Chuyên đề vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Tài liệu bao giồm toàn bộ kiến thức về chuyên đề vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Tài liệu được chia thành các dạng bài cơ bản và nâng cao bao gồm cả phần lý thuyết tóm tắt giúp học suinh dễ dàng tiếp cận và tiếp thu kiến thức

VECT TRONG KHÔNG GIAN Ơ TRONG KHÔNG GIAN

Vấn đề 1 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

I Vectơ trong không gian

① Vectơ, giá và độ dài của vectơ.

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng Kí hiệu AB

chỉ vectơ có điểm đầu

A, điểm cuối B Vectơ còn được kí hiệu a, b, c, …

Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau Ngược lại, hai vectơ có giá cắt nhau được gọi là hai vectơ không cùng phương Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược hướng

Độ dài của vectơ là độ dài của đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của

vectơ Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị Kí hiệu độ dài vectơ AB

② Hai vectơ bằng nhau, đối nhau Cho hai vectơ a, b( 0)

Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài.

Hai vectơ a và được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và cùng độ dài.

③ Vectơ – không.

Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau

Kí hiệu: 0, AA BB CC     0

Vectơ – không có phương, hướng tùy ý, có độ dài bằng không

Vectơ – không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ

Cộng với 0: a  0 0  a aa

Cộng với vectơ đối: a  a a a0

③ Các qui tắc.

Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B , C bất kì ta có: AC AB BC 

Mở rộng: Qui tắc đa giác khép kín

Cho hình hộp ABCD A B C D.     với AB, AD, AA là ba cạnh

có chung đỉnh A và AC là đường chéo, ta có:

Cho k  và vectơ 0 a  0 Tích k a là một vectơ:

- Cùng hướng với a nếu k  0

- Ngược hướng với a nếu k 0

③ Điều kiện để hai vectơ cùng phương.

Cho hai vectơ a và b ( 0),k  : a0  cùng phương b  a kb 

Hệ quả: điều kiện để ba điểm A, B , C thẳng hàng là AB k AC 

IV Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

① Khái niện về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian.

Cho ba vectơ a, b, c ( 0) trong không gian Từ một điểm O bất kì ta dựng OA a 

Khi đó xảy ra hai trường hợp:

Các đường thẳng OA , OB , OC không cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói ba vectơ

Cho ba vectơ a,b,c trong đó a và b không cùng phương Điều kiện cần và đủ để ba vectơ

a,b,c đồng phẳng là có duy nhất các số m, n sao cho c ma nb  

Nếu ba vectơ a,b,c không đồng phẳng thì với mỗi vectơ

d, ta tìm được duy nhất các số m, n, p sao cho

② Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD ta luôn có: AC AB AD   

③ Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD A B C D.     , ta được: AC'AB AD AA   '

④ Quy tắc trung điểm: Cho I là trung điểm AB , M là điển bất kỳ: IA IB 0

 Để tính góc giữa hai vectơ u và v ta có thể tính u

VD 3.3 Cho hình tứ diện ABCD Gọi A, B, C , Dlần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD ,

CDA , DAB , ABC Đặt   

Tính khoảng cách từ S đến trọng tâm G của chúng.

① Sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân vectơ với một số, tích vô hướng

② Sử dụng các quy tắc trung điểm, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện, quy tắc hình bình hành,

b) Nếu a ,  b ,  c là ba vectơ không đồng phẳng và  ma nb pc0 thì m n  p 0.

VD 3.13Cho hình tứ diện ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho   3

AM MD và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho   3

NB NC Chứng minh rằng ba vectơ AB, 

DC và MN đồng phẳng.

Dạng 4 Cùng phương và song

song

OC kOA tOB , với t k 1.

vectơ AB , CD cùng phương Khi AB ,



CD cùng phương và có một điểm thuộc đường thẳng

AB mà không thuộc đường thẳng CD hoặc ngược lại thì AB và CD là hai đường thẳng

song song.

ta chọn 2 điểm C D, thuộc  P

rồi chứng minh                             

AB k.CD hoặc ta lấy trong  P

hai vectơ a và bkhông cùng phương, sau đó chứng minh AB , a và b đồng phẳng và có một điểm thuộc đường thẳng AB mà không thuộc  P

thì đường thẳng AB song song với  P

một điểm M nằm trên đường thẳng AB là    

OM kOA tOB , trong đó k t 1 Ngoài ra k và t khôngphụ thuộc điểm O Với điều kiện nào của k , t thì điểm M thuộc đoạn thẳng AB ? Điểm M là trung

điểm của đoạn AB ?

VD 3.15Cho tứ diện ABCD , M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho   2

3.4 Cho tứ diện ABCD Lấy các điểm M , N theo thứ tự thuộc AB và CD sao cho   2

3.5 Cho hai đường thẳng  và  cắt ba mặt phẳng song song 1   ,  và   lần lượt tại A, B , C

và A , 1 B , 1 C Với O là điểm bất kì trong không gian, đặt 1   1

3.11 Cho hình lăng trụ ABC A B C Gọi    I và J lần lượt là trung điểm của BB và  A C Điểm K

thuộc  B C sao cho   2 

KC KB Chứng minh bốn điểm A, I , J , K cùng thuộc một mặt phẳng

thay đổi thì trung điểm I của MN di chuyển trên một đường thẳng cố định.

3.14 Trong không gian, cho ba điểmA , B , C cố định không thẳng hàng, tìm tập hợp các điểm M sao

a) Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (A BC )

b) Khi MN và  A C song song với nhau, chứng tỏ rằng MN vuông góc với AD và DB.

3.16 Trong không gian cho ABC

a) Chứng minh rằng nếu điểm MABC

OM xOA yOB zOC với mọi điểm O

b) Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian sao cho   

Khẳng

định nào sau đây đúng?

A.

12

AM  a c b

   

C.

12

AM   a c b

   

D.

12

TN3.6 Cho hình hộp ABCD A B C D.     Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB A  và

BCC B  Khẳng định nào sau đây sai ?

A. G là trung điểm của đoạn IJ ( I J, lần lượt là trung điểm AB và CD )

C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC

Khẳng định nào sau đây đúng?

C. M là trung điểmBB D. M là trung điểm CC

Vấn đề 2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

I Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

① Góc giữa hai vectơ.

Cho u và v là hai vectơ trong không gian Từ một điểm A bất kì vẽ AB u 

Bình phương vô hướng: a 2 0, a2  0 a0

④ Vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Vectơ a  0 gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của nó song song hoặc trùng với đường thẳng d

Nếu a là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì k a cũng là một vectơ chỉ phương

u

v

Tính độ dài của đoạn thẳng AB:

2

ABAB  AB

Xác định góc giữa hai vectơ:

.cos( , )

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

II Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là

góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một

điểm bất kì và lần lượt song song với a và b Ta có:

① Cách 2 Sử dụng trực tiếp định nghĩa góc của hai đường thẳng trong không gian.

ACBD , ADBC Điều ngược lại có đúng không ?

( AB.CD = AB(AD – AC) = AB.AD – AB.AC =0

AC BD = AC(AD – AB) = AC.AD – AC.AB =0

AD.BC = AD(AC – AB) = AD.AC – AD.AB = 0)

VD 3.17Cho hình chóp S ABC có SA SB SC  và ASB BSC CSA 

Chứng minh rằng SABC , SBAC , SC AB

(SA.BC = SA(SC –SB) = SA.SC – SA.SB = SA.SC cosASC – SA.SBcosASB = 0)

(AB.CD = 2MP.2NP = 4(MQ + QN + NP)(NQ + QM + MP) = 0)

Dạng 2 Góc giữa hai đường

thẳng

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b , ta chọn một trong hai cách sau:

Cách 1 Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Tìm góc bằng việc lấy một điểm A nào đó

(thông thường A a  hoặc A b  ) Qua A

dựng a và b theo thứ tự song song với a và

b Khi đó, góc nhọn hoặc vuông tạo bởi a và b là góc giữa a và b

Bước 2 Tính góc: Sử dụng tỉ số lượng giác của góc

trong tam giác vuông hoặc dùng định lí hàm

số sin, côsin trong tam giác thường để xác định số đo góc giữa a và b

Cách 2 Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Tìm 2 vectơ u và v theo thứ tự là các vectơ

chỉ phương của các đường thẳng a và b

Bước 2 Tính số đo góc  giữa hai vectơ u và v.

Bước 3 Khi đó, góc giữa hai đường thẳng a và b :

VD 3.21Cho tứ diện ABCD có AB c  , CD c  , AC b  , BD b  , BC a  , AD a Tính cosin của

góc giữa hai đường thẳng BC và AD.

Cos(BC, AD) =

 BC  AD

BC AD =

(  BA + AC )  AD a.a' =

b

a

, tính góc giữa đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB.

(CD, IJ) = (IK, IJ) = (CD, AB)

a) Tính góc giữa SD và BC

b) Gọi I , J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ // BD Chứng minh rằng góc giữa AC và IJ không phụ thuộc vài vị trí của I và J

a) (SD, BC) = (SA + AD, BC) = (SA, BC) + (AD, BC) = 0+0 = 0

b) (AC, IJ) = (AC, BD) (đpcm)

VD 3.27Cho hình hộp ABCD A B C D.     có các cjanh đều bằng a, BAD 600, BAA 'DAA' 120 0

a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A D và AC với B D

3.23 Cho tứ diện ABCD , biết AB AC và DB DC

a) Chứng minh rằng AD vuông góc với BC

b) Gọi M , N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và BD sao cho MA k MB 

3.24 Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng:

b) Nếu I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì IJ AB và IJ CD

3.26 Cho hình chóp tam giác .S ABC có SA SB SC  và ASB BSC CSA   Chứng minh rằng

SA BC , SBAC , SCAB

3.27 Cho hai tam giác đều ABC và ABC có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau.

Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC , CB , BC, C A Chứng minh rằng:

3.28 Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD là hình bình hành SAB và SAD là các tam giác vuông tại A

Chứng minh rằng:

a) SA vuông góc với BC và CD b) SA vuông góc với AC và BD

3.29 Cho hai hình vuông ABCD và ABC D  có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau,lần lượt có tâm O và O Cmr: ABOO và tứ giác CDD C  là hình chữ nhật

3.30 Cho vectơ n (khác 0) và hai vectơ a và b thì ba vectơ n,a và b không đồng phẳng.

3.31 Chứng minh rằng ba vectơ cùng vuông góc với vectơ n (khác 0) thì đồng phẳng Từ đó suy ra, cácđường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì cùng song song với một mặt phẳng

3.32 Gọi S là diện tích ABC Chứng minh rằng: 1 2 2  2

2

S                AB AC               AB AC

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆMTN3.10 Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a b c, , Khẳng định nào sau đây sai ?

A Nếu a và b cùng nằm trong một mặt phẳng và cùng vuông góc với c thì a b// .

B Nếu a b// và ca thì c b .

C Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a b// .

D Nếu a và b cùng nằm trong mp a c ( )// thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c.

TN3.11 Cho tứ diện ABCD có

3,

2

a

AB CD a IJ  

(I J, lần lượt là trung điểm của BC vàAD) Số

đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là

a

MN 

63

TN3.13 Cho hình hộp ABCD A B C D     Giả sử tam giác AB C và A DC  đều có 3 góc nhọn Góc giữa hai

đường thẳng AC và A D là góc nào sau đây ?

TN3.14 Cho tứ diệnABCD Chứng minh rằng nếu               AB AC                AC AD AD AB               

thìAB CD ,ACBD,

ADBC Điều ngược lại đúng không?

Sau đây là lời giải:

Bước 1:               AB AC                AC AD   AC AB AD.                   0 AC DB  0 ACBD

Bước 2: Chứng minh tương tự, từ               AC AD AD AB                

ta được ADBC và               AB AC                AD AB

ta được AB CD

Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương.

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A Đúng B Sai từ bước 1 C Sai từ bước 1 D Sai ở bước 3

TN3.15 Cho tứ diện đều ABCD (tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau) Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và

TN3.18 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi

M và N lần lượt là trung điểm của AD vàSD Số đo của góc MN SC, 

Vấn đề 3 ĐƯỜNG THẲNG VUƠNG GĨC MẶT

PHẲNG

I Định nghĩa đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng:

① Định nghĩa 5: Đường thẳng gọi là vuơng gĩc với mặt phẳng nếu nĩ vuơng

gĩc với mọi đường thẳng của mặt phẳng đĩ

a   ab  b  ;

( )( )

a

a b b

② Định lí 3: Nếu đường thẳng d vuơng gĩc

với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng

đi qua một điểm O

cho trước và vuơng gĩc với một đường thẳng a cho

trước

vuơng gĩc với một mặt phẳng  P

cho trước

vuơng gĩc với AB là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.

Mmặt trung trực của AB MA MB=III Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuơng gĩc của đường thẳng vàmặt phẳng

① Tính chất 5:

ⓐ Nếu mặt phẳng nào vuơng gĩc với một

trong hai đường thẳng song song thì cũng

vuơng gĩc với đường thẳng cịn lại

ⓑ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuơng

gĩc với một mặt phẳng thì chúng song

song với nhau

② Tính chất 6:

ⓐ Đường thẳng nào vuơng gĩc với một trong hai mặt phẳng song song

thì cũng vuơng gĩc với mặt phẳng cịn lại

a a



( ),

với ( ) thì cũng vuông góc với a.

//( )( )

ⓑ Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường

thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song

song với nhau

IV Định lí ba đường vuông góc

phẳng ( ) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng ( )

② Định lí 4: (Định lí 3 đường vuông góc)

Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( ) và đường thẳng b nằm trong ( )

Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a của a

Định nghĩa 8: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

ⓐ Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( ) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a

và mặt phẳng ( ) bằng 900 a( )  [ , ( )] 90a   0

a và hình chiếu a của a trên ( ) gọi là góc giữa đường thẳng a và

② Chứng minh a nằm trong một trong hai mặt phẳng vuông góc và d vuông góc với giao tuyến

 d vuông góc với mặt còn lại (ĐL7).

③ Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt thứ 3 (HQ2).

⑤ Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại (TC6).



B BÀI TẬP MẪU

a) Chứng minh: BCSAB

b) Kẻ đường cao AH trong tam giác SAB Chứng minh AH SBC

c) Kẻ đường cao AK trong tam giác SAC Chứng minh SCAHK

d) Đường thẳng HK cắt BC tại I Chứng minh IASAC

.a) Chứng minh: BCSAB và CDSAD

b) Kẻ đường cao AH trong tam giác SAB Chứng minh AH SBC

c) Kẻ đường cao AK trong tam giác SAD Chứng minh SCAHK

d) Trong mặt phẳng ABCD

kẻ AM BD tại M Chứng minh BDSAM

VD 3.31Cho hình chóp .S ABC có SA SB SC a   , AS B 900, BSC 60  0, CSA 120  0 Gọi I là

trung điểm cạnh AC Chứng minh SI ABC

(Tính góc giữa hai vecto SI và AB Với (SI = ½(SA + SC), AB = SB – SA)

VD 3.32Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC2CC Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BC và AI.

là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC Gọi

I là trung điểm của BC

a) Chứng minh rằng BC ADI

.b) Gọi AH là đường cao của ADI, chứng minh rằngAH BCD

3.34 Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau Gọi H là hình chiếu vuông

góc của điểm O trên mặt phẳng ABC

.a) Chứng minh rằng BC OAH , CAOBH, ABOCH

b) Chứng minh rằng H là trực tâm của ABC

OH OA OB OC .

d) Chứng minh rằng S2ABC S2OABS2OBC S2OCA

e) Chứng minh rằng các góc của ABC đều nhọn

3.35 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi và có SA SB SC SD   Gọi O là giao điểm của

AC và BD

a) Chứng minh SOABCD

b) Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB , BC Chứng minh IJ SBD

c) Gọi G là trọng tâm ACD và H ở trên cạnh SD sao cho HD2HS Cm HGABCD

3.36 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi và có SA SC và SB SD

a) SOABCD b) ACSBD và BDSAC

3.37 Trên mặt phẳng ( ) cho hình bình hành ABCD Gọi O là giao điểm của AC và BD , S là một

điểm nằm ngoài mặt phẳng ( ) sao cho SA SC , SB SD Chứng minh rằng:

a) SO( )

b) Nếu trong mặt phẳng SAB

kẻ SH AB tại H thì ABSOH

3.38 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có cạnh SA vuông góc với ABCD Gọi

I và K là hai điểm lần lượt lấy trên hai cạnh SB và SD sao cho

SI SK

SBSD Chứng minh:

a) BDSC b) IK SAC

3.39 Cho tứ diện SABC có SAABC

và có ABC vuông tại B Trong mặt phẳng SAB

kẻ

AM SB tại M Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho

SB SC Chứng minh rằng:

a) BCSAB vàAM SBC b) MN SAB, từ đó suy ra SBAN

3.40 Cho hình chóp S ABC có SAABC và tam giác ABC không vuông Gọi H và K lần lượt là

trục tâm của tam giác ABC và SBC Chứng minh:

a) AH , SK và BC đồng qui b) SCBHK

c) HK SBC

3.41 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA vuông góc với ABCD Gọi

H, I , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB , SC và SD

a) Chứng minh rằng BCSAB

, CDSAD

b) Chứng minh rằng SAC

là mặt trung trực của đoạn BD.c) Chứng minh rằng AH, AK cùng vuông góc với SC Từ đó suy ra ba đường thẳng AH, AI,

AK cùng nằm trong một mặt phẳng.

d) Chứng minh rằng SAC

là mặt trung trực của đoạn HK Từ đó suy ra HKAI.e) Tính diện tích tứ giác AHIK biết SA AB a 

 Cách 2: Tính gián tiếp theo một trong hai hướng sau:

Hướng 1: Chọn một đường thẳng // d a mà góc giữa d và   có thể tính được

hình chiếu vuông góc của S trên ABCD

là trung điểm I của AD Tam giác SAD là tam giác đều.

a) Tính góc giữa SC và ABCD

b) Gọi K là trung điểm AB, tính góc giữa KI và mặt phẳng SAB

c) Tính góc giữa BD với SAB

A



b) ABI đều nên IK  AB  AB  (SIK) Gọi IH  SK  AB  IH  IH  (SAB)  (KI, (SAB)) = góc

SKI, tan SKI =

SI KI c) Do KI // BD  (BD, (SAB)) =(KI, (SAB))

HD:a) góc SOA, ĐS: a) arctan2 b) Góc SCA 30 0 c) Góc BDA 45 0 d) góc SBO arcsin( 6 /6 )

3.43 Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD2BC và

AB BC a  SA vuông góc với ABCD và SA a 2 Tính góc giữa:

3.44 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh tâm ; Gọi , lần lượt

là hình chiếu của lên và

b) Gọi SO cắt MN tại I Trong (SAC) có AI cắt SC tại K Theo ý a có MN  (SAC)  MN  AK

c) (SC, (ABCD)) = góc SCA = arctan SA/AC =

3.45 Cho hình chóp đáy là tam giác vuông cân tại , , .a) Tính khoảng cách từ tới

a 2

2 b)

3 cos

SA SB SC  a

S mp ABC 

SA mp ABC 

3.46 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , , Tính góc giữa:a) với các mặt phẳng và

14 c)

21 arctan

7

3.47 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , là tâm của đáy , và lần lượt là trung điểm của các cạnh , Cho biết tạo với đáy một góc a) Tính và

a 5

MN ; SO a 5 2

b)

2 15 arcsin 15

3.48 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , là tâm của đáy, , và tạo với và hai góc bằng nhau là hình chiếu của trên

a) Chứng minh và khi Tính

3.49 Cho hình lập phương

a) Tính góc của và ; và

b) với , trong đó , là trung điểm của , ĐS: a) b)

3.50 Cho hình lập phương cạnh Tính góc giữa:

 Mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng trên chính là

 Xác định thiết diện theo phương pháp đã học.

Cách 2 Nếu có hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau , cùng vuông góc với thì:

 hay chứa  chuyển về dạng qua điểm và song song với

 hay chứa  chuyển về dạng qua điểm và song song với

B BÀI TẬP MẪU

của: a) mặt phẳng qua trung điểm của và vuông góc với với tứ diện

b) mặt phẳng qua , vuông góc với và hình chóp

của và vuông góc với

là mặt phẳng đi qua trung điểm của và vuông góc với

b) cắt tứ diện theo thiết diện là hình gì ? tính diện tích của thiết diện

Ba điểm , , lần lượt là trung điểm của , và

3.52 Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông đáy lớn là , Mặt phẳng

qua thuộc cạnh và vuông góc với Hãy xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng Thiết diện là hình gì ?

3.53 Cho hình chóp có là tma giác đều cạnh và Gọi là trọng tâm

b) Xét mặt phẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng Tìm hệ thức liên hệ giữa và

để cắt tại điểm nằm giữa và Khi đó, hãy tính diện tích thiết diện của hình

3.54 Cho hình vuông cạnh , tâm Trên đường thẳng vuông góc với tại , lấy

điểm sao cho Mặt phẳng qua và vuông góc với lần lượt cắt , , tại , ,

b) Chứng minh song song với Từ đó suy ra cách dựng hai điểm và

Dạng 4 Điểm cố định - Tìm tập hợp

điểm

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

① Tập hợp điểm thường gặp:

Cho 3 điểm , , không thẳng hàng và mặt phẳng

 Nếu là điểm thỏa mãn thì điểm nằm trên mặt phẳng qua A và vuông góc với BC.

 Nếu điểm thỏa mãn : thì điểm M nằm trên mặp phẳng qua A và vuông góc với

 Nếu điểm thỏa mãn thì nằm trên mặt phẳng qua trung điểm của

và vuông góc với , chính là mặt phẳng trung trực của đoạn

của hai mặt phẳng (mặt phẳng trung trực của ) và mặt phẳng (mặt phẳng trung trực của ), giao tuyến này chính là trục của tam giác

② Hai bài toán quỹ tích:

Bài toán 1: “Quĩ tích hình chiếu của điểm cố định lên

đường thẳng di động trong mặt phẳng quay quanh

điểm cố định ”.

Gọi là hình chiếu của trên

và

 Quĩ tích là đường tròn đường kính trong

chứa một đường thẳng cố định ”.

với Tìm

a  P

 E

Bước 2 Gọi là hình chiếu vuông góc của lên , thì

cũng là hình chiếu vuông góc của trên

ta có AHE 90 0 nên quĩ tích là đường tròn đường kính trong

B BÀI TẬP MẪU

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

3.55 Cho hình thang vuông tại và , có , Trên tia

lấy một điểm Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên và Chứng minhrằng:

b) , và cùng nằm trên một mặt phẳng

c) Đường thẳng luôn luôn đi qua một điểm cố định khi di động trên

3.56 Cho mặt phẳng và một điểm ngoài là một điểm cố định thuộc sao cho không vuông góc với , là một đường thẳng di động trong nhưng luôn luôn qua Gọi

là hình chiếu vuông góc của trên

a) Tìm tập hợp các điểm thỏa các tính chất nêu trên

b) Tìm vị trí của để độ dài là lớn nhất

3.57 Cho hình vuông tâm , là một điểm di động trên tia vuông góc với a) Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng

b) Tìm tập hợp chân đường cao vẽ từ đỉnh của

BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 33.58 Cho hình chóp có đáy là hình vuông, cạnh bên và cùng hợp vớiđáy góc Gọi là trung điểm của Tính góc hợp bởi đường thẳng:

a) và b) và ĐS: a) 30 0 b) 44 0 24

3.59 Cho hình tứ diện có , , đôi một vuông góc với nhau và , ,

.a) Tính b) Chỉ ra điểm cách đều , , , (Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện )

c) Tính góc giữa đường thẳng với các mặt phẳng và

3.60 Cho hình hộp đứng có cạnh , , và

b) Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên và

3.61 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , và

a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông

b) Mặt phẳng đi qua và vuông góc với cạnh lần lượt cắt , , tại , ,

3.63 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại ,

b) Trong kẻ đường cao Chứng minh rằng

c) Trong kẻ đường cao Chứng minh rằng

3.64 Cho cân tại có , cạnh Lấy điểm ở ngoài mặt phẳng chứa

sao cho Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp

là đường cao của

a) Tính tỉ số và độ dài

b) Gọi là mặt phẳng qua và vuông góc với , cắt hình chóp theo thiết diện là hình

3.66 Cho tam giác đều có đường cao Gọi là trung điểm của Trên đường thẳngvuông góc với mặt phẳng tại , lấy điểm sao cho Gọi là một điểm trên, đặt , Gọi là mặt phẳng qua I và vuông góc với đường thẳng a) Xác định mặt phẳng

b) Dựng thiết diện của với tứ diện Thiết diện là hình gì? ĐS:

c) Tính theo và diện tích của thiết diện Với nào thì diện tích thiết diện lớn nhất ?

3.67 Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm cạnh , , và Gọi là một điểm trên cạnh

ABCD A B C D    AB a AD 2a AA 3a BAD 600( )

a) Khi là trung điểm của cạnh , tính diện tích của thiết diện của hình chóp với

.b) Khi di động trên cạnh , tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆMTN3.21 Khẳng định nào sau đây sai ?

góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong

TN3.24 Mệnh đề nào sau đây có thể sai ?

một đường thẳng thì song song nhau

TN3.25 Cho hình chóp có và vuông ở Gọi là đường cao của

Khẳng định nào sau đây sai ?

TN3.26 Trong không gian tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định và là:

TN3.27 Cho tứ diện có và Khẳng định nào sau đây đúng?

TN3.28 Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm Biết và Khẳng

định nào sau đây đây là khẳng định sai ?

TN3.29 Cho hình chóp có và tam giác vuông tại Vẽ ,

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

C. trùng với trung điểm của D. trùng với trung điểm của

TN3.30 Cho hình chóp có cạnh và đáy là tam giác cân ở Gọi và

lần lượt là trung điểm của và Khẳng định nào sau đây có thể sai ?

A B C D .

TN3.31 Cho hình chóp có Gọi là hình chiếu của lên mặt đáy Khẳng

định nào sau đây là khẳng định đúng?

TN3.32 Cho hình chóp có và đáy là hình chữ nhật Gọi là tâm của

và là trung điểm của Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?

TN3.33 Cho hình chóp có đáy là hình vuông và Gọi lần lượt

là trung điểm của và Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?

TN3.34 Cho hình tứ diện có đôi một vuông góc nhau Hãy chỉ ra điểm cách

đều bốn điểm

TN3.35 Cho hình chóp có và Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác là hình chiếu vuông góc của lên Khẳng định nào sau đây đúng?

TN3.36 Cho tứ diện Vẽ Biết là trực tâm tam giác Khẳng định nào sau

đây là khẳng định đúng ?

TN3.37 Cho hình chóp , đáy là hình vuông có tâm , Gọi là trung

điểm của Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?

TN3.38 Cho tứ diện có cạnh bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

TN3.39 Cho tam giác vuông cân tại và Trên đường thẳng qua vuông góc với

lấy điểm sao cho Tính số đo giữa đường thẳng và

(ABC) S

62

a

SA 

SB ABC

A 300 B 450 C 600 D 750

TN3.40 Cho hình vuông có tâm và cạnh bằng Trên đường thẳng qua vuông góc với

lấy điểm Biết góc giữa và có số đo bằng Tính độ dài

TN3.41 Cho hình thoi có tâm , , Lấy điểm không thuộc sao

cho Biết Tính số đo của góc giữa và

TN3.42 Cho hình chóp , đáy là hình vuông cạnh bằng và Biết

Tính góc giữa và

TN3.43 Cho hình chóp có các cạnh bên bằng nhau Gọi là hình chiếu

của lên mặt đáy Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?

TN3.44 Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh Hình chiếu vuông góc của lên

trùng với trung điểm của cạnh Biết tam giác là tam giác đều.Tính số đocủa góc giữa và

TN3.45 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cạnh huyền Hình chiếu vuông

góc của lên trùng với trung điểm Biết Tính số đo của góc giữa và

a

SA 

SC ABCD0

 Giả sử (P)  (Q) = c Từ I  c, kẻ 

Chú ý:

2 Diện tích hình chiếu của 1 đa giác

Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S là diện tích của hình chiếu (H) của (H) trên (Q),  =

Phương pháp: Muốn tìm góc giữa hai mp (P) và (Q) ta có thể dùng các cách sau

A Lý thuyết1 Góc của hai đường thẳng

( ),( ),

2 Góc của hai mặt phẳng

(Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mp cùng  giao tuyến)

3 Góc của đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng

1.Cho hình chóp SABC, Có tam giác ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA  (ABC) và SA = a Gọi E, F là trung điểm của AB và AC.

a) Tính góc giữa hai mp (SAC) và (SBC).

b) Tính góc giữa hai mp (SEF) và (SBC).

4.Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA  (ABCD) và SA = a Tính góc giữa các mặt phẳng sau

a) (SBC) và (ABC) b) (SBD) và (ABD) c) (SAB) và (SCD)

5.Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB = ; SA  (ABCD) và SO =

a) Chứng minh tam giác ASC vuông

b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc.

c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).

 a





Gọi a ’ là hình chiếu của a trên (

( ;( ))a  AOB 

0

0 AOB  900



3(( ),( ))

10

SEF SBC 

3

((SAD SBC ),( )) 7 ((SBC SCD ),( )) 105

36

33

3

a

6.Cho hình chóp SABCD có SA  (ABCD) và SA = a , đáy ABCD là hình thang vuông cân tại A và D với

AB = 2a, AD = DC = a Tính các góc sau:

a) (SBC) và (ABC) b) (SAB) và (SBC) c) (SBC) và (SCD)

7 Cho hình vuông ABCD và 1 điểm S trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và (SAB)  (ABCD)

a) Chứng minh (SAB)  (SAD), (SBC)  (SAB)

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

c) Gọi H và I lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh (SHC)  (SDI)

8 Cho tứ diện đều ABCD Tính các góc sau: Góc giữa AB và (BCD)

Hướng dẫn : G là trọng tâm BCD.BG= .Góc giữa AB và (BCD)=góc giữa AB và BG.;

9 Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA (ABCD) và SA = Tính các góc giữa:

a SC và (ABCD); SC & (SAD); SB & (SAC); AC & (SBC)

b (SBC) và (ABCD); (SBD) và (ABCD); (SAB) và (SCD)

Hướng dẫn

a .Góc của SC và (ABCD)=góc giữa SC &AC=góc SCA;góc SCA=

 Góc (SC;(SAD))=góc (SC:SD)=góc CSD=690 17’

 Góc SB&(SAC)=góc (SB;SH)=góc HSB=150 30 ’ (kẻ BH AC thì BH (SAC) )

 gócAC&(SBC)=góc (AC;CK)=400 53 ’ vói K là hc của A lên SB

 góc giữa (SBC)&(ABCD) là góc SBA=67 0 47 ’

 góc giữa (SBD)&(ABCD)là góc SOA=73 0 53 ’

 góc giữa (SAB)&(SCD)=góc DSA=22 0 12 ’

10 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và SA = 2a, ABC là tam giác đều cạnh a Tính các góc giữa

SB, (ABC) và góc giữa SC, (SAB)

Hướng dẫn

 Góc giữa SB&(ABC)=(SB;AB)=góc SBA=630 26 ’

 Góc giữa SC&(SAB)=(SC;AC)=góc SCA=63 0 26 ’

a.Trong (SAC) có AC SO và AC BD nên AC (SBD) suy ra đpcm

b.Gọi M là tr điểm AB.Góc giữa (SAB)&(ABCD)=góc(MO;SM)=

13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và D, có AB = 2a, AD=DC=a, SA

a.Gọi M là tr điểm của AB.tính được góc BCA=900 nên BC AC và BC SA do đó BC (SAC)

b (SB;(ABCD))=(SB;AB)=góc SBA=26 0 33 ’ Góc giữa SB&(SAC)= (SB;SC)=BSC;tam giác SBC vuông tại C nên góc BSC=32 0 18 ’

2

63





0452

a OM

;27

c.Trong (SDC) có DC DA và DC SA nên DC (SAC) hay (SCD) (SAC)

d.Trong (SBC)có SC BC và (SAC) có AC BC nên góc của 2 mp này =góc (SC;AC)=35 0 15 ’

e.Gọi M là tđiểm AB có DM (SAC) nên thiết diện là tam giác SMD

14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a góc BAD = 600 và SA = SB = SD =

a)CMR: (SAC) (ABCD) b) CMR SB BC c) Tính góc giữa hai mp(SBD) và (ABCD)

Hướng dẫn c.Trong (SBD) có SO BD;trong (ABCD) có AC BD nên góc của

(SBD)&(ABCD)=(SO;AC)=SOA Tính được SO= ;AC= ;SC= ;

15 Cho hình chóp S.ABCD có (SAB) và (ABCD) nằm trong hai mp vuông góc, ABCD là hình vuông cạnh a, tam

giác SAB đều Gọi M,N là trung điểm của AB và DC

c SM (ABCD) nên (SMC) (ABCD)

16 Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB= AC= a, SA (ABC),

SA = a a)Tính góc giữa 2 mp (SBC) và (ABC) b) Tính góc giữa 2 mp (SAC) và (SBC)

Hướng dẫn

a.Gọi H là t điểm BC Góc (SBC)&(ABC)=(SH;AH)=góc SHA=540 44 ’

b.Có BA (SAC).(1) Trong (SAH) kẻ AN SH thì AN (SBC) (2) Từ (1) &(2) có góc (SAC)&(SBC) =góc (BA;AN)=góc BAN=54 0 44 ’

17 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA (ABCD), SA = a Tính góc giữa 2mp

a. (SBC) và (ABCD) b) (SBC) và (SCD)

Hướng dẫn

a.góc (SBC)&(ABCD)=góc SBA=450

b.Trong tam giác SDC kẻ DK SC; trong tam giác SBC kẻ BK SC Góc (SBC)& (SDC)

= (DK;BK)=góc BKD.có DK=BK.;BD= ;SC (BDK) nên SC KO do đó tam giác CKO vuông tại K KO= và góc DKO =60 0 suy ra góc DKB=120 0 Vậy góc (SBC)&(SDC)=60 0

Vấn đề 2: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

* Chứng minh hai mp vuông góc

Nếu chứng minh (P)  (Q), Ta chứng minh theo cách sau:

 Chứng minh trong (P) có đt a mà a  (Q)

 Chứng minh

* Chứng minh đt vuông góc mp

Nếu chứng minh d  (P), ta chứng minh theo cách sau:

 Chứng minh d  (Q) với (Q)  (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q)

 Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) và (R)  (P)

1.Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD cùng vuông góc với đáy DBC Vẽ đường cao BE, DF của BCD,

đường cao DK của ACD.

c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của hai tam giác BCD và ADC CMR: OH  (ADC).

