Nghiên cứu lý thuyết quá trình tạo trạng thái nén bớt photon hai mode

Được sự phân công và hướng dẫn của Thạc sĩ Nguyễn Thị Xuân Hoài, dưới sự đồng ý của Khoa Vật lý Trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng, tôi đã thực hiện đề tài “Nghiên cứu lý thuyết quá trình tạ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

KHOA VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

TẠO TRẠNG THÁI NÉN BỚT PHOTON HAI MODE

Sinh viên thực hiện : NGUYỄN THỊ LỘC

Khoá học : 2012 – 2016

Ngành học : Sư phạm Vật lý

Người hướng dẫn : THS NGUYỄN THỊ XUÂN HOÀI

Được sự phân công và hướng dẫn của Thạc sĩ Nguyễn Thị Xuân Hoài,

dưới sự đồng ý của Khoa Vật lý Trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng, tôi đã thực

hiện đề tài “Nghiên cứu lý thuyết quá trình tạo trạng thái nén bớt photon hai

mode”

Để hoàn thành khóa luận này Tôi xin chân thành cảm ơn Cô hướng dẫn

Nguyễn Thị Xuân Hoài đã hết lòng tận tụy, chu đáo hướng dẫn tôi thực hiện

khóa luận này

Xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã nhiệt tình hướng dẫn, giảng

dạy trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và rèn luyện ở Trường Đại học Sư

Phạm Đà Nẵng

Cuối cùng là lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình và bạn bè đã

giúp đỡ cho tôi trong suốt quá trình học tập

Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài một cách hoàn chỉnh nhất

Song do buổi đầu mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học cũng như hạn

chế về kiến thức và kinh nghiệm nên không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất

định mà bản thân chưa thấy được Tôi rất mong được sự góp ý của các quý Thầy,

Cô giáo và các bạn đồng nghiệp để khóa luận được hoàn chỉnh hơn

Sinh viên

Nguyễn Thị Lộc

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4

1.1 Trạng thái số hạt ( Fock ) 4

1.2 Trạng thái nén 5

1.2.1 Toán tử nén 6

1.2.2 Trạng thái chân không nén đơn mode 8

1.2.3 Trạng thái chân không nén hai mode 10

1.3 Trạng thái nén bớt photon một mode 11

1.4 Trạng thái nén bớt photon hai mode 12

CHƯƠNG 2: KỸ THUẬT BỚT PHOTON 19

2.1 Thiết bị tách chùm 19

2.2 Bớt photon bằng cách sử dụng thiết bị tách chùm 20

CHƯƠNG 3: MÔ HÌNH TẠO TRẠNG THÁI NÉN BỚT PHOTON HAI MODE 27

3.1 Mô hình 27

3.2 Độ tin cậy, xác suất thành công 29

KẾT LUẬN 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 1 Kết hợp hai mode bởi thiết bị tách chùm 18

Hình 2 Bớt photon ra khỏi trạng thái ⟩ bằng thiết bị tách chùm 19 Hình 3 Sơ đồ tạo trạng thái nén bớt photon hai mode 26 Hình 4 Sự phụ thuộc của xác suất thành công và độ tin cậy vào độ

{ } { }(đường nét liền), { }(đường chấm chấm), { }(đường

nét đứt) 32

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Thông tin liên lạc đóng vai trò rất quan trọng đối với đời sống con người

Vì vậy các nhà khoa học đã và đang tìm mọi cách để cho thông tin truyền đi nhanh, xa và chính xác bằng cách giảm thiểu tạp âm hay các thăng giáng lượng

tử Trên thực tế, các nhà vật lý lý thuyết lẫn thực nghiệm đã tiếp cận được giới hạn lượng tử chuẩn và ngày càng tiến xa hơn trong việc tăng chất lượng cũng như tính bảo mật của thông tin Với cách thức thông tin cổ điển đang được sử dụng hiện nay, độ chính xác của thông tin gần như là hoàn hảo, tuy nhiên tính bảo mật vẫn còn là vấn đề cấp thiết cho dù thông tin đã được mã hóa bằng những phương pháp hiện đại và tinh vi [1],[3] Để giải quyết khó khăn này, các nhà khoa học đã đề xuất ra một lý thuyết thông tin mới, có tên lý thuyết thông tin lượng tử [2]

Lý thuyết thông tin lượng tử đã chứng minh được các quá trình xử lý thông tin theo kiểu lượng tử sẽ cho ta những điều kỳ diệu vượt lên hẳn những quá trình thông tin cổ điển tối ưu nhất Trong các quá trình thông tin lượng tử đã được nghiên cứu, có thể nói viễn tải lượng tử là quá trình nổi bật nhất [2],[5] Viễn tải lượng tử sử dụng một hệ lượng tử đặc biệt (được gọi là trạng thái rối) kết hợp với một kênh thông tin cổ điển Viễn tải lượng tử gồm biến liên tục và biến rời rạc, trong đó viễn tải lượng tử biến liên tục có thể truyền tin bằng sóng điện từ Tuy nhiên, để đảm bảo độ tin cậy của quá trình viễn tải bằng một thì cần phải có một nguồn rối hoàn hảo [2] Nguồn rối lý tưởng được đề xuất trong một

số nghiên cứu lý thuyết về viễn tải lượng tử là trạng thái chân không nén hai mode với điều kiện là tham số nén của nó dần đến vô cùng Thực tế, trạng thái nén chân không hai mode tạo bằng thực nghiệm có mức độ nén tương đối nhỏ dẫn đến độ tin cậy của quá trình viễn tải không cao [4] Do đó, tìm ra giải pháp cho các khó khăn liên quan đến hiện thực hóa viễn tải lượng tử, mà trước hết là

tìm nguồn rối và cải thiện độ rối của nó trong điều kiện thực tế là hết sức quan trọng, đang rất được quan tâm Về vấn đề này, gần đây nổi lên một hướng giải quyết có tính khả thi, đó là thêm vào hoặc bớt photon ra khỏi trạng thái nén hai mode Các tính chất và áp dụng của trạng thái thêm photon vào trạng thái nén hai mode vào viễn chuyển lượng tử cũng như cách tạo trạng thái này đã được nghiên cứu chi tiết [9] Trong khi đó trạng thái nén bớt photon hai mode chỉ mới được chứng minh có độ rối được cải thiện so với trạng thái nén thông thường [8] còn

sơ đồ cụ thể để tạo trạng thái này vẫn chưa được khảo sát Đây chính là lý do để chúng tôi đề xuất và giải thích cách tạo ra trạng thái nén bớt photon hai mode với tên đề tài là “Nghiên cứu lý thuyết quá trình tạo trạng thái nén bớt photon hai mode”

2 Mục đích nghiên cứu

Giới thiệu và giải thích mô hình tạo trạng thái nén bớt photon hai mode bằng các thiết bị quang học thông dụng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đưa ra mô hình trạng thái nén bớt photon hai mode

Tính độ tin cậy và xác suất thành công của mô hình tạo trạng thái nén bớt photon hai mode

Vẽ đồ thị và biện luận kết quả thu được

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là trạng thái nén bớt photon hai mode

Phạm vi nghiên cứu chỉ dừng lại ở việc giải thích mô hình tạo trạng thái này bằng lý thuyết và lý tưởng hóa hoạt động của máy đếm photon

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp đặc thù trong nghiên cứu quang lượng tử và thông tin lượng tử là phương pháp lượng tử hóa trường lần hai

Phần mềm chuyên dụng để vẽ đồ thị là Mathematica

6 Cấu trúc của khóa luận

Nội dung của bài khóa luận này gồm có 3 chương, cụ thể như sau:

- Chương 1 trình bày một số cơ sở lý thuyết liên quan trực tiếp đến những nội dung nghiên cứu của đề tài như trạng thái số hạt, trạng thái nén, trạng thái nén bớt photon một mode, trạng thái nén bớt photon hai mode Đây là nền tảng

để áp dụng tính toán trong chương 2 và chương 3

- Chương 2 đưa ra mô hình, cơ chế hoạt động của thiết bị tách chùm Từ đó, đưa ra mô hình bớt photon sử dụng thiết bị tách chùm, nêu ra khái niệm của độ tin cậy và xác suất thành công

- Chương 3 đưa ra mô hình tạo trạng thái nén bớt photon hai mode, tính độ tin cậy và xác suất thành công của trạng thái Sau đó vẽ đồ thị và phân tích điều kiện thu được trạng thái trong thực nghiệm

̂ ⟩ ⟩, (1) trong đó ̂ ̂ ̂ là toán tử Hermite, toán tử ˆa

gọi là toán tử sinh photon, ˆagọi

là toán tử hủy photon, toán tử sinh và hủy hạt là các toán tử không Hermite Hai toán tử này tuân theo hệ thức giao hoán [ ̂ ̂ ]

Các trạng thái số hạt trực giao với nhau ⟨ ⟩ ,

, tạo thành một hệ cơ sở đủ, tính chuẩn hóa ⟨ ⟩

trong đó ⟩ là kí hiệu cho trạng thái chân không

Theo (4), trạng thái số hạt ⟩ của mỗi mode có thể được tạo thành bằng cách tác dụng lặp lại n lần toán tử sinh lên trạng thái chân không

̂ ⟩ √ ⟩ (6) Tác dụng của toán tử sinh và hủy photon lên trạng thái ⟩ với mũ bậc n

̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (9) Các trạng thái riêng của ̂ là trạng thái tích có dạng

tử chuẩn hay giới hạn bất định cực tiểu

Một trạng thái nào đó nếu thỏa mãn

̂ |〈 ̂〉| hoặc ̂ |〈 ̂〉| (13)

được gọi là trạng thái nén

1.2.1 Toán tử nén

Toán tử nén được kí hiệu ̂ Sự tạo thành trạng thái nén được mô tả bởi toán tử nén đơn mode

̂ ( ̂ ̂ ) (14) trong đó η là một số phức, r là tham số nén biến thiên từ 0 đến ∞ và góc φ nằm trong khoảng từ 0 đến 2π

Áp dụng công thức (14), định lý (18) kết hợp với biểu thức

[ ̂ ̂] ̂ ̂ ̂ ̂ ta tính

̂ ̂ ̂ ̂ [ ̂ ̂ ̂]

[ ̂ ̂ [ ̂ ̂ ̂]]

* ̂ ̂ [ ̂ ̂ [ ̂ ̂ ̂]]+

̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (19) Tương tự ta cũng tính được

̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (20) Bằng cách lấy liên hợp Hermite hai đồng nhất thức trên, ta có được

̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (21) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (22)

Toán tử nén được định nghĩa như trên cũng chính là toán tử mô tả hoạt động của một thiết bị quang học phi tuyến có tên bộ chuyển đổi ngược tham số suy biến Do đó trạng thái nén là trạng thái hoàn toàn có thể tạo được thông qua thiết bị nói trên Cụ thể, trạng thái nén đơn mode sẽ được tạo thành nhờ một quá trình phi tuyến ngược với quá trình tạo sóng hài bậc hai trong đó một tia laser mạnh biến mất sau khi qua một môi trường phi tuyến để tạo thành cặp tia cùng tần số và bằng một nửa tần số tia laser vào Cặp tia này gọi là cặp tia song sinh

và có tính chất của trạng thái nén

Tương tự cho trường hợp hai mode, toán tử nén được định nghĩa

̂ ( ̂ ̂ ̂ ̂) (23) trong đó là tham số phức tương tự như trường hợp đơn mode Lưu ý ̂ không phải đơn giản là tích của hai toán tử nén đơn mode, toán tử này có dạng tương tự toán tử nén đơn mode trong đó ̂ được thay bởi ̂ ̂ Nén đơn mode xuất hiện trong quá trình suy biến, tạo ra cặp photon cùng ở một mode

trong khi nén hai mode xuất hiện trong quá trình không suy biến tạo ra cặp

photon ở hai mode khác nhau a và b Toán tử nén hai mode cũng là một toán tử

và các liên hợp Hermite của chúng

̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (27) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (28)

1.2.2 Trạng thái chân không nén đơn mode

Trạng thái chân không nén được tạo thành bằng cách tác dụng toán tử nén lên trạng thái chân không

⟩ ̂ ⟩

[ ̂ ] [ ̂ ̂ ̂ ̂ ]

* ̂ + ⟩ (29) Bằng cách sử dụng dạng trật tự của toán tử nén và định nghĩa hàm mũ của toán

tử, ta tính kết quả như sau

[ ̂ ] ⟩ ∑( ̂

)

⟩ ⟩

(30)

Tiếp tục

[ ̂ ̂ ̂ ̂ ] ⟩

∑* ̂ ̂ ̂ ̂ +

⟩

∑* ̂ ̂ +

⟩

∑* +

⟩

⟩ ⟩ (31) Cuối cùng

[ ̂ ] ⟩ ∑* ̂

+

⟩

(32) ∑*

+

̂ ⟩

∑(

)

√ ⟩ Vậy kết quả thu được là

⟩ √

∑

√

( ) ⟩

(33)

Từ kết quả trên cho thấy trạng thái chân không nén chỉ là sự chồng chập của các trạng thái số hạt chẵn hay xác suất tìm thấy số photon lẻ trong trạng thái nén triệt tiêu Trạng thái nén |đã chuẩn hóa do tính unita của toán tử nén và tính chuẩn hóa của trạng thái chân không ⟨ ⟩ ⟨ ̂ ̂ | ⟩ =1

1.2.3 Trạng thái chân không nén hai mode

Trạng thái nén chân không hai mode được tạo thành bằng việc tác dụng toán tử nén hai mode lên trạng thái chân không ⟩

( ̂ ̂) ⟩ ⟩

∑[ ]

⟩

[ ] ⟩ ⟩

(36)

Sau cùng

[ ̂ ̂ ] ⟩ ∑(

)

( ̂ ̂ ) ⟩

∑( )

⟩ (37)

∑( )

⟩

Vậy ta tính được kết quả cuối cùng là

mode a và mode b ta thấy chúng bị ràng buộc lẫn nhau, có nghĩa trạng thái nén

hai mode là trạng thái đan rối Đặt biệt trạng thái này có thể đạt đến khả năng rối cực đại khi tham số nén

1.3 Trạng thái nén bớt photon một mode

Trong trạng thái đơn mode, trạng thái nén bớt một photon được định nghĩa bởi

⟩ ̂ ⟩ (39) Điều kiện chuẩn hóa ⟨ ⟩ , suy ra

⟩ ̂ ⟩

√⟨ ̂ ̂ ⟩ (41) trong đó ⟨ ̂ ̂ ⟩ được tính như sau

⟨ ̂ ̂ ⟩ ⟨ ̂ ̂ ⟩

⟨ ̂ ̂ ⟩ ⟨ ̂ ̂

⟩

Từ kết quả trên ta lấy liên hợp Hermite và tính được

⟨ ̂ ̂ ⟨ (44) Vậy

⟨ ̂ ̂ ⟩ (45) Suy ra trạng thái nén bớt photon đơn mode trong không gian Fock

⟩ ̂ ⟩

(46)

1.4 Trạng thái nén bớt photon hai mode

Tương tự, trong trạng thái hai mode, trạng thái nén bớt photon có dạng ⟩ ̂ ̂ ⟩ (47) Tương tự như trạng thái nén bớt photon một mode, ta xác định được có dạng

⟨ | ̂ ̂ ̂ ̂| ⟩ ⟨ | ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ | ⟩

(50) Trước tiên, ta tính ̂ ̂ ̂ ⟩ , sau đó sẽ lấy liên hợp phức để tính ⟨

̂ ̂ ̂

̂ ̂ ̂ ⟩ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ⟩

̂ ( ̂ ̂ )

( ̂ ̂ ) ⟩

̂ ( ̂ ̂ )

( ) ⟩ ⟩

̂ ( )( ⟩ ⟩

⟩ ⟩ )

̂ ( ⟩ ⟩

⟩ ⟩ )

(51) Khi đó ⟨ | ̂ ̂ ̂ ̂| ⟩ [ ̂ ( ⟩ ⟩

⟩ ⟩ )]

[ ̂ ( ⟩ ⟩

⟩ ⟩ )]

(52) Vậy ⟩ ̂ ̂ ⟩

√

(53) Tác dụng các toán tử hủy photon vào cả hai mode của trạng thái trên với mũ bậc m cho ta một trạng thái mới ⟩ ̂ ̂ ⟩ (54)

(55)

sẽ tính được

⟨ ̂ ̂ ̂ ̂ ⟩

⟨ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ⟩ , (56) với

̂ ̂ ̂ ⟩ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ⟩

̂ ( ̂ ̂ )( ̂ ̂ ) ⟩

̂ ⟩ ⟩ (58) Phép tính trên chỉ có giá trị khi , vì vậy

( ̂ ̂ ) ⟩

(59) ̂ ⟩ ⟩

√ ⟩ ⟩Khi đó

̂ ̂ ̂ ⟩ ̂ ( ̂ ̂ )

√ ⟩ ⟩ ̂ √

(60)

∑

̂ ( ̂ ) ⟩ ⟩ ̂ √

∑

√ ⟩ ⟩

̂ ∑ ( )

⟩ ⟩ Cuối cùng tính

⟨ ̂ ̂ ̂ ̂ ⟩

[ ̂ ∑ ( )

⟩ ⟩ ] [ ̂ ∑ (

)

⟩ ⟩ ]

∑ [ ]

(61)

Vậy kết quả cuối cùng là

̂ ̂ ⟩ (∑

[ ]

)

Tác dụng các toán tử hủy photon vào cả hai mode với mũ khác nhau ⟩ ̂ ̂ ⟩ ̂ ̂ ⟩ (63) Đây chính là trạng thái nén bớt photon hai mode (NBPHM) và trong biểu diễn Fock trạng thái này có dạng

Ta phải tính ⟨ | ̂ ̂ ̂ ̂ | ⟩

bằng cách sau đầu tiên ta sẽ tính ⟩

⟩ ⟩

(66) ( )

( ) ⟩ Với `( ) ∑ ( ) Suy ra

( ) ⟩

(67) ∑

( ) ⟩

i = 0 = ( ) ⟩ ⟩

= ( ) √ ⟩ ⟩

Từ kết quả đã tính ở trên, ta tính tiếp ( ) ⟩ ⟩

( ) ⟩ ⟩

(68) = ∑

( ) ⟩ ⟩

= ∑

( ) ⟩ ⟩

= ∑

( ) √

√ ⟩ ⟩

Vậy ⟩ = ∑

( ) √

⟩ ⟩

(69)

Suy ra