Tài liệu Cấu trúc dữ liệu_chương 5 docx

map display reverse buffer else loop + i 1 begin display "ERROR: dot is the end of command!" newline loop 0 empty-stack lineeditor "XY$abce#def." --> abcdef... s file let doublet cons s

1

CH NG V C U TRÚC D LI U

a bi t r ng vi c l p trình ph thu c ph n l n vào cách mô hình hoá d li u c a bài toán

c n gi i M i quan h gi a thu t toán và c u trúc d li u trong l p trình đã đ c Niclaus Wirth, tác gi ngôn ng l p trình Pascal, đ a ra m t công th c r t n i ti ng :

T

(Data structure + Algorithms = Programs)

Nh đã th y, thu t toán m i ch ph n ánh các thao tác c n x lý, còn đ i t ng đ x lý trong máy tính l i là d li u Nói đ n thu t toán là nói đ n thu t toán đó tác đ ng lên d li u nào Còn nói đ n d li u là nói đ n d li u y c n đ c tác đ ng b i thu t toán nào đ đ a

đ n k t qu mong mu n D li u bi u di n thông tin c n thi t đ gi i bài toán, g m d li u

đ a vào, d li u đ a ra và d li u tính toán trung gian M t c u trúc d li u liên quan đ n ba

y u t : ki u d li u, các phép toán tác đ ng lên d li u và cách bi u di n d li u trong b

nh c a máy tính tu theo công c l p trình

Trong ch ng này, chúng ta s trình bày m t s c u trúc d li u tiêu bi u nh t p h p,

h p ch đ c li t kê m t l n và không đ c s p x p th t nên ng i ta không nói đ n ph n

t th nh t, ph n t th hai, v.v Ví d hai t p h p sau đây là đ ng nh t :

{ a, b, d, a, d, e, c, d } = { a, b, c, d }

Do t p h p c ng là m t danh sách, ng i ta có th s d ng c u trúc danh sách đ bi u

di n t p h p trong Scheme Nh v y, m t t p h p r ng là m t danh sách r ng so sánh hai

t p h p có b ng nhau không, ta có th s d ng v t equal? nh sau :

(define (setequal? E1 E2)

(cond ; hai t p h p r ng thì b ng nhau

((and (null? E1) (null? E2)) #t)

; hai t p h p có hai ph n t đ u tiên b ng nhau

1 Khái ni m đ i t ng c a t p h p có tính tr c giác, do nhà toán h c ng i c G Cantor đ a ra t n m 1985

n n m 1902, nhà tri t h c ng i Anh B Russell đã ch ra nh ng ngh ch lý toán h c (paradox) hay nh ng

mâu thu n lôgic trong lý thuy t t p h p

147

((equal? (car E1) (car E2))

(setequal? (cdr E1) (cdr E2)))

; hai t p h p có hai ph n t đ u tiên khác nhau thì khác nhau !!!

(else #f))) (setequal? ’(1 3 4 5 6) ’(1 3 4 5 6))

ý r ng trong v t setequal? trên đây, ta ch a x lý hai t p h p có các ph n t

gi ng y nhau và có cùng s ph n t , nh ng không đ c s p x p th t nh nhau :

(setequal? '(1 5 4 3 6) '(1 3 4 5 6))

> #f

Sau đây ta s s d ng th ng xuyên hàm member đ x lý t p h p Hàm này ki m tra

m t ph n t có thu c m t danh sách đã cho hay không :

> #t

xây d ng m t t p h p t m t danh sách, ng i ta ph i lo i b các ph n t trùng l p Hàm list->set sau đây s d ng hàm member l n l t ki m tra các ph n t c a danh sách đã cho K t qu tr v ch gi l i ph n t cu i cùng đ i v i nh ng ph n t trùng nhau và

ch a s p x p l i các ph n t theo th t (xem ph ng pháp s p x p nhanh cu i ch ng) (define (list->set L)

(cond ((null? L) ’())

((member (car L) (cdr L))

(list->set (cdr L))) (else (cons (car L)

(list->set (cdr L))))) (list->set ’(a b d a d e c d))

> ’(b a e c d)

(define (union2 E1 E2)

(cond ((null? E1) E2)

((member (car E1) E2) (union2 (cdr E1) E2)) (else (cons (car E1) (union2 (cdr E1) E2)))))

((null? E1) E2)

; n u t p h p th nh t có ph n t thu c t p h p th hai thì b qua ((member (car E1) E2) (union2 (cdr E1) E2))

; ti p t c sau khi gi m kích th c t p h p th nh t (else (cons (car E1) (union2 (cdr E1) E2))))) (union2 ’(1 2 3 7) ’(2 3 4 5 6))

> ’(1 7 2 3 4 5 6)

