100 câu trắc nghiệm số phức vận dụng cao có đáp án và lời giải

Gọi là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức , ,x y�� thỏa mãn và là điểm biểu diễn số phức.. Gọi là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức , x y, �� thỏa mãn v

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC

VẬN DỤNG CAO

Câu 1 Gọi là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức , ( ,x y�� thỏa mãn và là điểm)

biểu diễn số phức Tìm điểm thuộc sao cho có độ dài lớn nhất

Ta có: M x y ; 

Do N1; 1 �  C nên có độ dài lớn nhất khi là đường kính, hay là trung điểm của Vậy

Lời bình: đây là bài toán tọa độ lớp , khi cho một đường tròn và một điểm Tìm điểm trênsao cho đạt min, max

Câu 2 Gọi là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z  x 1 yi, x y, �� thỏa mãn

và là điểm biểu diễn số phức là một điểm thuộc sao cho có độ dài lớn nhất Khi đó độ dàilớn nhất bằng

Hướng dẫn giải Chọn A.

Ta có: M x y ;  nằm trên đường tròn    2 2

Do nằm ngoài nên có độ dài lớn nhất khi

Câu 3 Gọi là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức , x y, �� thỏa mãn và là điểm

biểu diễn số phức là một điểm thuộc sao cho có độ dài bé nhất Khi đó độ dài bé nhấtbằng

Hướng dẫn giải Chọn D.

Ta có: M x y ; 

nằm trên đường tròn Tâm I 1;0

Do nằm ngoài nên có độ dài bé nhất khi

Câu 4 Cho hai số phức z z thỏa mãn 1; 2 z1 5 5; z2  1 3i z2 3 6i Tìm giá trị nhỏ nhất của

Cũng theo giả thiết, ta có:

Câu 7 Kí hiệu z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 4z2 16z  Trên mặt phẳng17 0

Do z1  1 i 2nên điểm biểu diễnM1củaz1thuộc đường tròn tâmI 1;1 bán kínhR2.

Do z2 iz1nên điểmM2 (điểm biểu diễn củaz2) là ảnh củaM1 qua phép quay tâmO, góc quay900 Suy ra z1 z2 M M1 2  2OM1ngắn nhất khiOM1ngắn nhất

Câu 9 Tính môđun của số phức z thỏa mãn 3 z z+2017(z+ =z) 48 2016- i

Lời giải Chọn A

- Đặt z= +a bi a b ( , ��) � = -z a bi

z =

32

Câu 14 (ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019): Xét các số phức z thỏa mãn z  2 Trên mặt

phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn của các số phức

4w1

iz z

Vậy tập hợp điểm biễu diễn của các số phức w là đường tròn có bán kính bằng 34

Câu 15: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

z i P

z





với z là số phứckhác 0 và thỏa mãn z �2 Tính 2M m .

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là

1

2 , xảy ra khi z 2 ; i giá trị lớn nhất của P bằng

3

2 xảy rakhi z2 i �

5

2

M m 

Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z 1.

Gọi M và mlần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức

39.

13.4

Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z   3 z 3 8 Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

z

Khi đó M m bằng

A 4 7. B. 4 7 C. 7. D 4 5.

Câu 18: Cho số phức w x yi (x y, �R �) thoả điều kiện w2  4 2w Đặt P8x2 y2 12

Khẳng định nào sau đây đúng

Câu 20: Cho w sin icos với 0 2

Câu 21: Cho z z là hai số phức thỏa mãn phương trình 1, 2 2z i  2 iz , biết z1z2 1 Tính giá trị

của biểu thức: P z1z2

A.

32



P

22

Mà z1z2  OMuuuur uuuuur1OM2  OMuuuur OM

với M là điểm thỏa

Câu 22: Gọi z z z là các nghiệm của phương trình 1; ;2 3 3 2  

m m

m m

�

37

m m

P 

25350

P 

415

P 

185

Vì 8x E8y E 25 8  x F 8y F 250 nên hai điểm E F, nằm cùng phía đối với đường

thẳng .

Gọi E� là điểm đối xứng với E qua 

Đường thẳngEE� đi qua điểm E1; 1  và có VTPT nrEE�ur 3; 4  nên có phương trình

Dấu bằng xảy ra �Mlà giao điểm của E F� và đường thẳng 

Đường thẳng E F� đi qua điểm F2; 3  và có VTPT nrEE�31;167 có phương trình

Giả sử z x yi x y R   , � 

ta có z 1 2i   z 1 2i � x0suy ra tập hợp điểm biểu diễn

1, 2

z z là trục tung.

Giả sử A B, lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho z z1, 2, ta có z1z2  2 � AB 2.

Giả sử w a bi a b R , �  và M là điểm biểu diễn cho số phứcw, ta có w 3 2  i 2

Ta có P MA MB  , gọi E là hình chiếu vuông góc của I lên trục tung, ta thấy P nhỏ

nhất khi E là trung điểm AB suy ra

62

z z

  

2

11

z z

  

�

Ta cũng có

3 3

1

z z

1

z z



2 2

2

1

z z

Câu 29: Cho hai số phức z , 1 z có điểm biểu diễn lần lượt là 2 M , 1 M cùng thuộc đường tròn có2

phương trình x2y2  và 1 z1z2 1 Tính giá trị biểu thức P z1z2 .

A

32

P

22

Cách 2: Do M , 1 M cùng thuộc đường tròn 2  T tâm O 0;0 , bán kính R1 và

25 86

b b

 min

1.2



Lời giải

Chọn A.

Ta gọi M N, lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z z 1; 2

Từ giả thiết : z1z2 5 � OM ONuuuur uuur  5 � OIuur 52

với I là trung điểm của đoạn thẳng MN

Phân tích: Bài tập tìm max, min số phức hiện tại cũng là một bài toán quen thuộc, ta có thể

sử dụng nhiều phương pháp cho loại bài toán này Với bài toán trên ta có thể dùng phươngpháp đại số, hoặc lượng giác

Câu 35: Cho hai số phức z z1; 2 thỏa mãn z1z2 5 và z1z2 1 Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z1  z2 Khi đó mô đun của số phức .

M m i là :

Lời giải

Chọn A.

Ta gọi M N, lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z z 1; 2

Từ giả thiết : z1z2 6 � OM ONuuuur uuur  6 � OIuur  3

với I là trung điểm của đoạn thẳng MN

Câu 37: Cho z , 1 z là hai số phức thỏa mãn 2 2z i  2 iz , biết z1z2 1 Tính giá trị của biểu

thức P z1z2

A

32

P

22

Câu 39: Cho hai số thực b c (; c0) Kí hiệu A B; là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai

nghiệm của phương trình z22bz c 0, tìm điều kiện của b và c sao cho tam giác OAB

là tam giác vuông ( Với O là gốc tọa độ ).

Lời giải Chọn C.

Ta có  ' b2c

Nếu  ' b2 c 0�phương trình có hai nghiệmZ1,2  b� ' (Loại vì O A B, , thẳng

hàng)

Nếu  ' b2 c 0� phương trình có nghiệm kép (Loại)

Nếu  ' b2 c 0 � Phương trình có hai nghiệm Z1,2  b i b� 2  c b i� (b2c)

Vậy hai điểm biểu diễn là

Câu 41: Hcho hai số phức ,z w thỏa mãn

5 2 22

3 2 22

Lời giải Chọn C.

z  i � điều này cho thấy M z 

đang nằm trên hình tròn tâm I 3; 2

bán kính bằng 1

w  i �w i điều này cho thấy N w  đang thuộc nửa mặt phẳng tạo bởi đường

thẳng  là trung trực của đoạn AB với A 1; 2 ,  B 2;1

Câu 42: Xét các số phức z a bi a b  ,( , �� thỏa mãn ) z 3 2i 2. Tính a b biết biểu thức

M là giao của của BC và ( ) T �M(2; 2 3)�a b 4   3

Câu 43: Giả sử z z là hai nghiệm phức của phương trình 1, 2 2i z z  1 2i z  1 3i và

hai số phức z z trong mặt phẳng phức thì suy ra A,B nằm trên đường tròn tâm O , bán kính1, 2

Câu 45: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i  z 2i Số phức zcó môđun nhỏ nhất

là:

A z   2 2 i B z 2 2 i C. z 2 2 i D. z  2 2 i

Lời giải Chọn B.

Câu 48: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 2.Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức

w 3 2   i 2 i z là một đường tròn Tìm tọa độ tâm I của đường tròn đó.

A. I3; 7   B. I2; 1   C. I3; 2   D. I1; 2  

Câu 49: Trong các số phức z thỏa mãn z    1 5i z 3 i ,

giả sử số phức có mô đun nhỏ

nhất có dạng z a bi  Khi đó

a S b

Vậy quỹ tích các điểm M x y ;  biểu diễn số phức z là đường thẳng x3y 4 0 d .

Có z OM , khi đó số phức z có mô đun nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất tức M là

hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng  d

P 

52

P

Lời giải Chọn B

Gọi z a bi, a b, ��.

b a

b a

z z

và K là điểm biểu diễn số phức z

13

OI  

, với I là trung điểm KN

+ Nếu z 1, ta có z2018 z �z2018 1z � z20191

Vì phương trình z2019 1 có 2019 nghiệm nên có tất cả 2020 số phức z thỏa mãn.

P 

5 2 732

P 

Lời giải Chọn B

Cách 1 Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn của z Các điểm A2;1, B 4, 7 , C1; 1  .

Ta có z    2 i z 4 7i 6 2 �MA MB 6 2, mà AB6 2 �MA MB AB  .

Suy ra M thuộc đoạn thẳng AB

Phương trình đường thẳng AB y x:  3, với x�2;4.

m

5 2 2 732

P 

�

Cách 2.Gọi M x y ; 

là điểm biểu diễn của z

Các điểm A2;1, B 4, 7 , C1; 1 

Ta có z    2 i z 4 7i 6 2 �MA MB 6 2, mà AB6 2 �MA MB AB 

Suy ra M thuộc đoạn thẳng AB

Phương trình đường thẳng AB y x:  3, với x�2; 4.

Câu 60: Cho hai số thực b và c c 0

Kí hiệuA, B là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức củaphương trình z22bz c 0 trong mặt phẳng phức Tìm điều kiện của b và c để tam giácOAB là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).

m m

a b

a b

P

12

P 

Lời giải Chọn C.

Câu 64: Cho số phức z a bi  ( ,a b��) thỏa mãn z  1 3i z i0 Tính S   a 3b

A.

73

S

73

S 

Lời giải Chọn B.

b

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng 6x4y 3 0.

Câu 66: Cho số phức z thỏa mãn 2 z 2 3i  2 1 2i  z Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z

trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường thẳng có phương trình nào sau đây?

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng 20x16y47 0 .

Câu 67: Tìm tập hợp các số phức z thỏa z thỏa z   4 z 4 10.

Chọn B.

Gọi M x y( ; ) là điểm biểu số phức z x yi x y ( , ��) thỏa bài toán.

Câu 69: Cho số phức z thỏa z 1 , gọi m M, lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của

2 2

t z z

với t� 0; 24

Khi đó Pmax  , 4 Pmin  nên chọn A.3

Câu 70: Cho số phức z thỏa z 1 , gọi m M, lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất

2 2

nên Pmax  , 2 Pmin  nên chọn C.1

Câu 71: Xét số phức z thỏa mãn iz     2i 2 z 1 3i 34. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(1 ) 2

P i z i

A Pmin 4 2 B Pmin  26 C min

9.17

D Pmin 3 2

Lời giải Chọn A.

Gọi M x y A B I lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z, 2 2 , 1 3 , 1 ( ; ), , ,      i i i

Câu 72: Cho số phức z thỏa mãn z    2 i z 4 7i 6 2 Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất của z 1 i Khi đó P M 2m2 bằng

Vậy N thuộc đoạn F F 1 2

Ta có uuuurF F1 2  6;6 �Phương trình đường thẳng 1 2

Câu 73: Cho các số phức z1 3 ,i z2   và 4 i z thỏa mãn z i 2 Biết biểu thức

1 2 2

T   z z z z đạt giá trị nhỏ nhất khi z a bi  (a b, ��) Hiệu a b bằng

A

3 6 1317



3 6 1317



6 13 317



3 6 1317

 

Lời giải

Chọn A.

Gọi A(0; 3), (4;1) B lần lượt là các điểm biểu diễn của z z 1, 2

Do |z i | 2 nên tập hợp điểm biểu diễn của z là đường tròn ( )C tâm I(0;1), bán kính2

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đường thẳng BM và ( )C

z    i�a b  

Câu 74: Cho hai só phức 1 2

Vì A B O, , cùng thuộc đường tròn (C) và tam giác OAB đều nên suy ra:

m min T 2OA  , khi đó K trùng với O hoặc 2 A hoặc B

Gọi K thuộc cung OB �

a

và

53

Vậy Pmin  3 m P, max  4 M �M m 1.

Câu 77: Cho số phức z thay đổi và thỏa mãn z  1 i 5 Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Phân tích : mục tiêu tìm tọa độ điểm C sao cho MB2MC, nhận thấy IB2IM 2R nên ta

có hai cách tìm tọa độ điểm C như sau :

C � �

Ta có : P2MA MB 2MA MC  �2AC5 5

Dấu « = » đạt được khi điểm C nằm trên đoạn AM

Câu 78: Cho các số phức z thỏa mãn z2 4 z2i z   1 2i

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z 3 2i .

A.Pmin 4. B. Pmin 2. C. min

72

Lời giải

Chọn D.

7( ; )

2

d I d

Vậy Pmin  3.

Câu 79: Cho các số phức z thỏa mãn z    1 i z 8 3i  53 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 2

P  z i .

A.Pmax 53. B. max

1852

Ta có : CA 13,CB 106 và CA CM CB� �  106 Vậy Pmax  106 đạt khi M

trùng B.

Câu 80: Biết z z1, 2  5 4i và z là ba nghiệm của phương trình 3 z3bz2  cz d 0 b c d, , ��,

trong đó z là nghiệm có phần ảo dương Phần ảo của số phức 3 w z 1 3z22z3 bằng:

Lời giải Chọn C.

Suy ra z3  5 4i.

Khi đó : w z 1 3z22z3  z1 3 5 4  i 2 5 4  i  25 2 z34i.

Vậy phần ảo của w z 1 3z22z3 là 4

Câu 81: Biết rằng hai số phức z ,1 z thỏa mãn 2 z1 3 4i 1 và 2

1 2 2 2

P   z z z z  bằng

D Pmin  5 2 3.

Lời giải Chọn C.

Đặt z3 2z2 thì z3  6 8i 1 và P   z z1 z z3 2.

Gọi M , A, B lần lượt là các điểm biểu diễn cho z, z và 1 z Khi đó:3

Điểm A nằm trên đường tròn  C1 có tâm I1 3; 4 , bán kính R1 ;1

Điểm B nằm trên đường tròn  C3

có tâm I3 6;8

, bán kính R3 1

Và điểm M nằm trên đường thẳng d: 3x2y 12 0.

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của P MA MB  2.

Ta kiểm tra thấy  C1 và  C3 nằm cùng phía và không cắt đường thẳng d: 3x2y 12 0.

Gọi đường tròn  C �1

có tâm I �1 và bán kính R �1 1 đối xứng với  C1 qua d

Điểm A� đối xứng với A qua d thì A� thuộc  C �1

Từ đó P khi các điểm min I �1 , I ,3 A�, B và M thẳng hàng và min 1 3

994513

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z  5 3i 5 là đường tròn  T

có tâm là I 5;3 , bán kính R5.

Gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn cho z , 1 z Khi đó M , 2 N nằm trên đường tròn

Mà

1 2

1 2

22

H

H

a a x

b b y

P

13 12

P 

Lời giải Chọn B.

phức zlà phần tô đậm như trên đồ thị có tính biên là đường thẳng : x5y3.

phức wlà phần tô gạch như trên đồ thị có tính biên là đường thẳng �: x5y 3.

Lời giải Chọn B

M M �; số phức z4 3 ivà số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N N�,

Biết rằng M M N N, �, , �là bốn đỉnh của hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ nhất của z 4i 5 .

Phân tích: Minh họa các điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức ta thấy rằng tứ giác MNN M��

luôn là hình thanh cân (MM ∥�NN�), nên để MNN M��là hình chữ nhật ta chỉ cần có thêm

điều kiện là tứ giác có một góc vuông nữa hoặc MM�NN�.

Câu 88: Trong mặt phẳng phức, xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M ; số

phức z4 3 i có điểm biểu diễn là N Gọi M N� �, lần lượt là hình chiếu của trên trục

Lời giải Chọn A

25

534

413

* Với , ta có

Câu 89: Trong mặt phẳng phức, xét số phức và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là

đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải Chọn A

Phân tích: Dựa vào tính chất hình thoi là tứ giác có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau

Phân tích: Từ yêu cầu bài toán ta nghĩ đến BĐT Bunhiacopxki, vấn đề còn lại là biến đổi để

Ta có

Câu 91: Cho số phức và thỏa mãn và (hoặc

Xét , ta có Do đó , nằm cùng phía đốivới đường thẳng

Nhận xét: Bài toán sẽ khó hơn nếu , nằm khác phía đối với đường thẳng Khi đó ta

Câu 93: Cho hai số phức , thỏa mãn và Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Lời giải Chọn A.

Suy ra , dấu "=" xảy ra khi

Gọi các điểm biểu diễn của các số phức , , lần lượt là , ,

Câu 94: Cho số phức thoả mãn Giá trị lớn nhất của biểu thức

i z

2

2

MN OE

2 20

Lời giải Chọn B.

51015

Nhận xét: Nếu bài yêu cầu tìm thì ta cũng làm tương tự.

Câu 95: Cho số phức thoả mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 97: Cho số phức thỏa mãn ; dương Gọi lần lượt là

Câu 98: Cho số phức thỏa mãn Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất,

Câu 100: Cho hai điểm A , là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự , khác và

tọa độ) ? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất

Lời giải

Chọn C.

Hai điểm , là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự ,

.Xét

AB OA OB AB OB