Slide matlab chapter 4 numerical methods

1 Đa thức nội suyNội suy Lagrange Nội suy Newton Nội suy bằng đa thức Chebyshev Nội suy bằng đa thức Hermit đọc thêm 2 Giải gần đúng phương trình Phương pháp chia đôi Phương pháp dây cun

Trang 1

Chương 4: Ứng dụng Matlab trong Giải tích

số

Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội

Hà Nội, tháng 8 năm 2015

Trang 2

1 Đa thức nội suy

Nội suy Lagrange

Nội suy Newton

Nội suy bằng đa thức Chebyshev

Nội suy bằng đa thức Hermit (đọc thêm)

2 Giải gần đúng phương trình

Phương pháp chia đôi

Phương pháp dây cung

Phương pháp Newton - Raphson

3 Giải gần đúng hệ phương trình

Phương pháp lặp đơn

Phương pháp Jacobi

Phương pháp Gauss-Seidel

Phương pháp Newton giải hệ phương trình phi tuyến

4 Giải gần đúng phương trình vi phân thường

Trang 3

Đa thức nội suy

Trong thực tế, nhiều khi ta phải tìm hàm 𝑦 = 𝑓 (𝑥) mà chỉ biết giá trị 𝑦𝑖tạicác điểm 𝑥𝑖∈ [𝑎, 𝑏] (𝑖 = 0, 1, , 𝑛) Hoặc trong nhiều trường hợp biểu diễngiải tích của 𝑓 (𝑥) đã cho nhưng quá cồng kềnh Khi dùng phép nội suy ta cóthể dễ dàng tính được 𝑓 tại bất kỳ điểm 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] mà độ chính xác không kémbao nhiêu

Bài toán đặt ra:

Cho các mốc nội suy 𝑎 ≤ 𝑥0< 𝑥1< · · · < 𝑥𝑛≤ 𝑏 Hãy tìm đa thức (bậc 𝑛)𝑃𝑛(𝑥) =

Trang 4

.𝑦𝑛

Trang 5

Nội suy Lagrange

Trước hết tìm đa thức 𝐿𝑖(𝑥) có bậc 𝑛 sao cho:

∏︀

𝑗̸=𝑖(𝑥𝑖− 𝑥𝑗)

Vậy 𝑃 (𝑥) là đa thức nội suy duy nhất cần tìm

Trang 6

Nội suy Newton tiến

Công thức nội suy Lagrange có ưu điểm là đơn giản, dễ lập trình nhưng nếuthêm mốc nội suy thì phải tính lại toàn bộ Nhược điểm này sẽ được khắc phụctrong công thức Newton

Công thức nội suy Newton tiến

Trang 7

Nội suy Newton

Nội suy Newton tiến

Công thức nội suy Lagrange có ưu điểm là đơn giản, dễ lập trình nhưng nếuthêm mốc nội suy thì phải tính lại toàn bộ Nhược điểm này sẽ được khắc phụctrong công thức Newton

Công thức nội suy Newton tiến

Trang 8

Nội suy Newton lùi

Nếu các mốc nội suy được sắp xếp theo thứ tự giảm dần

𝑥𝑛, 𝑥𝑛−1, , 𝑥1, 𝑥0thì ta có công thức nội suy Newton lùi xuất phát từ mốc 𝑥𝑛:

𝑃𝑛(𝑥) =𝑓 (𝑥𝑛) + (𝑥 − 𝑥𝑛) 𝑓 [𝑥𝑛, 𝑥𝑛−1] + (𝑥 − 𝑥𝑛) (𝑥 − 𝑥𝑛−1) 𝑓 [𝑥𝑛, 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛−2]

+ · · · + (𝑥 − 𝑥𝑛) (𝑥 − 𝑥𝑛−1) (𝑥 − 𝑥1) 𝑓 [𝑥𝑛, 𝑥𝑛−1, , 𝑥1, 𝑥0] ,

trong đó các tỷ hiệu được tính như trong công thức (1.3)

