Nhận dạng và xác định tam giác theo các yếu tố cho trước

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN --- Đề tài: NHẬN DẠNG VÀ XÁC ĐỊNH TAM GIÁC THEO CÁC YẾU TỐ CHO TRƯỚC Sinh viên thực hiện : Lê Thị Thêm... Nhận dạng tam giác khi biết các hệ thức liên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN -

Đề tài:

NHẬN DẠNG VÀ XÁC ĐỊNH TAM GIÁC THEO CÁC YẾU TỐ CHO TRƯỚC

Sinh viên thực hiện : Lê Thị Thêm

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu và được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của

cô giáo Nguyễn Thị Sinh, đến nay khóa luận tốt nghiệp của em đã được hoàn thành

Em xin chân thành cảm ơn cô giáo Nguyễn Thị Sinh đã giúp đỡ em rất nhiều trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp của mình

Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô khoa Toán đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi nhất để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích – Yêu cầu 1

3 Cấu trúc của khóa luận 2

CHƯƠNG I 3

LÝ THUYẾT CƠ SỞ 3

I Một số kí hiệu 3

II Một số bất đẳng thức 3

1 Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ) 3

2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki 3

III Một số định lí trong tam giác 4

1 Định lí hàm số sin 4

2 Định lí hàm số cosin 5

3 Định lí về đường trung tuyến 5

4 Định lí về đường phân giác 6

IV Các dấu hiệu nhận dạng tam giác 8

1 Các dấu hiệu nhận dạng tam giác vuông ABC 8

2 Các dấu hiệu nhận dạng tam giác cân ABC 8

3 Các dấu hiệu nhận dạng tam giác đều ABC 9

CHƯƠNG II 10

NHẬN DẠNG VÀ XÁC ĐỊNH TAM GIÁC THEO CÁC YẾU TỐ CHO TRƯỚC 10

I BÀI TOÁN NHẬN DẠNG TAM GIÁC 10

1 Nhận dạng tam giác khi biết các hệ thức liên hệ giữa cạnh và cạnh 10

2 Nhận dạng tam giác khi biết các hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc 18

3 Nhận dạng tam giác khi biết các hệ thức liên hệ giữa góc và góc 27

4 Nhận dạng tam giác khi biết các hệ thức liên hệ giữa các yếu tố khác 38

II BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH TAM GIÁC 50

1 Xác định tam giác theo cạnh và đường cao 50

2 Xác định tam giác theo cạnh và đường trung tuyến 54

3 Xác định tam giác theo cạnh và đường phân giác 58

KẾT LUẬN 60

TÀI LIỆU THAM KHẢO 61

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hệ thức lượng trong tam giác là một trong những nội dung cơ bản và quan trọng của chương trình toán học phổ thông Mặt khác, nó còn gắn liền với thực tế qua những bài toán tìm cạnh, góc, diện tích đơn giản,…trong tam giác cho đến những bài toán khó đòi hỏi nhiều tính toán, suy luận

Trong chương trình toán học phổ thông, hệ thức lượng trong tam giác được giới thiệu trong chương trình toán học lớp 7 và được nâng cao hơn trong toán học lớp 10

Một trong những lớp bài toán quan trọng của phần hệ thức lượng trong tam giác nói riêng và trong chương trình môn học lượng giác ở nhà trường phổ thông nói chung đó là “ Nhận dạng và xác định tam giác “ Đây là một dạng toán hay và khó, thường gặp trong các kỳ thi tuyển sinh vào đại học và cao đẳng hoặc các kỳ thi có tính chất tuyển chọn học sinh

Ngoài ra, nhận dạng và xác định tam giác được đưa vào như một bước trung gian của rất nhiều bài toán Trong đó việc đoán nhận xem một tam giác

là đều, vuông, cân hay dạng đặc biệt nào đó sẽ giúp ích rất nhiều cho việc tính diện tích, chu vi hay các yếu tố khác trong tam giác

Vì những lí do đó nên em đã chọn đề tài “ Nhận dạng và xác định tam

giác theo các yếu tố cho trước “ làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình

Đưa ra một số dạng bài toán nhận dạng và xác định tam giác

Đề xuất một số bài tập nhận dạng và xác định tam giác

3 Cấu trúc của khóa luận

Khóa luận gồm hai chương:

Chương 1: Lý thuyết cơ sở, hệ thống hóa các kiến thức liên quan và hỗ trợ cho việc nhận dạng và xác định tam giác

Chương 2: Nhận dạng và xác định tam giác theo các yếu tố cho trước, trình bày một số dạng bài toán nhận dạng và xác định tam giác Đồng thời đưa

ra một số bài tập cho từng dạng bài toán

CHƯƠNG I

LÝ THUYẾT CƠ SỞ

I Một số kí hiệu

1 ABC tam giác ABC có A, B, C là ba đỉnh

2 , ,A B C lần lượt là ba góc BAC ABC ACB  , , của ABC

3 a, b, c độ dài các cạnh đối diện với các góc A, B, C tương ứng

4 h h h a, b, c độ dài các đường cao xuất phát từ A, B, C tương ứng

5 m m m a, b, c độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C tương ứng

6 l l l a, ,b c độ dài các đường phân giác trong xuất phát từ A, B, C tương ứng

7 r r r a, ,b c độ dài bán kính các đường tròn bàng tiếp A, B, C tương ứng

8 R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ABC

9 SABC diện tích tam giác ABC

10 p nửa chu vi tam giác ABC



Dấu “ = “ xảy ra  x1 x2 x3  x n

2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Cho hai dãy số tùy ý: a a1, 2, ,a n và b b1, , ,2 b n nN n, 2,

Vậy định lí đã được chứng minh

3 Định lí về đường trung tuyến

Vậy định lí đã được chứng minh

4 Định lí về đường phân giác

4.1 Phát biểu định lí

Trong mọi tam giác ABC ta đều có:

b c

Chứng minh tương tự ta được:

IV Các dấu hiệu nhận dạng tam giác

1 Các dấu hiệu nhận dạng tam giác vuông ABC

 sinA 1 ; sinB 1 ; sinC 1

 cosA 0 ; cosB 0 ; cosC 0

 sin 2A 0; sin 2B 0 ; sin 2C 0

 cos 2A  1 ; cos 2B  1 ; cos 2C  1

 tanAcotB; tanBcotC ; tanC cotA

 sinAsinBC; sinBsinC A ; sinC sinAB

CHƯƠNG II NHẬN DẠNG VÀ XÁC ĐỊNH TAM GIÁC THEO CÁC YẾU TỐ CHO TRƯỚC

I BÀI TOÁN NHẬN DẠNG TAM GIÁC

Phương pháp: Dựa vào các yếu tố cho trước biến đổi hệ thức để đưa về

1 trong các dấu hiệu nhận biết ( phần IV Chương I ) từ đó đưa ra dạng tam giác cần tìm

1 Nhận dạng tam giác khi biết các hệ thức liên hệ giữa cạnh và cạnh

Bài 1 Nhận dạng ABC biết:

Bài 2 Nhận dạng ABC biết:

 (ab)(a2 b2ab)ab(ab)

 a3b3 abcab(ab)abcab(abc)

c a abc ca(a b c) (3) Dấu “ = “ xảy ra  c = a

Theo giả thiết ta có a = b = c Vậy ABC là tam giác đều

Bài 3 Nhận dạng ABC biết:

Vậy ABC vuông cân tại C

Bài 4 Nhận dạng ABC biết:

Vậy ABC là tam giác nhọn

Bài 5 Nhận dạng ABC biết:

 (bc)(ab)(a c)(abbcca)

Vậy ABC là tam giác cân

Bài 6 Nhận dạng ABC biết:

Vậy ABC là tam giác nhọn ( vì A > B và A > C )

Bài 7 Nhận dạng ABC biết:

 cos 2Acos 2B2sin A sin C

 2sin(AB)sin(B A) 2sin A sin C

 sin(B A) sin A ( Vì sinC  0 )

Bài 9 Nhận dạng ABC biết:

Vậy ABC là tam giác đều

Bài 10 Nhận dạng ABC biết:

32

bc ca ab 2

2 Nhận dạng tam giác khi biết các hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc

Bài 1 Nhận dạng ABC biết:

Suy ra AB Vậy ABC cân tại C

Bài 2 Nhận dạng ABC biết:

Bài 3 Nhận dạng ABC biết:

 1 cosB 2sin A sin C

1 cos B 2sin A sin C



 2sin Asin C2sin A cos B sin Ccos B

2sin A sin C 2sin A cos B sin Ccos B

 sin C2sin A cos B

 sin A cos B sin BcosA 2sin A cos B

 sin(B A) 0

 AB

Vậy ABC cân tại C

Bài 4 Nhận dạng ABC biết:

Suy ra cos(B C)sin A 2 cos(B C) cos(BC)

 cos(B C)(sin A 1) 2   cos(BC)cos A

 cos Acos A cos(B C)2  0

 cos A 1 cos A cos(B C)   0

Vậy ABC vuông tại A

Bài 5 Nhận dạng ABC biết:

sin Bsin C cos B cosC

 sin(B C) sin B sin C

sin Bsin C cos B cosC

Vậy ABC vuông tại A

Bài 6 Nhận dạng ABC biết:

Bài 7 Nhận dạng ABC biết:

2

3sin sin

Bài 8 Nhận dạng ABC biết:





B Ca(2R sin A) cos

2A2sin2

Tương tự:

b cos

b(c a)2

2sin2

2sin2

Bài 9 Nhận dạng ABC biết:

Bài 10 Nhận dạng ABC biết:

3 Nhận dạng tam giác khi biết các hệ thức liên hệ giữa góc và góc

Bài 1 Nhận dạng ABC biết:

sin 2Asin 2B4sin sinA B

Giải:

Theo giả thiết

sin 2Asin 2B4sin A sin B

 sin A(cos Asin B)sin B(cos B sin A) 0

Bài 2 Nhận dạng ABC biết:

2000sinC sin C2000 sin C

 sin A2 sin B2 sin C2

 4R (sin A2 2 sin B)2 4R sin C2 2

2000

2000sinC 1 1 nên sin A2 sin B2 2000sin C

Dấu “ = “ xảy ra cos Ccos(A B) 0

Bài 3 Nhận dạng ABC biết:

Vậy ABC cân tại C

Bài 4 Nhận dạng ABC biết:

 tanA 1 tan2 A tan B 1 tan2 B

Vậy ABC cân tại C

Bài 5 Nhận dạng ABC biết:

Theo giả thiết

2cos B cos C sin A







 sin 2Asin 2Bcos C sin A sin B 0

 2cos A B sin A  B 2cos C cosA BsinA B 0

Vậy ABC hoặc vuông tại C hoặc cân tại C

Bài 6 Nhận dạng ABC biết:



2 2

Vậy ABC là tam giác cân tại A, với các góc: A 120 , B  C30 

Bài 7 Nhận dạng ABC biết:

 4cos5Ccos5Acos5B 0

Suy ra cos A cos Bcos C0 nên ABC nhọn (2)

( vì ABC không có quá một góc tù )

tan3Atan3B tan3 Btan3C tan3Ctan3A

Dấu “ = “ xảy ra  ABC Vậy ABC là tam giác đều

Bài 9 Nhận dạng ABC biết:

 tanBtanC

1

3  

và tan Btan C  2 tan A

 tan Btan C  2 tan B tan C

2 là hai nghiệm của phương trình

Vậy ABC là tam giác đều

Bài 10 Nhận dạng ABC biết:

a a a

1 2 3 3

 3 C

2 cos

2   Tương tự:

Dấu “ = “ xảy ra  ABC

Vậy ABC là tam giác đều

4 Nhận dạng tam giác khi biết các hệ thức liên hệ giữa các yếu tố khác

Bài 1 Nhận dạng ABC biết:

(1)  sinA cosA cos Acos Bcos C

 sin A 2cosB CcosB C

Bài 2 Nhận dạng ABC biết:

2r

 sinAcosB C cosAcosA cosAsinA cosAcosB C

Vậy ABC là tam giác vuông

Bài 3 Nhận dạng ABC biết:

p  p  p Trong đó: p p p, 1, 2 lần lượt là các nửa chu vi của:

Bài 4 Nhận dạng ABC biết:

pb  pc  2 pb p c (2) hay a  2 p b p c    ( Vì p   b p c a ) Dấu “ = “ xảy ra  pbp c  b c

Khi (2) xảy ra dấu “ = “ thì (1) đúng

Vậy ABC cân tại A

Bài 5 Nhận dạng ABC biết:

Vậy ABC cân tại A

Bài 6 Nhận dạng ABC biết:

Ta có SABC  SABD SADC

Vậy ABC là tam giác tù tại A

Bài 7 Nhận dạng ABC biết:

4

Vậy ABC là tam giác cân tại A, với các góc: A 120 , B  C30

Bài 8 Nhận dạng ABC biết:

a  2R sin A , b  2R sin B , c  2R sin C

và h a bsin C 2R sin Bsin C

Ta có bc  3ha a

2  2  2 sin B sin C   3 sin Bsin C sin A

 sin B sin C  3sin Bsin C 1sinBcos C sin Ccos B

Vậy ABC là tam giác đều

Bài 9 Nhận dạng ABC biết:

Vậy ABC là tam giác đều

Bài 10 Nhận dạng ABC biết:

a b c  abbcca Nên

II BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH TAM GIÁC

Trong chương trình toán phổ thông, chúng ta đã làm quen với các bài toán xác định tam giác cơ bản Đó là:

Bài toán 1 Điều kiện cần và đủ để tồn tại một tam giác với các yếu tố a, b, c

Tam giác với các yếu tố như vậy là duy nhất

Bài toán 3 Điều kiện cần và đủ để tồn tại một tam giác với hai góc B,C và

một cạnh xen giữa a là:

0BC , B0, C 0, a 0

Tam giác với các yếu tố như vậy là duy nhất

Ở phần này luận văn đề cập đến một số bài toán xác định tam giác có

liên quan đến các yếu tố khác Đó là:

 Xác định tam giác theo cạnh và đường cao

 Xác định tam giác theo cạnh và đường trung tuyến

 Xác định tam giác theo cạnh và đường phân giác

1 Xác định tam giác theo cạnh và đường cao

1.1 Xác định tam giác theo một cạnh và hai đường cao

Bài toán 1 Điều kiện cần và đủ để tồn tại tam giác với các yếu tố

, a, b

a h h là: ah b 0, h a 0 (1.1)

Giả sử a h h, a, b thỏa mãn (1.1) ta chứng tỏ tồn tại ABC thỏa mãn

BC = a, các đường cao AH h BK a, h b bằng cách chỉ ra cách dựng tam giác này ( Hình 1.1 )

Giả sử dựng được ABC như vậy Khi đó BC = a dựng được ngay, để xác định A trước hết ta xác định K Do BK vuông góc với KC nên K thuộc đường tròn đường kính BC Mặt khác, BK h b nên K thuộc đường tròn tâm

B bán kính h b Do đó K là giao điểm của hai đường tròn nói trên

Điểm A CK và cách BC một khoảng bằng h a

Từ đó ta có cách dựng sau:

- Trước hết trên đường thẳng bất kì lấy BC = a

- Dựng đường tròn tâm B bán kính h b, sau đó lại dựng đường tròn

đường kính BC

- Dựng điểm K là giao điểm của hai đường tròn nói trên

- Dựng đường thẳng  song song với BC và cách BC một khoảng

bằng h a

Đường thẳng CK cắt tại A Ta được ABC cần dựng

Thật vậy, do ah b nên K tồn tại, do đó tồn tại A là giao điểm của 

với CK Do vậy ABC tồn tại thỏa mãn BC = a, các đường cao

,

AH h BK h

Biện luận:

- Nếu h b a thì đường tròn tâm B bán kính h b cắt đường tròn đường

kính BC tại hai điểm K và K Các đường thẳng CK, ' CK' lần lượt cắt 

tại A, A , do đó có hai tam giác thỏa mãn đề bài '

- Nếu h b a thì đường tròn tâm B bán kính h b cắt đường tròn đường

kính BC tại duy nhất một điểm C Trường hợp này tồn tại duy nhất một

1.2 Xác định tam giác theo hai cạnh và một đường cao

Bài toán 2 Điều kiện cần và đủ để tồn tại tam giác với các yếu tố

Điều kiện đủ

Giả sử a b h, , a thỏa mãn (1.2) ta chứng tỏ tồn tại ABC thỏa

BC = a,AC = b, đường cao AH h a, bằng cách chỉ ra cách dựng tam giác này ( Hình 1.2 )

Giả sử dựng được ABC như vậy Do AH vuông góc với BC nên H thuộc đường tròn đường kính AC Mặt khác, AH h a nên H thuộc đường tròn tâm A bán kính h a Do đó H là giao điểm của hai đường tròn nói trên Điểm BHC sao cho BC = a

Từ đó ta có cách dựng sau:

- Trước hết trên đường thẳng bất kì lấy AC = b

- Dựng đường tròn tâm A bán kính h a, sau đó lại dựng đường tròn

đường kính AC

- Dựng điểm H là giao điểm của hai đường tròn nói trên

- Dựng điểm B trên CH sao cho BC = a Ta được ABC cần dựng Thật vậy, do ah b nên H tồn tại Do vậy ABC tồn tại thỏa mãn

BC = a, AC = b, đường cao AH h a

Biện luận:

- Nếu bh a thì đường tròn tâm A bán kính h a cắt đường tròn đường

kính AC tại hai điểm H và H đối xứng qua AC nên ta coi như có một ABC' thỏa mãn AH h a , AC = b Với điểm H đó, trên đường thẳng CH có hai điểm B và B thỏa mãn ' CBCB' a nên có hai tam giác ABC và AB C' thỏa mãn giả thiết bài toán

- Nếu bh a thì H C khi đó CH là tiếp tuyến tại C của đường tròn đường kính AC nên chỉ tồn tại một tam giác ABC với ACbh a , BC = a

Vậy với các yếu tố a b h, , a thỏa mãn (1.2) là điều kiện cần và đủ để tồn tại tam giác

2 Xác định tam giác theo cạnh và đường trung tuyến

2.1 Xác định tam giác theo một cạnh và hai trung tuyến

Bài toán 3 Điều kiện cần và đủ để tồn tại tam giác với các yếu tố

Giả sử a m m , a, b 0 và thỏa mãn (2.1) và do đó thỏa mãn   nên tồn

tại duy nhất một tam giác nhận , ,2

Khi đó ABC có BC = a, trung tuyến AM m a , hơn nữa vì BN là trung tuyến của ABC và MA3MG

nên G là trọng tâm của nó Do đó BG

cắt AC tại trung điểm N của AC và 3

BN  BG m Vậy tồn tại duy nhất tam giác với các yếu tố a m m, a, b thỏa mãn (2.1)

2.2 Xác định tam giác theo hai cạnh và một trung tuyến

Bài toán 4 Điều kiện cần và đủ để tồn tại tam giác với các yếu tố

02

02

Giả sử a b m , , a 0và thỏa mãn (2.2) và do đó thỏa mãn   nên tồn tại

duy nhất một tam giác nhận , ,

2.3 Xác định tam giác theo ba trung tuyến

Bài toán 5 Điều kiện cần và đủ để tồn tại tam giác với các yếu tố

m m m là : m b m c m a m b m c (2.3) Hơn nữa tam giác với các yếu tố thỏa mãn (2.3) là duy nhất

Giải:

Điều kiện cần

Cho ABC với các trung tuyến AM m BN a, m CP b, m c

Gọi G là trọng tâm ABC , gọi Q là trung điểm GC

Giả sử m m m  a, b, c 0 và thỏa mãn (2.3), do đó thỏa mãn   nên tồn tại

duy nhất một tam giác nhận 1 ,1 ,1