KHAI THÁC CÁC DẠNG KÉO RÊ ĐỂ PHÁT TRIỂN SUY LUẬN NGOẠI SUY CHO HỌC SINH QUA BÀI TOÁN QUỸ TÍCH CÓ ĐIỀU KIỆN

KHAI THÁC CÁC DẠNG KÉO RÊ ĐỂ PHÁT TRIỂN SUY LUẬN NGOẠI SUY CHO HỌC SINH QUA BÀI TOÁN QUỸ TÍCH CÓ ĐIỀU KIỆN NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC – CAO THANH HOÀN Tóm tắt Các dạng kéo rê thực hiện tr

KHAI THÁC CÁC DẠNG KÉO RÊ ĐỂ PHÁT TRIỂN SUY LUẬN NGOẠI SUY

CHO HỌC SINH QUA BÀI TOÁN QUỸ TÍCH CÓ ĐIỀU KIỆN

NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC – CAO THANH HOÀN

Tóm tắt

Các dạng kéo rê thực hiện trên các biểu diễn toán động tỏ ra có hiệu quả

trong việc hỗ trợ học sinh tiến hành các khảo sát nhằm đưa ra những giả

thuyết ngoại suy Nghiên cứu này khai thác các dạng kéo rê để hỗ trợ học

sinh khảo sát trên các biểu diễn toán động nhằm phát triển các suy luận

ngoại suy thông qua bài toán quỹ tích có điều kiện Kết quả nghiên cứu cho

thấy những suy luận ngoại suy nhằm đề xuất giả thuyết đã được thực hiện

trong quá trình khảo sát và hợp tác giữa các học sinh, được tối ưu hoá và

củng cố vững chắc nhờ các thao tác kéo rê

Từ khoá: kéo rê, suy luận ngoại suy, bài toán quỹ tích có điều kiện

1 Mở đầu

Vào cuối những năm 1990, Arzarello cùng với các cộng sự đã tiến hành nghiên cứu và phân loại tập hợp các phương thức kéo rê khác nhau được học sinh sử dụng trong suốt quá trình giải quyết các vấn đề hình học trên phần mềm hình học động (Arzarello & nnk, 2002) Các gói phần mềm hình học động đầu tiên là The Geometer’s Sketchpad (GSP) và Cabri Geometry, sau này có thêm Geogebra, Cinderella Trong những thập kỉ gần đây, việc cho học sinh tương tác trực tiếp trên Môi trường Hình học động (Dynamic Geometry Environment - DGE) nhằm kiến tạo kiến thức đang được nhiều nhà nghiên cứu giáo dục toán học trên thế giới quan tâm Với sự hỗ trợ của các phần mềm như GSP, thì việc chuyển đổi từ môi trường

đồ họa truyền thống dựa trên giấy–bút đến môi trường đồ họa “ảo” dựa trên các số liệu trên màn hình, thực hiện thông qua kéo rê chuột, có tiềm năng ảnh hưởng sâu sắc đến cách học sinh nhận thức và lý luận trong hình học

Năm 1994 nhà Triết học người Mỹ, C S Peirce (trích dẫn) đã sử dụng thuật ngữ “ngoại suy”

để chỉ loại suy luận liên quan đến việc hình thành, xây dựng các giả thuyết để giải thích những hiện tượng, những quy luật quan sát được Thuật ngữ này ít quen thuộc so với “suy diễn”, “quy nạp” trong toán học Ngoại suy là một loại của suy luận có lý trong đó tạo nên những giả thuyết để giải thích các hiện tượng, kết quả, phát hiện với tính không chắc chắn Từ đây, người ta bắt đầu quan tâm đến việc phát triển các suy luận ngoại suy của học sinh trong việc dạy học hình học Đã có một số các nghiên cứu nói về kéo rê và ngoại suy như của Baccaglini-Frank và Mariotti (2010) nhằm xây dựng một mô hình kéo rê duy trì dựa trên các phương thức kéo rê trong “chương trình kéo rê” của Arazello (2002); ngoài ra có một số tác giả khác như Nguyễn Thị Khánh Phương (2011); Huỳnh Thị Ái Hằng (2015), Phạm Thị Hòa Nhi (2016) Nghiên cứu của chúng tôi kế thừa những nghiên cứu đã có ở trước, đồng thời chúng tôi tìm hiểu mối liên hệ giữa quá trình kéo rê và quá trình suy luận ngoại suy của học sinh trong khi giải quyết các bài toán hình phẳng Nghiên cứu nhằm trả lời 2 câu hỏi sau:

