Không gian xác suất
Phép thử
Trong toán học, có những khái niệm không thể định nghĩa mà chỉ có thể mô tả qua hình ảnh hoặc tư duy trực quan, như điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong hình học Trong xác suất, khái niệm phép thử là cơ bản và không có định nghĩa chính xác Phép thử được hiểu là việc thực hiện một nhóm điều kiện cơ bản để quan sát hiện tượng xảy ra hay không Nếu kết quả của phép thử không thể dự đoán trước một cách chính xác, nó được gọi là ngẫu nhiên.
Không gian mẫu
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên Ta thường kí hiệu là Ω.
Cho không gian mẫu Ω Ta chỉ xét 1 lớp F các tập con của Ω thoã mãn 3 điều kiện:
Lớp F như vậy được gọi là σ-đại số các tập con của Ω
Độ đo xác suất
Một hàm tập hợp P : F → R được gọi là độ đo xác suất nếu thoã mãn 3 điều kiện sau:
+ Nếu A 1 ,A 2 , ,A n , đôi một không giao nhau(A i ∩ A i = ∅ với mọi i 6= j) thì P( S ∞ n=1 A n ) ∞
Khi đó mỗi phần tử của F được gọi là biến cố và P(A) được gọi là xác suất xảy ra biến cố A Bộ ba (Ω,F, P) gọi là không gian xác suất.
Công thức Bayes
Xác suất có điều kiện
Xác suất có điều kiện của biến cố A khi biến cố B xảy ra được ký hiệu là P(A/B) Nó được định nghĩa như là xác suất của A trong bối cảnh B đã xảy ra.
P(A 1 ,A 2 , ,A n ) =P(A 1 )P(A 2 /A 1 )P(A 3 /A 1 A 2 ) P(A n /A 1 A 2 A n−1 )Công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất
Công thức Bayes
Giả sử A1, A2, , An là một nhóm các biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi, trong khi B là một biến cố bất kỳ có thể xảy ra đồng thời với một trong các biến cố A.
A i Khi đó ta có công thức:
P(A i ).P(B/A i ) Định lý Bayes điều chỉnh các xác suất khi được cho bằng chứng mới theo cách sau đây:
+ H 0 đại diện cho một giả thuyết, gọi là một giả thuyết, giả thuyết này được suy luận trước khi có được bằng chứng mới E.
+ P(H 0 ) được gọi là xác suất tiên nghiệm của H 0
P(E|H0) là xác suất có điều kiện để quan sát bằng chứng E, giả sử rằng giả thuyết H0 là đúng Đại lượng này được gọi là hàm khả năng khi được biểu diễn dưới dạng một hàm.
Xác suất biên duyên P(E) của sự kiện E là xác suất xảy ra của bằng chứng mới E dưới các giả thuyết loại trừ nhau Nó được tính bằng tổng tích của xác suất các giả thuyết và xác suất có điều kiện tương ứng: P(E|H i )P(H i ).
Xác suất hậu nghiệm P(H 0 |E) được sử dụng trong suy luận Bayes để tính toán xác suất trong các tình huống không chắc chắn Ngoài việc tính toán xác suất, việc xây dựng một hàm mất mát là cần thiết để phản ánh hậu quả của những sai lầm có thể xảy ra Các xác suất này thể hiện khả năng hoặc niềm tin về việc mắc lỗi, trong khi hàm mất mát mô tả các hậu quả liên quan đến những sai lầm đó.
Đại lượng ngẫu nhiên
Hàm phân phối xác suất
Cho đại lượng ngẫu nhiên X, hàm số F(x) = P(X < x), x ∈ R được gọi là hàm phân phối xác suất của X.
Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, có khả năng nhận các giá trị x₁, x₂, , xₙ (với n có thể hữu hạn hoặc vô hạn đếm được) và mỗi giá trị này có xác suất tương ứng là p₁, p₂, , pₙ.
12 p(X = x i ) = p i Như vậy, cho một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc tức là cho một bảng số
Ta gọi nó là bảng phân phối đại lượng ngẫu nhiên X.
