Tài liệu Giải phương trình chứ căn bậc 2 - Phạm Thành Luân pptx

CHƯƠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC.. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC HAI.. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.. Các dạng khác: Đặt điều kiện cho 2uA là A ≥ 0, nâng cả hai vế lên lũy thừa

CHƯƠNG 4:

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CHỨA CĂN THỨC

A PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC HAI

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Nhắc lại: a2 = a ; 2 a nếu a 0

a

a nếu a 0

≥

⎧

⎩ Nếu a 0≥ và b 0≥ , ta có: a b> ⇔a2>b2

Với mọi a, b R∈ , ta có: 3 3

3 3

> ⇔ >

Giả sử a 0≥ và b 0≥ Ta có : a b+ ≤ a+ b≤ 2(a b)+

Đẳng thức bên phải đúng khi và chỉ khi a = b

Đẳng thức bên trái đúng khi và chỉ khi a = 0 ∨ b = 0

2 Dạng cơ bản:

A 0(hay B 0)

A B

⎧

⎩

2

B 0

A B

A B

≥

⎧⎪

= ⇔ ⎨

=

⎪⎩

3 Các dạng khác:

Đặt điều kiện cho 2uA là A ≥ 0, nâng cả hai vế lên lũy thừa tương

ứng để khử căn thức

2u 2u

A.B 0

A B

≥

⎧⎪

= ⇔ ⎨

=

⎪⎩

2u 1 2u 1

A B= ⇔A + =B +

Đặt ẩn dụ để đưa về phương trình hay hệ phương trình đơn giản

+ Mỗi lần bình phương 2 vế, cần đặt các điều kiện:

- Điều kiện có nghĩa của các căn thức

- Điều kiện về dấu của 2 vế

Để bình phương mới tương đương với phương trình cho

II CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1:

Giải phương trình: 2 x2 2 12 4 x 1

x x

− + − = −⎜ + ⎟

(ĐH Ngoại Thương năm 1996) Giải

Điều kiện:

2

2 2

⎧

2

− ≤ ≤ − : thì x < 0 nên ta có:

2

2

x x

− + − < + = < < −⎜ + ⎟

2

2

⎣ ⎦ không là nghiệm của phương trình cho

* 2 x 2 :

2 ≤ ≤ Bình phương 2 vế của phương trình cho:

2

− + − + − ⎜ − ⎟= − ⎜ + ⎟ ⎜+ + ⎟

2

⇔ − ⎜ + ⎟= − ⎜ + ⎟ ⎜+ + ⎟ ⎜+ + ⎟

2

= + ⇒ = + + Điều kiện t 2≥

2 2 2 2

9 2t t 4t 5 (t 2) 9 2t (t 2) 1 (**)

Ta có: 2

2

9 2t 1 (***)

(t 2) 1 1

⎪

⎨

⎪ − + ≥

⎩

(**) và (***) 9 2t22 1 t 2 x 1 2 x 1

x (t 2) 1 1

⎪

⎪⎩

Thay x = 1 vào phương trình cho thỏa vậy x = 1 là nghiệm phương

trình

Ví dụ 2:

Giải phương trình: (2− 3)x+ +(2 3)x=4x

(Học viện công nghệ bưu chính viễn thông năm 1998, đề số 2)

Giải

(2 3) (2 3) 4

2 3 2 3 1 (1)

⇔⎜⎜ ⎟⎟ +⎜⎜ ⎟⎟ =

Nhận xét x = 1 là nghiệm phương trình (1), ta chứng minh x = 1 duy

nhất

4

− < và 2 3 1

4

+ < ⇒ Vế trái là hàm số giảm

Vế phải là hằng số ⇒ x = 1 là nghiệm duy nhất

Ví dụ 3:

Giải phương trình: −x2+4x 2 2x+ =

(ĐH Quốc Gia TPHCM Khối D năm 1999)

Giải

Ta có: −x2+4x 2 2x+ = ⇔ −x2+4x 2x 2= −

x 4x 4x 8x 4 5x 12x 4 0

x 1

2

≥

⎧

⎪

⇔ ⎨ = ∨ = ⇔ =

⎪⎩

Ví dụ 4:

Giải phương trình: x2= x 5 5 (1)+ +

Giải Đặt t= x 5+ ⇒t2= +x 5 Điều kiện x 5

t 0

≥ −

⎧

⎨ ≥

⎩ (1) x22 t 5

t x 5

⎧ = +

⎪

⇔ ⎨

= +

⎪⎩ (hệ đối xứng loại 2)

2 2

(x t)(x t 1) 0

x t t x

⎪

− = −

⎩

2 2

2

x x 5

x t 5 (t 0)

⎡

⎪

= ∨ = − −

2 2

1 21 x

1 17

x x 4 0 (x 1) x

2

=

⎢

⎢

⎢

⎣

Ví dụ 5:

Giải phương trình: x2 4356 x x x2 4356 x2 5

x

Đặt a x2 4356 x

x

= , b= x x2+4356 x− 2 2

2

x(4356)

b x( x 4356 x)

x 4356 x

a b 5

⎪

=

⎩

III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1.1 Giải phương trình: x 2− + 4 x x− = 2−6x 11+

1.2 Giải phương trình: 4x 1− + 4x2− = 1 1

1.3 Giải phương trình: 16 x− + 9 x 7+ =

(ĐH Đà Lạt năm 1999) 1.4 Giải phương trình: (4x 1) x− 2+ =1 2x2+2x 1+

1.5 Giải phương trình: 4x− x2− +1 x+ x2− = 1 2

HƯỚNG DẪN VÀ GIẢI TÓM TẮT

1.1 x 2− + 4 x x− = 2−6x 11+ Vế trái = 1 x 2 1 4 x 2− + − ≤ (BĐT BCS) Vế phải = (x2−6x 9) 2 (x 3)+ + = − 2+ ≥ 2 2

2

x 3 (x 3) 2 2

⎪

⎪⎩

1.2 4x 1− + 4x2− =1 1 (*)Điều kiện 4x 1 02 x 1

2 4x 1 0

− ≥

⎨

− ≥

⎪⎩

Nhận xét x 1

2

= là nghiệm phương trình (*)

Ta chứng minh x 1

2

= là nghiệm duy nhất

Đặt f(x)= 4x 1− + 4x2− − 1 1

2

2

⇒ hàm số f(x) tăng trên 1 ,

2

+∞⎟

⎢⎣ ⎠ và có nghiệm x 1

2

=

⇒ x 1 2

= duy nhất

1.3 16 x− + 9 x 7+ = (*) Điều kiện 16 x 0

9 x 16

9 x 0

− ≥

⎨ + ≥

⎩ (*) ⇔16 x 9 x 2 (16 x)(9 x) 49− + + + − + =

x 0 x(x 7) 0

x 7

=

⎡

⎣ nhận vì thỏa điều kiện − ≤ ≤9 x 16 1.4 (4x 1) x− 2+ =1 2x2+2x 1+ (1)

2 2

(1)⇔(4x 1) x− + =1 2(x + +1) (2x 1)− (2)

2

(4x 1)t 2t (2x 1)

2

2t (4x 1)t 2x 1 0

⇔ − − + − = (Xem phương trình ẩn số t)

1

t 1 (loại)

2

t 2x 1

⎡ = <

⎢

⇔⎢

= −

⎢⎣

2

2

1 2x 1 0 x

2

t 2x 1 x 1 2x 1

x 1 (2x 1)

⎧ − ≥ ⇔ ≥

⎪

⎩

x 0 (loại) 4

x (nhận) 3

=

⎡

⎢

⇔

⎢ =

⎢⎣

1.5 4x− x2− +1 x+ x2− = (*) 1 2

Điều kiện để các biểu thức có nghĩa:

2 2 2

x 1 0

x x 1 0 x 1

⎧ − ≥

⎪

⎨

⎪

⎪⎩

(1)

Nhận xét: (x− x2−1)(x+ x2− = ( x 1)1) 1 ≥ (2)

Đặt 4x x2 1 t x x2 1 12

t

− − = ⇒ + − = (t > 0)

3 2 2

1

t

t 1

1 5 t

2

1 5

t 0 (loại) 2

⎡

⎢ =

⎢ +

⎢

⇔⎢ =

⎢

−

⎢ = <

⎢⎣

2

t 1:

= ⇔

+ − = cộng vế với vế ⇒ = thỏa (1) x 1

t2 1 5 4x x2 1 t2 x x2 1 t42

2

+

2 4 2

1

t

−

2

2

x x 1 t−

⎪

⇒ ⎨

⎩

( 5 2,2360)=

Cộng lại ta được nghiệm : x 1(t42 t )24

= + thỏa mãn (1)