M r ng phép h p c a hai t p h p, ta xây d ng phép h p trên các t p h p b t k b ng

cách s d ng hàm list-it đã đ c đ nh ngh a ch ng tr c :

(define (union Lset)

(list-it union2 Lset ’()))

(union ’(1 2 3 4) ’(2 3 4 5 6) ’(4 5 6 7) ’(6 7 8))

> ’(1 2 3 4 5 6 7 8)

2 Phép giao trên các t p h p

T ng t cách xây d ng phép h p trên các t p h p b t k , tr c tiên ta xây d ng phép

giao c a hai t p h p E 1 ∩E 2 nh sau :

(define (intersection2 E1 E2)

(cond ; n u m t t p h p là r ng thì k t qu c ng r ng

((null? E1) E1)

; ch n ra ph n t n m c hai t p h p ((member (car E1) E2) (cons (car E1) (intersection2 (cdr E1) E2)))

; ti p t c sau khi gi m kích th c t p h p th nh t (else (intersection2 (cdr E1) E2)))) (intersection2 ’(1 2 3 4)’(2 3 4 5 6))

> ’(2 3 4)

M r ng phép giao c a hai t p h p, ta xây d ng phép giao trên các t p h p b t k b ng

cách s d ng hàm apply đã đ c đ nh ngh a m c Error! Reference source not found :

(define (intersection Lset)

(cond ; giao c a các t p h p r ng c ng là r ng

((null? Lset) ’())

; giao c a m t t p h p là chính nó ((null? (cdr Lset)) (car Lset))

; đ a v th c hi n phép giao c a hai t p h p (else (intersection2

(car Lset) (apply intersection (cdr Lset))))))

(intersection ’(1 2 3 4) ’(2 3 4 5 6) ’(4 5 6 7))

> ’(4)

3 Phép hi u c a hai t p h p

Cho hai t p h p E 1 và E 2 , ta âënh nghéa phép hi u c a hai t p h p E 1 \E 2 nh sau :

(define (difference E1 E2)

(cond ; n u E2 r ng thì k t qu là E 1

((null? E2) E1)

; n u E1 r ng thì k t qu là r ng ((null? E1) ’())

; n u E1 có ph n t thu c E 2 thì b qua ((member (car E1) E2)

(difference (cdr E1) E2))

; ti p t c sau khi gi m kích th c t p h p E 1

(else (cons (car E1)

(difference (cdr E1) E2))))) (difference ’(1 2 3 4 5) ’(1 2))

> ’(3 4 5)

4 Tìm các t p h p con c a m t t p h p

Cho tr c t p h p E, ta c n tìm t p h p t t c các t p h p con (sub-set) c a E, ký hi u 2 E

Ch ng h n cho E={ a, b, c } thì 2 E ={ ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} có t t c

8 ph n t bao g m t p h p r ng và b n thân t p h p E

N u t p h p E r ng, thì 2 E c ng r ng N u E khác r ng, xét m t ph n t a∈E, khi đó có

các t p h p con ch a a và các t p h p con không ch a a u tiên xây d ng t p h p E\{a},

sau đó, chèn a vào t t c các t p h p con c a E\{a} Ta có hàm subset nh sau :

(define (subset E)

(if (null? E)

(list ’()) (let ((Lremain (subset (cdr E)))) (append Lremain

(map (lambda (L)

(cons (car E) L)) Lremain))))) (subset ’(a b c))

> ’(() (c) (b) (b c) (a) (a c) (a b) (a b c))

Danh sách ki u «ng n x p» (stack), còn đ c g i là «ch ng» (t ng t m t ch ng đ a,

m t b ng đ n ), là m t c u trúc d li u mà phép b sung hay lo i b m t ph n t luôn luôn

đ c th c hi n m t đ u g i là đ nh (top) Nguyên t c ho t đ ng «vào sau ra tr c» c a

ng n x p đã d n đ n m t tên g i khác là danh sách ki u LIFO (Last In First Out)

Ng n x p đ c s d ng r t ph bi n trong tin h c Hình V.1 minh ho ho t đ ng c a m t

ng n x p khi th c hi n th t c đ quy tính n!

push-stack : T × Stack(T) → Stack(T)

pop-stack : Stack(T) -/→ Stack(T)

fac(3)= ? fac(3)=3*fac(2) fac(2)=2*fac(1) fac(1)=1*fac(0)

2*fac(1) 1*fac(0) fac(0)=1

3*fac(2) 2*fac(1) fac(1)=?

3*fac(2) fac(2)=?

