Đề thi thử TN THPT môn toán trường chuyên KHTN lần 1 có đáp án và lời giải chi tiết

Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 45 .0 Gọi E là trung điểm của BC Tính khoảng cách .giữa hai đường thẳng DE và SC... Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng  và tiếp xúc với

Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề

Câu 1 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 1 1

Câu 3 (TH): Phương trình 4

16

z  có bao nhiêu nghiệm phức?

Câu 4 (VD): Cho hàm số yx3mx2m x2 8 Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số có điểm cực

tiểu nằm hoàn toàn phía bên trên trục hoành?

Câu 11 (TH): Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số yx312x 1 m cắt trục hoành tại

3 điểm phân biệt?

Câu 14 (VD): Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 Cạnh bên SA vuông

góc với đáy Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 45 0 Gọi E là trung điểm của BC Tính khoảng cách .giữa hai đường thẳng DE và SC

Câu 20 (TH): Một lớp học có 30 học sinh nam và 10 học sinh nữ Giáo viên chủ nhiệm cần chọn một ban cán sự lớp gồm 3 học sinh Tính xác suất để ban cán sự lớp có cả nam và nữ

Câu 26 (VD): Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số 8 3 2 ln

phẳng  P :x2y3z0, Q :x2y3z 4 0 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng

 và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng  P và  Q

Câu 28 (TH): Tìm nguyên hàm  2x1 ln xdx

2

ln2

x

2ln2

x

2ln2

Câu 41 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A1; 1; 2   và mặt phẳng

 P :x2y3z 4 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P)

Câu 45 (VD): Cho hình chóp S ABC có AB3 ,a BC4 ,a CA5a, các mặt bên tạo với đáy góc 0

60 , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC thuộc miền trong tam giác ABC Tính thể tích hình 

chóp S ABC

A 2a3 3 B 6a3 3 C 12a3 3 D 2a3 2

Câu 46 (VD): Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC A B C    có cạnh đáy là 2a và khoảng cách từ điểm A

đến mặt phẳng A BC  bằng a Tính thể tích của khối lăng trụ ABC A B C   

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án C

Phương pháp giải:

Cho đường thẳng d1 đi qua điểm M1 và có VTCP u đường thẳng 1; d2 đi qua điểm M2 và có VTCP u 2.

Khi đó ta có khoảng cách giữa d d1, 2 được tính bởi công thức:   1 2 1 2

- Xét phương trình hoành độ tìm 2 đường giới hạn xa x, b

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x ,yg x , đường thẳng xa x, b là

   

b

a

S f x g x dx

Giải chi tiết:

24

z z

z i z

Câu 4: Đáp án C

Phương pháp giải:

- Giải phương trình y 0 xác định các giá trị cực trị theo m

- Chia các TH, tìm các giá trị cực tiểu tương ứng và giải bất phương trình y CT 0

Giải chi tiết:

m m

11

m m

m m

m m

Hàm số n

yx với n xác định khi và chỉ khi x0

Giải chi tiết:

Hàm số  1

31

- Giải bất phương trình logarit: loga f x loga g x  f x g x khi  0 a 1

Giải chi tiết:

x

x x

Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của phương trình là 1;1

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, cô lập m, đưa phương trình về dạng m f x 

- Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì đường thẳng y2m1 phải cắt đồ thị

Giải chi tiết:

Số nghiệm của phương trình 4 2

x  x   m là số giao điểm của đồ thị hàm số 4 2

y x  x  và đường thẳng y2m1

Từ đó ta suy ra BBT của đồ thị hàm số 4 2

y x  x 

- Từ đồ thị yx42x23 lấy đối xứng phần đồ thị bên dưới trục Ox qua trục Ox

- Xóa đi phần đồ thị bên dưới trục Ox

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, cô lập m, đưa phương trình về dạng m f x 

- Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì đường thẳng ym phải cắt đồ thị hàm

số y f x  tại 3 điểm phân biệt

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, cô lập m, đưa phương trình về dạng m f x 

- Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì đường thẳng ym phải cắt đồ thị hàm

số y f x  tại 3 điểm phân biệt

- Lập BBT hàm số y f x  và tìm m thỏa mãn

Giải chi tiết:

Dựa vào BBT ta thấy để đường thẳng ym phải cắt đồ thị hàm số y f x  tại 3 điểm phân biệt thì

m

n

Từ giả thiết tính loga b

- Biến đổi biểu thức cần tính bằng cách sử dụng các công thức trên, thay loga b vừa tính được để tính giá trị biểu thức

Giải chi tiết:

Theo bài ra ta có:

log√ab(a3√b)=log√ab(3√ab.3√a2)=log√ab3√ab+log√ab3√a2=log(ab)12(ab)13+1loga23(ab)12=132.logab(ab)+112.32loga(ab)=23+134(1+logab)⇒23+134(1+logab)=3⇒logab=−37logab(ab3)=logab(ab3.a23)=logabab3+logaba23=log(ab)12(ab)13+1loga23(ab)12=132.logab(ab)+112.32loga(ab)=23+134(1+logab)⇒23+134(1+logab)=3⇒logab=−37

1 3

1 2

1log



1 3

1 2

1log

Lập BBT của hàm số trên 0; và tìm GTNN của hàm số

Giải chi tiết:

- Đổi sang d A P ;   Dựng khoảng cách

- Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lí Pytago, diện tích … để tính khoảng cách

Giải chi tiết:

Trong ABCD gọi I ACDE, trong SAC kẻ  IG/ /SC G SA, khi đó ta có DEGDE/ /SC

  vuông cân tại A

Vì ABCD là hình vuông cạnh a 2 nên ACa 2 22aSA

510

- Dựa vào BBT tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm

Giải chi tiết:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình có nghiệm t  0 m 4

Kết hợp điều kiện 4;5; 6; ; 2020; 2021

2021

m

m m

B x Cx x

a b c

log 3 log 5





- Ứng với mõi trường hợp của d, tìm các cặp số a b c, , tương ứng

Giải chi tiết:

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là abcd a b c d ; ; ; 0;1; 2;3; 4;5 , a  b c d

Vì abcd 15 nên 5  0;5

3

abcd d abcd

- Gọi A là biến cố: “Ban sự lớp gồm 3 bạn có cả nam và nữ” Xét 2 TH để tính số phần tử của biến cố A

- Giải bất phương trình mũ: a f x  a g x   f x g x khi  0 a 1

- Giải bất phương trình đại số tìm x, sau đó kết hợp điều kiện đề bài

Giải chi tiết:

x x

Vậy phương trình đã cho có 100 nghiệm nguyên thỏa mãn

Giải chi tiết:

Gọi d là công sai của CSC trên Theo bài ra ta có:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d là  ;  ; d

điểm bất kì thuộc d và u là 1 vtcp của đường thẳng d d

Giải chi tiết:

Dựa vào BBT  m 6 Kết hợp điều kiện m   m 1; 2;3; 4;5;6

Vậy có 6 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 27: Đáp án B

Phương pháp giải:

- Gọi tâm mặt cầu là I, tham số hóa tọa độ điểm I  theo biến t

- Vì mặt cầu có tiếp xúc với cả hai mặt phẳng  P và  Q nên Rd I P ;  d I Q ;   Giải phương trình tìm t và suy ra tâm, bán kính mặt cầu

- Mặt cầu tâm I x y z 0; 0; 0, bán kính R có phương trình là   2  2 2 2

xx  yy  z z R

Giải chi tiết:

Gọi tâm mặt cầu là I1  t; 1 t t; 2 

Vì mặt cầu có tiếp xúc với cả hai mặt phẳng  P và  Q nên Rd I P ;  d I Q ;  

Tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần: udvuvvdu

Giải chi tiết:

- Sử dụng phương pháp logarit cơ số 2 cả hai vế của phương trình, sau đó xét hàm đặc trưng

