Bài giảng: Hệ một bậc tự do, Khoa xây dựng và cơ học ứng dụng

1. Phương trình vi phân dao động tổng quát 2. Dao động tự do 3. Dao động cưỡng bức do tải điều hòa và tải trọng có chu kỳ 4. Dao động cưỡng bức do tải bất kỳ, tải xung, tải ngắn hạn. 5. Lời giải số cho phản ứng động 6. Hệ một BTD suy rộng2 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (1) 4 o Mục tiêu − Giới thiệu lực đàn hồi và lực cản. − Thiết lập phương trình vi phân chuyển động hệ 1 BTD động học. 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (2) 5 o Các kết cấu đơn giản Tháp nước (tk từ Internet) (tk từ EERC của ĐH Berkely)3 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (3) 6 Kết cấu khung 1 tầng (tk từ Internet) 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (4) 7 Nếu các kết cấu này chịu tác dụng của − Tải trọng ngang tại đỉnh − Hoặc chuyển động ngang của nền do động đất  Có thể được đơn giản hóa thành hệ 1 BTD gồm một khối lượng tập trung m đặt trên 1 kết cấu không có khối lượng có độ cứng k theo phương ngang.4 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (5) 8 m k u(t) u(t) m k sàn cứng u(t) m c k  Bỏ qua co dãn dọc trục của dầm hoặc cột. 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (6) 9 o Lực đàn hồi của hệ u fS fS fS :lực đàn hồi fS u 1 k fS  ku (2.1) k: độ cứng ngang của hệ Lực đàn hồi fS5 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (7) 10 o Ví dụ 1: Tìm độ cứng k của hệ sau EI w L 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (8) 11 o Giải: − Biểu đồ mômen do lực w −Cvị tại điểm đặt lực w: w EI, L wL G − Biểu đồ mômen do lực đvị 1 L 2L3 3 1 1 2 2 3 3 u L wL L EI wL u EI                 −Độ cứng k: 3 w EI 3 k u L  6 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (9) 12 o Ví dụ 2: Tìm độ cứng k của hệ sau u f EIb= S EI H c EIc 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (10) 13 u r11 3 12 c EI H 3 12 c EI H 11 3 24 c EI r H  EI b= EI H c EIc fS fS R1P R f 1P S   11 1 3 3 0 24 0 24 P S S c c r EI k u R EI u f H fu H        Phương trình chính tắc Giải:7 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (11) 14 o Bài tập: Tìm độ cứng k của các hệ 1 BTD sau w EI L k 1. 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (12) 15 2. u fS EI b EI H c EIc L8 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (13) 16 3. u fS EI b = EI H c EIc L

Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng – ĐH SPKT TPHCM

o Mục tiêu

− Giới thiệu lực đàn hồi và lực cản

− Thiết lập phương trình vi phân chuyển động hệ

1 BTD động học

1 Phương trình vi phân dao động tổng quát (2)

o Các kết cấu đơn giản

Kết cấu khung 1 tầng (tk từ Internet)

1 Phương trình vi phân dao động tổng quát (4)

7

Nếu các kết cấu này chịu tác dụng của

− Tải trọng ngang tại đỉnh

− Hoặc chuyển động ngang của nền do động đất

 Có thể được đơn giản hóa thành hệ 1 BTD gồm

một khối lượng tập trung mđặt trên

1 kết cấu không có khối lượng có độ cứng k theo

phương ngang

c k

o Ví dụ 1: Tìm độ cứng k của hệ sau

w EI

024

024

u R EI

u f H

1 Phương trình vi phân dao động tổng quát (14)

 Phần lớn các tiêu tán năng lượng trong hệ 1 BTD

có thể được thay bằng lực cản nhớt tương đương

1 Phương trình vi phân dao động tổng quát (18)

o Phương trình dao động tổng quát của hệ

u(t) m

c k

p(t)

