Khảo sát thống kê photon của trạng thái nén bớt photon hai mode

Chúng tôi tiếp tục khảo sát cho trường hợp tổng quát hơn, bớt một số lượng photon tùy ý ra khỏi cả hai mode của trạng thái nén.. Mục đích nghiên cứu Tìm được biểu thức giải tích của số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

KHOA VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

TÊN ĐỀ TÀI: KHẢO SÁT THỐNG KÊ PHOTON CỦA TRẠNG THÁI NÉN BỚT PHOTON HAI MODE

Sinh viên thực hiện: Dương Thảo My

Khoá học: 2012 – 2016

Ngành học: Sư phạm Vật lý

Người hướng dẫn: ThS Nguyễn Thị Xuân Hoài

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2016

LỜI CẢM ƠN

Được sự cho phép của khoa Vật lý trường Đại học Sư pham – Đại học

Đà Nẵng và sự đồng ý của cô giáo hướng dẫn, Th.S Nguyễn Thị Xuân Hoài, tôi đã thực hiện đề tài “Khảo sát thống kê photon của trạng thái nén bớt photon hai mode”

Trước hết, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến toàn thể quý thầy cô trong khoa Vật lý đã tận tình hướng dẫn, giảng dạy trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và rèn luyện ở trường Đại học Sư pham – Đại học Đà Nẵng

Xin chân thành cảm ơn cô Nguyễn Thị Xuân Hoài đã tận tình, chu đáo hướng dẫn và động viên tôi hoàn thành khóa luận này

Do kiến thức của bản thân còn hạn hẹp nên tôi không tránh khỏi những thiếu sót nhất định trong cách hiểu và lỗi trình bày Tôi rất mong nhận được

sự góp ý của quý thầy cô để khóa luận được hoàn chỉnh hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên

Dương Thảo My

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: CÁC TRẠNG THÁI CỦA ÁNH SÁNG 4

1.1 Trạng thái số hạt 4

1.2 Trạng thái kết hợp 6

1.3 Trạng thái nén 9

Chương 2: TRẠNG THÁI NÉN BỚT PHOTON HAI MODE 15

2.1 Định nghĩa 15

2.1.1 Trạng thái nén bớt photon đơn mode 15

2.1.2 Trạng thái nén bớt photon hai mode 16

2.2 Hệ số chuẩn hóa 17

Chương 3: TÍNH THỐNG KÊ CỦA TRẠNG THÁI NÉN BỚT PHOTON HAI MODE 20

3.1 Số photon trung bình 20

3.2 Hàm phân bố số photon 25

3.3 Entrophy tuyến tính 30

KẾT LUẬN 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1: Sự phụ thuộc của số photon trung bình vào tham số nén

với các cặp * + * + (đường nét liền), * + (đường

chấm-chấm) và * + (đường nét đứt) 23

Hình 2: Sự phụ thuộc của số photon trung bình vào tham số nén

với các cặp * + * + (đường nét liền), * + (đường

chấm-chấm) và * + (đường nét đứt) 24

Hình 3: Sự phụ thuộc của hàm phân bố ( ) vào tham số

ứng với 3 trường hợp a) * + * + b) * + * + c) * + * + 29

Hình 4: Sự phụ thuộc của entropy tuyến tính ( ) vào tham số nén

với các cặp * + * + (đường chấm-chấm), * + (đường

nét liền), * + (đường gạch-chấm) và * + (đường nét đứt) 33

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay, lĩnh vực thông tin liên lạc ngày càng phát triển không ngừng

về cả phương tiện và cách thức truyền tin nhằm đảm bảo thông tin được truyền đi xa hơn, nhanh và chính xác hơn Trong thực tế, các nhà vật lý lý thuyết lẫn thực nghiệm đã tiếp cận tới giới hạn lượng tử chuẩn và ngày càng tiến xa hơn để tìm ra các trạng thái mà ở đó các thăng giáng lượng tử được hạn chế đến mức tối đa mang lại sự cải thiện đáng kể về tính lọc lựa và độ chính xác của thông tin truyền đi [3] Tuy nhiên, với cách thức thông tin cổ điển mà chúng ta vẫn đang sử dụng hiện nay thì tính bảo mật của thông tin vẫn không được bảo đảm tuyệt đối, nghĩa là đâu đó thông tin vẫn có thể lọt ra ngoài cho dù đã được mã hóa nhiều lần Vậy, chúng ta cần tìm ra cách nào đó

để thông tin truyền đi xa mà vẫn đảm bảo chất lượng và bảo mật một cách tuyệt đối Và lý thuyết thông tin lượng tử chính là cơ sở để giải quyết vấn đề này [2]

Lý thuyết thông tin lượng tử đang thu hút được sự chú ý của nhiều nhà khoa học trên thế giới, trong đó có thể kể đến quá trình viễn chuyển lượng tử Hiện nay, các nhà khoa học đã đưa ra hai quá trình viễn chuyển là: viễn chuyển lượng tử biến rời rạc và viễn chuyển lượng tử biến liên tục Ưu điểm của viễn chuyển lượng tử biến liên tục so với biến rời rạc là xác suất thành công 100%, trong khi với biến rời rạc chỉ là 50% nếu sử dụng các trạng thái của ánh sáng để mã hóa và chuyển thông tin [1] Tuy nhiên, để đảm bảo độ tin cậy của quá trình viễn chuyển bằng một thì cần phải có một nguồn rối hoàn hảo Nguồn rối được đề xuất là trạng thái chân không nén hai mode với điều kiện là tham số nén của nó dần đến vô cùng [1] Nhưng trên thực tế, trạng thái nén hai mode tạo được bằng thực nghiệm có mức độ nén tương đối nhỏ nên

độ tin cậy của quá trình viễn chuyển không cao Do vậy, việc tìm nguồn rối và

cải thiện độ rối của nó là vấn đề hết sức quan trọng Và trạng thái nén bớt photon hai mode là trạng thái cần tìm bởi độ rối của nó lớn hơn so với trạng thái nén hai mode thông thường Điều này đã được chứng minh trong trường hợp chỉ bớt một photon hoặc hai photon [5],[8] Chúng tôi tiếp tục khảo sát cho trường hợp tổng quát hơn, bớt một số lượng photon tùy ý ra khỏi cả hai mode của trạng thái nén Và vấn đề chúng tôi quan tâm ở đây là tính thống kê photon, để từ đó đưa ra nhận xét về mức độ rối của trạng thái này Đó là lý do chúng tôi chọn đề tài “Khảo sát thống kê photon của trạng thái nén bớt photon hai mode” để nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm được biểu thức giải tích của số photon trung bình, tìm hàm phân

bố số photon và tính entropy của trạng thái nén bớt photon hai mode Từ đó chứng minh trạng thái này có độ rối mạnh hơn so với trạng thái chưa bớt photon, nghĩa là có ứng dụng cao trong viễn chuyển lượng tử

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Khảo sát tính chuẩn hóa của trạng thái nén bớt photon thông qua việc xác định hệ số chuẩn hóa trong trường hợp tổng quát

Khảo sát tính thống kê photon của trạng thái này gồm số photon trung bình, hàm phân bố số photon và entropy tuyến tính Vẽ đồ thị và biện luận các kết quả số thu được

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là trạng thái nén bớt photon hai mode Đề tài chỉ dừng lại ở việc khảo sát thống kê photon của trạng thái bằng lý thuyết

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp đặc thù trong nghiên cứu quang lượng

tử và thông tin lượng tử là phương pháp lượng tử hóa lần hai (toán tử sinh hủy hạt) Ngoài ra, chúng tôi còn sử dụng phần mềm chuyên dụng Mathematica

để tính số, vẽ đồ thị và biện luận

6 Tổng quan vấn đề nghiên cứu

Cải thiện rối là một vấn đề tương đối mới Đã có một số nghiên cứu trong và ngoài nước nhưng vẫn còn rất hạn chế Chẳng hạn, nghiên cứu về trạng thái nén thêm photon hai mode [7], hoặc có những nghiên cứu về trạng thái của đề tài nhưng chỉ giới hạn ở trường hợp đơn giản [5],[8] Các nghiên cứu này chứng minh bớt photon có thể cải thiện độ rối của trạng thái nén nhưng chỉ trong trường hợp bớt một hoặc hai photon Chúng tôi tiếp tục mở rộng khảo sát này cho trường hợp tổng quát hơn, và khảo sát cụ thể hơn tính thống kê của hệ, một tính chất quan trọng khởi đầu cho việc nghiên cứu một trạng thái bất kỳ của trường điện từ

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài các phần mở đầu, danh mục hình vẽ và tài liệu tham khảo, nội dung của khóa luận được trình bày trong 3 chương Các chương có nội dung

cụ thể như sau:

 Chương 1 trình bày tổng quan về các trạng thái của ánh sáng bao gồm trạng thái số hạt, trạng thái kết hợp và trạng thái nén Nội dung của chương này chính là cơ sở lý thuyết liên quan trực tiếp đến những nội dung nghiên cứu của đề tài

 Chương 2 trình bày những nghiên cứu chung về trạng thái nén bớt photon hai mode – đối tượng nghiên cứu của đề tài, bao gồm định nghĩa trạng thái nén bớt photon đơn mode và hai mode, xác định hệ số chuẩn hóa của trạng thái nén bớt photon hai mode

 Chương 3 trình bày những nghiên cứu về khảo sát tính thống kê photon của trạng thái nén bớt photon hai mode bao gồm tính số photon trung bình, hàm phân bố số photon và khảo sát độ rối của trạng thái thông qua đại lượng entropy tuyến tính

⟨ | ⟩ và tạo thành một hệ đủ Do đó, ta có thể khai triển một trạng thái

| 〉 bất kỳ trong hệ cơ sở của các trạng thái số hạt

sinh, hủy hạt ̂ ( ̂ ̂) Hệ quả là trong các tính toán sẽ xuất hiện các số hạng có dạng ̂ | 〉 hoặc ̂ | 〉

Xét trường hợp đơn giản nhất là tác dụng một lần toán tử sinh ̂ lên trạng thái số hạt | ⟩

trong đó trạng thái thu được sau khi tác dụng toán tử sinh ̂ lên | 〉 có dạng

| 〉 là do tính chất của toán tử sinh là làm tăng số photon lên một, còn là một hệ số cần tìm Để ý rằng

〈 | ̂ ̂ | 〉 〈 | ̂ ̂ | 〉 〈 | ̂ | 〉 (1.7) trong đó ta đã sử dụng tính giao hoán của toán tử sinh, hủy hạt , ̂ ̂ - và định nghĩa (1.1) của trạng thái số hạt Mặc khác, theo (1.6), ta có

Trong không gian Fock, trạng thái kết hợp được biểu diễn qua trạng thái số hạt dưới dạng [6]

̂ , ̂ ̂- ̂ , ̂ ̂ - ̂ (1.27) Vậy, ta chứng minh được

Có thể xem trạng thái kết hợp là sự chồng chập của một mode trường cổ điển và một mode trường lượng tử ở trạng thái chân không Nói cách khác,

trạng thái kết hợp là trạng thái ranh giới giữa cổ điển và phi cổ điển Theo đó, trạng thái phi cổ điển là trạng thái vượt qua ranh giới cổ điển này được xác định bởi trạng thái kết hợp.

1.3 Trạng thái nén

Hai toán tử ̂ và ̂ thỏa mãn hệ thức giao hoán [ ̂ ̂] ̂ sẽ tuân theo

hệ thức bất định Heisenberg như sau

trong đó ̂ là kí hiệu cho phương sai của toán tử ̂ Giới hạn ̂ ̂

|〈 ̂〉| được gọi là giới hạn lượng tử chuẩn hay giới hạn bất định cực tiểu

Một trạng thái nào đó nếu thỏa mãn [9]

̂ |〈 ̂〉| hoặc ̂ |〈 ̂〉| (1.31) được gọi là trạng thái nén Trạng thái chân không nén là trạng thái nén đơn giản nhất được tạo thành khi tác dụng toán tử nén ( ) lên trạng thái chân không [9]

( ) ( ̂ ̂ ) ( ) ( ) (1.34) Dạng trật tự của toán tử nén

( ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) (1.35)

Sử dụng công thức (1.26) ta thu được

( ) ̂ ( ) ̂ ̂ (1.36a) ( ) ̂ ( ) ̂ ̂ (1.36b) ( ) ̂ ( ) ̂ ̂ (1.36c) ( ) ̂ ( ) ̂ ̂ (1.36d) Toán tử nén được định nghĩa như trên cũng chính là toán tử mô tả hoạt động của một thiết bị quang học phi tuyến có tên bộ chuyển đổi ngược tham

số suy biến (non-degenerate parameter down converter) Do đó trạng thái nén

là trạng thái hoàn toàn có thể tạo được thông qua thiết bị nói trên Cụ thể, trạng thái nén đơn mode sẽ được tạo thành nhờ một quá trình phi tuyến ngược với quá trình tạo sóng hài bậc hai trong đó một tia laser mạnh biến mất sau khi qua một môi trường phi tuyến để tạo thành cặp tia cùng tần số và bằng một nửa tần số tia laser vào Cặp tia này gọi là cặp tia song sinh và chúng có tính chất của trạng thái nén

Bây giờ, ta đi tìm biểu diễn của trạng thái nén đơn mode trong không gian Fock bằng cách sử dụng dạng trật tự của toán tử nén và định nghĩa hàm

| ⟩

/

̂ | ⟩ | ⟩ (1.38)

và

| ⟩

/

√( ) | ⟩ (1.40) Như vậy trong không gian Fock, trạng thái chân không nén có dạng [6]

Mở rộng cho trường hợp hai mode, trạng thái chân không nén hai mode được định nghĩa bởi

hai mode khác nhau là a và b Toán tử nén hai mode cũng là một toán tử

unita

( ) ( ) ( ) ( ) (1.45) Tương tự như trường hợp đơn mode ta cũng có các hệ thức sau

Suy ra trạng thái chân không nén hai mode

Đây chính là dạng biểu diễn trong không gian Fock của trạng thái nén hai mode Trạng thái này cũng có thể được tạo thành tương tự như trong trường hợp đơn mode, trong đó hai tia tạo thành có tần số khác nhau thỏa mãn điều kiện bảo toàn năng lượng Như vậy, số photon trong trạng thái nén hai mode cũng xuất hiện thành cặp tương tự như trạng thái nén đơn mode, chỉ khác ở điểm là hai photon trong một cặp không ở cùng mode mà ở hai mode khác nhau Điều này cho thấy số hạt giữa mode và mode có sự tương quan, ràng buộc lẫn nhau Tức là, trạng thái nén hai mode là một trạng thái đan rối Đặt biệt trạng thái này có thể đạt đến khả năng rối cực đại khi tham số nén

Chương 2: TRẠNG THÁI NÉN BỚT PHOTON HAI MODE 2.1 Định nghĩa

2.1.1 Trạng thái nén bớt photon đơn mode

Trạng thái nén bớt photon đơn mode được định nghĩa bởi

Thủ thuật để tính hệ số là hoán đổi vị trí các toán tử trong biểu thức hoặc chèn thêm vào biểu thức số hạng ( ) ( ) Mục đích của việc hoán đổi vị trí các toán tử là nhằm làm xuất hiện số hạng ( ) ̂ ( ), đây là đồng nhất thức đã nêu ở phần toán tử Khi ta chèn ( ) ( ) thì do tính chất

unita của toán tử nén nên các số hạng này đồng nhất với 1 theo công thức (1.42) Từ đó, ta có thể sử dụng các đồng nhất thức (1.36a), (1.36b) đề tìm hệ

số

⟨ | ̂ ̂| ⟩ ⟨ | ( ) ̂ ̂ ( )| ⟩

⟨ | ( ) ̂ ( ) ( ) ̂ ( )| ⟩ ⟨ |( ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ )| ⟩ (2.6) Trong đó,

( ̂ ̂ )| ⟩ ̂ | ⟩ ̂ | ⟩

̂| ⟩ ̂ | ⟩ | ⟩

Suy ra,

⟨ |( ̂ ̂ ) ⟨ |( ) (2.8) Thay (2.7) và (2.8) vào (2.6), ta có

⟨ | ̂ ̂| ⟩ ⟨ | ( ) | ⟩ ( ) ⟨ | ⟩ ( ) (2.9) Vậy, trạng thái nén bớt một photon được biểu diễn dưới dạng

| ⟩ ̂ ( )| ⟩

2.1.2 Trạng thái nén bớt photon hai mode

Trạng thái nén bớt photon hai mode (NBPHM) chính là trạng thái mà chúng tôi khảo sát trong đề tài này Đúng như tên gọi của nó, trạng thái NBPHM được tạo thành bằng cách tác dụng lần lượt toán tử nén hai mode

( ) và các toán tử hủy photon vào cả hai mode của trạng thái chân không

Ở đây, chúng tôi xét trong trường hợp tổng quát với số lần tác dụng toán tử hủy vào mỗi mode là không bằng nhau, có nghĩa là bớt đi một lượng photon khác nhau và bất kỳ từ hai mode và của hệ Cụ thể, ta tác dụng lần toán

tử hủy photon vào mode và lần toán tử hủy photon vào mode Trạng thái NBPHM tạo thành theo cách trên có dạng

| ⟩ ̂ ̂ | ⟩ ̂ ̂ ( )| ⟩ (2.11) Trong không gian Fock, trạng thái này được biểu diễn dưới dạng

| ⟩ ̂ ̂ ∑( ) | ⟩ | ⟩

2.2 Hệ số chuẩn hóa

Toán tử hủy photon không phải là toán tử unita như toán tử nén và toán

tử dịch chuyển Do đó, trong biểu thức định nghĩa trạng thái NBPHM ở trên phải có mặt hệ số chuẩn hóa

̂ ̂ | ⟩ ̂ ̂ | ⟩

(2.16) ( ̂ ̂ )

ta có

( ̂ ̂ ) ∑ ( )

( )

( ̂ ) ( ̂ )

Suy ra ( ̂ ̂ ) | ⟩

(2.18) ∑ ( )

( )

( ̂ ) ( ̂ ) | ⟩

= ( ) ( ) ( ̂ ) | ⟩ | ⟩

= ( ) ( ) √ | ⟩ | ⟩

Từ kết quả đã tính ở trên, ta tính tiếp ( ̂ ̂ ) | ⟩ | ⟩

( ̂ ̂ ) | ⟩ | ⟩

(2.19) = ∑ ( )

( )

( ̂ ) ( ̂ ) | ⟩ | ⟩

= ∑ ( )

( )

( ) ( ) ̂ | ⟩ ( ̂ ) | ⟩

= ∑ ( )

( )

( ) ( ) √

( )

√( ) | ⟩ | ⟩

Suy ra ̂ ̂ | ⟩ ∑( )( )

( )

( ) ( )

√( )