Khái niệm cơ bản về xác suất
Giải tích tổ hợp
Tổ hợp là một lĩnh vực quan trọng trong toán học, có nhiều ứng dụng thiết thực trong cuộc sống con người Kiến thức về tổ hợp không chỉ hữu ích trong khoa học mà còn được áp dụng rộng rãi trong công nghệ máy tính, vi mạch, quy hoạch toán học và toán kinh tế.
Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản nhất của giải tích tổ hợp có ứng dụng trong lý thuyết xác suất
1.1.1 Quy tắc đếm a Quy tắc cộng
Công việc A có thể thực hiện bằng m phương án khác nhau hoặc A 1 , hoặc A 2 ,… , hoặc A m Mỗi phương án A i có n i cách thực hiện Số cách để thực hiện công việc A là
Trong một nhóm gồm 15 sinh viên, bao gồm 5 nam và 10 nữ, có thể chọn ngẫu nhiên một sinh viên làm nhóm trưởng Số cách để chọn một sinh viên từ nhóm này là 15.
Công việc của ta là chọn 1 sinh viên làm nhóm trưởng, công việc này có 2 phương án thực hiện:
- Phương án 1: Nhóm trưởng là sinh viên nam – có 5 cách chọn
- Phương án 2: Nhóm trưởng là sinh viên nữ – có 10 cách chọn
Vậy số cách để chọn một sinh viên là nhóm trưởng là: n = 5 + 10 = 15 (cách) b Quy tắc nhân
Công việc A được chia thành m công đoạn A , 1 A 2 , , A m Ứng với mỗi cách thực hiện công đoạn A i có n i + 1 cách thực hiện công đoạn A i+ 1 Số cách để thực hiện công việc A là
Một doanh nhân muốn di chuyển từ Kiên Giang đến Hà Nội, đi qua Thành phố Hồ Chí Minh Câu hỏi đặt ra là có bao nhiêu cách để thực hiện chuyến đi này, với điều kiện là từ Kiên Giang đến Thành phố Hồ Chí Minh.
Chí Minh có thể dùng một trong ba phương tiện: ô tô, tàu thủy, máy bay; từ Thành phố
Hồ Chí Minh tới Hà Nội có thể dùng một trong bốn phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy, máy bay
Công việc A: đi từ Kiên Giang tới Hà Nội được chia thành 2 công đoạn
- Công đoạn 1: đi từ Kiên Giang Thành phố Hồ Chí Minh, có 3 cách thực hiện
- Công đoạn 2: đi từ Thành phố Hồ Chí Minh tới Hà Nội , có 4 cách thực hiện
Vậy số cách đi từ Kiên Giang tới Hà Nội là: 3.4 = 12(cách)
1.1.2 Hoán vị Định nghĩa: Cho một tập có n phần tử Mỗi cách sắp đặt các phần tử của tập hợp đó theo một thứ tự nhất định gọi là một hoán vị của n phần tử đó
Số các hoán vị của n phần tử, kí hiệu là P n :
Ví dụ 1.3 Sắp chỗ ngổi cho 3 học sinh A, B, C trên một bàn, ta có số cách sắp xếp là 3! = 6 cách như sau: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
1.1.3 Chỉnh hợp Định nghĩa: Lấy ngẫu nhiên ra k phần tử từ một tập có n phần tử, hai cách lấy gọi là khác nhau nếu chúng có ít nhất một phần tử khác nhau hoặc thứ tự lấy ra của các phần tử khác nhau Số cách lấy ra k phần tử như vậy gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử, ký hiệu là:A n k , xác định bởi công thức : k
Ví dụ 1.4: Chọn ngẫu nhiên 2 người trong 5 người đi làm nhiệm vụ, người nào được chọn trước sẽ làm nhóm trưởng Hỏi có bao nhiêu cách chọn
Số cách chọn là A 5 2 = 20 cách
1.1.4 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa: Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử và mỗi phần tử có thể lặp lại lấy từ n phần tử đã cho Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử, kí hiệu là k n
Ví dụ 1.5: Với các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể viết được bao nhiêu số có 3 chữ số?
Số các số có 3 chữ số là chỉnh hợp lặp chập 3 của 4
1.1.5 Tổ hợp Định nghĩa: Lấy ngẫu nhiên ra k phần tử từ một tập có n phần tử, hai cách lấy gọi là khác nhau nếu chúng có ít nhất một phần tử khác nhau Số cách lấy ra k phần tử như vậy gọi là tổ hợp chập k của n phần tử, ký hiệu là:C n k , xác định bởi công thức : k
Ví dụ 1.6 Có bao nhiêu cách lập hội đồng gồm 3 người trong tổng số 8 người?
Hội đồng là nhóm 3 người lấy ngẫu nhiên từ 8 người, do đó số cách lập hội đồng là
Phép thử và biến cố
Mỗi hiện tượng trong tự nhiên và xã hội đều phụ thuộc vào các điều kiện cơ bản, và chúng chỉ xảy ra khi những điều kiện này được thực hiện Vì vậy, để nghiên cứu một hiện tượng, cần thiết phải xác định và thực hiện nhóm các điều kiện cơ bản liên quan.
Khi nghiên cứu chất lượng của một lô sản phẩm, cần lấy ngẫu nhiên một hoặc nhiều sản phẩm để kiểm tra Việc này thực hiện các điều kiện cơ bản nhằm quan sát hiện tượng xảy ra được gọi là phép thử, trong khi hiện tượng xảy ra trong kết quả của phép thử được gọi là biến cố (sự kiện).