Tổng các lực theo phương ngang p  fS  fD

Theo định luật 2 Newton

Cân bằng lực theo phương ngang

Vậy, phương trình vi phân dao động

 

mu   cu   ku  p t

t t



1 Phương trình vi phân dao động tổng quát (26)

Thay các giá trị biến phân của động năng, thế năng

và công các lực không bảo toàn vào biểu thức trên

t t

mu udt   mu u   mu udt 

Ta có

t

t t t

0

t t

p(t)

không ma sát

u(t)

k

o Mục tiêu

− Tìm chuyển động của dao động tự do 1 BTD

− Khái niệm tần số góc tự nhiên, chu kỳ tự nhiên, và

tần số tự nhiên của dao động

2 Dao động tự do (2)

o Phương trình vi phân chuyển động

− P/t vi phân chuyển động tổng quát của hệ 1 BTD

 

− Nếu hệ 1BTD dao động tự do thì p(t) = 0

− Nếu hệ 1BTD không xét đến lực cản thì c = 0

o Điều kiện ban đầu

− Hệ dao động tự do được khởi tạo bằng cách đưa

hệ ra khỏi vị trí cân bằng, tức là áp đặt một giá trị

chuyển vị và vận tốc tại thời điểm t = 0,

o Nghiệm của phương trình chuyển động (2.5)

− P/t đặc trưng của p/t vi phân tuyến tính, thuần nhất

bậc 2

2

0

k s

 

− Thời gian để 1 hệ không cản hoàn tất 1 chu kỳ dao

động tự do gọi là chu kỳ tự nhiên của dao động T n

n

f T

0 0

0

n

u u

0

0 0

− Chu kỳ tự nhiên của dao động T n

2 3 3

624

n

mH T

EI EI

EI f

T  mH

o Nghiệm của phương trình chuyển động (2.9)

− P/t đặc trưng của p/t vi phân tuyến tính, thuần nhất

− Trong thực tế, hệ cản tới hạn/ cản nhiều rất ít tồn

tại trong thực tế vì thường  <0,5

 Do đó, các nghiên cứu về hệ cản tới hạn hoặc hệ

cản nhiều không thực sự cần thiết

− Nghiệm của pt (2.9a) có dạng

2 ln

1

i i

u u

o Ví dụ 3:

Xác định tần số dao động và tỉ số cản của hệ 1 BTD

từ kết quả đo giá trị gia tốc tại đỉnh như sau

Đỉnh T/gian (giây) Gia tốc đỉnh (g)

o Mục tiêu

− Tìm chuyển động của dao động hệ 1 BTD không

hoặc cản ít chịu tác động của lực điều hòa

− Hiện tượng cộng hưởng

o Dao động điều hòa của hệ không cản

− P/t vi phân chuyển động của hệ 1 BTD không cản

do lực kích thích điều hòa p0sin(t)

− Điều kiện ban đầu

− Nghiệm riêng của pt (2.16a) có dạng

Đồng nhất hóa 2 vế của pt trên, ta tìm được C

Thay u p (t) vào pt (2.16a), ta được

3a Dao động cưỡng bức do tải trọng điều hòa (6)

− Hằng số A và B được xác định từ đk ban đầu

(2.16b) Vậy nghiệm của pt (2.16)

− Nếu bỏ qua ảnh hưởng động đặc trưng bởi gia tốc

trong pt (2.16a), ta có chuyển vị tĩnh của dao động

k



u R

Nếu  = n nghiệm riêng của pt (2.16a) có dạng

o Hiện tượng cộng hưởng

− Đối với dao động cưỡng bức điều hòa không cản

D/đ cộng hưởng của hệ không cản; u 0 =0; 0u 0

3a Dao động cưỡng bức do tải trọng điều hòa (16)

79

o Dao động điều hòa của hệ có cản

− P/t vi phân chuyển động của hệ 1 BTD có cản

do lực kích thích điều hòa p0sin(t)

− Điều kiện ban đầu

3a Dao động cưỡng bức do tải trọng điều hòa (18)

− Nghiệm tổng quát của pt thuần nhất (2.19a) (đk vế

phải bằng 0) khi cản ít (xem pt (2.10) mục 3)

u t  e   A  t  B  t  

− Vậy, nghiệm tổng quát của pt (2.19a)

Trong đó, A, Bxác định từ điều kiện ban đầu (2.19b)

o Ví dụ 4:

Tìm và vẽ chuyển vị của hệ 1 BTD cản ít dưới tác

động của lực điều hòa p0sin(t) với điều kiện ban đầu

3a Dao động cưỡng bức do tải trọng điều hòa (22)

− Pt chuyển động có thể viết lại

− Khi cộng hưởng xảy ra  = n, từ (2.20) ta có

o Hiện tượng cộng hưởng

st

u A

n n

− Hàm p(t) được gọi là hàm có chu kỳ với thời gian

T0 nếu hàm p(t) thỏa điều kiện sau

Với

3b Dao động cưỡng bức do tải trọng có chu kỳ (3)

o Biểu diễn chuỗi Fourier cho hàm có chu kỳ

− Dùng chuỗi Fourier, tải trọng có chu kỳ được tách

thành các thành phần điều hòa như sau

− Phương trình vi phân chuyển động

− Do tải trọng có chu kỳ diễn ra trong thời gian dài,

nên chúng ta chỉ quan tâm đến trạng thái ổn định

− Phản ứng của dao động do tải trọng aj cos(j0t)

Phản ứng ổn định của dao động do aj cos(j0t)

− Phản ứng của dao động do tải trọng bj sin(j0t)

Phản ứng ổn định của dao động do bj sin(j0t)

Tìm phương trình chuyển động ở trạng thái ổn định

của hệ 1 BTD cản ít chịu tác dụng của lực kích thích

− Lực xung là lực rất lớn tác dụng trong thời gian rất

ngắn, thường không quá 25% chu kỳ dao động

riêng của kết cấu

o Phản ứng của dao động do lực xung

− Do lực xung tác dụng trong thời gian rất ngắn nên

trên hệ không tồn tại sự có mặt của tải trọng động

 Hệ dao động tự do với vận tốc ban đầu do lực

xung truyền cho hệ

− Trước thời điểm có lực xung tác dụng t =  thì hệ

đứng yên, tức là chuyển vị ban đầu

u  

4a Dao động cưỡng bức do tác dụng xung (4)

103

− Tìm vận tốc ban đầu do lực xung truyền vào hệ

Theo định luật 2 của Newton, nếu lực p(t) tác động

vào vật có khối lượng m thì

Do tải xung diễn ra trong thời gian rất ngắn nên lò xo

và giảm chấn không kịp phản ứng, tức là không ảnh

hưởng đến vận tốc ban đầu do lực xung truyền vào

Vậy một lực xung S tác động vào khối lượng m tại

thời điểm t =  thì m có vận tốc ban đầu

 Phản ứng của hệ 1 BTD do tác dụng xung tương

đương phản ứng dao động tự do với đk ban đầu

dạng hình sin, và dạng tam giác.

− Xác định hệ số động chuyển vị của dao động

cưỡng bức do tác dụng ngắn hạn

4b Dao động cưỡng bức do tác dụng ngắn hạn (2)

107

o Lực kích thích tác dụng ngắn hạn

− Tải trọng ngắn hạn là tải trọng tác động lên kết cấu

trong thời gian ngắn nhưng thời gian tác động lớn

hơn 25% chu kỳ dao động tự nhiên

 Phản ứng của hệ không đạt được đến trạng thái

ổn định

− Do phản ứng của hệ đạt tới trạng thái cực đại

trong thời gian rất ngắn trước khi lực tắt dần có

thể hấp thu năng lượng nên lực cản ít ảnh hưởng

đến phản ứng của tác dụng ngắn hạn

− Cách 3: Biểu diễn tải ngắn hạn thành 2 hoặc nhiều

tải trọng đơn giản hơn đã biết lời giải

 Ở đây, dùng cách giải trực tiếp ptvp chuyển động

− GĐ2: Sau khi lực ngắn hạn kết thúc tại thời điểm

t d, hệ dao động tự do với điều kiện ban đầu

  d d  st 0 nsin  n d 

u t   u t   t  u   t

− GĐ1: Hệ dao động cưỡng bức với lực p0sint

với  = / t d (xem công thức (2.17))

− GĐ2: Sau khi lực ngắn hạn kết thúc tại thời điểm

t d, hệ dao động tự do với điều kiện ban đầu

u t   t  u t 

− GĐ1: Hệ dao động cưỡng bức với lực p0sint

với  = / t d (xem công thức (2.18))

− GĐ2: Sau khi lực ngắn hạn kết thúc tại thời điểm

t d, hệ dao động tự do với điều kiện ban đầu

u t   t  u t 

− GĐ2: Sau khi lực ngắn hạn kết thúc tại thời điểm

t d, hệ dao động tự do với điều kiện ban đầu

o Phản ứng của dao động do lực tác dụng bất kỳ

− Phương trình vi phân chuyển động

− Điều kiện ban đầu

− Vậy nghiệm riêng của phương trình (2.41a), còn

gọi là tích phân Duhamel

− Nghiệm tổng quát của pt thuần nhất của (2.41a):

− Tìm A và B từ điều kiện ban đầu (2.41b) Vậy,

chuyển vị của hệ 1 BTD cản ít do tải bất kỳ

D t

t

D D

 Tích phân Duhamel trong biểu thức trên có thể

tính trực tiếp nếu hàm p() đơn giản Nếu p() phức

tạp thì có thể dùng pp tích phân số như pp Simpson

o Ví dụ 6:

Dùng tích phân Duhamel, tìm và vẽ chuyển động của

ptvp hệ 1 BTD không cản dưới tác động của các

loại tải trọng sau:

− Trình bày phương pháp số theo bước thời gian

(numerical time-stepping method) để giải phương

trình vi phân chuyển động

− Bước thời gian   ti ti1 ti (2.5.3)

− Giả sử biết được ứng xử của hệ tại thời điểm t i :

thỏa ptvp (2.5.1) , ,

5 Lời giải số cho phản ứng động (5)

− Điều kiện ban đầu đã biết tại thời điểm t0 cung

cấp đủ thông tin cần thiết để bắt đầu pp số

− Lời giải ptvp (2.5.1) trong khoảng thời gian ti

thường không phải là lời giải chính xác Nhiều pp

xấp xỉ khác nhau được dùng để tính toán số

− Ba yêu cầu quan trọng cho một pp số:

 Hội tụ (convergence): khi bước thời gian giảm,

lời giải số tiến đến lời giải chính xác

 Ổn định (stability): lời giải không ảnh hưởng bởi

sai số làm tròn

 Chính xác (accuracy): kết quả gần với lời giải

 PP dựa trên xấp xỉ gia tốc (pp Newmark).

5 Lời giải số cho phản ứng động (7)

135

o Phương pháp dựa trên xấp xỉ lực kích thích

− Bằng cách xấp xỉ lực kích thích trong mỗi bước

thời gian và dùng các pp đã trình bày để tìm lời

giải, pp này có thể dùng để giải hệ tuyến tính

1 Dao động tự do với điều kiện ban đầu tại t i.

2 Dao động cưỡng bức do lực hằng số p i và điều

kiện ban đầu bằng 0

3 Dao động cưỡng bức do lực và điều

kiện ban đầu bằng 0

i i

p

t 





5 Lời giải số cho phản ứng động (9)

− Từ lời giải đã biết của các dao động nêu trên, ta

n t

D D

'

2 sin 1

o Phương pháp sai phân trung tâm

(central difference method)

− PP này dựa trên xấp xỉ sai phân hữu hạn của vận

tốc và gia tốc

− Chọn bước thời gian không đổi , biểu thức

sai phân trung của vận tốc và gia tốc tại thời điểm i

p u

k

(2.5.13)(2.5.14)

5 Lời giải số cho phản ứng động (13)

− Lời giải u i+1 tại thời điểm t i+1 được xác định từ

điều kiện cân bằng động học tại thời điểm t i mà

không cần điều kiện cân bằng động học tại thời

điểm t i+1 PP này được gọi là pp hiện (explicit

method)