1 Xây dựng các bài toán hỗ trợ các thao tác kéo rê như thế nào để học sinh có thể hình thành các giả thuyết ngoại suy?

2 Các giả thuyết ngoại suy của học sinh được hình thành và biến đổi như thế nào thông qua các thao tác kéo rê khi khảo sát trên các biểu diễn toán động?

2 Cơ sở lý thuyết của nghiên cứu

2.1 Các dạng kéo rê trong môi trường hình học động

Theo nghiên cứu trước đây (Arzarello & nnk., 1998b; Olivero, 1999; Arzarello, 2001), dựa trên nghiên cứu của Hölzl (1995, 1996), Arzarello và các cộng sự (2012) đã xác định được các phương thức kéo rê khác nhau mà học sinh sử dụng dựa trên mục đích khác nhau của họ trong quá trình giải quyết các vấn đề mở trên DGE Cụ thể hơn, quan sát cách các học sinh sử dụng chuột trong khi giải quyết một vấn đề trong hình học động, Baccaglini và Mariotti (2010) đã đề xuất ra bốn phương thức xây dựng được mô tả dưới đây:

 Kéo rê tự do/ngẫu nhiên: kéo rê một cách ngẫu nhiên các điểm trên màn hình mà

không có một định hướng nào cả, nhằm phát hiện, tìm kiếm những hình dạng thú vị hoặc qui luật của hình

 Kéo rê duy trì: kéo rê một điểm cơ bản để các hình duy trì một tính chất nhất định

 Kéo rê với dấu vết kích hoạt: kéo rê một điểm cơ bản với các dấu vết

 Kéo rê thử nghiệm: kéo rê điểm cơ bản để xem liệu hình được dựng có duy trì các

tính chất mong muốn không

Như vậy, việc học sinh khai thác các phương thức kéo rê khác nhau sẽ đạt được mục đích khác nhau, chẳng hạn như khám phá, phỏng đoán, xác nhận và đánh giá các bài toán hình phẳng Để làm rõ về các phương thức kéo rê duy trì đề cập ở trên chúng tôi minh họa thông qua ví dụ sau:

Ví dụ: Trên trang hình GSP, cho tứ giác ABCD, trong đó điểm D thuộc đường thẳng đi qua C

và song song với đường thẳng AB Hai đường thẳng d , 1 d lần lượt là các đường trung trực 2 của đoạn AB và CD Hãy đưa ra các giả thuyết về hình dạng tứ giác ABCD và hai đường

thẳng d , 1 d có thể có xảy ra khi thay đổi vị trí điểm B trên mặt phẳng 2

A

B

C D

d2

d1

C B

A

D

Hình 1 ABCD thỏa điều kiện bài toán và kéo rê B sao cho d trùng 1 d 2

Kéo rê tự do/ngẫu nhiên điểm B và dừng lại khi hai đường thẳng d và 1 d trùng nhau Nhìn 2 vào hình vẽ chúng ta bắt đầu nghĩ về những đặc điểm của tứ giác ABCD Để thấy rõ hơn, ta kéo rê với dấu vết kích hoạt điểm B tới các vị trí khác nhau trên mặt phẳng sao cho hai đường

thẳng d , 1 d vẫn trùng nhau Nói cách khác việc kéo rê lúc này không còn tình cờ nữa, mà 2

việc kéo rê này là có chủ đích là làm cho hai đường thẳng d , 1 d luôn trùng nhau, kéo rê thử 2 nghiệm điểm B xem tứ giác ABCD sẽ trở thành hình thang cân trong các thời điểm khác không Thao tác kéo rê điểm B sao cho hiện tượng “tứ giác ABCD vẫn là hình thang cân” được gọi là kéo rê duy trì Các suy luận giải thích cho hiện tượng tứ giác ABCD trở thành các

hình dạng đặc biệt có thể hình thành nên những giả thuyết giúp giải thích hiện tượng đó Những giả thuyết này được gọi là giả thuyết ngoại suy, là một kết quả của quá trình suy luận ngoại suy

