Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán học chương 2 phan văn tân

S KI N VÀ XÁC SU TWhich one would you like?.

Ch ng 2 2 S KI N VÀ XÁC SU T

2.1 Phép th , s ki n và xác su t s ki n

• Ví d :

o M a là m t hi n t ng khí t ng Vi c quan tr c hi n t ng này c ng là m t phép th

o Xác su t c a s ki n ng u nhiên A b k p gi a 0 và 1:

0 P(A) 1

n ng, trong ó có m két c c thu n l i cho s ki n A Khi ó xác

su t c a A là t s gi a s k t c c thu n l i cho A trên t ng s k t

P )(

n

m

n n kha

ông cuc

kêt sô Tông n

A cho loi thuân cuc

kêt Sô

m A

P

) (

)

( )

(

o Tuy nhiên ph m vi áp d ng r t h n ch vì công th c này ch dùng c cho

lo i phép th g m m t s h u h n k t c c và m i k t c c ng kh n ng

xu t hi n

o Khi v n d ng tính m và n, tr các tr ng h p gi n n, th ng ph i dùng

1 )

(

n

n U P

0

0 ) (

n V

P

1)

(

0 P A

Ch ng 2 2 S KI N VÀ XÁC SU T

2.2 Cách tính xác su t theo quan ni m ng kh n ng

• VD 3: Trong s N bài thi có M bài t t i m khá tr lên Rút

ng u nhiên n bài nh p i m Tính xác su t trong n bài c rút có m (m<n) bài t t i m khá tr lên

Ch ng 2 2 S KI N VÀ XÁC SU T

2.3 nh ngh a xác su t theo t n su t

• nh ngh a c i n c a xác su t ch áp d ng c khi phép th có m t s h u h n k t c c ng kh n ng

P )(

o Tuy nhiên th c nghi m ch ng t r ng, t n su t có tính n nh, ngh a là khi

s phép th N khá l n thì tr s c a t n su t bi n thiên r t ít xung quanh m t

h ng s xác nh nào ó

o i v i các phép th thu c m u “thùng kín”, h ng s này trùng v i xác su t tính theo công th c c i n

n nh c a t n su t khi s phép th t ng lên vô h n

Ch ng 2 2 S KI N VÀ XÁC SU T

2.3 nh ngh a xác su t theo t n su t

• Tính n nh c a t n su t khi s phép th l n c xác minh

b ng nhi u thí nghi m công phu c a các nhà nghiên c u:

o Laplace (th k XVIII) theo dõi các b ng th ng kê toàn n c Pháp và các thành ph London, Peterbur, Berlin, ã tìm th y t n su t sinh con trai b ng 22/43 0,542

o n th k XX, nhà toán h c Thu i n Crame c ng nh n th y tr s này r t

g n v i t n su t sinh con trai n m 1935 t i Thu i n

• ng d ng:

o Xác nh kích c qu n áo may s n ho c các dùng gia ình

o Xác nh qui lu t ho t ng c a t i ph m trong i u tra hình s

o Ch n th i i m phát sóng truy n tin qua các t ng i n ly

o N ghiên c u công hi u c a thu c men ch a b nh

o Trong Khí t ng Th y v n ?

Ch ng 2 2 S KI N VÀ XÁC SU T

2.3 nh ngh a xác su t theo hình h c

• Xét phép th có vô h n k t c c ng kh n ng

• Gi s có th bi u th t p h p k t c c này b i m t mi n hình h c G nào ó:

o Các k t c c thu n l i cho A là nh ng c p (x,y) sao cho |x-y| 20, hay

o T p h p này ng v i mi n con c a hình vuông g m gi a các ng th ng

20

20 20

20

x y

x y y

x

I J

K

20

x y

20

x y

P )(

9

5 3600

2000 3600

1600 3600

60 60

40 40

60 60

)