− Để xác định lời giải u1 tại thời điểm t1 (theo 2.5.15)

cần biết u0 và u-1 Trong đó, u0 là điều kiện ban

đầu đã biết Và u-1 được xác định từ (2.5.9) với i=0

o Phương pháp Newmark (Newmark’s method)

− Năm 1959, N.M Newmark phát triển 1 họ các pp

bước thời gian dựa vào các pt sau:

Trong đó, và  định nghĩa sự biến đổi của gia tốc

theo thời gian và xác định độ ổn định và chính xác

của pp

(2.5.20b)

− Thông thường chọn  = 1/2 và 1/6   1/4

tại thời điểm t i+1 từ các giá trị đã biết bằng

phương pháp lặp vì đại lượng chưa biết xuất hiện

− Để không phải tính lặp khi xác định

ta thiết lập công thức độ gia tăng như sau Đặt1 1 1

− Trong pp Newmark, lời giải tại thời điểm t i+1 được

xác định từ pt cân bằng (2.5.5) tại thời điểm t i+1

nên được gọi là pp ẩn (implicit method)

Tóm tắt pp Newmark cho hệ tuyến tính

1 Tính các giá trị ban đầu

 2

1 ˆ

5 Lời giải số cho phản ứng động (21)

2 Tính các giá trị tại bước i

      

1 2

i i

p u

PP trung bình gia tốc (PP Newmark: =1/2; =1/4)

− Giả sử biến thiên của gia tốc trong 1 bước thời

o PP gia tốc tuyến tính (PP Newmark: =1/2; =1/6)

− Giả sử biến thiên của gia tốc trong 1 bước thời

o Ổn định của lời giải số

− Các pp số tiếp cận lời giải chính xác nếu bước

thời gian nhỏ hơn một giới hạn ổn định được gọi

là pp số ổn định có điều kiện (conditionally stable)

− Ngược lại, các pp số tiếp cận lời giải chính xác bất

chấp bước thời gian được gọi là pp số ổn định

không có điều kiện (unconditionally stable)

− PP trung bình gia tốc là ổn định không điều kiện

− PP gia tốc tuyến tính là ổn định nếu t/Tn < 0,551

− PP sai phân trung tâm là ổn định nếu t/Tn< 1/

5 Lời giải số cho phản ứng động (25)

o Phương pháp Newmark cho ứng xử phi tuyến

− Pt cân bằng phi tuyến ở dạng gia tăng

bài toán phi tuyến.

− Tuy nhiên, nếu áp dụng pp Newmark với bước

thời gian không đổi sẽ dẫn đến sai số không chấp

nhận được Sai số này do 2 nguyên nhân chính:

 Độ cứng tiếp tuyến (k i)Tđược dùng thay cho

độ cứng cát tuyến (k i)sec

 Dùng bước thời gian không đổi dẫn đến không

phát hiện được các điểm chuyển tiếp trong

quan hệ lực – biến dạng

5 Lời giải số cho phản ứng động (27)

155

− Để giảm sai số, ta phải dùng pp lặp trong mỗi

bước thời gian

o Tóm tắt giải thuật Newton-Raphson hiệu chỉnh

1 Tính các giá trị ban đầu

3 Lặp lại bước 2 với j = j+1 cho đến khi hội tụ.

5 Lời giải số cho phản ứng động (29)

o Tóm tắt pp Newmark cho hệ phi tuyến

1 Tính các giá trị ban đầu

iu

− Hệ 1 BTD suy rộng là hệ có chuyển vị tại tất cả

các vị trí được xác định bởi tọa độ suy rộng z(t)

thông qua hàm dạng (x):

(2.5.45)

u x t   x z t

rộng, cản suy rộng, độ cứng suy rộng và lực suy rộngm c k p t   , , ,    

− Pt chuyển động của hệ 1 BTD suy rộng (2.5.46)

tương tự như pt chuyển động của hệ 1 BTD Do