BÀI TẬP ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH NÂNG CAO

BÀI TẬP ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH NÂNG CAO Câu 1: Cho hệ một bậc tự do như hình vẽ Số liệu đề bài Nhóm k1(N m) k2(N m) c1(N.s m) c2(N.s m) m(N.s2 m) p(t)(N ) 1 200 280 40 70 950 12sin(2,5t) a) Dùng nguyên lý D’Alembert thiết lập phương trình vi phân chuyển động của khối lượng m Ngoại lực tác động đến khối lượng m fs  k1u(t)  k2u(t) ; fD  c1u(t)  c2u(t) ; fI  mu(t) Theo nguyên lý D’Alembert (PP tỉnh động) ta có fI  fD  fS  p(t)  mu(t)  (c1  c2)u(t)  (k1  k2)u(t)  p(t) Thay giá trị ta được phương trình vi phân chuyển động 950u(t) 110u(t)  480u(t) 12sin(2,5t) b) Tần số tự nhiên của hệ 480 0,711( ) n 950 K w rad s m    Chu kì tự nhiên của hệ 2 2 8,837( ) Tn  wn  0,711  s c) Phương trình chuyển động của hệ Tỉ số cản: 110 0,081 0,711 2 n 2 950 0,711 n c m            cản ít Tần số vòng tự nhiên của dao động có cản: D  n 1 2  0,711 10,0812  0,708 Nghiệm riêng của hệ up(t)  Csin(t)  Dcos(t); vớiBài tập Động lực học công trình nâng cao GVHD: TS.Châu Đình Thành Thực hiện: Nhóm 1 Trang 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) n n n n n n p C k p D k                        Với p0 12;  2,5  C  0,0022; D  0,00011 Nghiệm tổng quát của hệ: u(t)  entAcos(Dt)  Bsin(Dt)up(t) () Từ điều kiện ban đầu: u(0)  0;u(0)  0 Thay t =0 vào () ta được: 0  A  D  A  D  0,00011 Đạo hàm hai vế phương trình () ta được: ( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) () nt nt u t ne A Dt B Dt e A D Dt B D Dt C t D t                        Thay u(0)  0 vào phương trình () ta được: 0 n D n 0,0077 D A C  A B C B            Vậy phương trình chuyển động của hệ là: u(t)  e0,058t0,00011cos(0,708t)  0,0077sin(0,708t)0,0022sin(2,5t)  0,00011cos(2,5t) Vẽ đồ thị: (sử dụng Mathlab để vẽ đồ thị) Đồ thị quan hệ giữa t và u(t) ở dạng tổng quát: Đồ thị quan hệ giữa t và u(t) ở trạng thái ổn định:Bài tập Động lực học công trình nâng cao GVHD: TS.Châu Đình Thành Thực hiện: Nhóm 1 Trang 3 Biểu diển 2 đồ thị trên cùng hệ trục: Nhận xét: Dao động của hệ gần như ổn định sau 50s đầu Câu 2: Cho hệ một bậc tự do như hình vẽ Số liệu đề bài Nhóm E(N m2) I(m4) L(m) klx(N m) m(kg) 1 2,11010 530108 4, 2 1200 110 Độ cứng của dầmBài tập Động lực học công trình nâng cao GVHD: TS.Châu Đình Thành Thực hiện: Nhóm 1 Trang 4 10 8 4 3 3 192 192 2,1 10 530 10 28,84 10 ( ) d 4,2 EI k N m L          Độ cứng tương đương 4 4 28,84 10 1200 1195,03( ) 28,84 10 1200 d lx td d lx k k k N m k k          Tần số vòng tự nhiên của hệ 1195,03 3,29( ) 110 td n k rad s m     Câu 3: Cho hệ một bậc tự do như hình vẽ Số liệu đề bài Nhóm E(N m2) Ic(m4) H (m) m(kg)  (%) p(t)(kN ) 1 3,21010 1,2104 4,1 6200 4 610cos(11t) a) Xác định phương trình chuyển động u(t)  Xác định các thông số Biên độ dao động của lực 3 p0  61010 (N) Tần số vòng của lực  11(rad