Nghiên cứu trường trọng lực bình thường của trái đất ở gần đúng bậc hai bằng phương pháp thế

Xác định mạng lưới giá trị trường trọng lực bình thường của Trái đất mô hình được xem như là các lớp đồng nhất hoặc bất đồng nhất chồng chất lên nhau.. Giá trị trường trọng lực bình thườ

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHÁP THẾ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

vệ tinh – vệ tinh phương ngang được áp dụng để xây dựng mạng lưới giá trị trường trọng lực bình thường của Trái đất khắp toàn cầu

Xác định mạng lưới giá trị trường trọng lực bình thường của Trái đất mô hình được xem như là các lớp đồng nhất hoặc bất đồng nhất chồng chất lên nhau Giá trị trường trọng lực bình thường ở gần đúng bậc một đã được nhiều nước trên thế giới nghiên cứu và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực đặc biệt là trong các ngành khoa học về Trái Đất Tuy nhiên để tăng độ chính xác giá trị trọng lực thì trường trọng lực ở gần đúng bậc hai đang được nghiên cứu ở một số quốc gia

Là một sinh viên nghành Vật lý ngoài những kiến thức bổ ích mà em đã được các thầy, cô truyền đạt khi còn ngồi trên ghế nhà trường, em còn muốn tìm hiểu và trang bị thêm cho mình những kiến thức Vật lý liên quan đến nhiều lĩnh vực mới, tiếp cận với những thành tựu mới của khoa học và công nghệ hiện đại… Đó là

lí do em chọn đề tài “ Nghiên cứu trường trọng lực bình thường của Trái đất ở

gần đúng bậc hai bằng phương pháp thế” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn tốt

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng : Trường trọng lực bình thường ở gần đúng bậc hai

Phạm vi nghiên cứu : Thế của trọng lực, xác định bán kính geoid ở bậc một

và bậc hai dưới dạng chuỗi hàm cầu, xác định thế bình thường từ một công thức trọng lực bình thường

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Thiết lập được công thức bán kính geoid ở gần đúng bậc một và bậc hai Xây dựng được công thức trường trọng lực và thế trọng lực bình thường dưới dạng chuỗi hàm cầu, đồng thời xác định được thế trọng lực bình thường từ một công thức trọng lực bình thường

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp thế

Nghiên cứu lí thuyết

6 Những đóng góp của luận văn

Đối với các nước đang sử dụng công thức trọng lực bình thường cổ điển như nước ta đang sử dụng công thức Helmert, thì công thức thế bình thường đồng bộ với công thức trọng lực bình thường cổ điển, cho không gian ngoài và trên bề mặt của spheoid là một đóng góp thiết thực cho việc tính độ lệch dây dọi hoặc độ cao geoid bằng dị thường

Tìm ra công thức trường trọng lực bình thường ở gần đúng bậc hai qua đó xây dựng mạng lưới giá trị trường trọng lực bình thường của Trái đất trên toàn cầu

để áp dụng tính dị thường trên Trái Đất ứng dụng trong thăm dò địa vật lí và tìm tài nguyên khoáng sản cũng như nghiên cứu về cấu tạo trong lòng đất…

7 Cấu trúc của luận văn

A – Mở đầu

B- Nội dung

Chương I – Tổng quan về trường trọng lực Trái đất

Chương II – Thế của trọng lực biểu diễn dưới dạng chuỗi hàm cầu

Chương III – Phương trình bán kính của mặt Geoid ở gần đúng bậc một và bậc hai biễu diễn dưới dạng chuỗi hàm cầu

Chương IV – Xác định thế bình thường và các tham số từ một công thức trọng lực bình thường

C – Kết luận

Tài liệu tham khảo

B – NỘI DUNG CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ TRƯỜNG TRỌNG LỰC TRÁI ĐẤT 1.1 Cơ sở lý thuyết về trường trọng lực Trái đất và thế của nó

Trọng lực 𝑃⃗ tại mỗi điểm ở trên mặt đất là tổng hợp của:

+ Lực hấp dẫn Newton 𝐹 do khối lượng của trái đất gây nên 𝐹 hướng về tâm Trái đất và có độ lớn thay đổi theo độ dẹt α, trung bình 981 Gal

+ Lực ly tâm 𝐿⃗ hướng từ M’ đến M thẳng góc với trục quay Bắc – Nam của Trái đất Đại lượng này không phụ thuộc vào thời gian mà chỉ phụ thuộc vào vĩ độ