(a) (ABC)  (BCD), (ABD)  (BCD), (ABC)  ( (ABD) = AB  AB  (BCD)

(b) – CD  (ABE), CD (ACD)  (ACD)  (ABE)

- DF  (ABC)  DF  AC, DK  AC  AC  (DFK), AC  (ACD)  (DFK)  (ACD)

(c) AC  (DFK)  AC  OH, CD  (ABE)  CD  OH Vậy OH  (ACD)

2.Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA  (ABCD).

3.Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ BB và CC cùng vuông góc với mp(ABC)

a) Chứng minh (ABB)  (ACC).

b) Gọi AH, AK là các đường cao của ABC và ABC Chứng minh 2 mp (BCCB) và (ABC)cùng vuông góc với (AHK)

HD:

a) AC  (ABB’)  (ACC’)  (ABB’)

b) AH  BB’, CC’, BC  AH  (BB’C’C)  (AHK)  (BB’C’C)

AH  (BB’C’C)  AH  B’C’, AK  B’C’  (AHK)  B’C’ (AHK)  (AB’C’)

4.Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và vuông với đaý Gọi I

là trung điểm của AB.

a) Chứng minh SI  (ABCD), AD  (SAB)

b) Tính góc giữa BD và mp(SAD)

HD:a) Trong SAB kẻ đường trung tuyến SI  SI (ABCD)

b) Trong SAB kẻ đường cao BK có: AD (SAB)  AD  BK, SA  BK  BK  (SAD)

 ( BD, (SAD)) = (BD, DK) = góc BDK =arctanBK/KD = arcsin ( BKD vuông tại K)

5.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh a với góc A bằng 600 , cạnh SC = và SC  (ABCD).

a) Chứng minh (SBD)  (SAC).

b) Trong tam giác SCA kẻ IK  SA tại K Tính IK.

c) Chứng minh , từ đó suy ra (SAB)  (SAD).

HD: a) BD  (SAC)  đpcm

b AKI   ACS IK = (IA.SC)/SA = a/2

c Có BD = a = 2IK và I là TĐ của BD  BKD vuông tại K

(SAB)  (SAD) = SA, mà (BK, KD) = 900  ((SAD), (SAB)) = 900  đpcm

7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi Các tam giác SAC và tam giác SBD cân tại S Gọi O là tâm hình

thoi a.cm SO (ABCD) b cm (SAC) (SBD)

8 Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B SA đáy

a cm: (SAB) (SBC) b.Gọi M là trung điểm AC cm (SAC) (SBM)

64

62

Hướng dẫn: a.Trong (SBC) có BC (SAB) nên(SBC) (SAB)

b.Trong (SBM)có BM (SAC) nên (SBM) (SAC)

9 Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC) Tam giác ABC vuông tại B

a cm: (SAC) (ABC)

b.Gọi H là hình chiếu của A lên SC K là hình chiếu của A lên SB cm (AHK) (SBC)

Hướng dẫn a.Trong (SAC) có SA (ABC) suy ra đpcm b.Trong (AHK) có AK (SBC) suy ra đpcm

10 Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm BC, D là điểm đối xứng của A qua I dựng đoạn SD = vuông góc với (ABC) cm

a.(SBC) (SAD) b.(SAB) (SAC)

Hướng dẫn: a.Trong tam giác (SBC) có BC (SAD) suy ra đpcm

b SAB= SAC.Trong SAC kẻ đg cao CK SA,Trong tam giác SAB kẻ đg cao BK SA.2 tam giác vuông

11 Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều nằm trong mặt phẳng

vuông góc với (ABC) a) cm: (SBC) (SAC) b.Gọi I là trung điểm của SC CMR (ABI) (SBC)

Hướng dẫn : a.H là tr điểmAC.SH AC nên SH (ABC).BC CA và BC SH nên BC (SAC)suy ra đpcm.

b.SC là giao tuyến của (SAC) và (SBC).tam giác SAC đều nên AI SC suy ra AI (SBC).

12 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với

đáy, I, K lần lượt là trung điểm của AB, BC

a cm SI (ABCD)

b cm SAD, SBC là tam giác vuông

c cm (SAD) (SAB) và (SBC) (SAB)

d cm (SDK) (SIC)

Hướng dẫn : c.Trong (SAC)có DA (SAB) nên (SAD) (SAB)

d.cm DK IC ta có DK IC và DK SI nên DK (SIC)

13 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật, SA (ABCD) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên SB,

SD a) cm (SAB) (SBC); (SAD) (SCD) b cm (AEF) (SBC); (AEF) ((SCD)

14 Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và SO mp(ABCD) SO = a/2 Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC A) cm: (SBD) (SAC) b cm (SIJ) (SBC)

15 Cho tứ diện ABCD có SA (ABC) Gọi H, K là trực tâm của 2 tam giác ABC và SBC cm

a AH, SK, BC đồng quy b.SC (BHK); (SAC) (BHK)

Hướng dẫn: a.AH BC=M SM BC do đó SM là đg cao của tam giác SBC vậy SK,BC,AH đồng

IA SD