Trong thực tế ta có thể gặp các loại biến cố sau đây:
- Biến cố chắc chắn: là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử
Biến cố chắc chắn được ký hiệu là:
- Biến cố không: là biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử
Biến cố không được ký hiệu là:
- Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử
Các biến cố ngẫu nhiên thường được ký hiệu bởi các chữ cái: A, B, C
Ví dụ 1.7 Tung một đồng tiền xu xuống đất là một phép thử, còn việc xuất hiện mặt nào đó là biến cố Ta có hai biến cố:
Ví dụ 1.8 Gieo một son súc sắc là một phép thử
- Gọi A là biến cố “xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hoặc bằng sáu” thì A là biến cố chắc chắn
- Gọi B là biến cố “ xuất hiện mặt 7 chấm” thì B là biến cố không
- Gọi A k = “Xuất hiện mặt k chấm” Khi đó: A 1 , A 2 , A 6 là các biến cố ngẫu nhiên
1.2.2 Các phép toán và mối quan hệ giữa các biến cố a Quan hệ kéo theo
Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B khi và chỉ khi A xảy ra thì B cũng xảy ra
Mô tả hình học của quan hệ kéo theo có thể hình dung A là tập con của tập B
Hình 1.1: Minh họa hình học quan hệ kéo theo b Quan hệ tương đương
Hai biến cố A và B gọi là tương đương khi và chỉ khi A xảy ra thì B cũng xảy ra và ngược lại
Ký hiệu: A = B c Biến cố tổng
Biến cố C gọi là biến cố tổng của hai biến cố A, B nếu C xảy ra khi có ít nhất
A hoặc B xảy ra Ký hiệu C = A + B
- Biến cố sơ cấp là biến cố không thể phân tích thành tổng của các biến cố khác
Mọi biến cố ngẫu nhiên A có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các biến cố sơ cấp, trong đó các biến cố sơ cấp này được gọi là các biến cố thuận lợi cho biến cố A.
Biến cố chắc chắn, ký hiệu là , là tổng hợp của tất cả các biến cố sơ cấp có thể xảy ra, trong đó mọi biến cố sơ cấp đều được xem là thuận lợi cho biến cố Vì lý do này, còn được gọi là không gian của các biến cố sơ cấp.
Khi gieo đồng thời hai con súc sắc, ta có thể xác định các sự kiện như sau: C đại diện cho tổng số chấm xuất hiện là 2, A là sự kiện con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt 1 chấm, và B là sự kiện con súc sắc thứ hai cũng xuất hiện mặt 1 chấm Do đó, ta có công thức C = A + B.
Mô tả hình học của biến cố tổng có thể hình dung C là hợp của hai tập hợp A và B
Hình 1.2: Minh họa hình học biến cố tổng d Biến cố hiệu
Biến cố C gọi là hiệu của hai biến cố A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra còn B không xảy ra Ký hiệu C = A B \
Chú ý: Hai biến cố A B \ và B A \ nói chung thường khác nhau
Mô tả hình học của biến cố hiệu có thể hình dung C là hiệu của hai tập hợp A và B
Hình 1.3: Minh họa hình học biến cố hiệu e Biến cố tích
Biến cố C gọi là tích của hai biến cố A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khi A, B đồng thời xảy ra Ký hiệu C = AB
Ví dụ 1.10 Hai xạ thủ cùng bắn vào mục tiêu, mỗi người bắn một viên đạn
Gọi C = “mục tiêu bị trúng 2 viên đạn”,
A = “xạ thủ thứ nhất bắn trúng mục tiêu”,
B = “xạ thủ thứ hai bắn trúng mục tiêu”
Mô tả hình học của biến cố tích có thể hình dung C là giao của hai tập hợp A và B
Hình 1.4: Minh họa hình học giao của hai biến cố f Biến cố xung khắc
Hai biến cố A và B gọi là xung khắc nếu A và B không đồng thời xảy ra,tức là: A.B =
Nhóm n biến cố A 1 , A 2 , A n được gọi là xung khắc từng đôi nếu hai biến cố bất kỳ trong n biến cố này đều xung khắc với nhau
Ví dụ 1.11 Gieo một con súc sắc Gọi A i (i = 1 6) là biến cố: “xúc xắc xuất hiện mặt i chấm“ Nhóm 6 biến cố A 1 , A 2 , A 6 là xung khắc từng đôi g Biến cố độc lập
Hai biến cố A và B được xem là độc lập khi sự xảy ra hoặc không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến sự xảy ra hoặc không xảy ra của biến cố kia, và ngược lại.
Trong một cơ quan có ba ô tô, chúng ta định nghĩa biến cố A_i là "Ô tô thứ i bị hỏng" với i = 1, 2, 3 Việc một ô tô bị hỏng không ảnh hưởng đến tình trạng của các ô tô khác, cho thấy sự độc lập giữa các biến cố này.
Vậy: A 1 , A 2 , A 3 là các biến cố độc lập h Biến cố đối
Biến cố A được gọi là biến cố đối của biến cố A nếu nó xảy ra khi và chỉ khi
A không xảy ra và ngược lại
Ví dụ 1.13 Khi gieo một con xúc xắc Gọi
A là biến cố “xuất hiện mặt chẵn“,
B là biến cố “xuất hiện mặt lẻ”
Rõ ràng A và B là hai biến cố đối lập nhau
Nếu A và B là hai biến cố đối lập thì A và B xung khắc nhau i Quy tắc đối ngẫu De Morgan:
1.2.3 Nhóm đầy đủ các biến cố
Nhóm các biến cố A1, A2, , An (với n ≥ 2) được gọi là nhóm đầy đủ nếu chúng thỏa mãn hai điều kiện: thứ nhất, các biến cố này xung khắc với nhau từng đôi một, tức là A_i ∩ A_j = ∅; thứ hai, tổng hợp các biến cố A1, A2, , An tạo thành một biến cố chắc chắn.
Ví dụ 1.14 Gieo một con xúc xắc a) A i = “Xuất hiện mặt i chấm” , i = 1,6
{A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 } là một hệ đầy đủ b) A = “Xuất hiện mặt 1 chấm”
A , A là một hệ đầy đủ c) A = “Xuất hiện mặt chẵn” ; B = “Xuất hiện mặt lẻ”
{A, B} là một hệ đầy đủ.
Xác suất
Việc xảy ra hay không xảy ra của các biến cố ngẫu nhiên trong phép thử là điều không thể dự đoán Tuy nhiên, chúng ta có thể nhận thấy rằng các biến cố khác nhau có khả năng xảy ra khác nhau Ví dụ, khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung đồng xu cao hơn nhiều so với khả năng xuất hiện mặt có 2 chấm khi tung xúc xắc.
Khi lặp lại nhiều lần một phép thử trong các điều kiện giống nhau, tính chất ngẫu nhiên của biến cố giảm dần, và khả năng xảy ra của biến cố sẽ tuân theo những quy luật nhất định Điều này cho thấy khả năng định lượng và khách quan trong việc xuất hiện của một biến cố nào đó.
Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng khả năng khách quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử
1.3.2 Các định nghĩa xác suất a Định nghĩa cổ điển về xác suất
Xác suất của biến cố A là 1 số không âm, kí hiệu P(A), biểu thị khả năng xảy ra của biến cố A và được xác định như sau:
Trong đó m: là số trường hợp thuận lợi cho A n: Số trường hợp của phép thử
Trong một lô sản phẩm gồm 10 sản phẩm, có 8 sản phẩm chính và 2 sản phẩm phế phẩm, chúng ta sẽ lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ lô này Mục tiêu là xác định xác suất để chọn được các sản phẩm cụ thể trong số các sản phẩm đã cho.
13 a) Cả 3 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm b) Trong 3 sản phẩm lấy ra có 2 chính phẩm
Tổng số kết quả cùng khả năng có thể xảy ra trong phép thử là: n = C = 120 10 3 a) Gọi A là biến cố “lấy được 3 chính phẩm”
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A xảy ra là m = C 3 8 V
Do đó: P(A) = 56/120 = 7/15 b) Gọi B là biến cố “trong ba sản phẩm lấy ra có 2 chính phẩm”
Số kết quả thuận lợi cho B xảy ra là: m = C C = 56 8 2 1 2
Do đó: P(B) = 56/120 = 7/15 b Định nghĩa thống kê về xác suất
Khi số lượng kết quả có thể là vô hạn hoặc hữu hạn nhưng không đồng khả năng, phương pháp tính xác suất cổ điển sẽ không còn hiệu quả.
Giả sử số phép thử có thể được lặp đi lặp lại rất nhiều lần trong những điều kiện giống hệt nhau
Tần suất xuất hiện của biến cố A trong n phép thử được định nghĩa là tỷ số f n (A) = n/k, trong đó k là số lần biến cố A xảy ra.
Bằng thực nghiệm, người ta chứng tỏ được khi số phép thử n tăng ra vô hạn thì tần suất f n (A) luôn dần tới 1 giới hạn nhất định
Ta gọi giới hạn đó là xác suất của biến cố A theo nghĩa thống kê
Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng tiền xu, một cuộc thí nghiệm đã được thực hiện bằng cách tung đồng tiền này nhiều lần và ghi nhận kết quả thu được.
Khi số lượng phép thử tăng lên, tần suất xuất hiện mặt sấp sẽ dao động ít hơn và ổn định hơn xung quanh giá trị cố định là 0,5.
Định nghĩa thống kê về xác suất có ưu điểm nổi bật là không yêu cầu các điều kiện áp dụng như các định nghĩa cổ điển Nó hoàn toàn dựa trên các quan sát thực tế để đưa ra kết luận về xác suất xảy ra của một biến cố.
Trong thực tế, việc thực hiện vô hạn các phép thử là không khả thi Tuy nhiên, với một số lượng phép thử đủ lớn, chúng ta có thể coi xác suất gần như tương đương với tần suất.
1.3.3 Tính chất của xác suất a) 0 P(A) 1 b) P() = 0 ; P() = 1 c) P(A) = 1 – P(A)
1.3.4 Các công thức tính xác suất a Xác suất có điều kiện
Cho 2 biến cố A và B Xác suất có điều kiện của A với điều kiện B, kí hiệu
P B , là xác suất của biến cố A được tính trong điều kiện biến cố B đã xả ra
B m m trong đó: m AB là số các khả năng thuận lợi cho biến cố AB m B là số các khả năng thuận lợi cho biến cố B
- Nếu A, B là 2 biến cố độc lập thì P A B P A B = P(A)
Trong một hộp có 5 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh, khi lấy ra lần lượt 2 viên bi với viên đầu tiên là bi xanh, xác suất để viên thứ hai cũng là bi xanh được tính toán dựa trên số lượng bi còn lại Sau khi lấy ra viên bi xanh đầu tiên, trong hộp còn lại 5 viên bi đỏ và 2 viên bi xanh, do đó xác suất để viên thứ hai là bi xanh là 2/7.
Gọi A = “viên thứ nhất lấy ra là bi xanh”
B = “viên thứ hai lấy ra là bi xanh”
Sau khi lấy ra viên thứ nhất là bi xanh, trong hộp còn 5 bi đỏ và 2 bi xanh suy ra ( / ) 2
Trong một hộp kín có 6 thẻ ATM của ngân hàng ACB và 4 thẻ ATM của ngân hàng Vietcombank, ta tiến hành lấy ngẫu nhiên 2 thẻ mà không hoàn lại Để tính xác suất lấy được thẻ ATM của Vietcombank ở lần thứ hai, khi đã biết rằng thẻ đầu tiên được lấy là của ACB, ta cần xem xét số lượng thẻ còn lại Sau khi lấy thẻ ACB đầu tiên, trong hộp sẽ còn 5 thẻ ACB và 4 thẻ Vietcombank, tổng cộng là 9 thẻ Do đó, xác suất để lần thứ hai lấy được thẻ ATM của Vietcombank là 4/9.
Gọi A là biến cố “lần thứ hai lấy được thẻ ATM Vietcombank”
B là biến cố “lần thứ nhất lấy được thẻ ATM của ACB“
Ta thấy, sau khi lấy lần thứ nhất (biến cố B đã xảy ra) trong hộp còn lại 9 thẻ (trong đó 4 thẻ Vietcombank) nên : P(A/B) = 4/9 b Công thức nhân xác suất
Theo công thức xác suất có điều kiện:
P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) Bằng quy nạp có thể chứng minh:
P(A.B.C) = P(A) P(B/A) P(C/AB) P(A 1 A 2 A 3 A n ) = P(A 1 ) P(A 2 /A 1 ) P(A 3 /A 1 A 2 ) P(A n /A 1 A 2 …A n-1 ) Chú ý: Nếu các biến cố A 1 , A 2 , A n đôi một độc lập thì
Trong một bài toán xác suất, một thủ kho sở hữu 9 chiếc chìa khóa giống hệt nhau, nhưng chỉ có 2 chiếc có khả năng mở cửa kho Anh ta tiến hành thử từng chìa khóa một cách ngẫu nhiên, loại bỏ những chìa không mở được cho đến khi cửa kho được mở Câu hỏi đặt ra là xác suất để anh ta mở được cửa kho trong 3 lần thử chìa khóa.