Trang 9

Nội suy Newton

Sai số của phép nội suy

Định lý 1.1

Giả sử hàm 𝑓 : R → R khả vi liên tục đến cấp 𝑛 + 1 trên [𝑎, 𝑏]

(𝑓 ∈ 𝐶(𝑛+1)[𝑎, 𝑏]) và 𝑥𝑖∈ [𝑎, 𝑏], 𝑖 = 0 : 𝑛 Khi đó tồn tại 𝜉 = 𝜉(𝑥) ∈ [𝑎, 𝑏] saocho

𝑓 (𝑥) − 𝑃𝑛(𝑥) = 1

(𝑛 + 1)!𝑓

(𝑛+1)(𝜉)(𝑥 − 𝑥0) (𝑥 − 𝑥𝑛)

Từ đó ta có công thức ước lượng sai số

|𝑓 (𝑥) − 𝑃𝑛(𝑥)| ≤ 1

(𝑛 + 1)!𝑀𝑛+1(𝑓 ) |(𝑥 − 𝑥0) (𝑥 − 𝑥𝑛)| ,trong đó 𝑀𝑛+1(𝑓 ) = max

Trang 10

Xét trường hợp nội suy đa thức cho hàm 𝑓 (𝑥) trên đoạn [−1, 1] dựa trêncác mốc nội suy −1 ≤ 𝑥0< 𝑥1< · · · < 𝑥𝑛≤ 1 Khi đó công thức đánhgiá sai số của các đa thức nội suy Lagrange và Newton đều có dạng

𝑤(𝑥) = (𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) (𝑥 − 𝑥𝑛)

Ta muốn chọn các mốc nội suy {𝑥𝑖}𝑛𝑖=0để cực tiểu giá trị max

−1≤𝑥≤1|𝑤(𝑥)|.Điều này dẫn tới việc sử dụng đa thức nội suy Chebyshev

Trang 11

Xét trường hợp nội suy đa thức cho hàm 𝑓 (𝑥) trên đoạn [−1, 1] dựa trêncác mốc nội suy −1 ≤ 𝑥0< 𝑥1< · · · < 𝑥𝑛≤ 1 Khi đó công thức đánhgiá sai số của các đa thức nội suy Lagrange và Newton đều có dạng

𝑤(𝑥) = (𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) (𝑥 − 𝑥𝑛)

Ta muốn chọn các mốc nội suy {𝑥𝑖}𝑛𝑖=0để cực tiểu giá trị max

−1≤𝑥≤1|𝑤(𝑥)|.Điều này dẫn tới việc sử dụng đa thức nội suy Chebyshev

Trang 12

Định nghĩa 1.1

Các hàm

𝑇𝑛(𝑥) = cos(𝑛 arccos(𝑥)), 𝑛 = 0, 1, 2, gọi là các đa thức Chebyshev trong đoạn [−1, 1]

Trang 13

Bảng một số đa thức nội suy Chebyshev đầu tiên

𝑇0(𝑥) = 1𝑇1(𝑥) = 𝑥𝑇2(𝑥) = 2𝑥2− 1𝑇3(𝑥) = 4𝑥3− 3𝑥𝑇4(𝑥) = 8𝑥4− 8𝑥2− 1𝑇5(𝑥) = 16𝑥5− 20𝑥3

+ 5𝑥𝑇6(𝑥) = 32𝑥6− 48𝑥4+ 18𝑥2− 1𝑇7(𝑥) = 64𝑥7− 112𝑥5

+ 56𝑥3− 7𝑥

Trang 14

Một số tính chất của đa thức Chebyshev

Các hệ số của đa thức Chebyshev 𝑇𝑛đều nguyên

, 𝑘 = 1, , 𝑛

Trang 15

, 𝑘 = 1, , 𝑛

Trang 16

, 𝑘 = 1, , 𝑛

Trang 17

, 𝑘 = 1, , 𝑛

Trang 18

, 𝑘 = 1, , 𝑛

Trang 19

, 𝑘 = 1, , 𝑛

Trang 20

Định lý 1.2

Giả sử 𝑛 cố định Trong số tất cả các cách chọn 𝑤(𝑥) và các mốc phân biệt{𝑥𝑖}𝑛𝑖=0∈ [−1, 1], đa thức 𝑇 (𝑥) = 𝑇𝑛+1(𝑥)/2𝑛là sự lựa chọn suy nhất thỏamãn