2.2 Suy luận ngoại suy

Như đã giới thiệu ở trên, ngoại suy là một loại suy luận có lý, trong đó tạo nên những giả thuyết để giải thích các hiện tượng, kết quả, phát hiện với tính không chắc chắn “Một cách

tổng quát, ngoại suy là quá trình suy luận nhằm đưa ra giả thuyết tốt nhất để giải thích cho một kết quả quan sát được Một quy trình cho suy luận ngoại suy được thể hiện qua các bước

như sau (Nguyễn Đăng Minh Phúc, 2010):

(1) Một Sự kiện (hiện tượng, kết quả…) S được quan sát

(2) Xuất hiện Giả thuyết G giải thích cho S

(3) Không có giả thuyết nào khác giải thích tốt cho S như G

-

(4) Vậy G là lời giải thích tốt nhất cho S

Erkki Patokorpi (2006) phân chia ngoại suy thành bốn dạng cơ bản: chọn lựa, sáng tạo, quan sát và thao tác Mỗi dạng, tác giả phân chia chúng thành nhiều loại Ở đây, chúng tôi mô tả các dạng của ngoại suy, các ví dụ cho từng dạng có thể xem trong Nguyễn Đăng Minh Phúc (2010)

 Ngoại suy chọn lựa: Chọn trong số các trường hợp có sẵn một trường hợp có thể lý

giải cho kết luận có được

 Ngoại suy sáng tạo: Khi các trường hợp có sẵn không lý giải được, cần tìm ra một

trường hợp khác để lý giải cho kết luận có được

 Ngoại suy quan sát: Thực hiện quan sát các đối tượng trong quá trình ngoại suy để tìm kiếm các lý giải thích hợp

 Ngoại suy thao tác: Sử dụng các thao tác lên đối tượng trong quá trình suy luận để tìm

kiếm các lý giải thích hợp

Để thiết kế các biểu diễn toán động hỗ trợ cho học sinh tiến hành các khảo sát để hình thành những giả thuyết ngoại suy trên DGE, cũng như phát triển suy luận ngoại suy thông qua các bài toán quỹ tích có điều kiện, chúng tôi đã tiến hành thiết kế quy trình nghiên cứu và tổ chức thực nghiệm dạy học trên đối tượng là học sinh tại trường phổ thông nhằm trả lời hai câu hỏi

đã đề ra ở phần trước

2.3 Thiết kế nghiên cứu

Mục này trình bày quy trình nghiên cứu, đối tượng học sinh tham gia thực nghiệm, công cụ nghiên cứu

2.3.1 Quy trình nghiên cứu

 Lựa chọn các bài toán chủ đề hình học phẳng có thể tạo ra các tình huống hỗ trợ khả năng đề xuất giả thuyết ngoại suy

 Thiết kế các bài toán hình học phẳng trong môi trường hình học động, tích hợp vào các nhiệm vụ toán thành các hoạt động dạy học, chuẩn bị các phiếu học tập, bảng hỏi, thiết bị ghi âm quá trình thực nghiệm

 Tiến hành thu thập và phân tích dữ liệu để trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu

2.3.2 Đối tượng học sinh tham gia thực nghiệm

Thực nghiệm đã được tiến hành vào đầu năm học 2017-2018 trên đối tượng là học sinh lớp 11 của trường THCS-THPT Bàu Hàm, tỉnh Đồng Nai Trong nghiên cứu này, chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu trường hợp, chúng tôi đã tiến hành chọn 09 học sinh để tiến hành

thực nghiệm trên máy tính và học sinh tương tác trực tiếp với phần mềm GSP để hỗ trợ các

em có thể phát hiện ra các suy luận ngoại suy của mình khi giải quyết các bài toán hình phẳng Tên các học sinh được viết thành HS1, HS2 khi trình bày trong mục kết quả phân tích dữ liệu