Lực hấp dẫn của các vật thể trong vũ trụ ngoài Trái đất, chủ yếu là Mặt Trăng và Mặt Trời, các hành tinh trong hệ mặt trời, bề dày lớp khí quyển v v Số hạng này thay đổi theo thời gian và rất nhỏ khoảng 1

10 mGal (có thể bỏ qua) gọi là nhiễu của trường trọng lực, đây là hiện tượng gây nên hiện tượng thủy triều mà chúng ta thường thấy

Trọng lực hiểu theo nghĩa rộng gồm: Trọng lực, thế của trọng lực và đạo hàm các bậc thế của trọng lực theo vị trí điểm quan sát

1.2 Lực hấp dẫn Newton và thế của nó

Theo định luật Vạn vật hấp dẫn Newton, hai chất điểm có khối lượng m1 và

m2 ở cách nhau một khoảng r, hút nhau với một lực có trị số :

F= Gm1m2

r2 (1.2) Trong đó :

- m1, m2là khối lượng của hai chất điểm đặt cách nhau một khoảng r

- G = (6,673±0,003)10−11 m3

kg.s2 : là hằng số hấp dẫn

Trường hợp tương tác giữa Trái đất và một chất điểm khối lượng đơn vị

m1 = 1(đvkl) đặt tại vị trí quan sát P, ta chia Trái đất thành nhiều khối lượng vi phân dm

Chọn hệ trục tọa độ x,y,z gắn chặt với Trái đất Chọn gốc tại khối tâm Trái đất, mặt phẳng tọa độ xoy chọn trùng với mặt phẳng xích đạo của Trái đất, chọn trục oz trùng với trục quay của Trái đất

Gọi: ( x,y,z ) là tọa độ của điểm P, còn ( ξ,η,ζ ) là tọa độ của điểm M

r =MP: Khoảng cách từ khối lượng vi phân dm tại điểm M đến khối lượng đơn vị m1 tại điểm P Vector r =MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , dấu trừ thể hiện dF⃗⃗⃗⃗ ngược chiều với r

Lực tương tác giữa một khối lượng dm và m1 theo định luật Newton (1.2) là:

r, => |F| = G ∫ dm

r 2 Ω Trong đó: r =√(x − ξ)2+ (y − η)2+ (z − ζ)2

Vector 𝑟 ngược chiều với lực vi phân dF⃗⃗⃗⃗ (hướng về phía dm) do đó các cosin chỉ hướng của hai vector dF⃗⃗⃗⃗ và r có dấu trái nhau

Thành phần của lực hấp dẫn của toàn bộ Trái Đất có thể tích Ω tác dụng lên một đơn vị khối lượng đặt tại P:

Từ hình 1.3 các thành phần hình chiếu của vector L⃗ trên các trục tọa độ:

gx = ∂W

∂x ; gy = ∂W

∂y ; gz = ∂W

∂z (1.17) Hay: g⃗ = ∂W

∂x i + ∂W

∂y j + ∂W

∂z k (1.18)

CHƯƠNG II: THẾ CỦA TRỌNG LỰC BIỂU DIỄN THEO CHUỖI HÀM

∂2U

∂φ 2 = 0 , (2.1) trong đó U = U(r, θ, φ)

Dùng phương pháp tách biến đặt:

U(r, θ, φ) = R(r)Y(θ, φ) (2.2) Thay (2.1) vào phương trình (2.2) ta có:

1 R(r)

∂

∂r(r2 ∂R(r)

∂r ) = λ1

1 R(r)

r2R” + 2rR’- λR = 0 (2.5) Nghiệm của hàm R có dạng

R(r) = Anrn + Bn

rn+1, trong đó n thỏa mãn phương trình: λ=n(n+1)

Xét bài toán ngoài, do n nguyên, An = 0

Suy ra: R= Bn

r n+1Phương trình cho Y có dạng:

Hàm Y thỏa mãn điều kiện:

{ Y(θ, φ) = Y(θ, φ + 2π)

|Y(0, φ)| < ∞, |Y(π, φ)| < ∞ (2.7)

Nghiệm của phương trình Laplace có dạng:

Phương trình trên còn gọi là phương trình xác định hàm cầu Để giải phương

trình hàm cầu ta sử dụng phương pháp tách biến một lần nữa:

Ta đặt:

Yn(θ, φ) = Pn(θ).Ln(φ) (2.9) Thay (2.9) vào phương trình (2.8) ta có:

Lnsinθ

1

Pn

1 sinθ

d2Ln

dφ 2 + n(n + 1) = 0 Chọn:

1sinθ

d

dθ(sinθdPn

dθ) + [n(n + 1) − m2

sin 2 θ]Pn = 0 (2.12) Đặt: x = cosθ => dx = - sinθdθ phương trình (2.12) được đổi sang biến mới:

(2.12) d

dx[(1 − x2)dP

1−x 2] P =0 (2.13)

Đây là phương trình xác định đa thức Lengendre liên kết Nghiệm của

phương trình này là:

P = Pnm(x) = (1 − x2)m2 dmPn(x)

dx m , m < n (2.14) Hay P = Pnm(cosθ) = (sinθ)m dmPn (cosθ)

Ví dụ:

P0(x) = 1

P1(x) = x = cosθ

2.2 Thế hấp dẫn và thế ly tâm biễu diễn dưới dạng hàm cầu

Thế trọng lực của Trái Đất, theo định nghĩa:

2

1r

dGz)y,W(x,    2 x2 y2







(2.17) Đây là biểu thức chính xác của thế trọng lực Trái Đất Trong thực nghiệm chúng ta không sử dụng công thức này, vì không biết sự phân bố của đất đá trong Trái Đất (tức không biết được δ(x,y,z)) và không biết được hình dạng chính xác của Trái Đất (tức không biết được Ω) Nhưng ta có thể nhận được dạng gần đúng của nó bằng cách biểu diễn (2.17) thành chuỗi các hàm cầu Các hệ số của chuỗi này được xác định từ thực nghiệm

Muốn vậy, ta khai triển 1

r trong (2.17) thành chuỗi các hàm cầu Để đơn

giản ta xét vòng tròn xích đạo của Trái Đất, như Hình 2.1 Trong đó M ( ξ,η,ζ ) là

điểm chạy trên Trái Đất, P ( x,y,z ), là điểm quan sát, Ψ là góc hợp giữa vectơ 1và

, gốc tọa độ O đặt ở tâm Trái Đất

2 1

1cos2

1

11

1)

)0(

!2)0(

!1)0()

T T

T      

(2.20) Bây giờ ta tính:

cos3cos5

!2

1cos3cos

1)(

3 3 2

(cos1

)(   P1   2P2  

Hoặc:

)()

n

n n



n n n n

dx

d n x

P

!2

1)()(cos   2  là đa thức Legendre Cuối cùng ta viết lại (2.18) dưới dạng chuỗi các hàm cầu, như sau :

)(cos1

Giống như chuỗi MacLaurin, chuỗi (2.22) hội tụ với bán kính 1  , do đó

ta chỉ sử dụng công thức này khi quan sát ở không gian ngoài

Theo Hình 2.1 Nếu vẽ quả cầu S có bán kính , thì Trái Đất sẽ nằm gọn

trong quả cầu đó theo Hình 2.3

Khi điểm quan sát nằm trong Trái Đất, thì quả cầu bán kính  sẽ cắt Trái

Đất, ta chia Trái Đất làm 3 phần, như Hình 2.4:

+ Phần nằm ngoài quả cầu có 1  là khối lượng “dư”

+ Phần nằm trong quả cầu 1  , có dạng hình cầu

+ Phần nằm trong lớp cầu mỏng có độ dày dlà mặt cầu S

- Thế của phần nằm trong lớp cầu ta có thể sử dụng chuỗi (2.22 )

- Thế của phần nằm ngoài lớp cầu, khi đó  1nên ta thay bằng

)(cos1

Chuỗi ( 2.23 ) hội tụ với bán kính 1 như Hình 2.4 Còn thế do lớp cầu,

khi cho d 0thì thế hấp dẫn của lớp này sẽ không đáng kể

Như vậy thế hấp dẫn của Trái Đất đối với điểm quan sát ở bên trong thể tích

thì do phần bên trong và bên ngoài lớp cầu gây ra, lúc đó chuỗi (2.22) và (2.23)

được sử dụng Còn quan sát ở không gian ngoài Trái Đất thì chuỗi (2.22) được sử

Mặt khác ta biết đa thức Legendre quan hệ với hàm liên kết Legendre qua

biểu thức sau, gọi là công thức cộng hàm cầu

cos( )cos( ) sin( )sin( ) (sin ) (sin ))!

(

)!

(2)(sin)(sin

n

m n

m n P

(2.22) vào (2.17), thực hiện vài phép biến đổi ta thu được biểu thức chính xác cho

thế của trọng lực dưới dạng chuỗi các hàm cầu phụ thuộc kinh, vĩ độ quan sát và 

1 1

0

1

1

1 1

1 0

1

cos 2

1 ) sin(

) (sin ) sin(

) (sin )!

(

)!

( 2 G

) cos(

) (sin ) cos(

) (sin )!

(

)!

( 2 ) (sin ) (sin G

m P

m n

m n

d m P

m P

m n

m n P

P

n

m

nm nm

n n

Ω

1 n n 1 nm

1 Ω

1 n n 1 1 nm

Ω

n

1 m 1

n n 1 n

1 n

cos ρ ω 2

1 )dΩ sin(mλ ) (sin P ρ ) )sin(m (sin P m)!

(n

m)!

(n 2

ρ

1

G

)dΩ cos(mλ ) (sin P ρ ) )cos(m (sin

P m)!

(n

m)!

(n 2 )dΩ (sin P ρ ) (sin P ρ

1 G

MR m n

m n

1 1

m n

1 1

Với:

- M, R: Là khối lượng và bán kính xích đạo trung bình của Trái Đất

- Thể tích vi phân d12cos1d1d1d1, theo Hình 2.6

- C n0,C nm,S nm là các hằng số Stokes

Các hằng số Stokes không phụ thuộc vào tọa độ điểm quan sát mà chỉ phụ

thuộc vào mật độ đất đá  và thể tích  của Trái Đất và là những đại lượng không

thứ nguyên Chúng ta không thể xác định được chúng bằng các tích phân trên vì

không biết σ (mật độ) và Ω (thể tích) Do đó các hằng số Stokes được xác định bằng

sin(

)cos(

1

GM),,

2 2

m

nm nm

Số hạng thứ hai vế phải của biểu thức (2.28) là thế ly tâm được biễu diễn qua đa

thức Legendre P2(sinφ) trong tọa độ cầu như Hình 2.5

Thật vậy, ta có quan hệ giữa toạ độ vuông góc và toạ độ cầu theo

12

33

cos2

12

3)(sin)

P , vì P no(sin)P n(sin) Cho nên:

  1 (sin )

32

1

2

2 2 2 2

 x y  P (2.30) Nếu ký hiệu:

GM

R q

3 2



 (2.31) Thì thế ly tâm được viết lại như sau:

3

sin12

11

GM P

R q

1)(sin)

sin(

)cos(

m S

m C

R

n n

m

nm nm

nm n

(2.33)

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH BÁN KÍNH CỦA MẶT GEOID Ở GẦN ĐÚNG BẬC MỘT VÀ BẬC HAI BIỄU DIỄN DƯỚI DẠNG CHUỖI HÀM

CẦU

3.1 Khái niệm về mặt đẳng thế và mặt Geoid

Nếu buộc hàm thế (2.33) bằng một hằng số bất kỳ C, thì ta có phương trình

của mặt đẳng thế:

Cho C những giá trị khác nhau C1,C2,C3, ta sẽ nhận được một họ các mặt

đẳng thế khác nhau của trọng lực Các mặt đẳng thế này không cắt nhau.Trọng lực bao giờ cũng hướng vuông góc với mặt đẳng thế, tức là có cùng phương với pháp tuyến ngoài n

của mặt đẳng thế, nhưng ngược chiều

Do đó, trọng lực có giá trị bằng đạo hàm của thế W theo phương pháp tuyến

n

,

n

W g







 (3.2) Dấu trừ cho thấy trọng lực ngược hướng với pháp tuyến ngoài của mặt đẳng thế và trục chiều cao h hướng từ mặt đất lên Ta thấy khoảng cách n giữa hai mặt đẳng thế trong (3.2) thay đổi tỷ lệ nghịch với gia tốc trọng trường g Giá trị g đạt

lớn nhất ở cực Bắc và cực Nam của Trái Đất, do vậy ở đó khoảng cách giữa hai mặt

đẳng thế là nhỏ nhất, các mặt phân bố gần nhau Mặt đẳng thế có hình dạng rất phức

tạp

Chúng ta có thể tìm được một hằng số C0 nào đó, sao cho mặt đẳng thế xác

định tương ứng trùng với mặt đại dương, thì mặt đẳng thế trùng với mặt đại dương

được gọi là Geoid Geoid trùng với mặt đại dương không có sóng, dòng chảy và kéo

dài liên tục vào trong lục địa, đó là một mặt kín có dạng hình học rất phức tạp chứ

không đơn giản như ellipsoid, yếu tố đó do sự bất đồng nhất của cấu trúc bên trong

Trái Đất và địa hình phức tạp của bề mặt Trái Đất gây nên Geoid được xác định

qua thế của nó hoặc qua dị thường trọng lực Bài toán xác định mặt geiod, chính là

nhiệm vụ xác định bề mặt Trái Đất trong công tác trắc địa toàn cầu (hay trắc địa cao

cấp) Tuy nhiên, việc giải bài toán trên mặt geoid khác phức tạp, do hình dạng phức

tạp của nó Nên trong trắc địa cao cấp, người ta còn xem Trái Đất là một ellipsoid

đều đặn, và chọn mặt ellipsoid làm mặt chuẩn để giải các bài toán trắc địa Trái Đất

có dạng hình học đơn giản như vậy gọi là Trái Đất bình thường, khái niệm geoid

được nhà vật lý người Đức tên Listing đưa ra năm 1873

Phương trình của geoid có dạng:

0),,

W    (3.3) Những tọa độ ,,thoả mãn (3.3) là các tọa độ của những điểm nằm trên mặt

geiod Xét một điểm P(i,i,i) nằm trên mặt geiod Thay các tọa độ này vào (3.3)

và dùng (2.33), ta có:

2 2

2 0

)(sin1

3)(sin)

sin(

)cos(

GM

i n

n

m

i nm i nm

i nm

n

i i

là một hằng số Do đó, ta tìm được hằng số C0 W0_thế trọng lực của điểm nằm

trên mặt geoid Tương tự, ta thay tọa độ của nhiều điểm nằm trên mặt biển (hoặc tọa

các điểm đã quy về mặt biển) vào (3.4), ta sẽ xác định được nhiều giá trị W0, sau đó

lấy trung bình Giá trị trung bình W0 của các tọa độ đã quy về mặt geoid của 13 trạm

quan sát vệ tinh bằng:

2 0

)(sin1

3)(sin)sin(

)cos(

GM

i n

n

m

i nm i nm i nm

n

i i

2

13

20 2

2

sin122

1sin2

Để xác định C0 của mặt này, ta thay tọa độ của một điểm trên mặt đại dương,

chẳng hạn: thay(  0 ,  0 , R) vào (3.7) và dùng (2.31), ta thu được biểu thức:

2

12

Thay vào (3.8) ta được:

1 2

1 sin 2

R

GM

2

12

q C

R

R

2

121

sin12

12

1sin2

31

20

2 2

20 2 2

!2

)1(

!11

2 20

2

12

11sin

12

12

1sin

2

31

11sin

12

12

1sin

20 2

20

20

2 20 2 2 20 20 2 20

2 20

sin444

sin4

32

sin4

44

sin4

32

sin222

sin2

31

q q C

q qC

q C

q

C q C C

C q

q C C

R (3.12)

Chỉ giữ lại các số hạng bậc nhất theo q,C20, ta được:

   2

20 sin3

2

1

R   (3.13) Biểu thức (3.13) là phương trình bán kính Geoid ở gần đúng bậc một gọi là

phương trình gần đúng ellipsoid hay spheoid

Sử dụng:

2

1sin

3

23

3

1

1 C20 q P20R



(3.14)

3.3 Phương trình bán kính Geoid ở gần đúng bậc hai

Ta xét với n=4 thay vào chuỗi (3.6) Ta giữ lại trong chuỗi (3.6) hai thành

4 20 20 2

2

C P P

C

R P C R GM

15sin

3sin4

15sin

8

352

1sin2

3

2 2 2

4 40

4

4 2

20 2

2

C C

R C

Để xác định C0' của mặt này, ta thay tọa độ của một điểm trên mặt đại

dương, chẳng hạn: thay(  0 ,  0 ,  R) vào (3.16) và dùng (2.31), ta thu được

biểu thức:

'

2

18

32

C

R C

R

GM

2

1 8

3 2 1 sin

1 2

1 8

3 sin 4

15 sin 8

35 2

1 sin 2

3

40 4

4 2

C

q C

R C

R

R

2

18

321

sin12

18

3sin4

15sin

8

352

1sin2

31

40 20

2 2

4 40

4

4 2

20 2

)1(

!11

2 4

40 2

20

2

18

32

11sin12

18

3sin4

15sin

8

352

1sin