s) Độ cứng k của hệ 10 4 3 3 3 24 24 3,2 10 1,2 10 1337,18 10 ( ) 4,1 EIc k N m H          Tần số vòng tự nhiên 1337,18 103 14,686( ) n 6200 k rad s m      Tần số vòng tự nhiên của hệ có cản D n 1 2 14,686 10,042 14,674(rad s)  Nghiệm riêng của phương trình chuyển động up(t)  Csin(t)  Dcos(t)()Bài tập Động lực học công trình nâng cao GVHD: TS.Châu Đình Thành Thực hiện: Nhóm 1 Trang 5 2 0 2 2 2 3 2 2 2 2 1 ( ) (1 ( ) ) (2 ) 610 10 1 (1114,686) 1,020 1337180 (1 (1114,686) ) (2 0,04 1114,686) n n n p D k                    0 2 2 2 3 2 2 2 2 ( ) (1 ( ) ) (2 ) 610 10 2 0,04 (1114,686) 0,1393 1337180 (1 (1114,686) ) (2 0,04 1114,686) n n n p C k                     up(t) 1,02sin(11t) 0,1393cos(11t) Nghiệm tổng quát của phương trình chuyển động có dạng u(t)  uh(t) up(t) () Với: uh(t)  ent (Acos(Dt)  Bsin(Dt)) Các hệ số A,B được xác định như sau: Thay t=0 vào phương trình () ta được 0  A D  A D  1.020 Đạo hàm 2 vế phương trình () ta được: ( ) ( cos( ) sin( )) ( sin( ) cos( )) cos( ) sin( ) n n t n D D t D D D D u t e A t B t e A t B t C t D t                         Thay t = 0 vào phương trình trên ta được 0,04 14,686 1.02 0,1393 11 0 0,145 14,674 n n D D A C  A B C B                   Vậy phương trình chuyển động của hệ là: u(t)  e0,5871.020cos(14,674t)  0,145sin(14,674t) 0,1393sin(11t) 1,020cos(11t)  Đồ thị quan hệ giữa u(t) và thời gianBài tập Động lực học công trình nâng cao GVHD: TS.Châu Đình Thành Thực hiện: Nhóm 1 Trang 6 b) Dùng phương pháp xấp xỉ tuyến tính lực kích thích để vẽ đồ thị Kết quả của phương pháp xấp xỉ tuyến tính lực kích thích là: 1 1 1 1 i i i i i i i i i i u Au Bu Cp Dp u A u B u C p D p                    Với các giá trị A, B, C, D, A’, B’, C’ D’ được tính như sau 2 sin( ) cos( ) 1 n t A e   D t D t                 1 n t sin( D ) D B e   t            2 2 1 2 1 2 2 sin( ) 1 cos( ) 1 n t D D n D n C e t t k t t t                                         1 2 2 2 1 2 1 n t sin( D ) sin( D ) n D D D e t t k t t t                               2 sin( ) 1 n t n A e   D t                2 cos( ) sin( ) 1 n t B e  D t  D t                 Bài tập Động lực học công trình nâng cao GVHD: TS.Châu Đình Thành Thực hiện: Nhóm 1 Trang 7 2 2 1 1 1 sin( ) cos( ) 1 1 n t n C e D t D t k t t t                                    2 1 1 sin( ) cos( ) 1 n t D e D t D t k t                             Thay số ta tính được A  0,9893; B  0,0099;C  5,34106; D  2,68106 A  2,3164; B  0,09776;C  7,9104; D  8,0104 Chọn t =0.01, ta được kết quả như sau Với các giá trị ban đầu 0 0 1 (0) 0; (0) 0; (0) 610 ; ( i) cos(11 i); i i u u p p kN p t p t t t t          Bảng giá trị cho 10 bước lập đầu tiên: STT t u(t) u(t) p(t)  610cos(11t) 1 0 0 0 610 2 0,01 0,004881 0,97164755 606,31322 3 0,02 0,019286 1,89937426 595,29744 4 0,03 0,042618 2,7522132 577,08583 5 0,04 0,073984 3,50144474 551,89851 6 0,05 