2.3.3 Công cụ nghiên cứu

Công cụ nghiên cứu bao gồm các biểu diễn toán động được thiết kế trên phần mềm GSP tích hợp vào trong phiếu học tập và phiếu thăm dò ý kiến học sinh Trong khuôn khổ bài báo, chúng tôi chỉ trình bày một phiếu học tập thiết kế các hoạt động có khai thác các dạng kéo rê

để phát triển các suy luận ngoại suy, cùng với đó là các nhiệm vụ kèm theo

Phiếu học tập

a Giới thiệu: Trên trang hình GSP, cho đường thẳng dđi qua hai điểm H và O Dựng đường

thẳng d ' vuông góc với đường thẳng dtại H và đường tròn tâm O có bán kính bằng OH Gọi

A là điểm đối xứng với O qua H Lấy điểm M sao cho M và O nằm về hai phía với đường

thẳng d ' Đường thẳng MH cắt đường tròn tại điểm B Thay đổi vị trí điểm M bằng cách kéo

rê nó trên trang hình GSP

d

A M

O H

Hình 2 Hình bài toán thực nghiệm

b Khảo sát tự do

 Thay đổi vị trí của điểm M bằng cách kéo rê nó Hãy quan sát những thay đổi của các

đối tượng khác

 Để đo độ dài đoạn thẳng nào đó, hãy chọn đoạn thẳng rồi vào Measure | Length

 Để đo góc, chọn góc vào Measure | Angle

 Để tạo vết cho điểm, chọn điểm vào Display | Trace Point

 Để xóa vết vào Display | Erase Trace (Shiflt +Ctrl +E)

Nhiệm vụ 1: Em hãy chọn điểm M và kéo rê để thay đổi vị trí của nó trên mặt phẳng Hãy

khảo sát để rút ra nhận xét về những yếu tố không thay đổi và yếu tố thay đổi khi điểm M di

chuyển rồi hoàn thành bảng sau:

Khi kéo rê điểm M

Điểm nào

di chuyển?

Điểm nào không di chuyển?

Tính chất nào bảo toàn?

Tính chất nào không bảo toàn?

Nhiệm vụ 2: Trên trang hình GSP số 2, Em hãy chọn điểm M và kéo rê để thay đổi vị trí của

nó Hãy quan sát sự thay đổi của tứ giác AMOB và đề xuất các trường hợp đặc biệt mà tứ giác AMOB có thể trở thành, với mỗi đề xuất hãy giải thích?

Nhiệm vụ 3: Em hãy chọn chức năng tạo vết cho điểm M và kéo rê nó trên màn hình GSP

Hãy khảo sát, dự đoán về các vị trí của điểm M khi tứ giác AMOB là một loại tứ giác đặc biệt,

với mỗi phỏng đoán đó em hãy giải thích?

2.3.4 Thu thập dữ liệu và phân tích dữ liệu

Các dữ liệu thu được bao gồm: phiếu học tập của các nhóm học sinh, bảng hỏi khảo sát, dữ liệu ghi âm các trao đổi của học sinh Để phân tích dữ liệu, chúng tôi sử dụng tiếp cận học sinh học toán với các biểu diễn toán động dưới sự hỗ trợ của giáo viên Tiếp cận này được thể hiện qua mô hình sau:

Hình 3 Mô hình phân tích dữ liệu thực nghiệm

Dựa trên mô hình này, chúng tôi phân tích các khía cạnh sau:

 Giáo viên làm nhiệm vụ thiết kế biểu diễn động, quan sát và định hướng các quá trình tương tác của học sinh với biểu diễn toán động

 Học sinh tương tác trực tiếp với các biểu diễn toán động, ngoài ra học sinh có thể trao đổi, phản hồi với giáo viên

 Các biểu diễn toán động được thiết kế bởi giáo viên Các biểu diễn động sẽ thay đổi dưới sự tương tác của học sinh và kích thích ngược lại quá trình tương tác của học sinh