Gọi A i là biến cố “mở được cửa kho ở lần thử thứ i”, i = 1 8
A là biến cố “mở được cửa kho sau 3 lần thử chìa”
A = A A A 1 2 3 Áp dụng công thức nhân xác suất, ta có:
Trong một thùng chứa n sản phẩm với m phế phẩm (m < n), khi rút ngẫu nhiên một sản phẩm đầu tiên và không trả lại vào thùng, xác suất để sản phẩm đầu tiên là phế phẩm và sản phẩm rút tiếp theo là chính phẩm cần được tính toán.
Gọi A là biến cố “sản phẩm rút đầu là phế phẩm”
B là biến cố “sản phẩm rút sau là chính phẩm”
Khi đó xác suất cần tìm là
Trong một tình huống, một công nhân quản lý ba máy hoạt động độc lập Xác suất để máy 1, 2 và 3 không bị hỏng trong thời gian T lần lượt là 0.9, 0.8 và 0.7 Để tính xác suất có ít nhất một máy bị hỏng trong khoảng thời gian T, ta cần xác định xác suất mà tất cả các máy đều không bị hỏng và sau đó lấy 1 trừ đi giá trị đó.
Gọi A là biến cố “máy 1 không bị hỏng trong thời gian T”
B là biến cố “máy 2 không bị hỏng trong thời gian T”
C là biến cố “máy 3 không bị hỏng trong thời gian T”
Dễ thấy, 3 biến cố A, B, C là độc lập với nhau
Xác suất để cả ba máy không bị hỏng trong thời gian T là
Sự kiện có ít nhất 1 máy hỏng đối lập với sự kiện A.B.C
Vậy xác suất cần tìm là:
Để xác định xác suất áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu sang Mỹ, chúng ta cần xem xét hai lần kiểm tra Trung bình, 98% sản phẩm vượt qua lần kiểm tra thứ nhất Trong số những sản phẩm đã qua lần kiểm tra đầu, có 95% tiếp tục vượt qua lần kiểm tra thứ hai Do đó, xác suất để một chiếc áo sơ mi đạt tiêu chuẩn xuất khẩu được tính bằng tích của hai xác suất này, tức là 0.98 nhân với 0.95, cho ra kết quả cuối cùng là 0.931 Vậy xác suất để một chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu là 93.1%.
Gọi A là biến cố “qua được lần kiểm tra đầu tiên”
B là biên cố “qua được lần kiểm tra thứ 2”
C là biến cố “đủ tiêu chuẩn xuất khẩu”
Ta có: P(C) = P(AB) = P(A) P(B/A) = 0,98.0,95 = 0,931 c Công thức cộng xác suất
Chú ý: Nếu A, B là 2 biến cố xung khắc thì P(A + B ) = P(A) + P(B)
Biến ngẫu nhiên
Khái niệm về biến ngẫu nhiên
Biến ngẫu nhiên, hay còn gọi là đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN), là một đại lượng phụ thuộc vào kết quả của một phép thử, mang tính ngẫu nhiên và không thể dự đoán trước.
Các biến ngẫu nhiên thường được ký hiệu là X , Y , Z … hoặc X 1 , X 2 … còn các giá trị có thể của nó được ký hiệu là x , y , z hoặc x 1 , x 2 …
Biến X được gọi là ngẫu nhiên vì trước khi thực hiện phép thử, chúng ta không thể xác định chắc chắn giá trị của nó, mà chỉ có thể dự đoán với một xác suất nhất định Điều này có nghĩa là khi X nhận giá trị nào đó (X = x1, X = x2, , X = xn), đó thực chất là các biến cố ngẫu nhiên Hơn nữa, trong kết quả của phép thử, biến X sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể, do đó các biến cố (X = x1), (X = x2), , (X = xn) tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố.
Khi gieo một con súc sắc, biến ngẫu nhiên X đại diện cho "Số chấm xuất hiện" Kết quả của phép thử này có thể nhận một trong sáu giá trị: 1, 2, 3, 4, 5, hoặc 6.
2.1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên
- Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu tập giá trị của nó là 1 tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các phần tử
- Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu các giá trị của nó có thể lấp đầy một khoảng trên trục số
Ví dụ 2.2 Biến cố X trong ví dụ 2.1 là biến ngẫu nhiên rời rạc
Ví dụ 2.3 Tuổi thọ hoặc chiều cao của con người là biến ngẫu nhiên liên tục.
Các phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
2.2.1 Bảng phân phối xác suất
Bảng phân phối xác suất chỉ dùng để mô tả quy luật phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên rời rạc
Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có thể nhận các giá trị x₁, x₂, …, xₙ với xác suất tương ứng p₁, p₂, …, pₙ Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X được trình bày như sau: x x₁ x₂ … xᵢ … xₙ và p(x) p₁ p₂ … pᵢ … pₙ.
Chú ý: Để tạo nên một quy luật phân phối xác suất thì các xác suất p i phải thoả mãn điều kiện:
Một xạ thủ có 3 viên đạn và được yêu cầu bắn từng viên cho đến khi trúng mục tiêu Xác suất bắn trúng mỗi lần là 0,6 Bảng phân phối xác suất của số đạn đã bắn sẽ được xác định dựa trên các khả năng khác nhau: bắn trúng ngay lần đầu, bắn trượt lần đầu nhưng trúng lần hai, hoặc bắn trượt hai lần đầu và trúng lần ba.
Giải: Đặt: A i = “Bắn trúng mục tiêu ở lần bắn thứ i”, i = 1 3
Các biến cố A i , A i là độc lập và P(A i ) = 0,6; P(A i ) = 0,4
Gọi X là “số viên đạn bắn ra” X = {1, 2, 3}
Suy ra: bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là:
X 1 2 3 p(x) 0,6 0,24 0,16 a Các phép toán đối với biến ngẫu nhiên rời rạc
- Phép cộng: Giả sử X và Y là các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất như sau :
Khi đó X + Y là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất là
Trong đó z k là các giá trị khác nhau của các tổng x i + y j và p’’ k i j k
Phép nhân giữa hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X và Y, với bảng phân phối xác suất đã cho, tạo ra một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc mới, ký hiệu là X.Y Đại lượng này cũng có bảng phân phối xác suất riêng, phản ánh mối quan hệ giữa các giá trị của X và Y.