Trong định nghĩa trên, lẽ đương nhiên ta phải có: p i > 0,∀i ≥ 1,X k p k = 1
Kí hiệu E là miền giá trị của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X, hàm số f : E → R xác định bởi f(x) = P(X = x) được gọi là hàm mật độ của
Đại lượng ngẫu nhiên liên tục
Đại lượng ngẫu nhiên X được xem là đại lượng ngẫu nhiên liên tục khi hàm phân phối của nó có đạo hàm Điều này tương đương với việc tồn tại một hàm số f : R → R khả tích không âm, sao cho với mọi y ∈ R, hàm này đều thỏa mãn các điều kiện cần thiết.
−∞ f(x)dx, trong đó : F(y) là hàm phân phối của X.
Khi đó, f(x) được gọi là hàm mật độ của X.
Đại lượng ngẫu nhiên độc lập
Cho n đại lượng ngẫu nhiên X 1 , , X n xác định trên cùng một không gian mẫu Ta nói X 1 , , X n độc lập nếu với mọi a 1 , , a n ∈ R ta có các biến cố {X < a 1 }, ,{X < a n } độc lập.
Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên
Kỳ vọng toán
+ Nếu đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất
+ Nếu đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f(x) thì:
Phương sai
Cho đại lượng ngẫu nhiên X, số D(X) = E(X −E(X)) 2 được gọi là phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X.
+ Nếu đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất
+ Nếu đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f(x) thì :
Độ lệch tiêu chuẩn
Độ lệch tiêu chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu σ(X) được xác định bởi công thức: σ(X) = D(X).
Các phân phối xác suất sử dụng trong chương sau
Phân phối Bernoulli
Cho đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có miền giá trị E = {0,1} được gọi là có phân phối Bernoulli với tham số θ (0 < θ < 1) nếu có hàm mật độ xác suất: f(x) = dbern(x) = θ x (1−θ) 1−x , x ∈ E = {0,1}.
Phân phối Nhị Thức
Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có miền giá trị E = {0,1,2, , n} được gọi là có phân phối nhị thức với tham số n và θ Hàm mật độ xác suất của phân phối này được biểu diễn bằng công thức f(x) = C * (n x) * θ^x * (1−θ)^(n−x), trong đó x thuộc miền giá trị E.
Phân phối Poisson
Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có miền giá trị E = N = {0, 1, 2, , n, } được gọi là có phân phối Poisson với tham số θ nếu hàm mật độ xác suất được xác định bởi công thức f(x) = dpois(x) = e^(-θ) * (θ^x) / x!, với x thuộc E = {0, 1, 2, }.
+ Nếu X 1 , X 2 độc lập, X 1 ∼ρ(a 1 ) và X 2 ∼ ρ(a 2 ) thì :
Số lỗi in sai trong một trang sách, số người sống tới 100 tuổi trong cộng đồng, số cuộc gọi sai trong một ngày, số transistor hư trong ngày đầu sử dụng, số khách hàng vào bưu điện hàng ngày, và số hạt α phát ra từ các hạt phóng xạ trong một chu kỳ đều là những ví dụ điển hình về các thống kê quan trọng trong cuộc sống hàng ngày.
Phân phối Đều
* Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất: f(x)
0 nếu x /∈ [a, b] được gọi là có luật phân phối đều trên đoạn [a, b].
Phân phối Beta
* Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối Beta với tham số a và b nếu có hàm mật độ: f(x) = dbeta(x)
Phân phối Gamma
* Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có phân phối Gamma với tham số a và b (a > 0, b > 0) nếu có hàm mật độ f(x) =dgamma(x, a, b) = b a Γ(a)x a−1 e −bx , x >0.
Vectơ ngẫu nhiên
Định nghĩa
Giả sử X 1 , X 2 , , X n là n biến ngẫu nhiên xác định trên cùng một không gian mẫu Ω.
Ký hiệu: X = (X 1 , X 2 , , X n ) Ánh xạ X : Ω →R n xác định bởi :
Khi đó X được gọi là véctơ ngẫu nhiên n chiều.
Hàm phân phối xác suất đồng thời
Hàm phân phối của vecto ngẫu nhiên X là một hàm số n biến được xác định như sau:
Phương pháp Bayes ước lượng tham số 19
Phân phối xác suất có điều kiện
Cho hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y, trong mục này tôi trình bày khái niệm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiênX dưới điều kiện
Cho hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y, y là một giá trị của Y Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X dưới điều kiện Y = y là
P(y ≤ Y ≤ y +ε)) , x ∈ R nếu giới hạn bên phải tồn tại với mọi x∈ R.