2.4 Kết quả phân tích dữ liệu

a Nhiệm vụ 1: Xác định các bất biến

Việc xác định các bất biến là một nhiệm vụ quan trọng trong việc đưa ra các giả thuyết ngoại

suy khi kéo rê Với việc kéo rê tự do/ngẫu nhiên, học sinh tập trung quan sát sự thay đổi của hình vẽ khi di chuyển điểm M Kết quả của nhóm 1 các bạn có tên là HS1, HS2 và HS3 như

sau:

Đối với các nhóm 2 và nhóm 3, kết quả tương ứng với kết quả trên là “Điểm B di chuyển”,

“Điểm A, H và O không di chuyển và thẳng hàng”, tính chất bảo toàn là “d  d ', đường tròn

tâm O bán kính OH” còn tính chất không bảo toàn là “chu vi và diện tích của tứ giác AMOB”,

“các góc của tứ giác”

Thông qua việc kéo rê tự do, các học sinh có thể dễ dàng nhận thấy được các bất biến cấp 1 như khi kéo rê điểm M thì các điểm A, H và O không di chuyển Hơn nữa, theo như cách dựng thì ta có H luôn là trung điểm của đoạn thẳng AO và hai đoạn thẳng BM và AO cắt nhau tại H Điều này quyết định mấu chốt đến phần dự đoán về các loại tứ giác đặc biệt mà AMOB

sẽ trở thành

b Nhiệm vụ 2: Dự đoán về các trường hợp đặc biệt mà tứ giác AMOB có thể trở thành

Sau khi quan sát về những yếu tố thay đổi và không thay đổi khi kéo rê điểm M, học sinh bắt đầu kéo rê theo hướng dẫn để dự đoán các trường hợp đặc biệt mà tứ giác AMOB có thể trở thành Học sinh ở cả ba nhóm đều đưa ra giả thuyết “tứ giác AMOB là hình bình hành”

d

d'

B A

M

d

d'

A

M Hình 4 Các trường hợp đặc biệt của tứ giác AMOB Đoạn Trao đổi 1 của học sinh nhóm 1 (HS1, HS2, HS3) cho thấy ngoài trường hợp tứ giác AMOB là hình bình hành, các học sinh còn chỉ ra sự xuất hiện của các trường hợp đặc biệt hơn: AMOB có thể là hình chữ nhật (cũng là trường hợp đặc biệt của hình bình hành) và AMOB có thể suy biến thành một đoạn thẳng

Trao đổi 1 (các học sinh nhóm 1)

15:5 HS1: Tứ giác AMOB là hình bình hành

15:6 HS2: Tứ giác AMOB là hình chữ nhật được đó, nếu HA=HO=HB=HM

HS3: Là hình chữ nhật nếu BM =AO

HS1: Là hình chữ nhật chứ đâu phải là hình vuông, thử đo góc xem sao, đúng rồi góc



M AB bằng 90o đó, vậy là hình chữ nhật

15:8 GV: Kéo rê tiếp vị trí của M để kiểm tra xem còn trường hợp nào không?

15:9 HS1: Có thể là tam giác cân tại M

GV: Em hãy kiểm tra lại giả thiết của điểm M ?

HS2: Điểm M không thuộc đường thẳng d’ đâu, nên bỏ trường hợp tam giác cân 15:10 HS3: Điểm M thuộc vào đường thẳng d thì 4 điểm thẳng hàng kìa

GV: M phải thuộc đường thẳng hay sao?

HS1: M thuộc tia AH

15:12 HS3: Tứ giác AMOB có thể là một đoạn thẳng

HS1: Hình thang nữa được không? vừa là hình bình hành và hình thang cân đó

15:14 GV: Còn trường hợp nào nữa không? (cả ba học sinh trả lời không còn nữa)

Kết quả thể hiện trên phiếu học tập của nhóm 1 như sau:

c Nhiệm vụ 3: Dự đoán vết của M khi tứ giác AMOB luôn là hình bình hành

Trong nhiệm vụ này, chúng tôi muốn các em dự đoán xem điểm M sẽ có dấu vết như thế nào khi tứ giác AMOB là hình bình hành Sau đây là đoạn Trao đổi 2 của nhóm 3 (HS1, HS2, HS3) khi các em bắt đầu kéo rê duy trì điểm M để đưa ra giả thuyết:

Trao đổi 2 (các học sinh nhóm 3)

15:30 GV: các em phải kéo rê sao cho AMOB là hình bình hành

15:31 HS2: [Đang tiếp tục cố gắng để kéo rê M theo đề xuất của GV]

15:32 GV: Theo các em vết của M là gì?