( A

P

Ch ng 2 2 S KI N VÀ XÁC SU T

2.4 Quan h gi a các s ki n

• Các s ki n trong m t phép th th ng liên

quan v i nhau b i các quan h sau ây:

o Quan h kéo theo: S ki n A xu t hi n nh t thi t s

ki n B xu t hi n Trong tr ng h p này ta nói s ki n

A kéo theo s ki n B, ho c A là tr ng h p riêng c a

B Ký hi u A B, hay A là t p con c a B

o Quan h t ng ng: ng th i s ki n A kéo theo

s ki n B và B kéo theo A, t c A B và B A Ta nói

A và B là các s ki n t ng ng Ký hi u A=B

o T ng c a hai s ki n: T ng c a hai s ki n A và B là

m t s ki n c ký hi u là A B (hay A + B), sao

cho (A+B) x y ra khi và ch khi ho c A x y ra ho c B

x y ra (nói cách khác: khi và ch khi ít nh t m t trong

B

B U

Ch ng 2 2 S KI N VÀ XÁC SU T

2.4 Quan h gi a các s ki n

o Các s ki n A1, A2, A3, An c g i là h p thành nhóm y n u chúng xung kh c t ng ôi m t và nh t thi t m t trong chúng ph i x y ra (t c t ng

o Hai ng i cùng b n vào m t m c tiêu, m i ng i b n m t phát G i Ai là s

2 1 2

( )

n

n n

n n

n n

n n n B

A

) (

1 ) ( )

( )

( )

(

A P A

P

U P A

P A

P A

A P

Ch ng 2 2 S KI N VÀ XÁC SU T

2.5 Xác su t c a t ng các s ki n (Công th c c ng XS)

• Ví d : M t kho v khí c a ch g m 3 nhà: nhà s 1 ch a bom, nhà s 2 ch a x ng và nhà s 3 ch a các v khí không gây cháy Xác su t b n trúng nhà s 1, 2, 3 c a m t phát n pháo t ng ng

là 10%, 15%, 20% Tính xác su t phá hu toàn kho b i phát n pháo ó, bi t r ng mu n phá hu toàn b kho ch c n b n trúng vào nhà s 1 ho c nhà s 2

/(

4/1)

/(

A B P

A B P

) (

)

( /

/ )

/

(

B P

AB

P n

n

n

n n

n B

A

P

B

AB B

AB

) / ( ) ( )

( AB P B P A B

P P ( AB ) P ( A ) P ( B / A )

) / ( 1

) /

P

Ch ng 2 2 S KI N VÀ XÁC SU T

2.6 Xác su t có i u ki n Công th c nhân XS

o nh ngh a 1 Các s ki n A1, A2, An c g i là c l p t ng ôi m t n u P(Ai/Aj) = P(Ai) (i, j = 1,2,3, n; i j), nói cách khác, n u m i c p s ki n trong chúng là c l p

o nh ngh a 2 Các s ki n A1,A2, An c g i là c l p trên toàn th ( c

l p t ng h ) n u m i s ki n trong chúng c l p v i tích c a m t s b t k trong các s ki n còn l i, t c là:

P(Ak/Ai1 Ai2, Air) = P(Ak) trong ó Ai1, , Air là r s ki n khác Ak trong s n s ki n ã cho

Ch ng 2 2 S KI N VÀ XÁC SU T

2.6 Xác su t có i u ki n Công th c nhân XS

• Ví d 1 Trong thùng có 10 qu c u, trong ó 3 qu màu tr ng, 7

qu màu en B c hú ho hai l n, m i l n m t qu Tính xác su t

l n th nh t b c c qu tr ng, l n th hai c qu en

o Gi i: G i A là s ki n l n th nh t b c c qu tr ng, B là s ki n l n th hai b c c qu en Ta ph i tính xác su t P(AB) Ta có

ph i tính xác su t P(A+B).

- Ta có: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) Theo gi thi t, P(A)=0.7, P(B)=0.8,

m t khác vì A và B là hai s ki n c l p nên P(AB)=P(A).P(B)=0.56.

1 ) (

\

B A P B

A P

hay B

A U

B A

06 0 2

0 3 0 )

(

)) ( 1

))(

( 1

( ) ( ) ( )

(

B A P

B P A

P B

P A P B

A P

Ch ng 2 2 S KI N VÀ XÁC SU T

2.7 Công th c xác su t toàn ph n và công th c Bayes

• Gi s A1, A2, ,An là m t nhóm y các ki n ki n xung kh c và

B là m t s ki n b t k nào ó x y ra trên n n các s ki n Ai, nói

cách khác B x y ra ch khi m t trong các Ai x y ra

• Cho bi t các xác su t P(Ai) và P(B/Ai) (i = 1,2 n) Khi ó xác su t

c a s ki n B c xác nh b i:

o Ta g i ây là công th c xác su t toàn ph n hay công th c xác su t y

o Công th c xác su t toàn ph n cho phép tính xác su t c a B theo các xác su t không i u ki n P(Ai) và các xác su t có i u ki n P(B/Ai) (i = 1,2, n)