2.1.2 Trường hợp Y là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
Cho hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y, với y là một phần tử trong miền giá trị E của Y (P(Y = y) > 0) Hàm phân phối xác suất của X khi biết Y = y được biểu diễn bằng một hàm số cụ thể.
2.1.3 Trường hợp Y là đại lượng ngẫu nhiên liên tục
Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ fX(x) và đại lượng ngẫu nhiên Y có hàm mật độ f Y (x) thỏa mãn f Y (x) 6= 0 với mọix ∈ R, y là
Đại lượng ngẫu nhiên Y có 20 giá trị khác nhau Hàm mật độ xác suất đồng thời của vectơ ngẫu nhiên (X, Y) được ký hiệu là f X,Y (x, y) Khi Y = y, hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X sẽ được biểu diễn dưới dạng một hàm số.
Định lý 2.1.1 nêu rằng nếu X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên với hàm mật độ tương ứng f_X(x) và f_Y(y), thì hàm mật độ xác suất đồng thời f_X,Y(x, y) có thể được biểu diễn thông qua hàm mật độ điều kiện Cụ thể, hàm mật độ của X dưới điều kiện Y = y được ký hiệu là f(x/y) và hàm mật độ của Y dưới điều kiện X = x được ký hiệu là f(y/x) Mối quan hệ giữa các hàm mật độ này được thể hiện qua công thức: f(x/y) = f_X(x) * f(y/x) * f_Y(y).
Ước lượng tham số phân phối Bernoulli
Cho đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối Bernoulli với tham số θ (0 ≤ θ ≤ 1), hàm mật độ được biểu diễn là f(x/θ) = θ^x (1−θ)^(1−x) với x thuộc {0,1} Khi chưa biết θ, chúng ta có thể coi θ là một giá trị của đại lượng ngẫu nhiên p, được phân phối đều trên đoạn [0; 1], với hàm mật độ g(x) = 1 nếu x thuộc [0; 1].
Giả sử X1, X2, , Xn là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối xác suất với X Hàm mật độ đồng thời của vectơ ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn) với điều kiện p = θ được ký hiệu là f(x1, x2, , xn/θ) Đồng thời, f(y1, y2, , yn) là hàm mật độ đồng thời của vectơ ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn) Cuối cùng, g(θ/x1, x2, , xn) là hàm mật độ của p với điều kiện (X1, , Xn) = (x1, , xn).
Bây giờ ta cần dựa vào mẫu số liệu x 1 , x 2 , , x n để ước lượng p. Áp dụng Định lí 2.1.1 ta có : g(θ/x 1 , x 2 , , x n ) = g(θ)f (x 1 , x 2 , , x n /θ) f (x1, x2, , xn)
P i=1 x i nên ta cần tìm f (x1, x2, , xn).
Theo tính chất của hàm mật độ ta có
Do đó : g(θ/x 1 , x 2 , , x n ) = Γ(n+ 2) Γ(k + 1)Γ(n−k+ 1)θ k (1−θ) n−k Như vậy, nếu θ có phân phối đều trên đoạn [0; 1] thì với điều kiện mẫu số liệu x 1 , x 2 , , x n p có phân phối Beta với tham số a = k + 1 và b = n−k+ 1 với k n
2.2.1 Công thức ước lượng khoảng tham số
Cho x1, x2, , xn là mẫu số liệu của đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối Bernoulli với tham số θ Khi θ có phân phối đều trên khoảng [0; 1], ta có thể ước lượng khoảng của θ với độ tin cậy 1−α bằng cách xác định các giới hạn: θ α/2 ≤ θ ≤ θ 1−α/2.
Trong đó, θ α/2 và θ 1−α/2 là các phân vị của phân phối Beta :
Beta(k + 1, n−k+ 1) với k = y 1 +y 2 + +y n xác định bởi :
Trong một khảo sát về cảm nhận hạnh phúc của phụ nữ từ 65 tuổi trở lên, 129 người được thăm dò ngẫu nhiên và 118 người cho biết họ cảm thấy hạnh phúc Với độ tin cậy 95%, ta có thể ước lượng tỷ lệ phụ nữ trong độ tuổi này cảm thấy hạnh phúc.