max

−1≤𝑥≤1{|𝑇 (𝑥)|} ≤ max

−1≤𝑥≤1{|𝑤(𝑥)|} Hơn nữa

max

−1≤𝑥≤1{|𝑇 (𝑥)|} = 1

2𝑛

Trang 21

Các mốc nội suy trên đoạn [−1, 1] được xác định bởi

)︂

𝑡 +𝑎 + 𝑏

2 ⇐⇒ 𝑡 = 2𝑥 − 𝑎

𝑏 − 𝑎 − 1Các mốc nội suy trên đoạn [𝑎, 𝑏] bất kỳ

𝑥𝑘= 𝑡𝑘(︂ 𝑏 − 𝑎

2

)︂

+𝑎 + 𝑏2

= cos(︂ (2𝑛 + 1 − 2𝑘)𝜋

2𝑛 + 2

)︂ (︂ 𝑏 − 𝑎2

)︂

+𝑎 + 𝑏

2 , 𝑘 = 0, 1, , 𝑛 (1.4)

Trang 22

)︂

𝑡 +𝑎 + 𝑏

2 ⇐⇒ 𝑡 = 2𝑥 − 𝑎

𝑥𝑘= 𝑡𝑘(︂ 𝑏 − 𝑎

2

)︂

+𝑎 + 𝑏2

= cos(︂ (2𝑛 + 1 − 2𝑘)𝜋

2𝑛 + 2

)︂ (︂ 𝑏 − 𝑎2

)︂

+𝑎 + 𝑏

2 , 𝑘 = 0, 1, , 𝑛 (1.4)

Trang 23

)︂

𝑡 +𝑎 + 𝑏

2 ⇐⇒ 𝑡 = 2𝑥 − 𝑎

𝑥𝑘= 𝑡𝑘

(︂ 𝑏 − 𝑎2

)︂

+𝑎 + 𝑏2

= cos(︂ (2𝑛 + 1 − 2𝑘)𝜋

2𝑛 + 2

)︂ (︂ 𝑏 − 𝑎2

)︂

+𝑎 + 𝑏

2 , 𝑘 = 0, 1, , 𝑛 (1.4)

Trang 24

2−1/2= 0.00000720

Trang 25

Công thức nội suy Chebyshev

Trang 26

Trang 27

Trang 28

2𝜋2𝑘 + 18

3𝜋2𝑘 + 18)︂

= 0.04379392

Trang 29

2𝜋2𝑘 + 18

3𝜋2𝑘 + 18)︂

= 0.04379392

Trang 31

Nội suy bằng đa thức Hermit

Trong một số trường hợp, ta cần tìm hàm đa thức không những đi quanhững điểm cho trước mà còn phải thỏa mãn điều kiện về đạo hàm tạicác điểm đó Ta gọi các đa thức đó là đa thức nội suy Hermit

Để đơn giản, ta khảo sát đa thức bậc 3:

ℎ(𝑥) = 𝐻3𝑥3+ 𝐻2𝑥2+ 𝐻1𝑥 + 𝐻0

đi qua hai điểm (𝑥0, 𝑦0) , (𝑥1, 𝑦1) và có các đạo hàm là 𝑦′0, 𝑦′1 Như vậy

ta phải tìm các hệ số 𝐻𝑖, 𝑖 = 0, 3 bằng cách giải hệ phương trình

Trang 32

Các đạo hàm bậc nhất được tính gần đúng bởi

𝑦0′ = ℎ (𝑥0+ 𝜀) − ℎ (𝑥0)

𝑦2− 𝑦0𝜀

𝑦0′ = ℎ (𝑥1) − ℎ (𝑥1− 𝜀)

𝑦1− 𝑦3𝜀Bây giờ ta tìm đa thức nội suy Lagange hay Newton đi qua 4 điểm

(𝑥0, 𝑦0) , (︀𝑥2= 𝑥0+ 𝜀, 𝑦2= 𝑦0+ 𝑦0′𝜀)︀ , (︀𝑥3= 𝑥1− 𝜀, 𝑦3= 𝑦1+ 𝑦1′𝜀)︀ , (𝑥1, 𝑦1)

Trang 33

Giải gần đúng phương trình

Nội dung

Nội suy Lagrange

Nội suy Newton

Trang 34

Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu một số phương pháp giải phươngtrình một biến số:

trong đó 𝑓 (𝑥) là một hàm số (hay siêu việt)

Phương trình (2.1) chỉ giải được đúng trong một số trường hợp đặc biệt, nóichung rất phức tạp, do đó chúng ta phải tìm cách giải gần đúng Ngoài ra các

hệ số của 𝑓 (𝑥) trong thực tế chỉ biết gần đúng vì thế việc giải đúng (2.1)chẳng những không thực hiện được mà nhiều khi không có ý nghĩa

Để giải (2.1) thông thường có hai bước:

1 Giải sơ bộ: Đi tìm một khoảng đủ bé chứa nghiệm

Vây nghiệm: Tìm đoạn bé chứa các nghiệmTách nghiệm: Tách các đoạn bé, mỗi đoạn chỉ chứa mộtnghiệm

2 Giải kiện toàn: Tìm nghiệm với độ chính xác cần thiết

Trang 35

trong đó 𝑓 (𝑥) là một hàm số (hay siêu việt).

Vây nghiệm: Tìm đoạn bé chứa các nghiệm

Tách nghiệm: Tách các đoạn bé, mỗi đoạn chỉ chứa mộtnghiệm

Trang 36

Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu một số phương pháp giải phươngtrình một biến số:

trong đó 𝑓 (𝑥) là một hàm số (hay siêu việt)

Vây nghiệm: Tìm đoạn bé chứa các nghiệm

Tách nghiệm: Tách các đoạn bé, mỗi đoạn chỉ chứa mộtnghiệm

Trang 37

trong đó 𝑓 (𝑥) là một hàm số (hay siêu việt).

Vây nghiệm: Tìm đoạn bé chứa các nghiệmTách nghiệm: Tách các đoạn bé, mỗi đoạn chỉ chứa mộtnghiệm

Trang 38

Giả sử hàm số 𝑓 (𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎, 𝑏] và 𝑓 (𝑎).𝑓 (𝑏) < 0.

Chia [𝑎, 𝑏] thành 2 phần bởi điểm giữa 𝑐 = 𝑎 + 𝑏

2

1 Nếu 𝑓 (𝑐) = 0 thì nghiệm 𝜉 = 𝑐

2 Nếu 𝑓 (𝑐) ̸= 0 thì chọn [𝑎, 𝑐] hoặc [𝑐, 𝑏] mà giá trị hàm tại haiđầu trái dấu và ký hiệu là [𝑎1, 𝑏1] Đối với [𝑎1, 𝑏1] lại tiến hànhnhư [𝑎, 𝑏]

Ưu điểm của phương pháp chia đôi là thuật toán đơn giản do đó dễ lậptrình Tuy nhiên do phương pháp chia đôi sử dụng rất ít thông tin về hàm

𝑓 (𝑥) nên tốc độ hội tụ khá chậm và chỉ sử dụng để giải sơ bộ phươngtrình

Trang 39

Giả sử hàm số 𝑓 (𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎, 𝑏] và 𝑓 (𝑎).𝑓 (𝑏) < 0

2

Trang 40

2

Trang 41

Giả sử hàm số 𝑓 (𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎, 𝑏] và 𝑓 (𝑎).𝑓 (𝑏) < 0

2

Trang 42

2

Trang 43

Giả sử 𝑓 (𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎, 𝑏] và thỏa mãn 𝑓 (𝑎).𝑓 (𝑏) < 0 Khôngmất tổng quát ta giả sử 𝑓 (𝑎) < 0 và 𝑓 (𝑏) > 0 Khi đó, thay vì chia đôiđoạn [𝑎, 𝑏], ta chia theo tỷ lệ −𝑓 (𝑎)

