Tính nguyên tố của môđun trong vành tự đồng cấu

LỜI GIỚI THIỆUTrong bài này, chúng tôi nghiên cứu khái niệm môđun con nguyên tố của một R-môđun phải và mô tả các thuộc tính của chúng cũng như tổng quát về iđêan nguyên tố trong vành tự

Mục lục

1.1 Một số khái niệm cơ bản 3 1.2 Vành và môđun Artin 5

2.1 Khái niệm và một số tính chất 6 2.2 Môđun nguyên tố 10 2.3 Mối quan hệ giữa môđun nguyên tố và vành tự đồng cấu của nó 12 2.4 Tính chất của môđun nửa nguyên tố 13

LỜI GIỚI THIỆU

Trong bài này, chúng tôi nghiên cứu khái niệm môđun con nguyên tố của một

R-môđun phải và mô tả các thuộc tính của chúng cũng như tổng quát về iđêan

nguyên tố trong vành tự đồng cấu xem [11]

Môđun con nguyên tố và môđun nguyên tố đã được nhiều tác giả nghiên cứu

Để chuyển cấu trúc của iđêan nguyên tố sang môđun nhiều tác giả đã chuyển khái niệm từ môđun phải sang môđun trái trên các vành liên kết tương ứng Bởi sự tương ứng những thuộc tính cơ bản của iđêan nguyên tố, một số tác giả đã giới thiệu khái niệm của môđun con nguyên tố và môđun nguyên tố, nghiên cứu về cấu trúc của chúng Tuy nhiên, những khái niệm này chỉ có giá trị trong một vài trường hợp môđun trong vành giao hoán Trong một số trường hợp vành không giao hoán, ta không thể tìm ra bất cứ cấu trúc nào tương tự của iđêan nguyên tố Để làm rõ hơn

về vấn đề này chúng tôi đã chọn tên đề tài là:

"Tính nguyên tố của môđun trong vành tự đồng cấu"

Ngoài phần giới thiệu và kết luận thì đề tài được chia thành hai chương chính như sau:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Đưa ra các khái niệm của môđun như: môđun, môđun con, môđun trung thành, nhắc lại một số khái niệm có sử dụng trong bài báo cáo

Chương 2: Môđun nguyên tố và nửa nguyên tố Trong chương này chúng tôi sẽ đưa ra các tính chất cơ bản của môđun nguyên tố, nửa nguyên tố, môđun con nguyên tố, trong vành tự đồng cấu Một số tính chất liên quan giữa môđun nguyên tố và iđêan nguyên tố Ngoài ra, tính chất của vành R nửa đơn thông qua

tính nửa nguyên tố của môđun cũng được xét đến

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong đề tài này, vành R đã cho luôn là vành kết hợp có đơn vị 1 6= 0 (không nhất

thiết là vành giao hoán)

1.1 Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1 (Môđun)

Cho vành R M được gọi là R-môđun phải nếu và chỉ nếu M là nhóm cộng aben

cùng với phép toán nhân (ngoài)

Ánh xạ: M × R → M thỏa mãn các điều kiện sau:

(m, r) 7→ mr

(i) quy tắc kết hợp: m(rr0) = (mr)r0

(ii) quy tắc phân phối: (m + m0)r = mr + mr0

m(r + r0) = mr + mr0

(iii) quy tắc Unita: m1 = m

∀m, m0 ∈ M , ∀r, r0 ∈ R

Một R-môđun phải thường được kí hiệu là MR

Tương tự, ta cũng có khái niệmR-môđun trái Kí hiệu: RM

Định nghĩa 1.1.2 (Môđun con)

Cho MR và A là nhóm con của M A được gọi là môđun con của M Nếu A là R-môđun phải với phép toán cộng và nhân hạn chế trên A.