- Rút a theo b, từ điều kiện của a suy ra điều kiện chặt chẽ hơn của b

- Biến đổi 2 2  2

2

Pa b  a b  ab, đặt ẩn phụ t2ab, lập BBT tìm miền giá trị của t

- Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTNN của biểu thức P

Giải chi tiết:

Theo bài ra ta có:

1 2

b b t

3

4

m m

m m

404

m

m m

Từ đó ta suy ra được m8, kết hợp điều kiện m  m 1; 2;3; 4;5;6;7;8

Vậy có 8 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 32: Đáp án D

Phương pháp giải:

- Đặt z a bi a b ;     z a bi

- Thay vào giả thiết 3z i z   8 0, đưa phương trình về dạng A Bi    0 A B 0

Giải chi tiết:

- Chứng minh đó MA22MB2MC2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI đạt giá trị nhỏ nhất

- Với I cố định, tìm vị trí của M P để IMmin

- Tìm tọa độ điểm I, từ đó dựa vào mối quan hệ giữa IM và  P để tìm tọa độ điểm M

Giải chi tiết:

Gọi I là điểm thỏa mãn IA2IB IC 0 Khi đó ta có:

Mà M P nên IM đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I lên  P hay

 

IM  P IM và n P 1; 2; 2  cùng phương, với n là 1 vtpt của P  P

Tìm tọa độ điểm I ta gọi I x y z Ta có:  ; ; 

Sử dụng phương pháp logarit hai vế

Giải chi tiết:

Lấy logarit cơ số 3 hai vế của phương trình ta có:

- Gọi M x y 0; 0 thuộc đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M

- Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số y f x  tại M x y 0; 0 là y f x0 xx0 f x 0

- Cho A 1;0 d, giải phương trình tìm số nghiệm x0 Số nghiệm x0 chính là số tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua điểm A 1;0 cần tìm

Giải chi tiết:

Câu 38: Đáp án C

Phương pháp giải:

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc

- Sử dụng công thức tính nhanh: Độ dài đường chéo của hình vuông cạnh a là a 2

Giải chi tiết:

Vì SAABCD nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên ABCD 

SC ABCD;  SC AC;  SCA

Vì ABCD là hình vuông cạnh a 3 nên ACa 3 2 a 6

Xét tam giác vuông SAC ta có: tan 1

3

SA SCA

- Hàm đa thức bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

- Giải phương trình y 0 tìm hoành độ điểm uốn, từ đó suy ra tọa độ điểm uốn

Giải chi tiết:

Ta có: yx33x 2 y3x23;y6x

Cho y  0 6x    0 x 0 y 2

⇒ Hàm số đã cho có điểm uốn là  0; 2

Vì hàm đa thức bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

Vậy hàm số đã cho có tâm đối xứng là  0; 2

+ Với m0 ta có y 12x5 không thỏa mãn y   0 x

+ Với m1 ta có 8

y  x   x (thỏa mãn)

- Xét phương trình hoành độ giao điểm

- Áp dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai

- Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng   2 2

Khi đó hoành độ của điểm A và B lần lượt là x x A, B là nghiệm của phương trình (*)

Áp dụng định lí Vi-ét ta có

1 2

112

Giải chi tiết:

Vì chóp S ABC có các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau và hình chiếu của S thuộc miền trong tam .giác ABC nên hình chiếu của S là tâm đường tròn nội tiếp ABC

Gọi H là tâm đường tròn nội tiếp ABC SH ABC

Xét ABC có AB2BC2 CA2 25a2 nên ABC vuông tại B (định lí Pytago đảo)

2

ABC ABC

a a S

Giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của BC ta có BC AM BC A BC

Vì tam giác ABC đều cạnh 2a nên 2 3 3

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 1

Giải chi tiết:

Giả sử cấp số nhân có công bội là q, khi đó theo bài ra ta có:

u q

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức z1  z2 z1 z2 ; z  z

- Đặt z a bi, sử dụng công thức z  a2b2 , biến đổi rút ra mối quan hệ giữa a b, và kết luận

Giải chi tiết:

Giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của SB

Gọi M là trung điểm của AC ta có SM AC AC SBM