Ta c n xây d ng các hàm Scheme thao tác trên ng n x p nh sau :

(empty-stack? (empty-stack))

#t

b m t ph n t đ c th c hi n m t đ u danh sách Trong Scheme, m i l n b sung m t

ph n t vào danh sách kéo theo vi c t o ra m t b đôi (dotted pair) m i

(empty-stack? (push-stack 'a (empty-stack)))

> #f

(pop-stack (push-stack ’a ’(1 2 3)))

> ’(1 2 3)

(pop-stack (push-stack ’a ’(1 2 3)))

> 3

V.2.3 Xây d ng trình so n th o v n b n

Sau đây là m t ví d đ n gi n minh ho ng d ng ng n x p đ xây d ng m t trình so n

th o đ n gi n cho phép th c hi n vào ra t ng dòng v n b n m t Ho t đ ng nh sau : hàm

nh n dòng vào là m t tham bi n đ l u gi trong m t vùng nh trung gian (buffer) Dòng vào

ch a các ký t h n h p mà m t ký t nào đó có th là m t l nh so n th o (edit command)

Có b n lo i ký t nh sau :

• Các ký t khác ba ký t #, $ và newline đ u là ký t v n b n đ đ c l u gi trong

vùng nh trung gian

• Ký t # dùng đ xoá ký t đ ng tr c trong vùng nh trung gian

• Ký t $ dùng đ xoá t t c ký t trong vùng nh trung gian

• Ký t qua dòng newline đ k t thúc m t dòng vào và đ a n i dung vùng nh trung

gian lên màn hình

Ta s s d ng m t ng n x p đ bi u di n vùng nh trung gian Trong ch ng trình có s

d ng m t hàm c c b loop đ đ c các ký t liên ti p t dòng vào Ch s i là ký t đang đ c

((#\#) (loop (+ i 1) (pop-stack buffer))) ((#\$) (loop (+ i 1) (empty-stack)))

((#\.) (map (display (reverse buffer))) (else (loop (+ i 1)

(begin (display "ERROR: dot is the end of command!")

(newline)))))) (loop 0 (empty-stack)))))

(lineeditor "XY$abce#def.")

> abcdef

Ng i đ c có th phát tri n trình so n th o trên đây đ x lý các tình hu ng so n th o v n

b n ph c t p h n

V.2.4 Ng n x p đ t bi n

Ta mu n r ng ho t đ ng c a ng n x p g n g i v i các ch ng (pile) h n, ngh a là vi c b sung lo i b ph n t ch liên quan đ n m t ch ng đ ta có th gán cho bi n Ta xây d ng ki u

d li u tr u t ng ng n x p đ t bi n (mutable stack) Stack!(T) (sau tên có m t d u ch m

than) nh sau :

Types Stack!(T)

functions

empty-stack!? : Stack!(T) → boolean

push-stack! : T × Stack!(T) → Stack!(T)

phân bi t v i các ng n x p đã xét, ta thêm vào sau các tên ki u và hàm m t d u ch m

than ! t ng t các đ t bi n i m ho t đ ng khác bi t c a ng n x p đ t bi nlà sau khi lo i

b m t ph n t thì hàm tr v ph n t trên đ nh

Trong ch ng tr c, khi xét môi tr ng làm vi c c a Scheme, ta th y r ng không th s

d ng l nh set! đ thay đ i n i dung c a ng n x p ch ng h n nh :

(define (push-stack x s)

(set! s (cons x s)) s)

Ta ph i áp d ng tính ch t đ t bi n c a các danh sách, b ng cách bi u di n ng n x p r ng (empty stack) b i m t danh sách khác r ng đ sau đó thay đ i b i cdr

(define (empty-stack!) (list ’stack!))

(define (empty-stack!? S)

(and (pair? S)

(null? (cdr S)) (eq? ’stack! (car S)))) (define S1 (empty-stack!))

S1 ; xem n i dung c a ng n x p

> ’(stack!)

(empty-stack!? S1)

> #t

b sung (push) và lo i b (pop) trên ng n x p S, ta gi thi t r ng bi n S luôn luôn tr

đ n cùng m t b đôi T t c các thao tác v t lý đ c th c hi n nh l nh cdr nh minh ho trong hình d i đây

Lúc ng n x p r ng, danh sách S ch ch a ph n t ’stack! Sau khi b sung ph n t

’bob thì ph n t này đ ng th hai (ngay sau ’stack!) trong danh sách S

Ta xây d ng hàm nh sau :

(define (push-stack! x S)

(set-cdr! S (cons x (cdr S))))

(cadr S))) (top-stack! S1)

> 'jim

(define (pop-stack! S)

(if (empty-stack!? S)

(begin (display "ERROR: stack! is empty!") (newline)) (let ((top (cadr S)))

(set-cdr! S (cddr S)) top)))

((empty-stack!?) (null? content)) ((push-stack!)

((top-stack!) (if (null? content) (begin

(display "ERROR: stack is empty!") (newline))

(car content)))))))

; Ki m tra ng n x p r ng nh thông đi p ’empty-stack!?

(define (empty-stack!? S) (S ’empty-stack!?))

; B sung m t ph n t vào ng n x p nh thông đi p ’push-stack!

(define (push-stack! x S) (S ’push-stack! x))

; Lo i b m t ph n t kh i ng n x p nh thông đi p ’pop-stack!

(define (pop-stack! S) (S ’pop-stack!))

; X lý ph n t đ nh c a ng n x p nh thông đi p ’top-stack!

(define (top-stack! S) (S ’top-stack!))

(9 + 2) * 52

Tuy nhiên, trong b nh , các bi u th c đ c bi u di n d ng cây (ta s xét c u trúc cây

trong m c ti p theo) Khi tính toán, bi u th c s h c d ng cây nh phân (cho các phép toán

hay hàm, g i chung là toán t , có t i đa hai toán h ng) đ c đ a ra thành m t chu i ký t

d ng h u t (d ng ký pháp Ba Lan) nh sau :

9 2 52 + *

Lúc này các d u ngo c không còn n a do các bi u th c d ng h u t th ng không nh p

nh ng (un-ambiguous) Khi đ c bi u th c t trái qua ph i, ta g p các toán h ng tr c khi g p

m t toán t N u áp d ng toán t này cho các toán h ng tr c đó, ta nh n đ c m t k t qu

là m t toán h ng m i và quá trình ti p t c theo đúng ch đ «vào tr c ra sau» Do v y,

ng i ta s d ng m t ng n x p đ mô ph ng quá trình tính toán bi u th c : các toán h ng

(đ c đ c t bi u th c h u t , l n l t t trái qua ph i) đ c «đ y vào» ng n x p cho đ n khi

g p toán t Th c hi n phép toán vói các toán h ng «l y ra» t ng n x p r i l i đ y k t qu

vào ng n x p cho đ n khi h t bi u th c và l y k t qu n m đ nh ng n x p

Sau đây ta xây d ng hàm tính m t bi u th c s h c d ng h u t (ng i đ c có th tìm đ c

các giáo trình «C u trúc d li u và thu t toán» đ hi u chi ti t h n) Ch ng trình s d ng

ng n x p đ t bi n x lý các phép toán s h c +, -, *, / và hàm sqrt :

(define (evaluation postfix-expr)

(let ((pile (make-empty-stack!)))

(letrec ((compute

(lambda (exp) (if (null? exp) (top-stack! pile) (let ((s (car exp))) (if (number? s) (push-stack! s pile) (begin

(case s ((sqrt) (let ((v (pop-stack! pile))) (push-stack! (sqrt v) pile))) ((+)

(let ((v2 (pop-stack! pile)) (v1 (pop-stack! pile)))

(push-stack! (+ v1 v2) pile))) ((*)

(let ((v2 (pop-stack! pile)) (v1 (pop-stack! pile)))

(push-stack! (* v1 v2) pile))) ((-)

(let ((v2 (pop-stack! pile)) (v1 (pop-stack! piler))) (push-stack! (- v1 v2) pile))) ((/)

(let ((v2 (pop-stack! pile)) (v1 (pop-stack! pile)))

(push-stack! (/ v1 v2) pile)))) (compute (cdr exp)))))))))

(compute postfix-expr))))

(evaluation ’(9 2 + 52 sqrt *))

> 79.3221

V.3.1 C u trúc d li u tr u t ng ki u t p

C u trúc d li u ki u t p (file) mô ph ng m t hàng đ i (queue) có ch đ ho t đ ng theo

ki u «vào tr c ra tr c» FIFO (First In First Out) Lúc này phép b sung đ c th c hi n

empty-file? : File(T) → boolean

push-file : T × File(T) → File(T)

Sau đây ta xây d ng các hàm x lý t p s d ng ki u danh sách c a Scheme Vi c b sung

(begin (display "ERROR: file is empty!") (newline))

(cdr F))) (define (top-file F)

(if (empty-file? F)

(begin (display "ERROR: file is empty!") (newline))

(car F)))

Ta nh n th y r ng vi c s d ng danh sách là không h p lý khi kích th c t p t ng lên và

l nh appenf trong hàm push-file s gây ra chi phí tính toán l n

V.3.2 Ví d áp d ng t p

Sau đây ta xét m t ví d áp d ng c u trúc d li u ki u t p v a xây d ng Gi s cho tr c

m t danh sách L g m các s nguyên t ng ng t và m t s nguyên N, ta c n tính s l ng các

c p s (x, x + N) v i x và N có m t trong danh sách

Ch ng h n n u L = (0 2 3 4 6 7 8 9 10 12 13 14 16 20) và N = 8, thì ta tìm đ m đ c b n

c p s tho mãn nh sau : (2, 10), (4, 12), (6, 14) và (12, 20)

Ph ng pháp đ n gi n nh t có tính tr c quan là v i m i s x l y t L, ti n hành tìm ki m

các s x + N trong L Tuy nhiên ph ng pháp này có chi phí l n vì ta ph i duy t qua duy t

l i nhi u l n danh sách L Sau đây là ph ng pháp ch c n duy t m t l n danh sách L

Ta s d ng t p F có đ dài < N và ki m tra m i ph n t x c a F :

• N u t p F r ng thì ta ch vi c thêm vào ph n t x

• N u top là ph n t đ u t p và x > top + N, ta ch c ch n r ng ta không th còn tìm đ c

ph n t y nào c a F mà y = top + N và do v y ta ph i lo i b F

• N u x = top + N, ta lo i b x kh i L đ thêm x vào F và đ m c p tho mãn (x, top)

• N u x < top + N, ta ch lo i b x kh i L đ thêm x vào F

(cdr L) result (push-file (car L) F))) (else

(let ((difference (- (car L) (top-file F)))) (cond

((< N difference) (count L result (pop-file F))) ((= N difference)

(count (cdr L) (+ result 1) (pop-file (push-file (car L) F)))) (else

(count (cdr L) result (push-file (car L) F)))))))))) (count L 0 (empty-file))))

push-file! : T × File!(T) → File!(T)

pop-file! : File!(T) → File!(T)

Ta có th áp d ng k thu t xây d ng các ng n x p đ t bi n cho c u trúc d li u ki u t p

đ t bi n Ta s không s d ng l nh append đ b sung ph n t m i vào t p mà s d ng m t con tr tr đ n đuôi c a t p V i cách xây d ng này, đ dài t p s không bi t gí i h n

Nh v y, c u trúc t p có d ng m t b đôi (dotted pair) mà thành ph n car tr đ n danh sách các ph n t là n i dung t p, còn thành ph n cdr tr đ n ph n t b đôi cu i cùng c a danh sách này

(define (empty-file!)

(cons '() '()))

(define (empty-file!? file)

(null? (car file)))

(define (push-file! s file)

(let ((doublet (cons s '())))

(if (null? (car file))

(set-car! file doublet) (set-cdr! (cdr file) doublet)) (set-cdr! file doublet)))

file file

(define (top-file! file)

(if (empty-file!? file)

(begin (display "ERROR: file is empty!") (newline))

(caar file))) (define (pop-file! file)

(if (empty-file!? file)

(begin (display "ERROR: file is empty!") (newline))

(begin (set-car! file (cdar file)))))

Sau đây là v n d ng xây d ng t p có n i dung ’(ann bob jim) :

V.4 Cây

có nút nào thì đ c g i là cây r ng (empty tree)

Khi cây khác r ng, nút trên cùng, cao nh t, là nút g c (root node) Phía d i nút g c có

th có nhi u nút con (child node) n i v i nó b i các c nh (edge) Lúc này, nút g c là nút cha

(father node) M i nút con l i có th là m t nút cha có nhi u nút con n i v i nó, và c th ti p

t c Ph n cây t o ra t m t nút con b t k là cây con (subtree)

Nh ng nút m c th p nh t không có nút con nào n i v i nó là lá (leaf) hay nút ngoài (exterior node) M t nút không ph i là lá là nút trong (interior node) Các nút con có cùng cha

là các nút anh em (siblings) M i nút c a cây có m t cha duy nh t (tr nút g c), là h u du hay con cháu (descendant) c a nút g c và là t tiên (ancestor) c a các nút lá M t nhánh

(branch) hay m t đ ng đi (path) là t p h p các nút và các nhánh xu t phát t m t nút đ n

m t nút khác

Trong toán h c, cây là m t đ th (graph) liên thông không có chu trình Trong m t cây, luôn luôn t n t i duy nh t m t đ ng đi t nút g c đ n m t nút b t k , ho c gi a hai nút nào

đó đã cho Nh v y, m t cây có th r ng, ho c ch có m t nút g c, ho c g m m t nút g c và

m t ho c nhi u cây con

C u trúc cây đ c ng d ng nhi u trong tin h c : t ch c th m c c a các h đi u hành Unix, MS-DOS, , m t ch ng trình Scheme, cây gia ph ,

G c

C nh Nút trong

Lá (nút ngoài)

Hình V.7 Hình nh cây

Sau đây ta s xét cách Scheme x lý các c u trúc d li u d ng cây, tr c tiên là cây nh

3 Ch nh ng đ i t ng đ c đ nh ngh a b i hai quy t c trên đây m i là các cây nh phân

ki u T

N u A = (E, A1, A2) là cây nh phân, thì E là nút g c, A1 là cây con bên trái, A2 là cây

con bên ph i c a A N u A là cây suy bi n ch g m m t nút, thì nút đó luôn luôn là nút g c

c a m t cây con Ng i ta còn g i A là cây đ c g n nhãn (labelled tree, hay tag tree) b i

các giá tr trong T Hình d i đây minh ho hai cây nh phân, m t cây bi u di n bi u th c s

h c x+(y-3*z)/4 và m t cây bi u di n m t s-bi u th c nh sau :

Hình V.8 Hai cây nh phân bi u di n : a) bi u th c s h c ; b) bi u th c Scheme

Chú ý s l ch đ i x ng c a đ nh ngh a : n u A không ph i là cây r ng, thì cây (E, A, 0)

khác v i cây (E, 0, A) C n phân bi t m t nút v i m t giá tr g n cho nút đó Các nút luôn

luôn r i (phân bi t) nhau, còn các giá tr thì có th gi ng nhau Ví d , cây bi u di n s-bi u

th c c a Scheme trong hình V.9.(b) trên có 7 nút, trong khi đó ch có 6 giá tr phân bi t

nhau gán cho chúng Ng i ta đ a ra n m lo i cây nh phân đ c bi t nh sau :

1 Cây suy thoái (degenerated hay filiform tree) m i nút ch có đúng m t con không r ng

2 Cây hình l c trái (left comb) có m i con bên ph i là m t lá

3 Cây đ y đ (complete tree) có m i m c c a cây đ u đ c làm đ y

4 Cây hoàn thi n (perfect tree) m i m c c a cây đ u đ c làm đ y, tr m c cu i cùng,

empty-tree? : BinTree(T) → boolean

create-tree : T × BinTree(T) × BinTree(T) → BinTree(T)

leaf? : BinTree(T) → boolean (có th không c n)

empty-tree?(create-tree(E, A1, A2)) = false

root(create-tree(E, A1, A2)) = E

left(create-tree(E, A1, A2)) = A1

right(create-tree(E, A1, A2)) = A2

leaf?(A) <=> empty-tree?(left(A)) và empty-tree?(right(A))

V.4.1.2 Bi u di n cây nh phân

1 Bi u di n ti t ki m s d ng hai phép cons

; nh ngh a cây r ng :

(define empty-tree ()) ; ho c

(define empty-tree (list))

; nh ngh a v t ki m tra cây có r ng không :

(define empty-tree? null?)

; nh ngh a cây khác r ng (E, A1, A2) :

(define (create-tree E A1 A2)

(cons E (cons A1 A2)))

; nh hàm tr v nút g c :

(define root car)

; nh hàm tr v cây con trái :

(define left cadr)

(create-tree 2 empty-tree empty-tree)

(create-tree 3 empty-tree empty-tree))

(create-tree 4 empty-tree empty-tree)

(create-tree 5 empty-tree empty-tree))

(create-tree 3 empty-tree empty-tree))

> ’(1 (2 (4 ()) 5 ()) 3 ())

2 Bi u di n d ng đ y đ

d dàng x lý khi l p trình, thông th ng ng i ta bi u di n cây d ng danh sách, đ y

đ các nút, s d ng 3 phép cons :

(define empty-tree ())

(define empty-tree? null?)

(define (create-tree E A1 A2)

(list E A1 A2))

(define root car)

(define left cadr)

(define right caddr)

(define (leaf? A)

(and (null? (cadr A)) (null? (caddr A))))

; Ví d t o m t cây nh phân có 3 nút :

(create-tree 1 (create-tree 2 empty-tree empty-tree)

(create-tree 3 empty-tree empty-tree))

> ’(1 (2 () ()) (3 () ()))

Cây A trong Hình V.10 trên đây đ c đ nh ngh a nh sau :

(create-tree 1 (create-tree 2 (create-tree 4 empty-tree empty-tree)

(create-tree 5 empty-tree empty-tree))

(create-tree 3 empty-tree empty-tree))

> (1 (2) (4 () ()) (5 () ())) (3 () ()))

Trong d ng đ y đ , m i nút lá A đ u đ c bi u di n d ng (A () ())

3 Bi u di n đ n gi n

Khi ki u các ph n t không ch a các b đôi, k c không ch a danh sách, m t lá có th

đ c bi u di n đ n gi n b i giá tr c a nút, mà không c n cons Ta đ nh ngh a l i nh sau :

(define empty-tree ())

(define empty-tree? null?)

(define (create-tree E A1 A2)

(if (and (null? A1) (null? A2))

Cây A trong Hình V.10 trên đây đ c đ nh ngh a nh sau :

(create-tree 1

(create-tree 2

(create-tree 4 empty-tree empty-tree)

(create-tree 5 empty-tree empty-tree))

(create-tree 3 empty-tree empty-tree))

> ’(1 (2 4 5) 3)

Trong d ng đ n gi n này, các nút c a cây A đ c bi u di n b i giá tr c a nút l n l t

theo th t duy t cây g c−trái−ph i

V.4.1.3 M t s ví d l p trình đ n gi n

Xây d ng hàm size có d ng hàm nh sau :

; size : BinTree(T) → Integer

cao c a m t cây khác r ng là s c nh t i đa n i g c c a cây v i các lá c a nó

Theo quy c, đ cao c a m t cây r ng có th là −1 Xây d ng hàm height có d ng nh sau :

; height : BinTree(T) → Integer

(define (height A)

(if (empty-tree? A)

-1 (+ 1 (max (height (left A)) (height (right A))))))

; cao c a cây A Hình V.10.:

n n

C

n + cây nh phân kích th c n,

v i C n p là t h p ch p p (cách ch n p ph n t ) c a n (trong s n ph n t )

C hai hàm size và height trên đ u có chi phí tuy n tính theo n

V.4.1.4 Duy t cây nh phân

Cây đ c s d ng ch y u đ t ch c l u tr d li u nên khi c n khai thác ng i ta ph i

đ c xây d ng đ quy, m t cách t nhiên, ch ng trình duy t cây có th s d ng đ quy M i

chi n l c duy t cây đ u tr v k t qu là danh sách các nút đã đ c duy t qua

Ta s xét sau đây chi n l c duy t cây nh phân theo chi u sâu Trong tr ng h p t ng

quát, thu t toán có d ng nh sau :

m t ph n t c a cây A (liên quan đ n n i dung hay nhãn c a nút v a đ c duy t) Th t

duy t cây trên đây (g c-trái-ph i) là th t tr c hay còn đ c g i là th t ti n t (prefixe

order) N u đ i l i th t duy t trên đây thì ta nh n đ c :

− Th t gi a hay trung t (infixe order) n u nút g c đ c x lý gi a các l i g i đ quy

(trái-g c-ph i)

− Th t sau hay h u t (postfixe order) n u nút g c đ c x lý sau các l i g i đ quy

(trái-ph i-g c)

Tuy nhiên, ta c ng có th có thêm ba th t duy t cây theo h ng ng c l i là : g c-ph

i-trái, ph i-g c-trái và ph i-trái-g c

Ví d hàm nodes sau đây duy t cây nh phân đ tr v danh sách t t c các nút c a cây

đó Do hàm s d ng l nh append nên có chi phí b c hai đ i v i kích th c c a cây

; nodes: BinTree(T) → List(T)

; Duy t cây nh phân theo th t tr c :

(define (pre-nodes A)

(if (empty-tree? A)

’()

(append (list (root A))

(pre-nodes (left A)) (pre-nodes (right A)))))

; Duy t cây nh phân theo th t gi a :

(define (inf-nodes A)

(if (empty-tree? A)

’()

(append (inf-nodes (left A))

(list (root A)) (inf-nodes (right A)))))

; Duy t cây nh phân theo th t sau :

(define (post-nodes A)

(if (empty-tree? A)

’()

(append (post-nodes (left A))

(post-nodes (right A)) (list (root A))))) minh ho các thu t toán duy t cây trên đây, gi s A là cây đ c cho nh hình sau :

(create-tree 6 empty-tree empty-tree)

(create-tree 7 empty-tree empty-tree)))

V.4.2 C u trúc cây t ng quát

Trong tr ng h p cây t ng quát, m i nút đ u đ c g n nhãn và có s l ng cây con tu ý

không h n ch M t cách tr c giác, cây có g n nhãn là m t c u trúc d li u g m m t giá tr

nhãn và m t danh sách có th r ng các cây con g n nhãn Nh v y cây không bao gi r ng,

nh ng danh sách các cây con có th r ng Trong tr ng h p cây ch có m t con, thì không có

khái ni m cây con trái hay cây con ph i Ta c ng c n chú ý r ng c u trúc cây nh phân không

ph i là tr ng h p riêng c a cây t ng quát

Cho tr c t p h p các cây ki u T V i m i cây T, các cây T 1 , , T n đ c g i là con c a T

M t nhãn e nào đó là g c c a T S con m i nút là b c (degree) c a nút đó M t nút có có

create-tree : T × Forest(T) → Tree(T)

var F: Forest(T); A, E: Tree(T)

preconditions

car(F) và cdr(F) ch xác đ nh khi và ch khi F ≠ ()

(define create-tree cons)

(define root car)

(if (pair? A)

(car A) A)) (define (forest A)

(if (pair? A)

(cdr A)

’())) (define (leaf? A)

(not (pair? A)))

Ch ng h n cây A trên đây đ c bi u di n b i :

Hàm tree-size đ m s l ng các nút trong cây :

; tree-size : Tree(T) → Integer

(define (tree-size A)

(define (size-forest F)

(if (null? F)

1 (+ 1 (tree-size (car F)) (size-forest (cdr F))))) (size-forest (forest A)))

(define A '(1 2 (3 5) (4 6 7)))

(tree-size A)

> 13

2 Tính đ cao c a cây

Hàm tree-height tính đ cao c a cây :

; tree-height : Tree(T) → Integer

(define (tree-height A)

(define (height-forest F hmax)

(if (null? F)

hmax (height-forest (cdr F) (+ 1 (max (tree-height (car F)) hmax))))) (height-forest (forest A) 0))

(define A '(1 2 (3 5) (4 6 7)))

(tree-height A)

> 3

V.4.2.4 Duy t cây t ng quát không có x lý trung t

Chi n l c duy t cây t ng quát tìm danh sách các nút g m phép duy t theo th t tr c

và phép duy t theo th t sau, không có th t trung t

Thu t toán duy t cây theo th t tr c : t i m i b c đ quy, s d ng l nh append

đ t o danh sách là nút g c và k t qu duy t các cây con c a r ng :

; pre-nodes: Tree(T) → List(T)

(define (pre-nodes A)

(define (nodes-forest F)

(if (null? F)

’() (append (pre-nodes (car F))

(nodes-forest (cdr F))))) (append (list (root A)) (nodes-forest (forest A))))

Thu t toán duy t cây theo th t sau : t ng t phép duy t theo th t tr c nh ng phép

(nodes-forest (cdr F))))) (append (nodes-forest (forest A)) (list (root A))))

Ví d cho cây A g m 11 nút s d ng ph ng pháp bi u di n cây đ n gi n qua các lá :

Trong quá trình phân tích cú pháp (đ biên d ch mã ngu n thành mã đích), ng i ta s

d ng m t b ng d li u l u gi thông tin liên quan đ n phép toán và tham s t ng ng B ng này cung c p các c p giá tr g m nút và s l ng các cây con t ng ng đ ki m tra tính đúng đ n c a bi u th c

Thông th ng ng i ta s d ng các giá tr nút d ng nguyên t (atom) Ng i ta th ng

u tiên s d ng cách bi u di n đ n gi n cây t ng quát qua các lá Khi bi t đ c s l ng các con c a m t nút, ng i ta dùng các phép toán ti p c n đ n cây con th n, ti p c n đ n các

phép toán c s , c ng nh ti p c n đ n các c u trúc d li u đã đ c đ nh ngh a trong mã ngu n

Sau đây là m t s đ nh ngh a hàm t o các cây cú pháp :

; nh ngh a cây ch g m m t nút

(define (create0 E) E)

; Cây g m m t nút và m t cây con

(define (create1 E A) (list E A))

; Cây g m m t nút và hai cây con

(define (create2 E A1 A2) (list E A1 A2))

v.v

; Hàm tr v cây con th nh t v i đi u ki n cây đã cho có t i thi u 1 con

(define son1 cadr)

; Hàm tr v cây con th hai v i đi u ki n cây đã cho có t i thi u 2 con

(define son2 caddr)

; Hàm tr v cây con th ba v i đi u ki n cây đã cho có t i thi u 3 con

(define son3 cadddr)

v.v

Ch ng h n xây d ng cây cú pháp cho bi u th c Scheme

(define L (list ’ann ’tom ’bob))

D i đây là th t c tính đ o hàm c a m t bi u th c Cây t ng quát bi u di n bi u

th c có quy c nh sau : các lá g m s nguyên và ký hi u bi u di n các bi n hình th c, các

nút trong là các phép toán Trong ví d này, đ đ n gi n, ch xét phép c ng và phép nhân

; type Varable = Symbol

; type Operator = {+, *}

; type Exp = Tree(Integer ∪ Variable ∪ Operator)

; Chú ý : ki u Exp có th mô t c th h n nh sau :

; type Exp = Integer ∪ Variable ∪ Operator × Exp × Exp

; derivative : Exp × Variable → Exp

(create2 ’+ (create2 ’* (derivative (son1 E) V)

(son2 E)) (create2 ’* (son1 E)

(derivative (son2 E) V)))) (else

(error ”unknown operator” (root E))))) (derivative ’(+ x (* 2 y)) ’y)

4 Vi t hàm (converse P N) chuy n đ i s th p phân N b t k sang s h c s P, v i

P ≤ 36 (s trong h c s P đ c vi t b i P ch s 0 9A Z) theo g i ý nh sau :