15:33: HS1: Vết của nó là một đường tròn ah

GV: Là một đường tròn hay cung tròn?

15:34: HS3: Là một cung tròn ah!

HS2 [Ngay tức thì, trả lời]: Là đường tròn ạ!

HS3: Là hình tròn sao ý

15:35 GV: Các em xoá vết đi và kéo rê duy trì M lại cho rõ

HS2: Dạ, [thực hiện thao tác xoá vết, kéo rê lại]

15:36 GV: Nếu vết là đường tròn, thì đường tròn có tâm và bán kính gì?

HS2: Đường tròn tâm A, bán kính AM, à bán kính AH

HS3: Đúng rồi đường tròn tâm A, bán kính AH

15:37 HS2: [Dựng đường tròn này và kéo rê duy trì M trên đường tròn để kiểm tra lại

khẳng định]

d d'

B

A

M

d

d'

B A

M Hình 5 Quỹ tích của điểm M khi được kéo rê duy trì

Sau đây là lời giả thích của nhóm 3:

Trong quá trình thực nghiệm, học sinh cũng gặp một số khó khăn trong việc khảo sát các bài toán hình học phẳng trong môi trường hình học động, chẳng hạn như: Việc lần đầu tiên tiếp xúc và tương tác với phần mềm GSP làm cho các em tốn thời gian để khám phá cách sử dụng những thao tác trên phần mềm này Ngoài ra, vẫn còn một số học sinh chưa thực sự nghiêm túc và tập trung trong quá trình khảo sát trên phần mềm GSP, chẳng hạn như các em tò mò về

phần mềm nên kích hoạt dấu vết lộn xộn, hoặc không đọc kĩ yêu cầu bài toán cũng như các nhiệm vụ nên đi sai hướng

2.5 Trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu

Về câu hỏi nghiên cứu thứ nhất, trước hết, từ kết quả thực nghiệm chúng tôi thấy các em tiếp thu khá nhanh, sử dụng tương đối thành thạo các chức năng của GSP Chính vì vậy, các em nhanh chóng tập trung vào việc kéo rê để quan sát các bất biến hình học hay vết của điểm

được kéo rê Dựa vào việc kéo rê tự do/ ngẫu nhiên các điểm cơ bản, thì những điểm cố định

và các giả thuyết ngoại suy về bất biến đều được các em tìm ra một cách nhanh chóng Từ đó các bất biến cấp 1 trong bài toán này có thể được nhận thức thông qua áp dụng các dạng kéo

rê khác nhau và bất biến cấp 2 có thể được phát hiện ra trong một mối quan hệ phụ thuộc giữa các bất biến cấp 1

Vị trí của điểm M tuy yêu cầu bài toán giới hạn chỉ nằm phía bên trái đường thẳng d’, nhưng trong thực tế, do M được dựng tuỳ ý trên mặt phẳng nên các em vẫn kéo rê qua phía bên phải hoặc cho M nằm trên d’ Việc xây dựng bài toán quỹ tích có điều kiện nhờ

vào các biểu diễn toán động yêu cầu người giáo viên cần có các khảo sát kỹ lưỡng trên biểu diễn, nắm bắt các trường hợp có thể xảy ra khi học sinh thực hiện thao tác kéo rê