Ký hiệu: A ≤ M

Ngoài ra nếu ta viết, A < M thì A được hiểu là môđun con thực sự của M

Định nghĩa 1.1.3 (Iđêan trái)

Cho R là vành và ∅ 6= I ⊂ R I được gọi là iđêan phải của vành R nếu và chỉ nếu:

i) ∀x, y ∈ I ⇒ x − y ∈ I.

ii) ∀x ∈ I, ∀r ∈ R ⇒ rx ∈ I.

Tương tự, ta cũng có định nghĩa iđêan phải

Định nghĩa 1.1.4 (Môđun con bất biến đầy)

Cho M là R-môđun phải và S = EndR(M ) là vành tự đồng cấu Một môđun con

X của M được gọi là môđun con bất biến đầy của M nếu với mọi s ∈ S, ta có s(X) ≤ X.

Để thuận tiện cho việc chứng minh chúng tôi kí hiệu môđun con bất biến hoàn toàn X của M là X ≤f i M

Định nghĩa 1.1.5 (Môđun đơn)

Môđun M được gọi là đơn nếu M 6= 0 và ∀A ≤ M (A = 0 hoặc A = M ), nghĩa là

M 6= 0 và M chỉ có hai môđun con là 0 và M Đặc biệt, M được gọi là nửa đơn

nếu mọi môđun con là hạng tử trực tiếp, hoặc tương đươngM là tổng trực tiếp của

các môđun con đơn

Định nghĩa 1.1.6 (Môđun trung thành)

Cho M là R-môđun phải Khi đó M được gọi là trung thành nếu chỉ nếu rR(M ) =

0, với rR(M ) = {x ∈ R|mx = 0, ∀m ∈ M }.

Định nghĩa 1.1.7 (Môđun nội xạ)

Môđun Q được gọi là nội xạ nếu và chỉ nếu mọi đơn cấu f : K → M và mỗi đồng

cấu g: K → U thì tồn tại một đồng cấu p: M → U sao cho: pf = g, nghĩa là biểu

đồ sau giao hoán:

U

6 g

-f pp pp pp pp

I p

Khi đó, ta gọi p là mở rộng của g theo đơn cấu f

Định nghĩa 1.1.8 (Đồng cấu môđun)

ChoM, N là hai R - môđun phải Đồng cấu α từ M vào N đó là ánh xạ α: M → N

thỏa: ∀a1, a2 ∈ M , ∀r1, r2 ∈ R: [α(a1r1 + a2r2)] = α(a1)r1+ α(a2)r2 Lúc đó, ta viếtα: MR → NR

Đặc biệt,f : M → M còn được gọi là tự đồng cấu của M.

Kí hiệu:End(M ) = {tự đồng cấu của M } : Vành tự đồng cấu của M

Định nghĩa 1.1.9 (Toàn cấu chính tắc)

Cho A ≤ M Ánh xạ p : M → M/A

m 7→ p(m) = m + A

Khi đó, p là đồng cấu và được gọi là toàn cấu chính tắc.

Kerp = {∀m ∈ M |p(m) = 0} = {∀m ∈ M |m + A = 0 + A}

= {∀m ∈ M |m ∈ A} = A

Bổ đề 1.1.10 (Bổ đề Zorn’s)

Cho một tập hợpS 6= ∅ Trên S người ta trang bị một quan hệ thứ tự "≤" Nếu với

mọi ∅ 6= Γ ∈ S được sắp thứ tự toàn phần (hai phần tử bất kì luôn so sánh được

với nhau) đều có cận trên lớn nhất, thì S có phần tử cực đại.

1.2 Vành và môđun Artin

Định nghĩa 1.2.1 (Định nghĩa dãy DCC)

Tập J các iđêan phải của R được gọi là thỏa mãn điều kiện dãy giảm (descending

chain condition, thường được viết tắt DCC) nếu với mọi dãy

L1 ≥ L2 ≥ ≥ Ln ≥

trong J , tồn tại n ∈ N để cho Ln+i = Ln, (∀i = 1, 2, ).

Tương tự ta cũng có định nghĩa điều kiện dây chuyền tăng, kí hiệu ACC.

Định nghĩa 1.2.2 (Môđun Artin)

Một môđun M được gọi là môđun Artin nếu M thỏa điều kiện DCC trên các

môđun con của M Vành R được gọi là Artin phải nếu RR là môđun Artin

Định lý 1.2.3 Các điều kiện sau là tương đương:

(1) R là vành Artin phải.

(2) Mọi tập con khác rỗng các iđêan phải của R có phần tử cực tiểu.

(3)Cho {Ai, i ∈ I} các iđêan phải của R, tồn tại tập con hữu hạn I0 ⊆ I sao

cho ∩i∈IAi = ∩i∈I0Ai.

Chương 2

Môđun nguyên tố và nửa nguyên tố

Toàn bộ kết quả trong bài này đều được lấy từ bài báo [11] Tuy nhiên, các định lý được chứng minh vắn tắt do đó trong đề tài này tôi sẽ trình bày lại chi tiết,

rõ ràng hơn

2.1 Khái niệm và một số tính chất

Theo định nghĩa môđun con bất biến đầy ta thấy lớp của tất cả các môđun con bất biến đầy của M là không rỗng và đóng đối với các tổng và tích Đặc biệt, một

iđêan phải của R là môđun con bất biến đầy của RR nếu nó là iđêan hai phía của

R.

Cho I, J ⊂ S và X ≤ M Quy ước:

I(X) = P

f ∈I

f (X)

Ker(I) = \

f ∈I

Kerf

I.J = { P

1≤i≤n

xiyi | xi ∈ I, yi ∈ I, 1 ≤ i ≤ n, n ∈ N}

Với những quy ước trên ta thấy bất kì R-môđun phải của M và bất kì iđêan

I ≤ R, tập M I là môđun con bất biến đầy của M

Định nghĩa 2.1.1 Cho M là một R-môđun phải và X ≤f i M , X 6= M X được

gọi là môđun con nguyên tố của M (ta nói X nguyên tố trong M ) nếu với mọi

iđêan I ≤ S, ∀U ≤f i M : I(U ) ≤ X thì I(M ) ≤ X hoặc U ≤ X

Đặc biệt, một iđêanP ≤ R là một iđêan nguyên tố nếu với mọi iđêan I, J ≤ R: I.J ≤ R thì I ≤ P hoặc J ≤ P Một R-môđun phải của M được gọi là môđun nguyên tố nếu 0 là nguyên tố trong M

Định lý 2.1.2 Cho X < M là một môđun con bất biến đầy Các điều kiện sau là tương đương:

(1) X là môđun con nguyên tố của M ;

(2) ∀ iđêan phải I ≤ S,∀ môđun con U ≤ M , nếu I(U ) ≤ X thì I(M ) ≤ X

hoặc U ≤ X.

(3) ∀ϕ ∈ S, ∀U ≤f i M nếu ϕ(U ) ≤ X thì ϕ(M ) ≤ X hoặc U ≤ X.

(4) ∀I là iđêan trái của S, ∀A ⊂ M , nếu IS(A) ⊂ X thì I(M ) ≤ X hoặc

A ⊂ X.

(5) ∀ϕ ∈ S, ∀m ∈ M , nếu ϕ(S(m)) ⊂ X thì ϕ(M ) ≤ X hoặc m ∈ X.

Hơn nữa, nếu M là tự xạ ảnh thì điều kiện trên là tương đương:

(6) M/X là môđun nguyên tố.

Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử X là môđun con nguyên tố của M và I là iđêan

phải của S Khi đó, I = IS và SI là iđêan của S Với U là môđun con của M

ta có S(U ) ≤f i M Do S = End(M ), với mọi ϕ ∈ S, mọi e ∈ S, u ∈ U ta có ϕ(e(u)) = ϕ(e)(u) ∈ S(U ) suy ra S(U ) ≤f i M (vì X ≤f i M ).

Nếu I(U ) ≤ X thì (SI)(S(U )) = SIS(U ) = S(I(U )) ≤ X Vì X là môđun con

nguyên tố của M nên ta có SI(M ) ≤ X hoặc U ≤ X Suy ra I(M ) ≤ X hoặc

U ≤ X.

(2) =⇒ (3) Cho ϕ ∈ S và U ≤f i M sao cho ϕ(U ) ≤ X Suy ra ϕ(U ) = ϕ(S(U )) = ϕS(U ) Theo (2) ta có ϕS(M ) ≤ X hoặc U ≤ X Suy ra ϕ(M ) ≤ X

hoặc U ≤ X.

(3) =⇒ (5) Cho ϕ ∈ S, m ∈ M suy ra ϕ(S(m)) ⊂ X Ta có ϕ(S(m))R ≤ X

suy ra ϕ(S(mR)) ≤ X Theo (3) ta có ϕ(S(M ) ≤ X hoặc S(mR) ≤ X Vậy suy

ra ϕ(M ) ≤ X hoặc m ∈ X.

(2) =⇒ (4) Cho I là iđêan trái của S và A ⊂ M sao cho IS(A) ⊂ X Ta có

IS(A)R ≤ X suy ra IS(AR) ≤ X Theo (2) ta có IS(M ) ≤ X hoặc AR ≤ X.

Vậy I(M ) ≤ X hoặc A ⊆ X

(4) =⇒ (5) X ≤f i M Giả sử ϕS(m) ⊂ X kéo theo S(ϕ(S(m))) ⊂ X (do

X ≤f i M ) Suy ra (Sϕ)(S(m)) ⊂ X Theo (4) ta có Sϕ(M ) ≤ X hoặc m ∈ X.

Vậy ϕ(M ) ≤ X hoặc m ∈ X.

(5) =⇒ (1) Cho I là iđêan của S và U ≤f i M với IU ≤ X Giả sử I(M ) 6≤ X và

U 6≤ X Khi đó, tồn tại ϕ ∈ I sao cho ϕ(M ) 6≤ X và m ∈ U \X Theo (5) ta có ϕS(m) 6⊂ X.

(1) =⇒ (6) Cho U là môđun con bất biến đầy của M = M/X và ψ ∈ EndR(M)

sao cho ϕ(U ) = 0 và ψ 6= 0 Do M là tự xạ ảnh nên tồn tại một tự đồng cấu

f ∈ S của M sao cho υf = ψυ, với υ là toàn cấu chính tắc từ M → M Giả

sử f (M ) 6≤ X Đặt V = υ−1(U ) ta có υf (V ) = 0 suy ra f (V ) ≤ X Vậy V là

môđun con bất biến đầy củaM

Mà X ≤f i M nên f (V ) ≤ X thì V ≤ X suy ra U = 0 Từ đây ta có 0 là nguyên

tố trong M hay M là môđun nguyên tố.

(6) =⇒ (1) Cho ϕ ∈ S và U là môđun con bất biến đầy của M sao cho ϕ(U ) ≤ X

và ϕ(M ) 6⊂ X Vì X ≤f i M nên tồn tại tự đồng cấu ψ của M sao cho υϕ = ψυ

Mà υϕ(U ) = ψυ(U ) = 0 suy ra ψ = 0 Theo giả thiết υ(U ) = 0 =⇒ U ≤ X.

Hệ quả 2.1.3 Cho P là một iđêan riêng trong vành R Các điều kiện sau là tương đương:

(1) P là iđêan nguyên tố

(2) I, J là hai iđêan phải của R Nếu IJ ≤ P thì I ≤ P hoặc J ≤ P

(3) Với mọi a ∈ R, mọi I là iđêan của R Nếu aI ≤ P thì aR ≤ P hoặc I ≤ P (4) I, J là hai iđêan trái của R Nếu IJ ≤ P thì I ≤ P hoặc J ≤ P

(5) Cho x, y ∈ R Nếu xRy ≤ P thì x ∈ P hoặc y ∈ P

(6) R/P là vành nguyên tố.

Ví dụ 2.1.4 (1) Cho Z4 = {0, 1, 2, 3} là nhóm cộng tính của số nguyên môđun 4.

X =< 2 > là một môđun con nguyên tố của Z-môđun Z4

(2) Cho M là một môđun nửa đơn.

M = M

i∈I

Ci

với Ci là thành phần đơn của M Đặt

M = M

i∈I,i6=j

Ci

thì mỗi Mj là môđun con nguyên tố của M

(3) Nếu M là môđun nửa đơn có duy nhất một thành phần cấu thành thì 0 là một môđun con nguyên tố Đặc biệt, nếu M là đơn thì 0 là môđun con nguyên tố.

Chú ý 2.1.5 Một môđun con N của môđun M trong vành giao hoán R là một môđun con nguyên tố của M nếu ∀n ∈ R, m ∈ M : mr ∈ N thì M r ∈ N hoặc

m ∈ N

Khi R là vành giao hoán, ánh xạ ϕ : M → M xác định bởi ϕ(m) = mr là một tự đồng cấu của M

Mệnh đề 2.1.6 Cho M là một R-môđun phải, X là môđun con bất biến đầy của

M Nếu X là cực đại trong lớp các môđun con bất biến đầy của M thì X là một môđun con nguyên tố của M Đặc biệt, mọi iđêan cực đại của một vành R là iđêan nguyên tố.

Chứng minh Cho U là môđun con bất biến đầy của M và ϕ ∈ S = End(MR) Giả sử U 6≤ X và ϕ(U ) ≤ X Theo tính cực đại của X ta có U + X = M Do đó

ϕ(M ) = ϕ(U ) + ϕ(X) ⊂ X (vì X ≤ M ).

Vậy theo Định lý 2.1.2 (3) ta chứng minh được X là môđun con nguyên tố của

M

Định nghĩa 2.1.7 Một môđun con nguyên tố X của một R-môđun phải của M

được gọi là môđun con nguyên tố cực tiểu nếu nó là nhỏ nhất trong lớp các môđun

con nguyên tố củaM

Mệnh đề kéo theo cho ta một tính chất tương tự trong một vành: mọi iđêan nguyên

tố chứa một iđêan nguyên tố cực tiểu

Mệnh đề 2.1.8 Nếu P là một môđun con nguyên tố của R-môđun phải của M thì

P chứa một môđun con nguyên tố cực tiểu của M

Chứng minh Cho F là tập tất cả các môđun con nguyên tố của M nằm trong P

Khi đó, P ∈ F , F khác rỗng Áp dụng bổ đề Zorn’s chứng tỏ rằng F có một phần

tử cực tiểu với quan hệ thứ tự bao hàm Chúng ta chỉ ra rằng bất kì Ø 6= G ⊂ F

(sắp thứ tự toàn phần) có cận dưới trong F

Đặt Q = ∩N ∈GN Dễ dàng chỉ ra rằng Q là một môđun con bất biến đầy của M

Tiếp theo ta chứng minh Q là một môđun con nguyên tố của M và Q ⊂ P

Giả sử rằng ϕ ∈ S và m ∈ M \Q sao cho ϕ(S(m)) ⊂ Q Từ m / ∈ Q = ∩N ∈GN ,

suy ra tồn tại N ∈ G sao cho m / ∈ N Mà theo tính chất nguyên tố của N ta có

ϕ(M ) ≤ N

∀U ∈ G thì U ≤ N hoặc N ≤ U Nếu U ≤ N ta thấy m / ∈ U suy ra ϕ(M ) ≤ U

(do tính chất nguyên tố của U ).

Trường hợp N ≤ U ta có: ϕ(M ) ≤ N ≤ U Vậy ϕ(M ) ⊂ U , ∀U ⊂ G.

Tóm lại ϕ(M ) ⊂ Q điều này chứng tỏ Q là môđun con nguyên tố trong M và Q

là cận dưới G Theo bổ đề Zorn’s, tồn tại môđun P∗ là môđun con nguyên tố nhỏ nhất trong F Vậy P∗ là môđun con nguyên tố nhỏ nhất của M chứa trong P

Bổ đề 2.1.9 Cho M là một R-môđun phải và S = End(MR) Giả sử X là môđun

con bất biến đầy của M Khi đó tập IX = {f ∈ S|f (M ) ≤ X} là iđêan hai phía

của S.

Chứng minh Cho ϕ ∈ S và f ∈ IX Khi đó, ϕf (M ) ≤ ϕ(X) ≤ X và f ϕ(M ) ⊂

f (M ) ⊂ X Từ đây, rõ ràng (IX, +) là một nhóm aben hay IX là iđêan hai phía của S.

Định lý 2.1.10 Cho M là một R-môđun phải, S = End(MR) và X là môđun con

bất biến đầy của M Nếu X là môđun con nguyên tố của M thì IX là iđêan nguyên

tố của S Ngược lại, nếu M là tự sinh và IX là iđêan nguyên tố của S thì X là môđun con nguyên tố của M

Chứng minh Lấy J, K là iđêan hai phía của S sao cho J K ≤ IX suy raJ K(M ) ≤

IX(M ) ≤ X Giả sử rằng J 6≤ IX thì J (M ) 6≤ X và theo tính nguyên tố của X ta

cóK(M ) ≤ X Suy ra, K ≤ IX Điều này chứng tỏIX là iđêan nguyên tố củaS.

Giả sử M là tự sinh, X là môđun con bất biến đầy của M và IX là iđêan nguyên

tố của S Với mọi ϕ ∈ S và mọi U là môđun con bất biến đầy của M sao cho ϕ(U ) ≤ X Nếu ϕ(M ) 6≤ X thì ϕ / ∈ IX Do M là tự sinh nên ta có U = P

f ∈H

f (M ),

cho H ⊂ End(M ) nào đó Khi đó f (M ) ≤ U , ∀f ∈ H.

Lấy ψ ∈ S,∀f ∈ I ta có ψf (M ) ≤ ψ(U ) ≤ U (vì U ≤f i M ) nên Sfi(M ) ⊂ U

Suy raI ⊂ S suy ra ϕ(Sf (M )) ≤ X nên ϕSf ≤ IX, ∀f ∈ H.

Từ ϕ / ∈ IX, theo Hệ quả 2.1.3(5) ta cófX ∈ IX hay fX(M ) ≤ X, với ∀f ∈ H.

Điều này suy ra U ≤ X Vậy X là môđun con nguyên tố của M

Tiếp theo phần này chúng ta sẽ làm rõ khái niệm, các đặc trưng của môđun nguyên tố

2.2 Môđun nguyên tố

Định nghĩa 2.2.1 Một môđun con chính bất biến đầy X của một R-môđun phải

của M được gọi là môđun con nửa nguyên tố nếu nó là giao của các môđun con

nguyên tố củaM

Một R-môđun phải của M được gọi là môđun nguyên tố nếu 0 là một môđun con

nửa nguyên tố của M Một vành R được gọi là vành nguyên tố nếu RR là một môđun nguyên tố

Một R-môđun phải của M được gọi là môđun nửa nguyên tố nếu 0 là một môđun

con nửa nguyên tố của M Do đó, một vành R là một vành nửa nguyên tố nếu RR

là nửa nguyên tố Theo tính chất đối xứng, vành R là vành nguyên tố nếu RR là

một R-môđun trái nửa nguyên tố.

Ví dụ 2.2.2 (1) Mọi môđun nửa đơn với một thành phần cấu thành là một môđun

nguyên tố Đặc biệt, mọi môđun đơn là nguyên tố.

(2) Mọi môđun nửa đơn là nửa nguyên tố.

(3) Z được coi như một môđun, Z4 không phải là môđun nửa nguyên tố.

Định lý 2.2.3 Cho M là một môđun nguyên tố Khi đó một vành tự đồng cấu S của nó là vành nguyên tố Ngược lại, nếu M là tự sinh và S là một vành nguyên tố thì M là một môđun nguyên tố.

Chứng minh Do M là môđun nguyên tố, 0 là môđun con nguyên tố của M Theo

Định lý 2.1.10 ta có tậpI0 = 0 là một iđêan nguyên tố của S, suy ra S là một vành

nguyên tố Ngược lại, theo Định lý 2.1.10 ta thấy, 0 là môđun con nguyên tố củaM

suy ra I0 = 0 là iđêan nguyên tố của S.

Bổ đề 2.2.4 Cho M là một môđun tự xạ ảnh, P là môđun con nguyên tố của M ,

A ≤ P là môđun con bất biến đầy của M Khi đó P/A là một môđun con nguyên

tố của M/A.

Chứng minh Cho S = EndR(M/A) Lấy ϕ ∈ S và X/A là môđun con bất biến

đầy của M/A với A ≤ X và ϕ(X/A) ≤ (P/A) Do M là tự xạ ảnh nên tồn tại

f ∈ S sao cho ϕυ = υf , trong đó υ : M → M/A là một phép chiếu chính tắc Ta

cóϕ(X/A) = ϕυ(X) = υf (X) = (f (X) + A)/A ≤ P/A suy ra f (X) ≤ P

Do A là môđun con bất biến đầy của M và X/A là môđun con bất biến đầy của M/A nên X là môđun con bất biến đầy của M Theo tính nguyên tố của P ta có

f (M ) ≤ P hoặc X ≤ P Từ đó, (f (M ) + A)/A ≤ P/A hoặc X/A ≤ P/A Suy

ra ϕ(M/A) = (f (M ) + A)/A ≤ P/A hoặc X/A ≤ P/A Vậy P/A là môđun con

nguyên tố củaM/A.

Bổ đề 2.2.5 Cho M là một môđun tự xạ ảnh và A là môđun con bất biến đầy của

M Nếu P ≤ M/A là môđun con nguyên tố của M/A thì υ−1(P ) là môđun con

nguyên tố của M

Chứng minh Đặt M = M/A và P = υ−1(P ) với υ : M → M/A là toàn cấu

chính tắc

Giả sử rằng f ∈ S = End(M ) và X là môđun con bất biến đầy của M với

f (X) ≤ P Do A là môđun con bất biến đầy của M nên tồn tại f ∈ S sao cho

f υ = υf

Ta có f (X) ≤ P nên υf (X) ≤ υ(P ) = P hoặc f υ(X) ≤ P Mà M là môđun

tự xạ ảnh nên υ(X) là môđun con bất biến đầy của M/A Theo giả thiết ta có

f (M ) ≤ P hoặc υ(X) ≤ P

Nếu f (M ) ≤ P thì f υ(M ) ≤ P hoặc υf (M ) ≤ P suy ra f (M ) ≤ P

Nếu υ(X) ≤ P , thì X ≤ P Vậy P là môđun con nguyên tố của M

Với R-môđun phải của M Kí hiệu P (M ) là giao của tất cả các môđun con

nguyên tố của M Theo định nghĩa của chúng ta thì M là môđun nửa nguyên tố

nếu P (M ) = 0.

Định lý 2.2.6 Cho M là một môđun tự xạ ảnh Khi đó M/P (M ) là môđun nửa nguyên tố nghĩa là P (M/P (M )) = 0

Chứng minh Đặt M = M/P (M ) Theo Bổ đề 2.2.4 và 2.2.5 ta có

P (M) = \

X≤M ,X nguyên tố

X≤M,Xnguyên tố

X/P (M ) = ( \

X≤M,Xnguyên tố

X)/P (M )