng nhau.

C thể tích của hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau là bằng

nhau

D thể tích của khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân chiều cao.

Câu 20:Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 1 chiều cao bằng 2 Xét hình đa diện lồi H

có các đỉnh là trung điểm của tất cả các cạnh hình chóp đó Tính thể tích củaH

Câu 22:Cho khối đa diện H được tạo thành bằng cách từ khối lập phương có cạnh bằng 3, ta bỏ đi

khối lập phương cạnh bằng 1 như hình vẽ Gọi S là khối cầu có thể tích lớn nhất chứa

trong H và tiếp xúc với các mặt phẳng ( ' ' ' '),(A B C D BCC B' ') và (DCC D' ') Tính bán

Giải theo tự luận

Ta có CH 2 3

Gỉa sử khối cầu S có tâm I là tâm, bán kính R.

I’,M, P lần lượt là hình chiếu của I lên( ' ' ' '),(A B C D BCC B' ') và (DCC D' ')

Vì S là khối cầu chứa trong H và tiếp xúc với các mặt phẳng ( ' ' ' '),(A B C D BCC B' ')

và (DCC D' ') nên MNPI M C P I là hình lập phương cạnh ' ' ' ' R ( R là bán kính khối

Vậy chọn B

Câu 23:Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N , P lần lượt thuộc các cạnh BC , BD , AC sao

cho BC4BM, AC3AP, BD2BN Tính tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện

ABCD được phân chia bởi mp MNP 

(Địnhlý Menelaus Cho tam giác ABC đườngthảng d

Câu 24:Cắt một khối nón tròn xoay có bán kính đáy bằng R, đường sinh 2R bởi một mặt phẳng

( ) qua tâm đáy và tạo với mặt đáy một góc 0

60 tính tỷ số thể tích của hai phần khối

Không mất tính tổng quát ta giả sử R 1

Khi cắt một khối nón tròn xoay có bán kính đáy bằng R, đường sinh 2R bởi một mặt

phẳng ( ) qua tâm đáy và tạo với mặt đáy một góc 600 thì ta được thiết diện là một

đường parabol có đỉnh là gốc O0;0 và đỉnh còn lại là A1;1, do đó thiết diện sẽ có

diện tích là

43

là đa diện chứa đỉnh O của hình

nón được sinh bởi khi cắt thiết diện Parabol với đa diện  H

Khi đó khoảng cách từ O đến mặt thiết diện là

32

Câu 25: Khối chóp S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , SA SB SC a   , cạnh SD thay đổi thể

tích lớn nhất của khối chóp S ABCD là:

A

3

.8

a

B

3

.4

a

C

3

3.8

a

D

3

.2

a

Lời giải.

Chọn B

O A

D S

Đặt SD x .

Do đáy ABCD là hình thoi nên V S ABCD. 2V S BCD. 2V C SBD.

Ta có SAC BAC  SO BO  SBD vuông tại S.

a

x 

Câu 26:Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là 20 cm Người ta đổ một lượng nước

vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 10cm (hình H1) Nếu bịt kínmiệng phễu rồi lật ngược phễu lên (hình H2) thì chiều cao của cột nước trong phễu gầnbằng với giá trị nào sau đây?

Lời giải Chọn A

+ Gọi R là bán kính đáy của phễu

+ thể tích của lượng nước đổ vào phễu là

2

1.10

R

V    

  (1)

+ Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên thì lượng nước tạo thành khối nón cụt có

chiều cao là h và bán kính đáy nhỏ trên là r Ta có

+ thể tích khối nón cụt cũng là thể tích lượng nước được tính theo công thức sau:

2 2

cùng tạo với đáy góc 45 , cạnh bên của hình hộp bằng 1

(hình vẽ) thể tích của khối hôp là:

Lời giải Chọn A

B' A'

C' D'

B

C K

Từ giả thiết suy ra:HIAHKA45  HAHIHK

Có ABCD là hình chữ nhật, HI AD I, AD;HK AB K, AB

NênAIHK là hình vuông suy raAH HK 2A H 2

+ A H ABCD H, ABCD  AH A H  AA2 A H 2HA2 3A H 2

13

Câu 28:Cho hình chóp S ABC có chân đường cao nằm trong tam giác ABC , các mặt bên SAB,

SBC,SCA cùng tạo với đáy góc 60 Biết AB  , 3 BC  ,4 CD  , tính thể tích5khối chóp S ABC

G

HạSH ABC H, ABC

    ABC , SAB  HIS (Do HIS 90 )