Giải Theo giả thiết ta có : n = 129 , k = 118 , α = 0.05.
Ta tìm θ α/2 và θ 1−α/2 bằng phần mềm R :
Như vậy ta có ước lượng khoảng của p với độ tin cậy 95% là [0.85; 0.95].
Nếu áp dụng phương pháp ước lượng cổ điển k n −1.96 v u u t k n(1− k n) n ≤ p≤ k n −1.96 v u u t k n(1− k n) n ta được ước lượng khoảng của là [0.86; 0.963].
Chọn ngẫu nhiên 10 sản phẩm của một nhà máy thấy có 2 phế phẩm.Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng khoảng tỉ lệ phế phẩm của nhà máy.
Giải Ở ví dụ này ta không thể áp dụng được phương pháp ước lượng cổ điển vì vi phạm điều kiện k > 10 và n−k > 10
Bây giờ ta sử dụng phương pháp Bayes để ước lượng :
Theo giả thiết ta có : n = 10 , k = 2 , α = 0.05
Ta tìm θ α/2 và θ 1−α/2 bằng phần mềm R :
Như vậy ta có ước lượng khoảng của p với độ tin cậy 95% là [0.06; 0.52].
Ước lượng tham số phân phối Nhị Thức
Cho đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức Bin(n, θ) với hàm mật độ f(x/θ) =C n x θ x (1−θ) n−x , x ∈ {1,2, , n}.
Để ước lượng tham số θ chưa biết, ta có thể coi θ là giá trị của đại lượng ngẫu nhiên p, với p có phân phối đều trên đoạn [0; 1] Hàm mật độ xác suất của p được biểu diễn là g(x) = 1 nếu x thuộc đoạn [0; 1].
Với giá trị quan sát với X = x, hàm mật độ của p là: g(θ/x) = f(x/θ)g(θ) g(x) = C n x θ x (1−θ) n−x g(θ) f(x)
= c(x)θ x (1−θ) n−x g(θ) Khi c(x) là hàm phụ thuộc vào x và không phụ thuộc vào θ, với g(θ) = 1 chúng ta có thể tìm được c(x) qua công thức sau :
Thay c(x) vào công thức g(θ/x) ta được : g(θ/x) = Γ(n+ 2) Γ(x+ 1)Γ(n−x+ 1)θ x (1−θ) n−x
= Γ(n+ 2) Γ(x+ 1)Γ(n−x+ 1)θ (x+1)−1 (1−θ) (n−x+1)−1 Như vậy, nếu xem θ có phân phối đều trên đoạn [0; 1] thì với giá trị quan sát X = x, θ có phân phối xác suất Beta(y+ 1, n−y+ 1)
2.3.1 Công thức ước lượng khoảng tham số
Giá trị quan sát x thuộc đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức B(n, θ) với tham số θ Khi θ phân phối đều trong khoảng [0; 1], ta có thể xác định khoảng ước lượng cho θ với độ tin cậy 1− α, được biểu diễn bởi bất đẳng thức: θ α/2 ≤ θ ≤ θ 1−α/2.
Trong đó, θ α/2 và θ 1−α/2 là các phân vị của phân phối Beta :
Nhà máy A đóng gói sản phẩm thành từng hộp, mỗi hộp chứa 20 sản phẩm Khi chọn ngẫu nhiên một hộp, phát hiện có 5 phế phẩm Với độ tin cậy 95%, cần ước lượng tỷ lệ phế phẩm của nhà máy.
Trong trường hợp này, phương pháp ước lượng cổ điển không thể áp dụng do vi phạm điều kiện y > 10 Thay vào đó, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp Bayes để thực hiện ước lượng.
Theo giả thiết ta có : n = 20 , y = 5 , α = 0.05
Ta tìm θ α/2 và θ 1−α/2 bằng phần mềm R :
Như vậy ta có ước lượng khoảng của θ với độ tin cậy 95% là [0.11; 0.47]
Ước lượng tham số phân phối Poisson
Cho đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối Poisson với tham số θ (θ > 0), hàm mật độ được xác định bởi f(x/θ) = θ^x e^(-θ) / x! với x thuộc tập N = {0,1,2, } Trong trường hợp chúng ta chưa biết giá trị của θ, ta có thể coi θ là một đại lượng ngẫu nhiên Y, và g(x) sẽ là hàm mật độ của Y.
Giả sử X1, X2, , Xn là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối Poisson với tham số θ Khi đó, hàm mật độ xác suất đồng thời của (X1, X2, , Xn) với điều kiện Y = θ nằm trong khoảng θ α/2 ≤ θ ≤ θ 1−α/2.
Gọi hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên Y với điều kiện(X 1 , , X n ) (x 1 , , x n ) là g(θ/x 1 , , x n ), khi đó ta có : g(θ/x 1 , , x n ) = g(θ)f(x 1 , , x n /θ) f(x1, , xn)
Với x 1 , , x n cho trước ta có g(θ/x 1 , , x n ) =c 1 (x 1 , , x n )g(θ)f(x 1 , , x n /θ)
Vì vậy, nếu chọn g(θ) =dgamma(θ, a, b) = b a Γ(a)θ a−1 e −bθ thì g(θ/x 1 , , x n ) =c 2 (x 1 , , x n ) b a Γ(a)θ a+ P n i=1 x i −1 e −(n+b)θ
Như vậy, nếu xem θ có phân phối Gamma(a, b) thì với điều kiện mẫu số liệu x 1 , , x n , θ có phân phối Gamma(a+P n k=1 x k , b+n). 2.4.1 Công thức ước lượng tham số
Cho x₁, x₂, , xₙ là mẫu số liệu của đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối Poisson(θ) Nếu tham số θ tuân theo phân phối Gamma(a, b), thì khoảng ước lượng cho θ với độ tin cậy 1−α được xác định bởi: θₐₗ/₂ ≤ θ ≤ θ₁−ₐₗ/₂.
Trong đó,θ α/2 và θ 1−α/2 là các phân vị của phân phối G=Gamma (a+
Số lượng khách hàng vào mua hàng ở một cửa hàng trong một ngày được phân phối theo phân phối Poisson Sau 15 ngày theo dõi, tổng số khách hàng vào mua là 165 Với độ tin cậy 95%, chúng ta có thể ước lượng số khách hàng trung bình vào cửa hàng mỗi ngày.
Giải Chú ý rằng ta không thể áp dụng phương pháp cổ điển để ước lượng khoảng kì vọng cho trường hợp này.
Gọi X là số khách vào mua hàng ở cửa hàng trong 1 ngày và X ∼
Theo giả thiết ta có : n = 15 , n
Sử dụng công thức ước lượng tham số phân phối Poisson ta có: θ| {n= 15,Px i = 165} ∼ gamma (2 + 165,1 + 15) = gamma (167,16) Chúng ta tìm θ với độ tin cậy là 95% bằng phần mềm R :
Như vậy ước lượng khoảng khách trong 1 ngày của cửa hàng là[8.91,12.07]
Trong cuộc điều tra của General Social Survey vào những năm 1990, 155 phụ nữ 40 tuổi đã được khảo sát về trình độ giáo dục và số con cái của họ Kết quả cho thấy mối liên hệ giữa trình độ học vấn và số lượng con cái mà họ có.
- 111 phụ nữ không có bằng đại học thì có tổng cộng 217 đứa con
- 44 phụ nữ có bằng đại học thì có tổng cộng 66 đứa con
Giả sử số con của một phụ nữ tuân theo phân phối Poisson, với độ tin cậy 95%, chúng ta cần ước lượng số con trung bình của phụ nữ có bằng đại học so với phụ nữ không có bằng đại học Kết quả cho thấy sự khác biệt trong số con trung bình giữa hai nhóm này, phản ánh ảnh hưởng của trình độ học vấn đến sinh sản.
Giải GọiX là số con của một phụ nữ có bằng đại học,Y là số con của một phụ nữ không có bằng đại học Khi đó, X ∼ P ois(θ 1 ), Y ∼ P ois(θ 2 ).
Từ giả thiết ta có:
+ Nhóm phụ nữ không có bằng đại học : n 1 = 111 , n 1
+ Nhóm phụ nữ có bằng đại học : n 2 = 44 , n 2
Sử dụng công thức ước lượng chúng ta có: θ 1 | {n 1 = 111,Px i = 217} ∼ gamma (2 + 217,1 + 111) = gamma (219,112) θ 2 | {n 2 = 44,Py i = 66} ∼ Gamma (2 + 66,1 + 44) = Gamma (68,45)
Chúng ta tìm θ 1 , θ 2 với độ tin cậy là 95% bằng phần mềm R :
Ứng dụng của phương pháp Bayes ước lượng tham số đại lượng ngẫu nhiên rời rạc trong cuộc sống
tham số đại lượng ngẫu nhiên rời rạc trong cuộc sống
Phương pháp Bayes được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như y học, tài chính, chứng khoán, lý thuyết tìm kiếm, trí tuệ nhân tạo và các hệ chuyên gia Kỹ thuật suy luận Bayes đã trở thành một phần thiết yếu trong các phương pháp nhận dạng mẫu bằng máy tính từ cuối thập kỷ trước.
Vào năm 1950, mối quan hệ giữa các phương pháp Bayes và kỹ thuật giả lập Monte Carlo ngày càng trở nên chặt chẽ do khó khăn trong việc xử lý các mô hình phức tạp bằng phân tích Bayes Cấu trúc mô hình đồ thị trong các mô hình thống kê, ngay cả những mô hình phức tạp nhất, đã tạo điều kiện cho các thuật toán giả lập hiệu quả như lấy mẫu Gibbs và các biến thể của thuật toán Metropolis-Hastings Gần đây, suy luận Bayes đã trở nên phổ biến nhờ vào các ứng dụng như BEAST và MrBayes, cho phép ước lượng đồng thời nhiều tham số về nhân khẩu học và tiến hóa.
Trong những năm gần đây, suy luận Bayesian đã trở thành công cụ quan trọng trong phân loại thống kê, đặc biệt là trong việc nhận diện spam (thư nhũng lạm) Các ứng dụng nổi bật như Bogofilter, SpamAssassin, InBoxer và Mozilla sử dụng phương pháp này để lọc spam hiệu quả Chi tiết về quy trình phân loại spam bằng suy luận Bayes được trình bày trong bài viết Bộ phân loại Bayes đơn giản.
Trong một số ứng dụng, lôgic mờ là một lựa chọn thay thế suy luậnBayes Tuy nhiên, lôgic mờ và suy luận Bayes không tương thích về toán
30 học và ngữ nghĩa Nói chung, ta không thể hiểu mức độ đúng trong lôgic mờ là xác suất và ngược lại.
1 Nêu tóm tắt được các nội dung cơ bản và quan trọng cần cho nội dung chính
Phân tích các ước lượng tham số là một bước quan trọng trong thống kê, đặc biệt là với các phân phối như Bernoulli, Nhị Thức và Poisson Đối với phân phối Bernoulli, ước lượng tham số có thể được xác định thông qua tỉ lệ thành công trong các thử nghiệm Trong khi đó, phân phối Nhị Thức sử dụng công thức ước lượng để xác định xác suất thành công trong n lần thử Cuối cùng, phân phối Poisson áp dụng các công thức ước lượng để tính toán số lần xảy ra của một sự kiện trong khoảng thời gian nhất định Các công thức này không chỉ giúp định lượng tham số mà còn hỗ trợ trong việc phân tích dữ liệu thực tế.
Phương pháp Bayes được áp dụng để ước lượng các tham số của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, với nhiều ví dụ thực tế được trình bày Bài viết sẽ minh họa cách tính toán thông qua phần mềm R, giúp người đọc hiểu rõ hơn về quy trình và ứng dụng của phương pháp này trong thống kê Những đóng góp chính của khóa luận sẽ được nêu bật, nhằm làm rõ tầm quan trọng và tính ứng dụng của phương pháp Bayes trong nghiên cứu.
1 Tìm hiểu và trình bày lại nội dung kiến thức cơ sở về xác suất thống kê.
2 Đề cập một số phân phối được dùng trong nội dung chính.
3 Nêu ra các ước lượng tham số của phân phối Bernoulli, phân phối Nhị Thức và phân phối Poisson.
Tuy thời gian thực hiện khóa luận có hạn và vẫn còn một số sai sót, tôi rất mong nhận được sự góp ý quý báu từ các thầy cô và bạn bè.