Trong đó z k là các giá trị khác nhau của các tích x i y j và i j k
Ví dụ 2.5 Cho hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y có bảng phân phối xác suất lần lượt là:
Hãy lập bảng phân phối xác suất của các đại lượng X+Y, XY
Ta có hai bảng sau đây Ở bảng thứ nhất (xem Bảng 1)
- dòng 1 ghi các giá trị của X,
- cột 1 ghi các giá trị của Y,
Các ô ở giữa thể hiện giá trị tương ứng của X+Y, với mỗi ô chứa tổng các giá trị từ dòng 1 kết hợp với các giá trị từ cột 1 Thông tin này được minh họa rõ ràng trong bảng thứ hai (Bảng 2).
- dòng 1 ghi xác suất ứng với mỗi giá trị của X,
- cột 1 ghi xác suất ứng với mỗi giá trị của Y,
- các ô giữa ghi xác suất ứng với mỗi giá trị của X+Y
Kết quả ở mỗi ô là tích các giá trị thuộc dòng 1 lần lượt với các giá trị thuộc cột 1
Từ Bảng 1 và Bảng 2 suy ra
P (X+Y = 4) = 0,15 Vậy bảng phân phối xác suất của X+Y là:
Để tạo bảng giá trị của tích XY, chúng ta cần lập lại bảng tương tự như Bảng 1, trong đó mỗi ô giữa của bảng mới sẽ là tích của các giá trị ở dòng 1 với các giá trị ở cột 1 (tham khảo Bảng 3).
Từ Bảng 3 và Bảng 2 suy ra
Vậy, bảng phân phối xác suất của XY là:
2.2.2 Hàm phân phối xác suất
Khái niệm hàm phân phối xác suất áp dụng được đối với cả biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục
Giả sử X là một biến ngẫu nhiên và x là một số thực bất kỳ, ta xem xét biến cố “X nhận giá trị nhỏ hơn x”, ký hiệu P(X < x) Khi x thay đổi, xác suất P(X < x) cũng thay đổi, cho thấy xác suất này là một hàm số của x Định nghĩa hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu F(x), là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn x, với x là một số thực bất kỳ.
F(x) = P(X < x) Tính chất: Hàm phân phối xác suất có các tính chất sau
(2) F(x) không giảm, tức là nếu x1 < x 2 thì F(x 1 ) ≤ F(x 2 )
Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục, thì xác suất P(X = x0) bằng 0 và hàm phân phối F(x) là một hàm liên tục Ngược lại, nếu F(x) là hàm xác định trên khoảng và thỏa mãn các tính chất nhất định, thì F(x) chính là hàm phân phối xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên.
Chú ý: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất:
Với x 1 < x 2 < … < x n , thì hàm phân phối xác suất của X là:
,neáu ,neáu Ý nghĩa: Hàm phân phối xác suất phản ánh mức độ tập trung xác suất ở về phía bên trái số thực x nào đó
Một sinh viên tham gia thi ba môn Toán, Lý, Hóa với xác suất đỗ lần lượt là 0,6, 0,7 và 0,8 Để xác định hàm phân phối xác suất của số môn mà sinh viên này đỗ, ta cần tính xác suất cho từng trường hợp số môn đỗ từ 0 đến 3, dựa trên các xác suất đã cho Theo quy định, sinh viên sẽ được coi là đỗ môn học nếu điểm thi đạt từ 5 trở lên.
Gọi X là “số môn đỗ của sinh viên đó” X 0,1, 2,3
Gọi T, L, H lần lượt là các biến cố sinh viên đó đậu Toán, Lý, Hóa Khi đó
P(X = 0) = P(T L H) = 0,024, P(X = 1) = P(TL H + TLH + T LH) = 0,188, P(X = 2) = P(TLH+ TLH + TLH) = 0,452,
Vậy, bảng phân phối xác suất của X là:
Từ đó, ta có hàm phân phối xác suất của X là :
F x ỡùù ùù ùù ùù ùù ùùù
= ớù ùù ùù ùù ùù ùù ùùợ
1 nếu x > 2 Đồ thị của hàm phân phối như sau:
Hình 2.1: Đồ thị hàm phân phối xác suất Chú ý: Khi lập hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc cần lưu ý tới dấu
2.2.3 Hàm mật độ xác suất Định nghĩa: Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất F(x) khả vi thì đạo hàm bậc nhất của hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên đó được gọi là hàm mật độ xác suất của X, ký hiệu là f(x) f(x) = F’(x) Chú ý: khái niệm hàm mật độ chỉ áp dụng được đối với biến ngẫu nhiên liên tục mà không áp dụng được đối với biến ngẫu nhiên rời rạc
Tính chất: Hàm mật độ xác suất có các tính chất sau
Ngược lại, một hàm số f(x) có các tính chất (1) – (2) phải là hàm mật độ xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên nào đó
Tìm k để f x ( ) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X?
Dễ thấy f x ( )³ 0,"x, f x ( ) là hàm mật độ khi và chỉ khi
Ví dụ 2.8: Cho a, b thuộc tập hợp số thực và a < b, với X là một điểm ngẫu nhiên được chọn trong đoạn [a, b] Giả thiết rằng xác suất để X rơi vào các khoảng bằng nhau trong đoạn [a, b] là như nhau Mục tiêu là xác định hàm mật độ xác suất của X.
Vì xác suất P(a< X ≤ b) = 1, ta có
Vậy hàm phân phối của X là
Suy ra: hàm mật độ f(x) của X:
Đồ thị của hàm phân phối và hàm mật độ như sau:
Hình 2.2: Đồ thị hàm phân phối xác suất và hàm mật độ xác suất
Biến ngẫu nhiên X ở trên gọi là tuân theo luật phân phối đều trên [a, b], ký hiệu
Ví dụ 2.9 Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ k.cos x khi x
a) Tìm k b) Tìm hàm phân phối F(x) c) Tính xác suất P(0 < X < π/4)
tdt k k.2 = 1 k = 1/2 b) Tìm hàm phân phối F(x)
Suy ra: hàm phân phối xác suất là:
1 1/b-a a b a b hàm phân phối F(x) hàm mật độ f(x)
Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên
2.3 Các đặc trƣng số của biến ngẫu nhiên
2.3.1 Kỳ vọng Định nghĩa: Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là EX và được xác định như sau:
- Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất là: thì E(X) k i i i 1 x p
- Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) thì EX =
(4) Nếu X và Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập thì E(X.Y) = EX EY
(5) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì Y = g(X) cũng là biến ngẫu nhiên rời rạc có kỳ vọng: EY k i i i 1 g(x ) p
(6) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) thì Y = g(X) cũng là biến ngẫu nhiên liên tục có kỳ vọng: EY = g(x)f(x)dx
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên là giá trị trung bình mà biến này có thể nhận, thể hiện giá trị trung tâm của phân phối xác suất.
Ví dụ 2.10 Gieo một đồng xu 2 lần Gọi X = “số lần xuất hiện mặt sấp” Ta có bảng phân phối xác suất của X là: x i 0 1 2 p i 1/4 1/2 1/4
Ví dụ 2.11 Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ
2.3.2 Phương sai Định nghĩa: Phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là VX và được xác định như sau:
Ta dễ dàng chứng minh được:
- Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì E(X 2 ) =
- Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì E(X 2 ) =
Thật vậy: VX = E[(X – EX) 2 ] = E[(X 2 – 2(EX).X + (EX) 2 ]
(3) Nếu X, Y độc lập thì V(X + Y) = VX + VY Ý nghĩa:
Phương sai (VX) của biến ngẫu nhiên X được định nghĩa là E[(X – EX)²], thể hiện độ lệch bình phương so với giá trị trung bình EX VX là một số không âm, phản ánh mức độ phân tán của các giá trị biến ngẫu nhiên X xung quanh trung tâm EX Khi VX nhỏ, mức độ phân tán cũng nhỏ và độ tập trung cao, ngược lại, VX lớn cho thấy độ phân tán cao Trong sản xuất kinh doanh, phương sai là chỉ số quan trọng để đánh giá rủi ro, sự thất bại và tính ổn định.
(i) Trong thực hành tính toán phương sai VX, ta nên sử dụng công thức
Độ lệch tiêu chuẩn là một đặc trưng mới được sử dụng để đánh giá mức độ phân tán của các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên, vì đơn vị đo của phương sai là bình phương đơn vị đo của đại lượng này Điều này giúp người dùng có thể hiểu rõ hơn về sự phân tán theo đơn vị của đại lượng ngẫu nhiên.
Căn bậc hai của VX được gọi là độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X và được ký hiệu là (X):
Ví dụ 2.12 Cho đại lượng ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau
Hãy tính kì vọng, phương sai, độ lệch của X
E(X) = 0.0,1 + 1.0,2 + 2.0,3 + 3.0,25 + 4.0,15 = 2,15 Để tính phương sai, ta có hai cách sau
Cách 1: (Áp dụng công thức (2.1))
Cách 2: (Áp dụng công thức (2.2))
E(X 2 ) = 0 2 0,1 + 1 2 0,2 + 2 2 0,3 + 3 2 0,25 + 4 2 0,15 = 6,05 ; V(X) = E(X 2 ) – E 2 (X) = 6,05 – 2,15 2 = 1,4275 Độ lệch chuẩn của X là
Trong bài toán này, một xạ thủ có 5 viên đạn và bắn từng viên một, với xác suất bắn trúng mỗi viên là 0,9 Nếu có 2 viên liên tiếp trúng đích, xạ thủ sẽ dừng bắn Gọi X là số viên đạn còn lại Cần lập bảng phân phối xác suất của X và tính giá trị kỳ vọng EX cùng phương sai VX.
X = “Số viên đạn còn lại” a) Bảng phân phối xác xuất của X là:
Ví dụ 2.14 Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f(x) ,
Tìm kì vọng, phương sai, độ lệch của X nếu x (- a , a ) nếu x (- a , a )
E(X) = 0 x a xodx xdx x a xodx xdx dx
(vì hàm số lấy tích phân là hàm lẻ) Phương sai của X là
2 π Đổi biến số x = asint, ta có
Ví dụ 2.15 Cho ĐLNN X có hàm mật độ
0 nếu trái lại a) Tìm hằng số a b) Tính EX VX,
Mode của biến ngẫu nhiên X, được ký hiệu là ModX, là giá trị mà tại đó biến X có xác suất lớn nhất trong trường hợp rời rạc hoặc có mật độ xác suất lớn nhất trong trường hợp liên tục Do đó, biến ngẫu nhiên X có thể có nhiều giá trị ModX khác nhau.
Ví dụ 2.16 Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất là:
Trung vị của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu MedX, là giá trị m sao cho:
Trung vị (m) là giá trị của biến ngẫu nhiên X, phân chia phân phối thành hai phần có xác suất bằng nhau, với P(X < m) = P(X ≥ m) = 0,5 Trong nhiều ứng dụng, trung vị là một đặc trưng vị trí rất hiệu quả, thậm chí còn tốt hơn cả kỳ vọng, đặc biệt khi dữ liệu có sai sót lớn Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, m được xác định là trung vị khi
Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc, giá trị trung vị chỉ được xác định tương đối vì có thể không tồn tại giá trị m sao cho F(m) bằng 0,5 Do đó, giá trị trung vị của biến ngẫu nhiên rời rạc X thường được xác định là giá trị x i thỏa mãn điều kiện nhất định.
Ví dụ 2.17 Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ là:
Međian cần tìm từ điều kiện 1
Trong 4 nghiệm này ta phải chọn sao cho m 0; 2 do đó m 4 8 Vậy Me dX 4 8
Các phân phối xác suất thường dùng
2.4.1 Phân phối nhị thức a Bài toán
Xét một dãy n phép thử độc lập giống nhau, trong mỗi phép thử chỉ có 2 kết cục
47 hoặc xảy ra A hoặc không xảy ra A, và P(A) = p , P(A) = 1 - p = q không phụ thuộc vào số thứ tự của mỗi phép thử
Xác suất để trong dãy n phép thử độc lập nói trên, sự kiện A xuất hiện đúng k lần, ký hiệu P k và được xác định bởi công thức:
P k = C k n p k q n k (2.3) Công thức (2.3) được gọi là công thức Becnulli
Gọi X là “Số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử độc lập” nói trên Ta thấy
X là biến ngẫu nhiên rời rạc với miền giá trị là: 0,1, 2, ,n
Theo công thức Bernoulli: P X k = P k = C k n p k q n k (2.4) b Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối nhị thức với tham số n và p, được ký hiệu là X ~ B(n, p) (với n thuộc tập số tự nhiên N và 0 ≤ p ≤ 1), nếu X nhận các giá trị khả thi X = {0, 1, 2, , n} Xác suất tương ứng cho các giá trị này được tính theo công thức (2.4).
Trong một thí nghiệm với xác suất thành công là 40%, một nhóm 9 sinh viên thực hiện thí nghiệm độc lập Câu hỏi đặt ra là xác suất để có đúng 6 thí nghiệm thành công, xác suất có ít nhất 1 thí nghiệm thành công và xác suất có ít nhất 8 thí nghiệm thành công.
Gọi X = “số thí nghiệm thành công“
X có phân phối nhị thức với tham số n = 9, p = 0.4 a) P X 6C 9 6 0, 4 0, 6 6 4 0, 04459 b) P X 1 1 P X 0 1 C 9 0 0, 4 0, 6 0 9 0,9899 c) P X 8P X 8 P X 9C 9 8 0, 4 0, 6 8 1 C 9 9 0, 4 0, 6 9 0 0, 0038 c Định lý Nếu X ~ B(n , p) thì
(3) modX = [(n + 1)p] ([a] chỉ phần nguyên của a)
Một xạ thủ bắn 40 viên đạn với xác suất bắn trúng mục tiêu là 0,7 cho mỗi viên Kỳ vọng số viên đạn trúng mục tiêu được tính bằng tích của số viên đạn và xác suất trúng, tức là E(X) = 40 * 0,7 = 28 Phương sai của số viên đạn trúng mục tiêu được tính bằng công thức Var(X) = n * p * (1 - p), dẫn đến Var(X) = 40 * 0,7 * 0,3 = 8,4 Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai, tức là SD(X) = √8,4 ≈ 2,9.
Ta có X B (40 ; 0,7), tức là X có phân phối nhị thức với n = 40, p = 0,7 Do đó
Trong một cuộc bầu cử tổng thống, tỉ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên A là 60% Khi khảo sát 20 cử tri được chọn ngẫu nhiên, ta ký hiệu X là số người bỏ phiếu cho ông A trong số 20 cử tri đó a) Giá trị trung bình của X là 12, độ lệch chuẩn là 2,45 và mod của X là 12 b) Xác suất P{X ≤ 1} là rất thấp, phản ánh sự ủng hộ mạnh mẽ cho ứng cử viên A.
Dễ thấy X có phân phối nhị thức với tham số n ; p =0,6; q = 0,4
Suy ra: EX = np = 12; VX = npq = 4,8; σ X ≈ 2,19; modX = [12,6] = 12
2.4.2 Phân phối Poisson a Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối Poisson với tham số λ, ký hiệu là X ~ P(λ), nhận các giá trị có thể là X = 0, 1, 2, Các xác suất tương ứng cho những giá trị này được tính bằng công thức phân phối Poisson.
Chú ý: mối quan hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối Poisson
Cho X B (n, p) Nếu p khá bé và n khá lớn có thể xem X P (np) Khi đó
Một gara cho thuê ô tô có 4 chiếc và số người đến thuê vào ngày thứ 7 được mô hình hóa bằng phân phối Poisson với tham số λ = 2 Để tìm xác suất, ta cần xác định: a) xác suất không phải tất cả 4 chiếc đều được thuê, b) xác suất tất cả 4 ô tô đều được thuê, c) xác suất gara không đáp ứng được yêu cầu, và d) số lượng ô tô tối thiểu cần có để xác suất không đáp ứng nhu cầu thuê xe nhỏ hơn 2%.
Giải: a) P{Không phải tất cả 4 chiếc đều được thêu} = P{X ≤ 3} = 0,857 b) P{Tất cả 4 ô tô đều được thuê} = P{X 4} = 1 – P{X ≤ 3}
= 1 – 0,857 = 0,143 c) P{Gara không đáp ứng được yêu cầu} = P{X > 4}
49 d) Gọi n là số xe ô tô gara cần có Ta cần tìm n sao cho:
Trong một lô cây hoa giống gồm 10,000 cây, xác suất mỗi cây không ra hoa là 0,001 Để tính xác suất có 3 cây không ra hoa trong lô cây này, ta áp dụng công thức xác suất nhị thức Bên cạnh đó, xác suất để có nhiều nhất 5 cây không ra hoa cũng có thể được tính bằng cách cộng dồn xác suất từ 0 đến 5 cây không ra hoa.
Ta thấy: p = 0,001 là khá bé và n = 10000 là khá lớn , cho nên có thể thay phân phối Nhi ̣ thức bằng phân phối Poisson với np = 10
Xác suất để trong lô cây giống có 3 cây không ra hoa là:
Xác suất để trong lô cây giống có nhiều nhất 5 cây không ra hoa là:
b Định lý Giả sử X ~ P() Khi đó:
Trong một cuốn sách 1000 trang với 100 lỗi in sai, xác suất để mở ngẫu nhiên một trang mà không có lỗi nào là rất cao Ngược lại, khi mở ngẫu nhiên ba trang, xác suất để có đúng hai lỗi in sai cần được tính toán kỹ lưỡng dựa trên tổng số lỗi và số trang được mở.
Giải a) Gọi X = “số lỗi in sai trong 1 trang”
X có phân phối Poisson với tham số 100 0,1
1000 Suy ra P X 0 e 0,1 0,9048 b) Gọi Y = “số lỗi in sai trong 3 trang”
Y có phân phối Poisson với tham số 3100 0,3
Phân phối chuẩn đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất và thống kê, đồng thời có nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực khoa học đời sống khác nhau.
Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối chuẩn với tham số và 2 ( >0) nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng: f(x) 2
Trong trường hợp đặc biệt khi μ = 0 và σ² = 1, biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn tắc, ký hiệu là N(0, 1) Lúc này, hàm mật độ và hàm phân phối tương ứng có dạng f(x) = x².
còn được gọi là hàm Laplace
1) Ta công nhận tích phân: 2 2
(tích phân này gọi là tích phân Euler)
2) Từ phân phối chuẩn da ̣ng tổng quát chuyển về da ̣ng phân phối ch uẩn tắc bằng cách đổi biến: Y = X
3) Mối quan hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối chuẩn: Cho X B (n, p) Khi n khá lớn, p không quá lớn và không quá bé, ta có:
trong đó f là hàm mật độ Gauss, Φ là hàm Laplace
Do đó, khi n khá lớn và p không quá lớn và không quá bé thì X có xấp xỉ phân phối chuẩn, tức là X N(, 2 ), trong đó
4) Cách tra bảng Laplace (bảng 3) như sau:
− Nếu x 0 bảng sao cho x = x 0 , thì ta có ngay (x) = (x 0 )
− Nếu x không có trong bảng, thì ta tìm cận x 1 , x 2 trong bảng gần x nhất: x 1 < x
Theo trên ta tra bảng tìm (−x) Sau đó ta có (x) = 1 − (−x)
Bài toán 2: Cho y (0, 1), tra bảng tìm x thoả (x) = y
− Nếu x 0 Bảng, (x 0 ) = y, thì ta có ngay x = x 0
− Nếu y không có trong bảng, thì ta tìm cận y 1 , y 2 trong bảng gần y nhất: y 1 < y
Tra bảng tính z = −1 (1 − y) như trên, sau đó đặt x = −z
Tra bảng 3: muốn tính (0.74) dóng hàng “0.7” và cột “4” ta gặp 0.7704 nên:
Ta có: 0.746 không có trong bảng nhưng |0.746 – 0.74| = 0.006 > |0.746 – 0.75| = 0.004 nên ta lấy gần đúng: (0.746) = 0.7734 b) Tính −1 (0.9128); −1 (0.9115); −1 (0.9131);
Ta có: |0.9128 – 0.9115| = 0.0013 > |0.9128 – 0.9131| = 0.0003 nên lấy gần đúng:
−1 (0.9128) ≈ −1 (0.9131) = 1.36 b Định lý Cho X là biến ngẫu nhiên có luật phân phối chuẩn N(μ, 2 ) thì:
Hình 2.4: Hàm mật độ của phân phối chuẩn
Hình 2.5: Độ lệch tiêu chuẩn
53 c Mệnh đề Cho X là biến ngẫu nhiên có luật phân phối chuẩn N(μ, 2 ) Với α > 0, ta có xác suất:
Trong ví dụ 2.25, người ta sản xuất một loại chi tiết có độ dài μ, với độ dài X tuân theo phân phối chuẩn N(μ, σ) và σ = 0.2cm Để tính xác suất độ dài chi tiết không lệch quá μ với dung sai 0.3cm, ta cần xác định khoảng giá trị cho phép Bên cạnh đó, để đảm bảo tỷ lệ phế phẩm không vượt quá 5%, cần xác định dung sai α phù hợp.
Giải a) Xác suất cần tính là:
= 2 0,9332 = 0.8664 Như vậy tỉ lệ phế phẩm là 1 – 0,8664 = 13% b) Dung sai α phải thoả mãn:
Qui tắc 3: Trong công thức
P(|X − μ | < α) = 2.(α/) − 1 nếu chọn α = 3 thì ta có
P(|X − μ | < 3) = 2.(3) - 1 = 2.0,9987 – 1 = 0,9973 Xác suất này rất gần 1 nên có thể coi sự kiện |X − μ | < 3. là hầu như chắc chắn
Vậy ta có qui tắc 3: “Nếu X có phân phối chuẩn N(a,) thì hầu như chắc chắn
X lấy trị số trong khoảng (μ − 3, μ + 3)
Trọng lượng sản phẩm do một nhà máy sản xuất được mô tả là đại lượng ngẫu nhiên với phân phối chuẩn, có kì vọng 250 gam và phương sai 25 Sản phẩm được phân loại là loại một khi trọng lượng nằm trong khoảng từ 245 gam đến 260 gam Để xác định tỉ lệ sản phẩm loại một của nhà máy, cần tính toán xác suất tương ứng với khoảng trọng lượng này trong phân phối chuẩn.
Gọi X là trọng lượng của loại sản phẩm đó
Theo bài ra, ta có: a = 245, b = 260 , = 250, = 25 = 5
Tra bảng hàm số Laplace, ta được (1) = 0,8413, (2) = 0,8772
Vậy, tỉ lệ sản phẩm loại một của nhà máy là
Ví dụ 2.27 trình bày sản phẩm của một nhà máy được đóng gói thành từng hộp, mỗi hộp chứa 10 sản phẩm Biến X được định nghĩa là số sản phẩm loại một trong mỗi hộp, và X có phân phối xác suất cụ thể.
Tiến hành kiểm tra 300 hộp bằng cách chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm trong mỗi hộp Nếu có ít nhất 2 sản phẩm đạt tiêu chuẩn loại một, hộp đó sẽ được chấp nhận.
55 a) Tìm xác suất để có ít nhất 240 hộp được nhận, b) Tìm số hộp được nhận có khả năng lớn nhất
Xem phép thử là kiểm tra một hộp, ta có n = 300 phép thử độc lập
Gọi N là biến cố nhận hộp Ta tính P(N) = p
Gọi N i là biến cố có i sản phẩm loại một trong 3 sản phẩm được kiểm tra ở mỗi hộp, i= 0 , 3
Ta có: N = N 2 + N 3 và N 2 , N 3 xung khắc
Gọi M k là biến cố có k sản phẩm loại một trong số 10 sản phẩm của hộp, với k = 0, 10 Theo đề bài, các biến cố M 7, M 8, M 9, M 10 tạo thành một nhóm đầy đủ vì chúng xung khắc từng đôi và tổng xác suất bằng 1 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, chúng ta có thể tính toán xác suất cho từng trường hợp.
Các xác suất P(M k ), k = 7 , 10, đã được cho trong bảng phân phối xác suất của X; bằng định nghĩa ta tính được:
Vậy: P(N) = 0,335 + 0,41 = 0,745 a) Gọi Y là số hộp được nhận trong 300 hộp đã kiểm tra
Ta có Y B(300 ; 0,745), vì n khá lớn , p không quá lớn, không quá bé nên có thể xem Y có xấp xỉ phân phối chuẩn Y N(, 2 ), với = np = 223,5 ;
2 = np(1 – p) = 56,9925, = 7,5493 Áp dụng hàm số Laplace, ta được
Vậy, số hộp được nhận có khả năng lớn nhất là 224 hộp