Phương pháp p giá trị kiểm định giả thuyết thống kê

Để thực hiện kiểm định giả thiết thống kê bằng Phương pháp p- giátrị, chúng ta cần có những kiến thức cơ bản về Xác suất- Thống kê như:mẫu số liệu và các đại lượng đặc trưng của mẫu số l

Trang 1

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Trang 3

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt khoá học (2009- 2013) tại Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN,với sự nổ lực của bản thân và cùng sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trongtrường, đặc biệt là các thầy cô giáo trong khoa Toán đã giúp em có mộtvốn tri thức vững vàng để hoàn thành luận văn tốt nghiệp Trong thời gianlàm luận văn, được sự giúp đỡ của giáo viên hướng dẫn ThS Lê Văn Dũng

về mọi mặt, từ nhiều phía em đã hoàn thành đúng thời gian qui định Emxin chân thành gửi lời cảm ơn đến :

- Các thầy cô giáo trong khoa Toán đã giảng dạy cho em những kiếnthức chuyên môn làm cơ sở để thực hiện tốt luận văn tốt nghiệp và tạođiều kiện cho em hoàn thành tốt khoá học

- Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ThS Lê Văn Dũng làngười luôn theo sát chỉ bảo hướng đi và cho em những lời khuyên quí báucũng như cung cấp các thông tin và căn cứ khoa học để em định hướngtốt trong khi làm luận văn tốt nghiệp

- Nhân đây em cũng xin gởi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã giúp

đỡ động viên tôi cả về vật chất lẫn tinh thần trong suốt quá trình làmluận văn tốt nghiệp

Mặc dù luận văn đã được hoàn thành đúng thời gian qui định nhưng

do điều kiện thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn của em khôngtránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp

ý kiến của các thầy cô và các bạn để tạo điều kiện cho luận văn của emđược hoàn thiện hơn

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2013

Sinh viên thực hiệnPhan Thị Thanh Nhạn

Trang 4

SVTH: Phan Thị Thanh Nhạn Trang 3

Trang 5

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Ngày nay, Xác suất thống kê là môn học cơ sở được giảng dạy trongcác trường đại học, cao đẳng Không những thế nó còn được ứng dụngnhiều trong các ngành như kinh tế, kỹ thuật, sinh học, y học, Nó giúpchúng ta cách tổ chức chỉ đạo, sản xuất, phân phối lưu thông, góp phần

dự báo kinh tế, đánh giá chất lượng sản phẩm, năng suất lao động, thunhập và xử lý 1 khối lượng lớn số liệu thông tin,

Kiểm định giả thiết thống kê là một phần không thể thiếu trong phânmôn này Nó không chỉ giúp ta kiểm chứng được sự đúng sai của nhữnggiả thiết đặt ra mà còn giúp ta có quyết định đúng đắn trước một vấn đề.Trong đời sống, kiểm định là một công việc tất yếu trong kinh doanh, ykhoa, sản xuất, học tập Chính vì vậy, kiểm định không chỉ quan trọngtrong lý thuyết mà còn rất hữu dụng trong thực tế

Để thực hiện kiểm định giả thiết thống kê bằng Phương pháp p- giátrị, chúng ta cần có những kiến thức cơ bản về Xác suất- Thống kê như:mẫu số liệu và các đại lượng đặc trưng của mẫu số liệu, các quy luật phânphối xác suất, các ước lượng điểm, hàm ước lượng

Cùng với những phương pháp kiểm định truyền thống, phương phápp- giá trị kiểm định giả thiết thống kê là phương pháp khá đơn giản, dễthực hiện dựa trên con số xác suất để đưa ra kết luận

Với các lí do trên tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu cho luận văncủa tôi là : Phương pháp p- giá trị kiểm định giả thiết thống kê

2 Mục đích nghiên cứu

Phương pháp p- giá trị có thể dùng để kiểm định giả thiết được đưa

ra từ các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc hay từ một mẫu số liệu Đây là 1

Trang 6

phương pháp rất hữu hiệu và hạn chế được một số nhược điểm của thống

kê cổ điển Phương pháp này được đánh giá là một cuộc cách mạng quantrọng trong xác suất thống kê

3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu về Phương pháp p- giá trị kiểm định giả thiết thống

kê

4 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu về xác suất, phương pháp kiểm định P- giá trị Phạm vi nghiên cứu tập trung chủ yếu vào phần Kiểm định giả thuyếtthống kê

5 Phương pháp nghiên cứu

Để thuận tiện cho việc nghiên cứu và soạn thảo luận văn này, tôi sửdụng phần mềm latex để thực hiện, vì Latex là một phần mềm tương đối

dễ sử dụng, rất linh hoạt trong việc tìm và sửa lỗi Và đặc biệt là phầnmềm miễn phí Bên cạnh đó tôi còn sử dụng phần mềm EXCEL để tínhtoán

Thu thập các bài báo khoa học, các tài liệu liên quan đến đề tài.Tham khảo các tài liệu trên mạng Internet

Địa chỉ : http://math.mercyhurst.edu/

6 Ý nghĩa khoa học

Luận văn được trình bày có hệ thống với các mục rõ ràng chặt chẽ

về Phương pháp P-giá trị để kiểm định giả thuyết thông kê Bên cạnh đó,luận văn còn đưa ra ví dụ áp dụng thực tế của việc kiểm định giả thuyếtcũng như phương pháp kiệm định Do đó, luận văn này góp phần tạo rađược một số tài liệu tham khảo cho sinh viên trong ngành toán

7 Cấu trúc luận văn

Bố cục bao gồm 2 chương :

• Chương 1 Kiến thức cơ sở

• Chương 2 Phương pháp P- giá trị kiểm định giả thuyết

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chếnên khi làm khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Tôi

Trang 7

Phương pháp p-giá trị kiểm định giả thiết Đà Nẵng, 05 - 2013

mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn Tôi xin chân thànhcảm ơn!

Trang 8

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 9

1.1 Một số phân phối xác suất quan trọng 9

1.1.1 Phân phối nhị thức 9

1.1.2 Phân phối chuẩn 9

1.1.3 Phân phối Student 10

1.1.4 Phân phối khi bình phương 10

1.2 Mẫu số liệu 11

1.3 Các đại lượng đặc trưng của mẫu số liệu 11

1.4 Mẫu ngẫu nhiên 12

1.5 Ước lượng điểm 12

1.5.1 Ước lượng điểm và hàm ước lượng 12

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP P-GIÁ TRỊ KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT 14 2.1 Kiểm định giả thiết về kì vọng của phân phối chuẩn 14

2.1.1 Đã biết phương sai 14

2.1.2 Chưa biết phương sai 18

2.2 Kiểm định phương sai của phân phối chuẩn 21

2.3 Kiểm định tham số p của phân phối nhị thức B(n; p) 25

2.4 So sánh hai kì vọng của hai phân phối chuẩn 29

2.4.1 Đã biết phương sai σ12 và σ22 29

2.4.2 Chưa biết hai phương sai nhưng hai phương sai bằng nhau 32

2.4.3 Chưa biết hai phương sai và hai phương sai không bằng nhau 35

Trang 9

2.5 So sánh hai tỉ lệ 38

Trang 10

1.1 Một số phân phối xác suất quan trọng

Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối nhị thức với tham

số n, p nếu miền giá trị của X là {0, 1, , n} và P (X = k) = Cnkpk(1 −p)n−k, k = 0, 1, , n

Khi đó E(X) = np và V ar(X) = np(1 − p)

Kí hiệu: X ∼ B(n, p)

Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi là có phân phối chuẩn nếu có hàm mậtđộ:

2πe

−(x−µ)22σ2 , x ∈ R,

2π

Rx

−∞e−t2/2dt

Kí hiệu phân phối chuẩn tắc là Z = N (0; 1)

Giá trị tới hạn của phân phối chuẩn tắc

Cho α ∈ (0; 1) và Z ∼ N (0; 1) Ta gọi giá trị z(α) là giá trị tới hạnmức α của phân phối chuẩn tắc Z nếu P (Z > z(α)) = α

Trang 11

Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn

Định lý 1.1.1 (Định lý giới hạn tích phân Moivre-Laplace) Giả sử Xn làbiến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n; p) Đặt

Nói cách khác, với n đủ lớn ta có B(n; p) ≈ N (np; np(1 − p))

Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối Student n bậc tự

2n

− n+1 2

∀x ∈ R,

trong đó Γ(x) = R0∞ux−1e−udu gọi là hàm Gamma

Kí hiệu X ∼ Tn

Giá trị tới hạn của phân phối Student

Cho α ∈ (0; 1) Ta gọi giá trị tn(α) là giá trị tới hạn mức α của phânphối Student n bậc tự do nếu P (Tn > tn(α)) = α

Định lý 1.1.2 Cho {X1, X2, , Xn} là các biến ngẫu nhiên độc lập cùngphân phối với biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N (µ, σ2) Khi đóbiến ngẫu nhiên

X − µ

n

có phân phối Student (t-phân phối) n − 1 bậc tự do (Tn−1)

Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối khi bình phương

Trang 12

trong đó Γ(x) = R0∞ux−1e−udu gọi là hàm Gamma.

Kí hiệu X ∼ χ2n

Giá trị tới hạn của phân phối khi bình phương

Cho α ∈ (0; 1) Ta gọi giá trị kn(α) là giá trị tới hạn mức α của phânphối khi bình phương n bậc tự do nếu P (χ2n > kn(α)) = α

1.2 Mẫu số liệu

Tiến hành quan sát ngẫu nhiên n lần độc lập về biến ngẫu nhiên X

thu được n giá trị của X là x1, x2, , xn Khi đó (x1, x2, , xn) được gọi

là mẫu số liệu của biến ngẫu nhiên X và n được gọi là kích thước mẫu.1.3 Các đại lượng đặc trưng của mẫu số liệu

Cho {x1, x2, , xn} là mẫu số liệu kích thước n

1) Trung bình mẫu, kí hiệu là x, được tính theo công thức:

x = x1 + x2 + + xn

1n

Trang 13

1.4 Mẫu ngẫu nhiên

Mẫu ngẫu nhiên là một bộ gồm các biến ngẫu nhiên X1, X2, , Xn độclập cùng phân phối xác suất với biến ngẫu nhiên X

Như vậy ta có thể xem mẫu số liệu (x1, x2, , xn) là một giá trị củamẫu ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn)

1.5 Ước lượng điểm

Giả sử θ là một tham số của phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X.Ước lượng điểm của tham số θ là một giá trị t chỉ phụ thuộc vào mẫu sốliệu x1, x2, , xn Nói cách khác, t là một hàm n biến số:

t = h(x1, x2, , xn)

Ví dụ 1.1 Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N (µ; σ2) với cáctham số µ và σ chưa biết và (x1, x2, , xn) là một mẫu số liệu của X Khi

đó có thể xem x và s lần lượt là các ước lượng điểm của µ và σ

Ví dụ 1.2 Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức B(n; p) vớitham số nđã biết và tham số pchưa biết và k là một giá trị quan sát đượccủa X Khi đó f = k/n có thể xem là một ước lượng điểm của p

Vì(x1; x2; ; xn)có thể xem là giá trị của biến ngẫu nhiên(X1; X2; Xn)

nên t lại chính là một giá trị của biến ngẫu nhiên T = h(X1, X2, , Xn)

T = h(X1, X2, , Xn) gọi là hàm ước lượng

Trang 14

Ước lượng không chệch

Hàm ước lượng T = h(X1, X2, , Xn) được gọi là ước lượng khôngchệch đối với tham số θ nếu E(T ) = θ Ngược lạị, ta gọi T là ước lượngchệch và E(T ) − θ gọi là độ chệch của ước lượng

Ước lượng không chệch của kì vọng và phương sai

Giả sử (X1, X2, , Xn) là một mẫu ngẫu nhiên của biến ngẫu nhiên X

và X có phân phối chuẩn N (µ; σ2) Khi đó

Ước lượng không chệch tham số p của phân phối nhị thức B(n; p)

Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức B(n; p) Khi đó P =ˆ X

n

là một ước lượng không chệch của tham số p

Trang 15

PHƯƠNG PHÁP P -GIÁ TRỊ KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT

2.1 Kiểm định giả thiết về kì vọng của phân phối

chuẩn

Cho X có phân phối chuẩn N (µ; σ2) với kì vọng E(X) = µ chưa biết

và phương sai V ar(X) = σ2 đã biết Giả sử với mức ý nghĩa α, ta cầnkiểm định giả thiết

Dễ thấy rằng P-giá trị càng bé thì khả năng bác bỏ giả thiết H0 càng cao

Do tính đối xứng qua trục tung của đồ thị hàm mật độ phân phối chuẩntắc nên

P −giá trị= P (|Z| > |υ|) = 2P (Z > |υ|)

Ví dụ 2.1 Tốc độ đốt cháy một loại nhiên liệu máy bay là đại lượng ngẫunhiên chuẩn với σ = 2cm/s Với mức ý nghĩa α = 0, 05 hãy kiểm định giả

14

Trang 16

Kiểm định bên phải

Ta cần kiểm định giả thiết

H0 : µ = µ0

với đối thiết

H1 : µ > µ0,

trong đó µ0 là một hằng số

Phương pháp kiểm định cổ điển

- Miền bác bỏ H0: Wα = (z(α); +∞) với z(α) là giá trị tới hạn của phânphối chuẩn tắc N (0, 1);

Trang 17

Ví dụ 2.2 Trong năm trước trọng lượng trung bình của bò trước khixuất chuồng ở một trang trại là 380 kg Năm nay người ta áp dụng thửmột chế độ ăn mới với hy vọng là bò sẽ tăng trọng nhanh hơn Sau thờigian áp dụng thử người ta lấy ngẫu nhiên 50 con bò trước khi xuất chuồngđem cân và tính được trọng lượng trung bình của chúng là x = 390 kg.Với mức ý nghĩaα = 0, 01 có thể cho rằng trọng lượng trung bình của bòtrước khi xuất chuồng đã tăng lên không? Giả thiết trọng lượng của bò cóphân phối chuẩn với σ = 35, 2 kg

Giải Gọi X là trọng lượng bò trước lúc bò xuất chuồng sau khi áp dụngchế độ ăn mới và E(X) = µ là trọng lượng trung bình (chưa biết) Ta cầnkiểm định giả thiết

Kiểm định bên trái

H0 : µ = µ0

H1 : µ > µ0,

trong đó µ0 là một hằng số

Phương pháp kiểm định cổ điển

- Miền bác bỏH0: Wα = (−∞; −z(α))với z(α) là giá trị tới hạn của phânphối chuẩn tắc N (0, 1);

Trang 19

σ ; giá trị z(α) và z(α/2) tra ở Bảng II; Φ(υ)

tra ở bảng I

và phương sai V ar(X) = σ2 cũng chưa biết Giả sử với mức ý nghĩa α, tacần kiểm định giả thiết

Ví dụ 2.4 Trọng lượng của một loại sản phẩm do một xí nghiệp sảnxuất đạt tiêu chuẩn nếu có trọng lượng là 6 kg Sau một thời gian sảnxuất người ta tiến hình kiểm tra ngẫu nhiên 121 sản phẩm do xí nghiệp

đó sản xuất và tính được trung bình mẫu x = 5, 8 kg và độ lệch chuẩn

sản phẩm của xí nghiệp đạt tiêu chuẩn không? Biết rằng trọng lượng sảnphẩm của xí nghiệp có phân phối chuẩn

Giải Gọi X là trọng lượng sản phẩm và E(X) = µ là trọng lượng sảnphẩm trung bình thực tế Ta cần kiểm định giả thiết

H0 : µ = 6

Trang 20

kĩ thuật, tuổi thọ bóng đèn có tăng lên" không? Biết tuổi thọ bóng đèn cóphân phối chuẩn

Giải Gọi X là tuổi thọ bóng đèn sau cải tiến kĩ thuật và E(X) = µ làtuổi thọ trung bình Ta cần kiểm định giả thiết

H0 : µ = 2000

Trang 21

Giả sử với mức ý nghĩa α, ta cần kiểm định giả thiết

Giải Gọi X là chi tiêu của các gia đình và E(X) = µ là chi tiêu trungbình Ta cần kiểm định giả thiết H0 : µ = 2, 5 với đối thiết H1 : µ < 2, 5.Cách 1

• tn−1(α) = t99(0, 05) = z(0, 05) = 1, 6449

Trang 22

s , giá trị tn−1(α) và tn−1(α/2)tra ở Bảng III.

Tính P -giá trị bằng Excel

Sử dụng hàm sau trong Excel để tính P-giá trị phân phối Student:

P (Tn > x) = T DIST (x, n, 1)

2.2 Kiểm định phương sai của phân phối chuẩn

và phương sai V ar(X) = σ2 cũng chưa biết Giả sử với mức ý nghĩa α, tacần kiểm định giả thiết

Trang 23

Trang 24

Ví dụ 2.8 Trọng lượng của gà con lúc mới nở là một biến ngẫu nhiên

có phân phối chuẩn Nghi ngờ về sự đồng đều của gà con bị giảm sút,người ta cân thử 12 con và tìm được s2 = 11, 41( đơn vị) Với mức ý nghĩa

Trang 25

Giải Ta cần kiểm định giả thiết

Kết luận:

Trang 26

Cho X có phân phối nhị thức B(n; p) với n lớn Giả sử với mức ý nghĩa

α, ta cần kiểm định giả thiết

p

p0(1 − p0) ,

trong đó k là 1 giá trị quan sát được của X

Trang 27

Ví dụ 2.10 Một Đảng Chính trị trong một cuộc bầu cử tổng thống ở

Mỹ tuyên bố rằng 45% cử tri sẽ bỏ phiếu cho ứng cử viên A của họ Chọnngẫu nhiên 200 cử tri để thăm dò ý kiến cho thấy 80 người trong số đótuyên bố sẽ bỏ phiếu cho ông A Với mức ý nghĩa α = 5%, hãy kiểm địnhxem dự đoán của Đảng trên có đúng hay không?

Giải Gọi p là tỉ lệ bỏ phiếu cho ứng cử viên A, X là số phiếu khi thăm

dò ngẫu nhiên 200 người X ∼ B(200; p)

Trang 28

Phương pháp P-giá trị

P −giá trị = P (Z > υ) với υ = (k/n − p0)

√n

p

p0(1 − p0) ,

Ví dụ 2.11 Lô hàng đủ tiêu chuẩn xuất khẩu nếu tỷ lệ phế phẩm khôngvượt quá 3% Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm của lô hàng thấy có 14phế phẩm.Với mức ý nghĩa α = 0, 05 có cho phép lô hàng được xuất khẩuhay không?

Giải Gọi p là tỉ lệ phế phẩm của lô hàng, X là số phế phẩm khi lấy ngẫunhiên 400 sản phẩm X ∼ B(400; p)

Trang 29

- Miền bác bỏ H0: Wα = (−∞; −z(α))

-Tính υ = (k/n − p0)

√n

p

p0(1 − p0) ,

Ví dụ 2.12 Giám đốc một công ty tuyên bố 90% sản phẩm của công tyđạt tiêu chuẩn quốc gia Một công ty kiểm định độc lập đã tiến hành kiểmtra 200 sản phẩm của công ty đó thì thấy có 168 sản phẩm đạt yêu cầu.Với mức ý nghĩa α = 0, 05 có kết luận gì về tuyên bố trên?

Giải Gọi p là tỉ lệ sản phẩm của công ty đạt chuẩn quốc gia, X là số sảnphẩm đạt tiêu chuẩn khi lấy ngẫu nhiên 200 sản phẩm X ∼ B(200; p)

Định dạng
Số trang	49
Dung lượng	529,66 KB