Đối với câu hỏi nghiên cứu thứ hai, trong quá trình thực nghiệm, chúng tôi đã phân tích rõ

từ dữ liệu các phiếu học tập, các quá trình và hoạt động tương tác theo mô hình phân tích ở trên, giữa giáo viên với học sinh, học sinh với biểu diễn toán động ở mục trước Các giả thuyết ngoại suy được hình thành trong quá trình khảo sát trên biểu diễn toán động, được đề xuất thông qua trao đổi giữa các học sinh trong nhóm Những giả thuyết này được tiếp tục củng cố nhờ các các hoạt động kéo rê duy trì, kéo rê thử nghiệm Trong bài toán thực nghiệm của mình, chúng tôi thấy các giả thuyết ngoại suy được các

em đề xuất, thay đổi khá nhiều Nhưng kết luận cuối cùng các nhóm học sinh cũng đều

có thể chỉ ra được dấu vết của điểm kéo rê khi giữ cho điểm đó thỏa mãn một tính chất nào đó

3 Kết luận

Khi học sinh tương tác với biểu diễn toán động với bài toán quỹ tích có điều kiện mà nhóm nghiên cứu đặt ra, những giả thuyết mà các em đề xuất là phong phú, được hình thành, phát triển, tinh chỉnh đến những giả thuyết có tính chắc chắn cao, tạo niềm tin vững chắc để tiến hành các chứng minh hình thức nhằm khẳng định giả thuyết Các dạng kéo rê cũng được các em sử dụng một cách đầy đủ, có hiệu quả trong quá trình làm việc với biểu diễn toán động thông qua bài toán quỹ tích có điều kiện

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Arzarello F., Olivero F., Paola D & Robutti, O (2002), A cognitive analysis of dragging practices in Cabri environments, Zentralblatt fur Didaktik der Mathematik/International

Reviews on Mathematical Education, 34(3), p 66-72

[2] Baccaglini–Frank A, Mariotti MA (2010), Generating Conjectures in Dynamic Geometry: the Maintaining Dragging Model International Journal of Computers for

Mathematical Learning

[3] Erkki P (2006) Role of abductive reasoning in digital interaction, Doctoral Dissertation,

Abo Akademi University, Finland, p.74-78

[4] Finzer W & Jackiw N (1998) Dynamic manipulation of mathematics objects, Key

Curriculum Press, USA

[5] Huỳnh Thị Ái Hằng (2015) Khảo sát các bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường hình học động, Luận văn Thạc sĩ giáo dục học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế

[6] Kordaki M (2006) Multiple representation systems and Inter-individual learning

differences in students In E Pearson & P Bohman (Eds.), Proceedings of World Conference on Educational Multimedia, Hypermedia and Telecommunications 2006

(p.2127-2134) Chesapeake, VA: AACE

[7] Nguyễn Đăng Minh Phúc (2010) Phát triển suy luận ngoại suy thông qua các mô hình toán thao tác động điện tử, Tạp chí khoa học, Đại học Vinh, ISSN 1859 – 2228, Tập 39,

2A, tháng 8 – 2010, trang 51 – 59

[8] Phạm Thị Hòa Nhi (2016), Các dạng kéo rê trong môi trường hình học động và ứng dụng, Khóa luận tốt nghiệp Đại học, Trường Đại Học Sư phạm, Đại học Huế

[9] Trương Thị Khánh Phương (2011) Phản ánh của suy luận ngoại suy và quy nạp qua thao tác kéo rê trong môi trường hình học động, Tạp chí Khoa học, Đại học Sư phạm Thành

phố Hồ Chí Minh

Title

Exploiting dragging modalities in developing abductive reasoning for students through conditional locus mathematics problems

Abstract: Dragging modalities performed on dynamic mathematical representations are

effective in supporting students to conduct investigations to produce abductive conjectures This study exploited dragging modalities to support students in exploring on dynamic mathematical representations to develop abductive reasoning through the conditional locus mathematics problem Research results showed that abductive reasoning to forming conjectures have been made during the investigation and collaboration processes among students, which are optimized and reinforced by dragging manipulations

THÔNG TIN VỀ TÁC GIẢ

Nguyễn Đăng Minh Phúc, TS

Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế

ĐT: 0979-555-375, Email: phucndm@gmail.com

Cao Thanh Hoàn, HV Cao học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế

Nơi công tác: Trường THCS-THPT Bàu Hàm, tỉnh Đồng Nai

ĐT: 0166-551-1368, Email: caohoan86@gmail.com