Chứng minh tương tự  ABC , SBC  HKS

Mà H nằm trong tam giác ABC nên H vàHIlần lượt là tâm và bán kính đường tròn nội

tiếp của tam giác ABC

Có AB2BC2 AC2 nên tam giác ABC là tam giác vuông tại B

Câu 29:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, các mặt bên SBC,SAD cùng tạo

với đáy góc 60 , mặt bên SAB

vuông góc với đáy Biết khoảng cách từ Ađến mặt

C S

Chứng minh tương tự  ABCD , SAD  SAH

Từ giả thiết suy ra:SAH SBH 60 mà HAB suy ra tam giác SAB đều và H là trung điểm của AB

Gọi M là trung điểm của CD HM CD

Có SH ABCD SH CD

SHM SCD

  Hạ HI SM thì HI SCD

312

HI

 

     AB  (Do AB BC HM1   )

Câu 30: Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích

bằng200m3 Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Chi phí xây bể là

300 nghìn đồng/ 2

m (chi phí được tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy vàdiện tích xung quanh, không tính chiều dày của đáy và thành bể) Hãy xác định chi phíthấp nhất để xây bể (làm tròn đến đơn vị triệu đồng)

A 75 triệu đồng B 51 triệu đồng C 36 triệu đồng D. 46 triệuđồng

Lời giải Chọn B

+) Gọi chiều rộng của đáy bể là a ( )m thì chiều dài của đáy là 2a( )m

+) Do thể tích bể chứa nước là 200m3nên chiều cao của bể là 2 2

200 1002

Nhận xét: Ta cũng có thể đánh giá S bằng cách đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Câu 31: Cho hình lăng trụ đứng

ABC A B C    có đáy ABC là tam

giác vuông BA BC a  , cạnh

bên AA a 2, M là trung

điểm của BC (hình vẽ) Khoảng

cách giữa hai đường thẳng AM

và B C là:

A

22

a

B

33

a

C

55

a

D

77

a

Lời giải Chọn D

A'

A

C M

K

H N

B

V S

a

, khoanh B

+) Nhầm lẫn 2: BK AN , khi đó phương án nhiễu là

63

có một hình chữ nhật kích thước a2a (như hình vẽ dưới đây).Tính thể tích V của khối trụ  T

a



Lời giải:

Chọn B

M

O

A C

D

B

N H

K

Gọi M và N lần lượt là trung điểm CD và AB

Dễ thấy ACMN và BDMN là hình vuông cạnh bằng a

Do đó MAC  45o.Tương tự OAC  45onên ba điểm A M O, , thẳng hàng

Kéo dài CD cắt OH tại K

Đặt AH OH OD x  

Do OD2 OK2DK2 mà DKBH  x 2a , HK AC a

→x2 (x 2 )a 2(x a )2.Giải phương trình được x5a (loại nghiệm x a )

Vậy V tru  .r h2 .5 (2.5) 2502  

Câu 33: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB 3a , AD a , tam giác

SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a diện tích

S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD

A S 5a2 B S 10a2 C S 4a2 D S 2a2

Lời giải:

Chọn A

Bài toán tổng quát:

Cách xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy:

Gọi h là chiều cao hình chóp và R , d R là bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt đáy và b mặt bên vuông góc với đáy; GT là độ dài giao tuyến của mặt đáy và mặt bên vuông góc

với đáy Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp là:

Lời giải

Để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp thì ta dựng trục của mặt đáy và mặt bên vuông góc với đáy, giao của hai trục chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Giả sử hình chóp có đỉnh S , giao tuyến của mặt đáy và mặt bên vuông góc với đáy là

AB với M là trung điểm AB ; G , O là tâm đường tròn ngoại tiếp mặt bên vuông góc

với đáy và mặt đáy; I là tâm mặt cầu Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

Câu 34: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

33

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

Câu 35: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC là tam giác đều cạnh a , tam giác SAB

cân tại S và có cạnh SA2a Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Lời giải

B S

Giao tuyến của mặt đáy và mặt bên là: GT AB a , bán kính đáy

33

a



.Vậy thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

3

43

Câu 36: Cho ,x y là các số thực dương Xét các hình chóp SABC có SA x BC , y , các cạnh còn

lại đều bằng 1 Khi ,x y thay đổi , thể tích khối chóp SABC có giá trị lớn nhất là

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC

Do AM BC , SM BC→BCSAM

Chứng minh tương tự:SABCN

Đặt 1 2

xy t

.Dấu bằng xảy ra khi:

43

Câu 37: Cho tứ diện đều ABCD cạnh 2a Tính thể tích của khối bát diện đều có các đỉnh là trung

điểm các cạnh của tứ diện ABCD

a

3 26

a

Lời giải

Chọn B

Gọi M N P Q H K, , , , , lần lượt là trung điểm của các cạnh AB AC CD BD BC AD, , , , ,

Gọi V là thể tích của khối bát diện đều HMNPQK

Ta có: V 2V K MNPQ.

Lại có K MNPQ. là hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a

Vậy

3

22

Câu 38: Người ta sản xuất một chiếc cốc thủy tinh có dạng hình trụ không có nắp với đáy cốc và

thành cốc làm bằng thủy tinh đặc, phần đáy cốc dày đều 1,5cm và thành xung quanh cốcdày đều 0, 2cm (hình vẽ) Biết rằng chiều cao của chiếc cốc là 15cm và khi ta đổ 180mlnước vào thì đầy cốc Nếu giá thủy tính thành phẩm được tính là 500 đ/cm3 thì giá tiềnthủy tính để sản xuất chiếc cốc đó gần nhất với số nào sau đây?

A 31nghìn đồng B 40 nghìn đồng C 25 nghìn đồng D. 20 nghìnđồng

Lời giải

Chọn A

Gọi R , 1 h và 1 V theo thứ tự là bán kính, đường cao và thể tích của hình trụ phần vỏ cốc 1

và R , 2 h , 2 V là bán kính, chiều cao và thể tích của hình trụ phần lòng cốc.2

Ta có R1R20, 2; h1h21,5 15  h2 13,5; V 2 180

2 2

2

403

V R

Vậy giá thành để sản xuất một chiếc cốc là 60,71.500 30355 nghìn đồng

Câu 39: Một khúc gỗ có dạng khối nón có bán kính đáy r 30 cm, chiều cao h 120 cm Anh thợ

mộc chế tác khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng khối trụ như hình vẽ Gọi V là thể

tích lớn nhất của khúc gỗ dạng khối trụ có thể chế tác được Tính V

2 2

Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là

40 cm3

h

x  

;

2 max

427

r h

2

4 .30 12027



Câu 40: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a 3, AD a , SA vuông

góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng SBC tạo với mặt đáy một góc 60 Tính thể tích

V của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD

A

3

13 136

 thuộc mặt cầu đường kính SC (1).

Tương tự ta cũng chứng minh được CDSAD  CDSD SDC 90

D

 thuộc mặt cầu đường kính SC (2).

SAAC (vì SAABCD) SAC 90  A thuộc mặt cầu đường kính SC (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra Mặt cầu đường kính SC là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Câu 41: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là điểm trên cạnh SC

sao cho 5SM 2SC, mặt phẳng ( ) qua A M, và song song với đường thẳng BDcắt

hai cạnh SB SD, lần lượt tại hai điểm H K, Tính tỉ số theo thể tích

.

Ta gọi: E SO AM Dựng Ex BD cắt SB SD, lần lượt tại H K,      AHMK

Gọi F là trung điểm của MC

47

SM SF

47

( vì HK BD )

S AHMK S AHM S AMK

S ABCD S ABC S ADC

Câu 42: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm trên cạnh

SC , mặt phẳng   qua A M, và song song với đường thẳng BDcắt hai cạnh SB SD, lần

lượt tại hai điểm H K, Tính tỉ số theo thể tích

.

S AHMK S AHM S AMK

S ABCD S ABC S ADC

12

16

B AHMK

S ABCD

V V

Câu 43: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là điểm trên cạnh SC

sao cho SCxSM x( 1), mặt phẳng  

qua ,A M và song song với đường thẳng BD

cắt hai cạnh SB SD lần lượt tại hai điểm ,, H K Tính tỉ số theo thể tích

.

11

S AHMK S AHM S AMK

S ABCD S ABC S ADC

12

11

Chú ý: Bài toán trên có thể sử dụng kết quả sau đây để tính được tỉ số

SH

SB đơn giản hơn:

Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình

Câu 44: Cho lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh

a

V 

B

3 3.2

a

V 

Lời giải Chọn D

Cách 1.

+ Gọi M là trung điểm của BC AM BCC B 

+ Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của M B, trên B C

+ Khi đó B C AMH B C AH   AB C  , BB C   AH MH, AHM 60o

6

22