• Có th ch ng minh công th c này nh sau

n i

i

A P B

P

1

) / ( ) ( )

(

Ch ng 2 2 S KI N VÀ XÁC SU T

2.7 Công th c xác su t toàn ph n và công th c Bayes

• A1, A2, ,An là nhóm y các ki n ki n xung kh c nên Ai = U

• B x y ra ch khi m t trong các Ai x y ra nên B=BU, hay

B = B(

B = B(A1+A2+ +An) = BA1+BA2+…+BAn

• Vì các A1, A2, ,An xung kh c nên các BA1, BA2,…, BAn c ng lànhóm y các s ki n xung kh c

• Do ó:

• M t khác:

• V y

n i

i

BA P B

P

1

) (

) (

) / ( ) ( )

(BA i P A i P B A i P

n i

i i

n i

BA P B

P

1 1

) / ( ) ( )

( )

Ch ng 2 2 S KI N VÀ XÁC SU T

2.7 Công th c xác su t toàn ph n và công th c Bayes

• Ví d : S li u khí t ng c a tr m X c o c b i ba quan tr c viên QTV1, QTV2 và QTV3 Do tính ch t công vi c, QTV1 ch m nh n 20% kh i l ng công vi c, QTV2 m nh n 30% kh i l ng công vi c, 50% còn l i do QTV3 m nh n Xác su t x y ra sai s do QTV1, QTV2

và QTV3 o c t ng ng là 0.4%, 0.3% và 0.1% Tính xác su t x y ra sai s chung c a s li u cung c p b i tr m X.

o P(B/A1) = 0.004, P(B/A2) = 0.003, P(B/A3) = 0.001,

o V y P(B) = P(A )P(B/A )+ P(A )P(B/A )+ P(A )P(B/A ) =

Ch ng 2 2 S KI N VÀ XÁC SU T

2.7 Công th c xác su t toàn ph n và công th c Bayes

• Gi s A1, A2, ,An là m t nhóm y các ki n ki n xung kh c và

B là m t s ki n b t k nào ó x y ra trên n n các s ki n Ai, nói

cách khác B x y ra ch khi m t trong các Ai x y ra

• Cho bi t các xác su t P(Ai) và P(B/Ai) (i = 1,2 n) Khi ó xác su t

có i u ki n c a s ki n Ai v i i u ki n B c xác nh b i:

o ây c g i là công th c Bayes

• Có th ch ng minh công th c này nh sau:

n i

i i

i i

i

A B P A P

A B P A P B

A P

1

) / ( ) (

) / ( ) ( )

/ (

n

i i

i i

i

A B P A P

A B P A

P B

P

A B P A P B

A

P

) / ( ) (

) / ( )

( )

(

) / ( ) ( )

/ (

) / ( ) ( )

/ ( )

(A P B A P B P A B

Ch ng 2 2 S KI N VÀ XÁC SU T

2.7 Công th c xác su t toàn ph n và công th c Bayes

• Công th c Bayes c ng d ng r t nhi u trong khí t ng th y v n

• Có th phát bi u d ng bài toán t ng quát nh sau:

• Gi s A1, A2, ,An là m t nhóm y các ki n ki n xung kh c và

B là m t s ki n nào ó x y ra trên n n các s ki n Ai Bi t r ng B

ã x y ra Cho bi t các xác su t P(Ai) và P(B/Ai) (i = 1, 2, , n)

• Hãy xác nh: Trong s các s ki n A1, A2, ,An, s ki n nào có

Ch ng 2 2 S KI N VÀ XÁC SU T

2.7 Công th c xác su t toàn ph n và công th c Bayes

• Ví d : Tr l i v i bài toán ng d ng công th c xác su t toàn ph n

• S li u khí t ng c a tr m X c o c b i ba quan tr c viên QTV1, QTV2 và QTV3 Do tính ch t công vi c, QTV1 ch m nh n 20% kh i

o P(B/A1) = 0.004, P(B/A2) = 0.003, P(B/A3) = 0.001,

o P(B) = P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+ P(A3)P(B/A3) =

0.2x0.004 + 0.3x0.003 + 0.5x0.001 = 0.0008+0.0009+0.0005=0.0022 = 0.22%

o P(A1/B) = P(A1)P(B/A1)/P(B) = 0.2x0.004/0.0022 = 0.0008/0.0022= 8/22

o P(A2/B) = P(A2)P(B/A2)/P(B) = 0.3x0.003/0.0022 = 0.0009/0.0022= 9/22

o P(A3/B) = P(A3)P(B/A3)/P(B) = 0.5x0.001/0.0022 = 0.0005/0.0022= 5/22

o V y P(A2/B) = MAX {P(Ai/B), i=1,2,3} = 9/22

K t lu n:

Ch ng 2 2 S KI N VÀ XÁC SU T

2.8 Dãy phép th c l p (Dãy phép th Bernoulli)

o Do tính c l p c a các phép th , nên v i 1 cách s p x p c nh k ch A và (n-k) ch ta có xác su t t ng ng là p k (1-p) n-k

o Vì s cách s p x p k ch A trong n v trí chính b ng t h p ch p k c a n, nên xác su t c n tìm s là:

A lân k n A lân k

A A A

A

) ( ,

A

k n k

k n

A

A

k n

P ( ) ( 1 )

0.0313 0.1563

0.3125 0.3125

0.1563 0.0313

P5(k)

5 4

3 2

1 0

k

nh t) c a s ki n A trong dãy n phép th ã cho

o xác nh giá tr k0 ta xem Pn(k) nh là hàm c a i s t nhiên k và xét dáng hi u bi n thiên c a Pn(k) r i t ó tìm ra k0

o L p t s :

) 1

)(

1 (

)

( )

1 (

!

)!

(

! )!

1 (

)!

1 (

!

) 1

(

) 1

( )

(

) 1

p k

p k

n p

p n

k n

k k

n k

n

p p

C

p p

C k

P

k

P

k n k

k n

k n k

k n n

n

1 (

)

( )

(

) 1

(

p k

p k

n k

P

k P

n n

o Ký hi u xác su t này là Pn(k1,k2) ta s xác nh công th c tính nh sau

k

B H

2 2

) 1

( )

( )

( )

, (

k

k n k

k

k

p p

C B

P H

P k

k P

o H = B3 + B4 + B5

3 5 5

3

) 1

( )

( )

5 , 3 ( )

(

k

k n k

k k

B P P

H P

0579

0)

8.0()2.0()

8.0()2.0()

8.0()2.0()

P

1 )

n

npq

k P lim

2

1)

npq

np k

x0

02

1)

0()

0 8

0 2 0 400

2 0 400

80

np

k x

3989

03989

.0

1 )

, (

1

x

x

t n

2

1)

,

1 2

dt e

k k P

x

x

t n

Trong ó

x

t

dt e

1 2

1)

100,

81(81

525

.075.0100

75.0100

100,

38

125

.075.0100

75.0100

77.5(,4162

0)

38.1(

0838

04162

.05.0)

38.1()

77.5()

100,

81

(

100

P

k n

nlim

• Ch ng minh: T công th c Bernoulli Pn( k ) Cn k pk( 1 p )n k

n

p np

k n k

k n k

k n k

n

k

n n

k

n n

n n

n n

n k

n n

k

k n n

n k

P

1 2

1

1 ) 1 (

1

( )

(

n n

k n

n k

k

!

) (

!

! 1

1

1 1

2 1

1 1

1

!

) (

e e

k n

k

n n

k n

n k

k P

k k

k n

n

k n

n

k n

n

lim lim

)()

P

Ch ng 2 2 S KI N VÀ XÁC SU T

2.9 Các nh lý gi i h n

• Ví d : Sau khi ki m tra cu n sách 1000 trang ng i ta phát hi n

c 20 l i chính t Tính xác su t sao cho khi gi m t trang b t k

s phát hi n c

o Có úng 2 l i chính t

o Có không ít h n hai l i chính t

000196

02

0004

09802

0

!2

02

0)

()

2(

2 02

0

e k

P k

P

• Gi i: S l i trung bình trên m t trang sách là: 0.02

100020

02 0 1

02 0 02

.

0 1

) 1 ( )

0 ( 1

)) 1 (

) 0 (

( 1 ) 2 (

02 0 02

0

1 02

0 0

02 0

e e

e e

P P

k P k

P k

P

Ch ng 2 2 S KI N VÀ XÁC SU T

Which one would you like?