𝑓 (𝑏) và thu được nghiệm gần đúng

𝑥𝑛= 𝑥𝑛−1− 𝑑 − 𝑥𝑛−1

𝑓 (𝑑) − 𝑓 (𝑥𝑛−1).𝑓 (𝑥𝑛−1) ,

trong đó 𝑥0= 𝑎 (hoặc 𝑥0= 𝑏) thì 𝑑 = 𝑏 (hoặc 𝑎)

Trang 44

𝑓 (𝑏) và thu được nghiệm gần đúng𝑥1= 𝑎 + ℎ1

𝑥𝑛= 𝑥𝑛−1− 𝑑 − 𝑥𝑛−1

𝑓 (𝑑) − 𝑓 (𝑥𝑛−1).𝑓 (𝑥𝑛−1) ,

trong đó 𝑥0= 𝑎 (hoặc 𝑥0= 𝑏) thì 𝑑 = 𝑏 (hoặc 𝑎)

Trang 45

𝑓 (𝑏) và thu được nghiệm gần đúng𝑥1= 𝑎 + ℎ1

𝑥𝑛= 𝑥𝑛−1− 𝑑 − 𝑥𝑛−1

𝑓 (𝑑) − 𝑓 (𝑥𝑛−1).𝑓 (𝑥𝑛−1) ,trong đó 𝑥0= 𝑎 (hoặc 𝑥0= 𝑏) thì 𝑑 = 𝑏 (hoặc 𝑎)

Trang 46

Phương pháp Newton (còn gọi là phương pháp tiếp tuyến) được dùng nhiều vì

nó hội tụ nhanh Tuy nhiên phương pháp này đòi hỏi phải tính đạo hàm 𝑓′(𝑥).Công thức Newton - raphson được suy từ khai triển Taylor của 𝑓 (𝑥) trong lâncận 𝑥:

𝑓 (𝑥𝑖+1) = 𝑓 (𝑥𝑖) + 𝑓′(𝑥𝑖) (𝑥𝑖+1− 𝑥𝑖) + 𝑂 (𝑥𝑖+1− 𝑥𝑖)2.Nếu 𝑥𝑖+1là nghiệm của phương trình 𝑓 (𝑥) = 0 thì ta có

0 = 𝑓 (𝑥𝑖) + 𝑓′(𝑥𝑖) (𝑥𝑖+1− 𝑥𝑖) + 𝑂 (𝑥𝑖+1− 𝑥𝑖)2.Giả sử 𝑥𝑖 gần với 𝑥𝑖+1, ta có thể bỏ qua số hạng cuối và thu được công thứcNewton - Raphson:

𝑥𝑖+1= 𝑥𝑖− 𝑓 (𝑥𝑖)

Trang 47

Thuật toán được tóm lược như sau

Trang 48

Trang 49

Trang 50

Trang 51

Giải gần đúng hệ phương trình

Nội dung

Nội suy Lagrange

Nội suy Newton

Trang 52

Xét hệ phương trình đại số tuyến tính:

Trang 54

Dựa vào nguyên lý ánh xạ co ta có kết quả sau:

Định lý 3.1

Giả sử ‖𝐵‖ < 1 Khi đó mọi dãy lặp

𝑥(𝑘+1)= 𝐵𝑥(𝑘)+ 𝑔 (𝑘 ≥ 0) (3.5)trong đó 𝑥(0)

∈ R𝑛bất kỳ cho trước, đều hội tụ đến nghiệm duy nhất 𝑥*củaphương trình (3.4) Hơn nữa ta có các đánh giá sai số:

Tiêu đề	Ứng Dụng Matlab Trong Giải Tích Số
Trường học	Đại học Bách Khoa Hà Nội
Chuyên ngành	Giải tích số
Thể loại	tài liệu
Năm xuất bản	2015
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	104
Dung lượng	703,94 KB