0,112215 4,12132212 520,03996 7 0,06 0,155905 4,58971975 481,89526 8 0,07 0,203444 4,88868986 437,92551 9 0,08 0,253069 5,00491496 388,6622 10 0,09 0,302905 4,93004636 334,70081 11 0,1 0,351021 4,66092147 276,69363 12 0,11 0,395482 4,19965548 215,34183 13 0,12 0,434398 3,55360598 151,38703 Đồ thị quan hệ giữa t và u(t) Kết quả MatlabBài tập Động lực học công trình nâng cao GVHD: TS.Châu Đình Thành Thực hiện: Nhóm 1 Trang 8 c) Dùng phương pháp gia tốc trung bình Newmark với 1 ; 1 2 4     để vẽ đồ thị quan hệ giữa u(t);t Tóm tắt phương pháp gia tốc trung bình Newmark Bước 1: Tính các giá trị ban đầu 0 0 0 0 2 ˆ 1 ; ( ) p cu ku u k k c m m t t            1 1 ; ( 1) 2 2 a m c b m t c t              Bước 2: Tính các giá trị tại bước thứ i ˆ ˆ ; ˆ i i i i i i p p p au bu u k         (1 ) ui t ui ui t 2 ui               2 1 1 1 ui   (t) ui  t ui  2 ui ui1  ui  ui;ui1  ui  ui;ui1  ui  ui Bước 3: Lặp bước 2 với i = i+1  Thay các giá trị ta tính được kết quả sau: k 1337,18(kN m);u(0)  0;u(0)  0; p0  610(kN);m  6,2(Tan)Bài tập Động lực học công trình nâng cao GVHD: TS.Châu Đình Thành Thực hiện: Nhóm 1 Trang 9 1 1 0,04; 14,686; 7,284; ; ; (0) 98,38   n  c    2   4 u  Chọn t  0,01 kˆ 161222,7;a 1998,6;b 12,4  Bảng giá trị 10 bước lặp đầu tiên t pi pi pˆi ui ui ui ui ui ui 0 610 3,68678 1216,313 0,00485 0,96997 2,78022 0 0 98,3871 0,01 606,3132 11,0158 3594,166 0,014331 0,926289 5,95587 0,00485 0,96997 95,60688 0,02 595,2974 18,2116 5823,809 0,023221 0,851778 8,94637 0,019181 1,896259 89,651 0,03 577,0858 25,1873 7830,717 0,031224 0,748665 11,6762 0,042402 2,748037 80,70463 0,04 551,8985 31,8586 9546,858 0,038067 0,6199 14,0768 0,073626 3,496703 69,02842 0,05 520,04 38,1447 10912,4 0,043511 0,469078 16,0878 0,111693 4,116603 54,95165 0,06 481,8953 43,9698 11877,24 0,047359 0,300345 17,6588 0,155204 4,585681 38,86386 0,07 437,9255 49,2633 12402,2 0,049452 0,1183 18,7502 0,202563 4,886025 21,20506 0,08 388,6622 53,9614 12460,11 0,049683 0,07212 19,334 0,252014 5,004325 2,454891 0,09 334,7008 58,0072 12036,41 0,047993 0,26576 19,3947 0,301697 4,932204 16,8791  Kết quả đồ thị quan hệ t, u(t): d) So sánh các phương phápBài tập Động lực học công trình nâng cao GVHD: TS.Châu Đình Thành Thực hiện: Nhóm 1 Trang 10 t u(t) Phương pháp Giải tích Phương pháp Xắp xỉ tuyến tính lực kích thích Phương pháp Gia tốc trung bình Newmark 0,00 0,000000 0,000000 0,000000 0,01 0,004917 0,004881 0,004850 0,02 0,019365 0,019286 0,019181 0,03 0,042745 0,042618 0,042402 0,04 0,074164 0,073984 0,073626 0,05 0,112451 0,112215 0,111693 0,06 0,156198 0,155905 0,155204 0,07 0,203796 0,203444 0,202563 0,08 0,253478 0,253069 0,252014 0,09 0,303368 0,302905 0,301697 Dựa vào bảng trên ta có thể kết luận các phương pháp số(xắp xỉ tuyến tính lực kích thích, gia tốc trung bình Newmark) cho kết quả gần đúng với phương pháp giải tích

BÀI TẬP ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH NÂNG CAO

Câu 1: Cho hệ một bậc tự do như hình vẽ

Số liệu đề bài

Nhóm k N m1 ( / ) k N m2( / ) c N s m1( / ) c N s m2( / ) 2

( / )

m N s m p t N( )( )

a) Dùng nguyên lý D’Alembert thiết lập phương trình vi phân chuyển động của khối lượng m

- Ngoại lực tác động đến khối lượng m

1 ( ) 2 ( )

s

f k u t k u t ; f Dc u t1 ( ) c u t2 ( ); f I mu t( )

-Theo nguyên lý D’Alembert (PP tỉnh động) ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f  f  f  p t mu t  c c u t  k k u t  p t

-Thay giá trị ta được phương trình vi phân chuyển động

950 ( ) 110 ( )u t  u t  480 ( )u t  12 sin(2, 5 )t

b) Tần số tự nhiên của hệ

480

0, 711( / ) 950

n

K

m

Chu kì tự nhiên của hệ

8,837( )

0, 711

n

w

2 0

0

1 ( / ) [1 ( / ) ] [2 ( / )]

2 ( / ) [1 ( / ) ] [2 ( / )]

n

n

p

C

k

p

D

k

 

  









Với p0  12;  2, 5   C 0, 0022;D  0, 00011

Nghiệm tổng quát của hệ:

( ) n t[ cos( ) sin( )] ( ) (*)

u t e A  t B  t u t

Từ điều kiện ban đầu: u(0)  0; (0)u  0

Thay t =0 vào (*) ta được:

0      A D A D 0, 00011

Đạo hàm hai vế phương trình (*) ta được:

( ) [ cos( ) sin( )] [ sin( ) cos( )] cos( ) sin( ) (**)

Thay u(0)  0vào phương trình (**) ta được:

D

A C





Vậy phương trình chuyển động của hệ là:

0,058

( ) t[0, 00011cos(0, 708 ) 0, 0077 sin(0, 708 )] 0, 0022sin(2,5 ) 0, 00011cos(2,5 )

Vẽ đồ thị: (sử dụng Mathlab để vẽ đồ thị)

Đồ thị quan hệ giữa t và u(t) ở dạng tổng quát:

Đồ thị quan hệ giữa t và u(t) ở trạng thái ổn định:

*Biểu diển 2 đồ thị trên cùng hệ trục:

Nhận xét: Dao động của hệ gần như ổn định sau 50s đầu

Câu 2: Cho hệ một bậc tự do như hình vẽ

10 8

4

192 192 2,1 10 530 10

28,84 10 ( / )

4, 2

d

EI

L



- Độ cứng tương đương

4 4

28,84 10 1200

1195, 03( / ) 28,84 10 1200

d lx

td

d lx

- Tần số vòng tự nhiên của hệ

1195, 03

3, 29( / ) 110

td

n

k

rad s m

Câu 3: Cho hệ một bậc tự do như hình vẽ

Số liệu đề bài

Nhóm E N m( / 2) I m c( 4) H m( ) m kg( ) (%) p t kN( )( )

1 3, 2 10  10 4

1, 2 10   4,1 6200 4 610 cos(11 )t

a) Xác định phương trình chuyển động u(t)

 Xác định các thông số

- Biên độ dao động của lực

3

0 610 10 ( )

- Tần số vòng của lực

11(rad s/ )



- Độ cứng k của hệ

3

24 24 3, 2 10 1, 2 10

1337,18 10 ( / ) 4,1

c EI

H



- Tần số vòng tự nhiên

3 1337,18 10

14, 686( / ) 6200

n

k

rad s m

- Tần số vòng tự nhiên của hệ có cản

1 14, 686 1 0, 04 14, 674( / )

 Nghiệm riêng của phương trình chuyển động

( ) sin( ) cos( )

p

2 0

1 ( / ) (1 ( / ) ) (2 / )

610 10 1 (11/14, 686)

1, 020

1337180 (1 (11/14, 686) ) (2 0, 04 11/14, 686)

n

p D

k

 



0

3

2 ( / ) (1 ( / ) ) (2 / )

610 10 2 0, 04 (11/14, 686)

0,1393

1337180 (1 (11/14, 686) ) (2 0, 04 11/14, 686)

n

p C

k

  

( ) 1, 02sin(11 ) 0,1393cos(11 )

p

- Nghiệm tổng quát của phương trình chuyển động có dạng

( ) h( ) p( )

u t u t u t (**)

Với: ( ) n t( cos( ) sin( ))

Các hệ số A,B được xác định như sau:

Thay t=0 vào phương trình (**) ta được

0      A D A D 1.020

Đạo hàm 2 vế phương trình (**) ta được:

n

n

t

t









Thay t = 0 vào phương trình trên ta được

0, 04 14, 686 1.02 0,1393 11

14, 674

n

D

A C



Vậy phương trình chuyển động của hệ là:

0,587 ( ) [ 1.020 cos(14, 674 ) 0,145sin(14, 674 )] 0,1393sin(11 ) 1, 020 cos(11 )

 Đồ thị quan hệ giữa u(t) và thời gian

b) Dùng phương pháp xấp xỉ tuyến tính lực kích thích để vẽ đồ thị

Kết quả của phương pháp xấp xỉ tuyến tính lực kích thích là:

u Au Bu Cp Dp

u A u B u C p D p





Với các giá trị A, B, C, D, A’, B’, C’ D’ được tính như sau

2 sin( ) cos( ) 1

n t



1 sin( )

n t

D D



2

2

sin( ) 1 cos( ) 1

n t



2



2 sin( ) 1

D



2

cos( ) sin( )

1

n t



2 2

2

1

1

n t

k t



Thay số ta tính được

0,9893; 0, 0099; 5,34 10 ; 2, 68 10

2,3164; 0, 09776; 7,9 10 ; 8, 0 10

A   B  C    D   

Chọn t=0.01, ta được kết quả như sau

Với các giá trị ban đầu

1

(0) 0; (0) 0; (0) 610 ; ( )i cos(11 );i

i i

  

Bảng giá trị cho 10 bước lập đầu tiên:

Đồ thị quan hệ giữa t và u(t)

Kết quả Matlab

c) Dùng phương pháp gia tốc trung bình Newmark với 1; 1

    để vẽ đồ thị quan hệ giữa u t t( );

Tóm tắt phương pháp gia tốc trung bình Newmark

- Bước 1: Tính các giá trị ban đầu

1 ˆ

;

( )

p cu ku



t



- Bước 2: Tính các giá trị tại bước thứ i

ˆ

ˆi

p

k



      

(1 ) 2

t



2

u   u u u   u u u   u u

- Bước 3: Lặp bước 2 với i = i+1

 Thay các giá trị ta tính được kết quả sau:

0 1337,18( / ); (0) 0; (0) 0; 610( ); 6, 2( )

1 1

0, 04; 14, 686; 7, 284; ; ; (0) 98, 38

Chọn  t 0, 01 kˆ 161222, 7;a1998, 6;b12, 4

 Bảng giá trị 10 bước lặp đầu tiên

t

i

p p i pˆi u i u i u i u i u i u i

0,01 606,3132 -11,0158 3594,166 0,014331 0,926289 -5,95587 0,00485 0,96997 95,60688

0,02 595,2974 -18,2116 5823,809 0,023221 0,851778 -8,94637 0,019181 1,896259 89,651

0,03 577,0858 -25,1873 7830,717 0,031224 0,748665 -11,6762 0,042402 2,748037 80,70463

0,04 551,8985 -31,8586 9546,858 0,038067 0,6199 -14,0768 0,073626 3,496703 69,02842

0,05 520,04 -38,1447 10912,4 0,043511 0,469078 -16,0878 0,111693 4,116603 54,95165

0,06 481,8953 -43,9698 11877,24 0,047359 0,300345 -17,6588 0,155204 4,585681 38,86386

0,07 437,9255 -49,2633 12402,2 0,049452 0,1183 -18,7502 0,202563 4,886025 21,20506

0,08 388,6622 -53,9614 12460,11 0,049683 -0,07212 -19,334 0,252014 5,004325 2,454891

0,09 334,7008 -58,0072 12036,41 0,047993 -0,26576 -19,3947 0,301697 4,932204 -16,8791

 Kết quả đồ thị quan hệ t, u(t):

t

u(t)

Phương pháp Giải tích

Phương pháp Xắp xỉ tuyến tính lực kích thích

Phương pháp Gia tốc trung bình Newmark

Dựa vào bảng trên ta có thể kết luận các phương pháp số(xắp xỉ tuyến tính lực kích thích, gia tốc trung bình Newmark) cho kết quả gần đúng với phương pháp giải tích Câu 4:

a) Vẽ trên cùng đồ thị mối quan hệ giữa t và u(t) theo phương pháp giải tích và phương pháp gia tốc tuyến tính Newmark( 1; 1

    )

 Phương pháp giải tích:

Phương trình vi phân chuyển động của hệ có dạng:

( ) ( ) ( ) g( ) ( ) ( ) ( ) 20 sin(15 )

Theo số liệu đề cho ta có:

0

2

31, 42( / ); 0, 05; 0, 02; 15

0, 2

n

rad s



Thay các giá trị vào biểu thức

2 0

0

1 ( / ) [1 ( / ) ] [2 ( / )]

2 ( / ) [1 ( / ) ] [2 ( / )]

n

n

p

C

k

p

D

k

 

  









Tìm được C = -0,02615; D = 0,001617;

Nghiệm tổng quát của phương trình (*) có dạng:

( ) n t( cos( ) sin( )) sin( ) cos( )

Áp điều kiện ban đầu u(0)  0; (0)u  0

Ta tìm được A = -0,00167; B = 0,01242

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (*) là:

1,571 ( ) [ 0, 001617 cos(31,377 ) 0, 01241sin(31,377 )]

0, 0262sin(15 ) 0, 001617 cos(15 )

t



 Phương pháp gia tốc tuyến tính Newmark

- Bước 1: Tính các giá trị ban đầu

1 ˆ

;

( )

p cu ku



t



- Bước 2: Tính các giá trị tại bước thứ i

ˆ

ˆi

p

k



      

(1 )



 Bảng giá trị 10 bước lặp đầu tiên

t

i

p p i pˆi u i u i u i u i u i u i

0,01 -19,8791 0,361173 -3872,22 -0,06253 -5,88411 80,55771 -0,01114 -3,24345 -628,69

0,02 -19,5179 0,597102 -7214,97 -0,1165 -4,82759 130,7474 -0,07367 -9,12756 -548,132

0,03 -18,9208 0,825814 -9762,5 -0,15764 -3,33935 166,9002 -0,19017 -13,9551 -417,385

0,04 -18,095 1,044543 -11294 -0,18237 -1,57493 185,9838 -0,34781 -17,2945 -250,485

0,05 -17,0505 1,250646 -11692,8 -0,18881 0,288442 186,6903 -0,53018 -18,8694 -64,501

0,06 -15,7998 1,441631 -10953,8 -0,17688 2,069439 169,5091 -0,71899 -18,581 122,1893

0,07 -14,3582 1,615191 -9181,25 -0,14825 3,600112 136,6254 -0,89587 -16,5115 291,6985

0,08 -12,743 1,769226 -6575,08 -0,10617 4,741535 91,65931 -1,04412 -12,9114 428,3238

0,09 -10,9738 1,901875 -3408,92 -0,05505 5,396215 39,27661 -1,15029 -8,1699 519,9832

 Đố thị biểu diễn quan hệ t và u(t)

BÀI TẬP ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH NÂNG CAO

Câu 1: Cho hệ một bậc tự do như hình vẽ

Số liệu đề bài

Nhóm k N m1 ( / ) k N m2( / ) c N s m1( / ) c N s m2( / ) 2

( / )

m N s m p t N( )( )

a) Dùng nguyên lý D’Alembert thiết lập phương trình vi phân chuyển động của khối lượng m

- Ngoại lực tác động đến khối lượng m

1 ( ) 2 ( )

s

f k u t k u t ; f Dc u t1 ( ) c u t2 ( ); f I mu t( )

-Theo nguyên lý D’Alembert (PP tỉnh động) ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f  f  f  p t mu t  c c u t  k k u t  p t

-Thay giá trị ta được phương trình vi phân chuyển động

950 ( ) 110 ( ) 320 ( )u t  u t  u t  12 sin(2, 5 )t

b) Tần số tự nhiên của hệ

320 0,58( / ) 950

n

K

m

Chu kì tự nhiên của hệ

2 2

10,83( ) 0,58

n

w

2 0

0

1 ( / ) [1 ( / ) ] [2 ( / ) ]

2 ( / ) [1 ( / ) ] [2 ( / ) ]

n

n

p

C

k

p

D

k

 

  









Với p0  12;  2, 5   C 0, 002;D  0, 001

Nghiệm tổng quát của hệ:

( ) n t[ cos( ) sin( )] ( ) (*)

u t e A  t B  t u t

Từ điều kiện ban đầu: u(0)  0; (0)u  0

Thay t =0 vào (*) ta được:

0      A D A D 0, 001

Đạo hàm hai vế phương trình (*) ta được:

( ) [ cos( ) sin( )] [ sin( ) cos( )]

cos( ) sin( ) (**)

Thay u(0)  0vào phương trình (**) ta được:

D

A C





Vậy phương trình chuyển động của hệ là:

0,058 ( ) t[0, 0001cos(0,577 ) 0, 009sin(0,577 )] 0, 002 sin(2,5 ) 0, 0001cos(2,5 )

Vẽ đồ thị: (sử dụng Mapple để vẽ đồ thị)

Nhận xét: Dao động của hệ gần như ổn định sau 60s đầu

Câu 2: Cho hệ một bậc tự do như hình vẽ

Số liệu đề bài

( / )

( )

I m L m( ) k lx(N m/ ) m kg( )

- Độ cứng của dầm

4

48 48 2,1 10 530 10

7, 21 10 ( / )

4, 2

d

EI

L



- Độ cứng tương đương

4 4

7, 21 10 1200

1180, 4( / )

7, 21 10 1200

d lx

td

d lx

- Tần số vòng tự nhiên của hệ

1180, 4

3, 28( / ) 110

td

n

k

rad s m

Câu 3: Cho hệ một bậc tự do như hình vẽ

Số liệu đề bài

( / )

E N m I m c( 4) H m( ) m kg( ) (%) p t kN( )( )

1 3, 2 10  10 4

1, 2 10   4,1 6200 4 610 cos(11 )t

a) Xác định phương trình chuyển động u(t)

 Xác định các thông số

- Biên độ dao động của lực

0 610 10 ( )

- Tần số vòng của lực

11(rad s/ )



- Độ cứng k của hệ

3

24 24 3, 2 10 1, 2 10

1337,18 10 ( / ) 4,1

c

EI

H



- Tần số vòng tự nhiên

3 1337,18 10

14, 686( / ) 6200

n

k

rad s m

- Tần số vòng tự nhiên của hệ có cản

1 14, 686 1 0, 04 14, 674( / )

 Nghiệm riêng của phương trình chuyển động

( ) sin( ) cos( )

p

2 0

1 ( / ) (1 ( / ) ) (2 / )

610 10 1 (11/14, 686)

1, 020

1337180 (1 (11/14, 686) ) (2 0, 04 11/14, 686)

n

p D

k

 



0

3

2 ( / ) (1 ( / ) ) (2 / )

610 10 2 0, 04 (11/14, 686)

0,1393

1337180 (1 (11/14, 686) ) (2 0, 04 11/14, 686)

n

p C

k

  

( ) 1, 02sin(11 ) 0,1393cos(11 )

p

- Nghiệm tổng quát của phương trình chuyển động có dạng

( ) h( ) p( )

u t u t u t (**)

Với: ( ) n t( cos( ) sin( ))

Các hệ số A,B được xác định như sau:

Thay t=0 vào phương trình (**) ta được

0,587 ( ) [ 0,1393cos(14, 674 ) 0,109sin(14, 674 )] 0,1393sin(11 ) 1, 020 cos(11 )

 Đồ thị quan hệ giữa u(t) và thời gian

b) Dùng phương pháp xấp xỉ tuyến tính lực kích thích để vẽ đồ thị

Kết quả của phương pháp xấp xỉ tuyến tính lực kích thích là:

u Au Bu Cp Dp

u A u B u C p D p





Với các giá trị A, B, C, D, A’, B’, C’ D’ đuoc75 tính như sau

2 sin( ) cos( ) 1

n t



1 sin( )

n t

D D



2

2

sin( ) 1 cos( ) 1

n t



2



2 sin( ) 1

D



cos( ) sin( )

1

n t



2

1

1

n t

k t



Thay số ta tính được

0,9893; 0, 0099; 5,34 10 ; 2, 68 10

2,3164; 0, 09776; 7,9 10 ; 8, 0 10

A   B  C    D   

Chọn t=0.01, ta được kết quả như sau

Với các giá trị ban đầu

1

(0) 0; (0) 0; (0) 610 ; ( )i cos(11 );i

i i

  

Bảng giá trị cho 10 bước lập đầu tiên: