Phương pháp bootstrap ước lượng tham số của đại lượng ngẫu nhiên

CHƯƠNG2PH×ÌNG PHP BOOTSTRAP2.1 Giîi thi»u ph÷ìng ph¡p Bootstrap Phuìng ph¡p Bootstrap l tªp hñp mët sè kÿ thuªt ph¥n t½ch düa v o nguy¶n lþ chån m¨u câ ho n l¤i sampling with replacemen

Tæi công xin gûi líi c£m ìn tîi t§t c£ th¦y cæ, gia ¼nh v  b¤n b± ¢gâp þ, õng hë v  ëng vi¶n tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  ho n th nhluªn v«n n y.

Do thíi gian v  tr¼nh ë cán h¤n ch¸, trong b i luªn v«n ch­c ch­ns³ cán nhi·u sai sât, tæi r§t mong nhªn ÷ñc nhi·u sü gâp þ v  ch¿ d¨ncõa th¦y cæ v  b¤n b± Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn!

L¶ Thà Thóy Quýnh

Mð ¦u 3

1.1 M¨u sè li»u 5

1.1.1 M¨u sè li»u 5

1.1.2 C¡c sè °c tr÷ng cõa mët m¨u sè li»u 5

1.2 ×îc l÷ñng iºm cho tham sè LNN chu©n 6

1.2.1 ×îc l÷ñng iºm v  h m ÷îc l÷ñng 6

1.2.2 ×îc l÷ñng khæng ch»ch cõa ký vång v  ph÷ìng sai 6 1.2.3 ×îc l÷ñng khæng ch»ch cõa t¿ l» 7

1.3 ×îc l÷ñng kho£ng cho tham sè LNN chu©n 7

1.3.1 ×îc l÷ñng kho£ng gi¡ trà trung b¼nh 7

1.3.2 ×îc l÷ñng kho£ng cho ph÷ìng sai 9

1.3.3 ×îc l÷ñng kho£ng cho t¿ l» 10

Ch÷ìng 2 Ph÷ìng ph¡p Bootstrap 11 2.1 Giîi thi»u ph÷ìng ph¡p Bootstrap 11

2.2 C¡c kh¡i ni»m 13

2.2.1 M¨u Bootstrap 13

2.2.2 H m ph¥n phèi thüc nghi»m cõa m¨u Bootstrap 13 2.2.3 Sai sè ti¶u chu©n 14

2.2.4 Kho£ng tin cªy Bootstrap-T 15

2.2.5 Kho£ng tin cªy ph¦n tr«m 15

2.3 ×îc l÷ñng kho£ng trung và cõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n 16

2.4 ×îc l÷ñng kho£ng k¼ vång cõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n 18

2.5 ×îc l÷ñng kho£ng ph÷ìng sai cõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n 20 2.6 ×îc l÷ñng kho£ng t¿ l» 22

MÐ †U

1.L½ do chån · t i

1.1.V i chöc n«m g¦n ¥y Lþ thuy¸t x¡c su§t v  Thèng k¶ to¡n câ r§tnhi·u ùng döng quan trång trong nhi·u l¾nh vüc kinh t¸, sinh vªt, y håc,vªt lþ, dü b¡o Nâ gióp chóng ta c¡ch tê chùc ch¿ ¤o s£n xu§t, ph¥nphèi l÷u thæng, gâp ph¦n dü b¡o kinh t¸, ¡nh gi¡ ch§t l÷ñng s£n ph©m,n«ng su§t lao ëng, thu thªp v  xû lþ mët khèi l÷ñng lîn sè li»u thængtin Cho n¶n vi»c nghi¶n cùu v  t¼m hiºu Lþ thuy¸t x¡c su§t v  Thèngk¶ to¡n ¢ trð th nh y¶u c¦u bùc thi¸t èi vîi h¦u h¸t c¡c c¡n bë khoahåc k¾ thuªt, kinh t¸ v  ¢ ÷ñc ÷a v o håc ð c¡c tr÷íng ¤i håc, cao

¯ng v  trung håc chuy¶n nghi»p

1.2.Trong thèng k¶, theo ph÷ìng ph¡p m  chóng ta v¨n th÷íng dòng

º ÷îc l÷ñng hay kiºm ành tham sè thèng k¶ l  ÷a ra c¡c gi£ ành v·ph¥n phèi cõa X ho°c gi£ ành v· cï m¨u Düa v o c¡c gi£ ành n y ºt¼m ph¥n phèi cõa c¡c thèng k¶ m  ta ang x²t Nh÷ng khæng ph£i lóc

n o gi£ ành cõa thèng k¶ m  chóng ta ang x²t công thäa ¡ng Trongtr÷íng hñp vi ph¤m c¡c gi£ ành thèng k¶ th¼ k¸t qu£ cõa vi»c ph¥n t½chs³ khæng câ þ ngh¾a

1.3 Ph÷ìng ph¡p Bootstrap ¢ ÷ñc x¥y düng º gi£i c¡c v§n · nh÷th¸ n y Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Bootstrap l  tªp hñp mët sè k¾ thuªtph¥n t½ch düa tr¶n nguy¶n lþ t¡i chån m¨u (resampling) º ÷îc t½nhc¡c thæng sè m  c¡c ph÷ìng ph¡p thèng k¶ truy·n thèng khæng câ gi£i

¡p Ph÷ìng ph¡p Bootstrap do Gi¡o s÷ Bradley Efron thuëc ¤i håcStanford ph¡t triºn tø cuèi thªp ni¶n 1970s, nh÷ng m¢i ¸n khi m¡yt½nh trð n¶n thæng döng th¼ mîi th nh mët ph÷ìng ph¡p phê bi¸n trongph¥n t½ch thèng k¶ Sü ra íi cõa ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Bootstrap

3

÷ñc ¡nh gi¡ l  mët cuëc c¡ch m¤ng quan trång trong thèng k¶ håc, v¼

nâ gi£i quy¸t nhi·u v§n · m  tr÷îc ¥y t÷ðng nh÷ khæng thº n o gi£i

֖c

Vîi c¡c l½ do tr¶n chóng tæi quy¸t ành chån · t i nghi¶n cùu choluªn v«n cõa m¼nh l : Ph÷ìng ph¡p Bootstrap ÷îc l÷ñng tham sècõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n chu©n

2 Möc ½ch nghi¶n cùu

Ph÷ìng ph¡p Bootstrap câ thº dòng º t½nh to¡n kho£ng tin cªyph¦n tr«m cho nhi·u tham sè cõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n chu©n ¥y l mët ph÷ìng ph¡p r§t húu hi»u v  ÷ñc ¡nh gi¡ l  mët cuëc c¡ch m¤ngquan trång trong khoa håc thèng k¶

3 èi t÷ñng nghi¶n cùu

èi t÷ñng nghi¶n cùu l  ÷îc l÷ñng c¡c tham sè cõa ¤i l÷ñng ng¨unhi¶n

4 Ph¤m vi nghi¶n cùu

Do t½nh a d¤ng công nh÷ nhu c¦u gi£i quy¸t c¡c b i to¡n trong c¡cl¾nh vüc khoa håc tü nhi¶n công nh÷ khoa håc x¢ hëi n¶n trong luªnv«n n y, tæi tªp trung nghi¶n cùu ÷îc l÷ñng kho£ng trung và, k¼ vång,ph÷ìng sai, t¿ l» cõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n b¬ng ph÷ìng ph¡p Bootstrap

5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

V¼ ph÷ìng ph¡p Bootstrap ái häi câ m¡y t½nh n¶n trong b i n y, tæi

sû döng ngæn ngú R º thüc hi»n ph÷ìng ph¡p Bootstrap, v¼ R l  mëtngæn ngú t÷ìng èi d¹ sû döng nh÷ng r§t linh ho¤t º t½nh to¡n c¡c v§n

· khâ trong thüc t¸ nghi¶n cùu v  °c bi»t l  ph¦n m·m mi¹n ph½

6 C§u tróc luªn v«n: B i luªn v«n gçm câ 2 ch÷ìng

Ch÷ìng 1 : Nh­c l¤i mët sè ki¸n thùc cì sð thèng k¶ cê iºn

Ch÷ìng 2: Giîi thi»u v· ph÷ìng ph¡p Bootstrap công nh÷ ×îc l÷ñngtham sè cõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n b¬ng ph÷ìng ph¡p Bootstrap

CHƯƠNG1KI˜N THÙC CÌ SÐ

1.1 M¨u sè li»u

1.1.1 M¨u sè li»u

º nghi¶n cùu mët t½nh ch§t n o â cõa têng thº chóng ta câ thºchån ng¨u nhi¶n n ph¦n tû cõa têng thº â v  ghi l¤i c¡c thæng tin v·t½nh ch§t X cõa c¡c ph¦n tû â Gi£ sû ta thu ÷ñc n sè li»u v· t½nhch§t X cõa n ph¦n tû ÷ñc l§y ng¨u nhi¶n tø têng thº l  x1,x2, , xn Khi â, {x1, x2, , xn} ÷ñc gåi l  m¨u sè li»u, n ÷ñc gåi l  k½ch th÷îcm¨u

V½ dö : º nghi¶n cùu tuêi thå bâng ±n do cæng ty s£n xu§t ng÷íi kÿs÷ s³ ti¸n h nh l m th½ nghi»m ng¨u nhi¶n 10 bâng ±n v  thu ÷ñc k¸tqu£ tuêi thå (t½nh theo gií) cõa 10 bâng ±n n y l  : 1153, 1160, 1152,

1158, 1162, 1151, 1159, 1161, 1155, 1157 Khi â ta câ m¨u sè li»u k½chth÷îc n=10:

{1153, 1160, 1152, 1158, 1162, 1151, 1159, 1161, 1155, 1157}

1.1.2 C¡c sè °c tr÷ng cõa mët m¨u sè li»u

1 K¼ vång m¨u v  ph÷ìng sai m¨u

Cho {x1, x2, , xn} l  mët m¨u sè li»u k½ch th÷îc n

a) Trung b¼nh m¨u, k½ hi»u l  ¯x, ÷ñc t½nh theo cæng thùc :

¯

x = x1 + x2 + + xn

1n

b) Ph÷ìng sai m¨u, k½ hi»u l  s2, ÷ñc t½nh theo cæng thùc :

t = h (x1, x2, , xn)1.2.2 ×îc l÷ñng khæng ch»ch cõa ký vång v  ph÷ìng saiGi£ sû X1, X2, , Xn l  c¡c ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ëc lªp còng ph¥nphèi x¡c su§t vîi ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n X vîi E (X) = µ, V (X) = σ2.Khi â :

Gi£ sû t¿ l» ph¦n tû câ °c t½nh A câ trong mët têng thº n o â l 

p º ÷îc l÷ñng p ta c¦n kh£o s¡t mët m¨u n ph¦n tû b§t k¼ cõa têngthº Ch¯ng h¤n ta c¦n ÷îc l÷ñng t¿ l» ph¸ ph©m cõa mët nh  m¡y, t¿ l»

cû tri õng hë ùng vi¶n A trong b¦u cû

Gåi X l  sè ph¦n tû câ °c t½nh A trong méi l¦n l§y ng¨u nhi¶n ra nph¦n tû cõa têng thº Khi â, X l  ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n câ ph¥n phèinhà thùc vîi tham sè n v  p (t¿ l» ph¦n tû mang °c t½nh A câ trongtêng thº) v  ˆP = Xn l  ÷îc l÷ñng khæng ch»ch cõa p

1.3 ×îc l÷ñng kho£ng cho tham sè LNN chu©n

1.3.1 ×îc l÷ñng kho£ng gi¡ trà trung b¼nh

Gi£ sû ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n X câ gi¡ trà trung b¼nh E (X) = µ ch÷abi¸t, ÷îc l÷ñng kho£ng cho µ câ d¤ng l ≤ µ ≤ u

º t¼m l v  u ta câ thº l§y ra n gi¡ trà cõa X, ch¯ng h¤n x1,x2, , xn

X1,X2, , Xn l  c¡c ¤i l÷ñng ëc lªp còng ph¥n phèi vîi X

Gi£ sû ta x¡c ành ÷ñc c¡c ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n L v  U sao cho

P (L ≤ µ ≤ U ) = 1 − αtrong â 0 < α < 1

Khi â vîi x¡c su§t 1 − α cho tr÷îc ta thu ÷ñc kho£ng ng¨u nhi¶n cho

Kho£ng tin cªy èi xùng:

N¸u {x1, x2, , xn} l  m¨u sè li»u k½ch th÷îc n c¡c gi¡ trà cõa LNN

χ ∼ N µ, σ2
, th¼ vîi ë tin cªy (1 − α).100% , ÷îc l÷ñng kho£ng cõa

Kho£ng tin cªy mët ph½a:

N¸u {x1, x2, , xn} l  m¨u sè li»u k½ch th÷îc n c¡c gi¡ trà cõa LNN

χ ∼ N µ, σ2
, th¼ :

vîi ë tin cªy (1 − α).100% , ÷îc l÷ñng kho£ng b¶n ph£i cõa µ l  :

−∞ < µ < ¯X + u1−α· √σ

nvîi ë tin cªy (1 − α).100% , ÷îc l÷ñng kho£ng b¶n tr¡i cõa µ l  :

khi σ2 ch÷a bi¸t

Kho£ng tin cªy èi xùng:

N¸u {x1, x2, , xn} l  m¨u sè li»u k½ch th÷îc n c¡c gi¡ trà cõa LNN

χ ∼ N µ, σ2
, th¼ vîi ë tin cªy (1 − α).100% , ÷îc l÷ñng kho£ng cõa

Kho£ng tin cªy mët ph½a:

N¸u {x1, x2, , xn} l  m¨u sè li»u k½ch th÷îc n c¡c gi¡ trà cõa LNN

χ ∼ N µ, σ2
, th¼

vîi ë tin cªy (1 − α).100%, ÷îc l÷ñng kho£ng b¶n ph£i cõa µ l  :

−∞ < µ < ¯X + t1−α · (n − 1) · √s1

nvîi ë tin cªy (1 − α).100% , ÷îc l÷ñng kho£ng b¶n tr¡i cõa µ l  :

¯

X − t1−α· (n − 1) · √s1

n < µ < +∞

trong â tβ(m) l  ph¥n và cõa ph¥n phèi Student

1.3.2 ×îc l÷ñng kho£ng cho ph÷ìng sai

Kho£ng tin cªy èi xùng:

N¸u {x1, x2, , xn} l  m¨u sè li»u k½ch th÷îc n c¡c gi¡ trà cõa LNN

χ ∼ N µ, σ2
, th¼ vîi ë tin cªy (1 − α).100% , ÷îc l÷ñng kho£ng choph÷ìng sai σ2 l  :

(n − 1)s21

χ21−α 2

· (n − 1) < σ

2 < (n − 1)s

2 1

χ2α 2

· (n − 1)trong â χ2

β(m) l  ph¥n và cõa ph¥n phèi χ2

Kho£ng tin cªy mët ph½a:

N¸u {x1, x2, , xn} l  m¨u sè li»u k½ch th÷îc n c¡c gi¡ trà cõa LNN

χ2

α· (n − 1)vîi ë tin cªy (1 − α).100% , ÷îc l÷ñng kho£ng b¶n ph£i cõa ph÷ìng sai

1.3.3 ×îc l÷ñng kho£ng cho t¿ l»

Gi£ sû t¿ l» c¡c ph¦n tû câ d§u hi»u A trong mët têng thº l  p º

÷îc l÷ñng p ta l§y ng¨u nhi¶n tø têng thº n ph¦n tû v  gåi X l  sè ph¦n

tû câ d§u hi»u A Khi â X l  ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n câ ph¥n phèi nhàthùc vîi tham sè n v  p v  ˆP = Xn l  mët h m ÷îc l÷ñng iºm khængch»ch cõa p

N¸u f = k

n l  mët ÷îc l÷ñng iºm cõa p thäa m¢n nf ≥ 10 v 

n (1 − f ) ≥ 10 th¼ vîi ë tin cªy (1 − α).100%, ÷îc l÷ñng kho£ng cõa p

CHƯƠNG2PH×ÌNG PHP BOOTSTRAP

2.1 Giîi thi»u ph÷ìng ph¡p Bootstrap

Phuìng ph¡p Bootstrap l  tªp hñp mët sè kÿ thuªt ph¥n t½ch düa

v o nguy¶n lþ chån m¨u câ ho n l¤i (sampling with replacement) º ÷îct½nh c¡c thæng sè m  thèng k¶ thæng th÷íng khæng gi£i ÷ñc

Phuìng ph¡p Bootstrap do nh  thèng k¶ håc Bradley Efron thuëc

¤i håc Stanford (M¾) ph¡t triºn tø cuèi thªp ni¶n 1979s nh÷ng ¸n khim¡y t½nh ÷ñc sû döng phê bi¸n th¼ ph÷ìng ph¡p n y mîi trð th nhph÷ìng ph¡p phê bi¸n trong ph¥n t½ch thèng k¶ v  ÷ñc ùng döng rëngr¢i trong r§t nhi·u l¾nh vüc khoa håc Phuìng ph¡p Bootstrap ÷ñc xem

l  ph÷ìng ph¡p chu©n trong ph¥n t½ch thèng k¶ v  ¢ l m n¶n mët cuëcc¡ch m¤ng trong thèng k¶ v¼ nâ gi£i quy¸t ÷ñc nhi·u v§n · m  tr÷îc

¥y t÷ðng nh÷ khæng gi£i ÷ñc

T÷ t÷ðng ch½nh cõa phuìng ph¡p Bootstrap :

Phuìng ph¡p Bootstrap l  ph÷ìng ph¡p l§y m¨u câ ho n l¤i (samplingwith replacement) Ph÷ìng ph¡p l§y m¨u câ ho n l¤i câ ngh¾a l  mëtc¡ thº câ thº xu§t hi»n nhi·u l¦n trong mët l¦n l§y m¨u Gi£ sû ta câ 5quan s¡t (observation) ÷ñc ¡nh nh¢n A,B,C,D v  E tr¶n 5 qu£ bâng

v  bä t§t c£ chóng v o trong 1 c¡i giä

Tø 5 quan s¡t n y, ta l§y ra 1 qu£ bâng tø giä mët c¡ch ng¨u nhi¶n

v  ghi l¤i nh¢n cõa chóng, sau â bä l¤i qu£ bâng vøa bèc ÷ñc v o giä

v  ti¸p töc l§y ra mët qu£ bâng mët c¡ch ng¨u nhi¶n, ghi l¤i nh¢n cõa

11

bâng v  bä l¤i qu£ bâng v o trong giä v  ti¸p töc thüc hi»n vi»c l§y m¨unh÷ vªy cho ¸n khi k¸t thóc Vi»c l§y m¨u n y gåi l  l§y m¨u câ ho nl¤i K¸t qu£ cõa vi»c l§y m¨u nh÷ tr¶n câ thº nh÷ sau (gi£ sû k½ch th÷îcm¨u l  10):

C, D, E, E, A, B, C, B, A, E

C¡c quan s¡t câ thº l°p l¤i trong m¨u v  â l  °c tr÷ng cõa ph÷ìngph¡p Bootstrap

T¤i sao c¦n ph÷ìng ph¡p Bootstrap?

T÷ t÷ðng cõa ph÷ìng ph¡p Bootstrap r§t ìn gi£n l  c¡ch l§y m¨u

câ ho n l¤i, vªy t¤i sao c¦n dòng ph÷ìng ph¡p Bootstrap? Trong thüct¸, tø mët m¨u ta ch¿ câ thº câ ÷ñc mët sè trung b¼nh cõa m¨u, takhæng bi¸t ÷ñc kho£ng tin cªy cho sè trung b¼nh n y ho°c khæng bi¸t

÷ñc ph¥n bè cõa sè trung b¼nh ra sao Th¶m v o â thüc t¸ ta khængbi¸t ÷ñc h m ph¥n bè cõa têng thº n¶n vi»c ÷îc l÷ñng c¡c tham sè °ctr÷ng thæng k¶ r§t khâ kh«n v  thi¸u ch½nh x¡c Ph÷ìng ph¡p Bootstrap

câ thº cung c§p nhi·u thæng tin chi ti¸t hìn hìn v· ph¥n bè cõa sè trungb¼nh, kho£ng tin cªy công nh÷ x¡c su§t cõa sè trung b¼nh düa tr¶n mëtm¨u duy nh§t Ph÷ìng ph¡p Bootstrap xem mët m¨u (sample) nh÷ mëttêng thº (population)

Kho£ng tin cªy (Bootstrap Confidence interval)

ë tin cªy (Confident level): 100(1 − 2α) Trong â α l  mùc þ ngh¾a(th÷íng dòng 5%)

Kho£ng tin cªy ÷ñc x¡c ành nh÷ sau:

CI = [(N (1 − α))th; (N α)th]

Sû döng ph÷ìng ph¡p Bootstrap, ta khæng c¦n bi¸t ph¥n phèi thüc

sü cõa têng thº (thüc t¸ r§t khâ bi¸t), ch¿ vîi mët m¨u dú li»u ban ¦u,thæng qua ph÷ìng ph¡p l§y m¨u câ ho n l¤i, ta câ thº sinh ra nhi·um¨u mîi theo y¶u c¦u nghi¶n cùu, tø â ta câ thº ÷îc l÷ñng ÷ñc c¡ctham sè °c tr÷ng cõa nghi¶n cùu thèng k¶ nh÷ (kho£ng tin cªy, ph÷ìngsai, ë l¶ch chu©n, ) Þ t÷ðng ch¼a khâa º l m n¶n th nh cæng cõaphuìng ph¡p Bootstrap l  èi xû vîi m¨u nh÷ l  têng thº còng vîiph÷ìng ph¡p l§y m¨u câ ho n l¤i

n b¬ng c¡ch l§y m¨u câ ho n l¤i tø m¨u gèc x = (x1, , xn), méi ph¦n

tû câ thº l§y nhi·u l¦n) M¨u mîi x∗ = (x∗1, , x∗2) ÷ñc gåi l  m¨ubootstrap

2.2.2 H m ph¥n phèi thüc nghi»m cõa m¨u Bootstrap

Vîi m¨u Bootstrap x∗ = (x∗1, , x∗2) Ta ành ngh¾a h m ph¥n phèithüc nghi»m bootstrap nh÷ sau:

Fn(x) = #{x

∗

i < x}

n

2.2.3 Sai sè ti¶u chu©n

Cho m¨u gèc x = (x1, , xn) v  x∗ = (x∗1, , x∗2) l  m¨u bootstrap.Gi£ sû tn(x) l  h m ÷îc l÷ñng iºm tham sè θ cõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n

X Khi â, tn(x∗) ÷ñc gåi l  ÷îc l÷ñng iºm bootstrap cõa θ

V½ dö: x = 1

n(x1 + x2+ + xn) l  trung b¼nh m¨u th¼ x∗ = 1n(x∗1 + x∗2+ + x∗n) l  trung b¼nh m¨u cõa m¨u bootstrap x∗ = (x∗1, , x∗2)

N¸u chóng ta chån B l¦n (méi l¦n n èi t÷ñng), th¼ ta s³ câ N sè ti

n,(i = 1, , N ) ë l»ch ti¶u chu©n cõa N sè ti

n gåi l  sai sè ti¶u chu©n, k½hi»u

ë l»ch ti¶u chu©n cõa θn nhi·u khi khæng kh£ thi Ph÷ìng ph¡p strap xem m¨u gèc l  têng thº mîi, thüc hi»n t¡i l§y m¨u tø m¨u gèc

n , , t∗Bn , ta t½nh ë l»ch ti¶u chu©n cõa B gi¡ trà

t∗1n , , t∗Bn ë l»ch ti¶u chu©n n y l  ÷îc l÷ñng Bootstrap cõa sai sè ti¶uchu©n,

se∗(θn) =

vuut

2.2.4 Kho£ng tin cªy Bootstrap-T

Gåi θ l  tham sè khæng bi¸t cõa ph¥n phèi v  θˆ l  ÷îc l÷ñng iºmcho θ, chóng ta x¥y düng kho£ng ÷îc l÷ñng cho tham sè θ vîi mùc ëtin cªy nh÷ tr÷îc Cho α l  mët sè thüc lîn hìn 0 v  nhä hìn 1, th÷íng

α nhªn gi¡ trà nhä nh÷ l  0.01; 0.05 hay 0.10 Vîi ë tin cªy 1 − α.100th¼ kho£ng tin cªy cõa θ l  (θˆ − z(1 − α/2) · se; θˆ− z(α/2) · se) Trong

â se câ thº l  Bootstrap ÷îc l÷ñng hay l  c¡c ÷îc l÷ñng kh¡c cho sai

sè ti¶u chu©n z(1 − α/2) v  z(α/2) l  ph¥n và mùc 1 − α/2 v  α/2 cõaph¥n phèi bi¸n ng¨u nhi¶n Z = (θˆ− θ)/se Chó þ l  ph¥n phèi cõa bi¸nng¨u nhi¶n Z khæng y¶u c¦u ph£i l  ph¥n phèi chu©n

V½ dö: Gi£ sû khi Z câ ph¥n phèi chu©n t­c N(0,1) th¼ gi¡ trà z(1 − α/2)

v  z(α/2) l  ph¥n và chu©n t­c Cö thº, z(0.975) = 1.96 v  z(0.025) =

−1.96 Do â kho£ng tin cªy 95 cõa θ l  (θˆ − 1.96 · se; θˆ+ 1.96 · se).Khi Z khæng câ ph¥n phèi chu©n ho°c student th¼ z(1 − α/2) v  z(α/2)khæng bi¸t Tuy nhi¶n, chóng ta câ thº dòng ph÷ìng ph¡p Bootstrap ºx¥y düng b£ng gi¡ trà mîi cho z(1 − α/2) v  z(α/2) C¡c b÷îc nh÷ sau:B÷îc 1 : T¤o B m¨u Bootstrap x∗1, , x∗β

B÷îc 2 : Vîi méi m¨u Bootstrap câ ÷ñc ð b÷îc 1 ta i t½nh gi¡ tràthèng k¶ z∗i = ˆse∗i−ˆ∗iθ

B÷îc 3 : Sau khi thüc hi»n b÷îc 2 ta câ B gi¡ trà Z∗i Ta t¼m gi¡ tràcõa z(1 − α/2) thäa #{Z∗i<z(1−α/2)}

B = 1 − α2

v  gi¡ trà z(alpha/2) thäa #{Z ∗i <z(α/2)}

B = α2.2.2.5 Kho£ng tin cªy ph¦n tr«m

Vîi c¡c gi¡ trà t∗i

n t½nh ÷ñc tø m¨u Bootstrap, ta s­p x¸p chóng theothù tü t«ng d¦n Cªn d÷îi cõa ÷îc l÷ñng l  gi¡ trà t∗u

n ð và tr½ B · α v cªn tr¶n cõa ÷îc l÷ñng l  gi¡ trà t∗b

n ð và tr½ B · (1 − α) C¡c b÷îc thüchi»n:

B÷îc 1 : T¤o B m¨u Bootstrap x∗1, , x∗B.

B÷îc 2 : Vîi méi m¨u Bootstrap câ ÷ñc ð b÷îc 1 ta i t½nh gi¡ tràthèng k¶ θ∗i = θ(x∗1n , , x∗1n )

B÷îc 3 : Sau khi thüc hi»n b÷îc 2 ta câ B v  gi¡ trà θ∗i Gi¡ trà cªnd÷îi cõa kho£ng ÷îc l÷ñng l  ˆθl thäa #{θ∗i<ˆθl}

Trong thèng k¶ cê iºn ta khæng câ cæng thùc ÷îc l÷ñng kho£ng trung

và V¼ vªy ph÷ìng ph¡p Bootstrap cung c§p cho chóng ta cæng cö húu

½ch º ÷îc l÷ñng trung và

Cho x = (x1, , xn) l  m¨u sè li»u cõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n X (m¨ugèc) Trong ph¦n n y chóng tæi tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p t¼m ÷îc l÷ñngkho£ng trung và cõa X (med(X)) b¬ng ph÷ìng ph¡p bootstrap

B÷îc 1 : T¤o B m¨u Bootstrap x∗1, , x∗B

B÷îc 2 : Vîi méi m¨u Bootstrap x∗k câ ÷ñc ð b÷îc 1 ta i t¼m trung

và med(x∗k) cõa m¨u boostrap â

B÷îc 3 : Sau khi thüc hi»n b÷îc 2 ta câ B gi¡ trà med(x∗1), med(x∗2), ,med(x∗B) S­p x¸p c¡c gi¡ trà n y theo thù tü t«ng d¦n Chån sè trung

và med(x∗l) ð và tr½ Bα/2 v  med(x∗u) ð và tr½ B(1 − α/2) ta ÷ñc mët

÷îc l÷ñng kho£ng trung và vîi ë tin cªy 1 − α

C¡c b÷îc t½nh to¡n tr¶n câ thº thüc hi»n b¬ng ngæn ngú R (hay mëtngæn ngú hay ph¦n m·m n o â m  b¤n quen thuëc) r§t d¹ d ng èivîi R, c¡c m¢ sû döng (v  gi£i th½ch k±m theo) nh÷ sau:

B÷îc 1 Nhªp c¡c sè li»u gèc v o mët vector câ t¶n l  x: