Một số tính chất của phủ chính quy

Từ đó đến nay các nhà tôpô đã đưa ra nhiều tính chất, nhiều kết quả quan trọng đối với các không gian tôpô khác nhau và mối quan hệ của một số tính chất giữa chúng.. Archangielskii đã gi

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU……… 2

1 Lí do chọn đề tài……… ……… 2

2 Mục đích nghiên cứu……… ……… 2

3 Đối tượng nghiên cứu….……….2

4 Phạm vi nghiên cứu……….……….2

5 Phương pháp nghiên cứu…….……….2

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn……….3

7 Cấu trúc đề tài……….……….3

LỜI CẢM ƠN……… 4

CHƯƠNG I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT………5

1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian tôpô……….….…5

1.2 Cơ sở và lân cận của không gian tôpô……… …….……… 13

1.3 Các tiên đề tách………….……….…….…….………16

1.4 Không gian con……….……….……….………….19

1.5 Không gian com pắc, không gian Lindel ̈f và không gian khả li… ….20

1.6 Ánh xạ liên tục……… …… ……….22

CHƯƠNG II : MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHỦ CHÍNH QUY……….26

2.1 Mạng và phủ………27

2.2 Tính chất của các phủ chính quy………32

KẾT LUẬN……… 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO………42

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Các vấn đề liên quan đến không gian được xác định bởi phủ đã được nhiều

nhà toán học quan tâm và nghiên cứu từ những năm 70 của thế kỷ XX Từ đó

đến nay các nhà tôpô đã đưa ra nhiều tính chất, nhiều kết quả quan trọng đối với

các không gian tôpô khác nhau và mối quan hệ của một số tính chất giữa chúng

Năm 1960, A Archangielskii đã giới thiệu về khái niệm về phủ chính quy và

chứng minh rằng một không gian với cơ sở chính quy là khả mêtric Sau đó

năm 1976, H W Martin đã chứng minh rằng không gian với cơ sở yếu chính

quy là khả mêtric, đây là một kết quả mở rộng thực sự có kết quả của

A Archangielskii Đến năm 1987, J Jiang đã suy rộng khái niệm phủ chính

quy, đưa ra khái niệm phủ cs-chính quy và thu được một số kết quả về tính

mêtric hóa của không gian tôpô Ngoài ra, bài toán “Không gian thõa mãn tiên

đề đếm được thứ nhất và chính quy với k-mạng cs-chính quy có là không gian

khả mêtric hay không?” đã được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm Mãi

đến năm 1998, M Sakai, K Tomano và Y Yajima đã đưa ra câu trả lời riêng

cho bài toán này trong trường hợp không gian là chính quy Gần đây, S Lin đã

thu được câu trả lời khẳng định cho bài toán này và chứng minh rằng không

gian dãy với cs*-mạng, cs-chính quy là khả mêtric cũng như cho rằng bài toán

này vẫn đúng trên lớp không gian dãy

Với mong muốn trình bày và chứng minh chi tiết lại một số kết quả liên quan

đến mạng và các tính chất của phủ chính quy nên tác giả chọn đề tài:

“Một số tính chất của phủ chính quy”

2 Mục đích nghiên cứu

Hệ thống lại một số kiến thức về tôpô đại cương Tìm hiểu về một số tính

chất của phủ chính quy và chứng minh các tính chất liên quan

3 Đối tượng nghiên cứu

4 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu, bài báo liên quan đến phủ chính quy

5 Phương pháp nhiên cứu

Sử dụng phương pháp nghiên cứu lí thuyết trong quá trình nghiên cứu luận văn và thực hiện theo quy trình như sau:

(1) Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa kiến thức

(2) Thu thập các tài liệu có liên quan đến mạng và các phủ chính quy trong không gian tôpô

(3) Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong luận văn

(4) Trao đổi và thảo luận với giáo viên hướng dẫn

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn

Luận văn có ý nghĩa về mặt lí thuyết, có thể sử dụng như tài liệu cho những

ai quan tâm nghiên cứu bài toán về mạng, về các phủ chính quy của không gian tôpô

7 Cấu trúc của luận văn

Luận văn được trình bày làm hai chương :

Chương I: Chương này hệ thống lại các khái niệm, kiến thức cơ bản về không

gian tôpô và chứng minh chi tiết các tính chất, định lí liên quan nhằm thuân tiện cho việc chứng minh các kết quả ở Chương 2

Chương II: Trong chương này, tác giả sẽ trình bày về các khái niệm cơ sở yếu,

sn-mạng, cs-mạng, cs*-mạng, cs-phủ, cs*-phủ Trình bày và chứng minh các tính chất liên quan tới chúng Tiếp theo, là các khái niệm, tính chất về các phủ chính quy và chứng minh chi tiết các bổ đề liên quan

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình làm luận văn tốt nghiệp, tác giả luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ của thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Tác giả xin cảm ơn quý thầy cô đã giảng dạy tác giả trong suốt thời gian qua, đã mang cho tác giả nhiều kiến thức bổ ích trong khoa học và trong cuộc sống

Mặc dù đã rất cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế

và thiếu sót Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy

cô và các bạn để luận văn của tác giả được hoàn chỉnh hơn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn!

Đà Nẵng, Ngày 10 tháng 04 năm 2016

CHƯƠNG I

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Trong chương này tác giả sẽ trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian tôpô nhằm phục vụ cho việc chứng minh trong Chương 2

1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian tôpô

1.1.1 Định nghĩa Giả sử X là một tập hợp và τ là họ gồm các tập con nào đó của

X thõa mãn các điều kiện sau

(1) được gọi là tôpô trên X

(2) Cặp (X, τ) được gọi là một không gian tôpô

(3) Mỗi phần tử của τ được gọi là một tập hợp mở

(4) Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của nó

1.1.2 Nhận xét Đối với không gian tôpô (X, τ), các khẳng định sau là đúng

(1) là các tập hợp mở

(2) Giao hữu hạn các tập hợp mở là tập hợp mở

(3) Hợp tùy ý các tập hợp mở là tập hợp mở

1.1.3 Định nghĩa Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ) Khi đó, tập con

U của X được gọi là lân cận của tập A nếu tồn tại V τ sao cho A V U

Ngoài ra, nếu U τ, thì ta nói U là lân cận mở của A Đặc biệt, nếu A = {x}, thì

ta nói rằng U là lân cận của x

1.1.4 Nhận xét U là một tập mở trong X khi và chỉ khi U là lân cận của mọi điểm

thuộc nó

Chứng minh (1) Giả sử U là một tập mở trong X Khi đó, với mọi x U, ta chứng

minh U là lân cận của x Thật vậy, nếu ta lấy V = U , thì x V U Điều này dẫn đến U là lân cận của x

(2) Giả sử U là lân cận của mọi điểm thuộc nó Khi đó, ta chứng minh rằng U là tập mở Thật vậy, với mọi x U, vì U là lân cận của x nên tồn tại Vx sao cho

1.1.5 Định nghĩa Tập con A của không gian tôpô (X, τ) được gọi là tập đóng

trong X nếu X\A

1.1.6 Nhận xét Đối với không gian tôpô (X, τ), các khẳng định sau là đúng

(1) , X là các tập hợp đóng

(2) Hợp hữu hạn các tập hợp đóng là các tập hợp đóng

(3) Giao tùy ý các tập hợp đóng là các tập hợp đóng

Chứng minh (1) Ta có = X\X Bởi vì X nên X là tập mở, kéo theo X\X là tập

hợp đóng hay là tập hợp đóng Tương tự, ta có X = X\ Mặt khác, vì nên

(1) x đƣợc gọi là điểm trong của A nếu tồn tại U sao cho x U A

(2) x đƣợc gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại U sao cho x U X\A

(3) x đƣợc gọi là điểm biên của A nếu X đồng thời không là điểm trong và

không là điểm ngoài của A, nghĩa là với mọi lân cận mở U của x ta có

(4) x đƣợc gọi là điểm tụ của A nếu với mọi lân cận U của x ta đều có

U A\{x})

(5) x đƣợc gọi là điểm cô lập của A nếu nó không là điểm tụ của A hay với mọi

lân cận U của x ta đều có

U A =

1.1.8 Định nghĩa Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ) Khi đó,

(1) Tập tất cả các điểm trong của A gọi là phần trong của A và kí hiệu là IntA (2) Tập tất cả các điểm ngoài của A gọi là phần ngoài của A và kí hiệu ExtA

(3) Tập tất cả các điểm biên của A gọi là biên của A và kí hiệu A

(4) Tập tất cả các điểm tụ của A gọi là dẫn xuất của A và kí hiệu là Ad

1.1.9 Định lí Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ) Khi đó,

(5) A là mở khi và chỉ khi A = IntA

(6) Nếu A B, thì IntA IntB, ExtB ExtA

(7) Int(A B) = IntA IntB

(8) A = (X\A)

Mặt khác, với mọi x X thì x IntA hoặc x A hoặc x ExtA, kéo theo

x IntA A ExtA Nhƣ vậy,

X IntA A ExtA (1.4)

Từ (1.3) và (1.4) suy ra X = IntA A ExtA

(2) Với mọi x ExtA, tồn tại U sao cho x X\A, kéo theo x là điểm trong của X\A, dẫn đến x Int(X\A) Suy ra ExtA Int(X\A) (1.5) Hơn nữa, với mọi x Int(X\A), tồn tại U sao cho x X\A, kéo theo x là điểm ngoài của A hay x ExtA Suy ra Int(X\A) ExtA (1.6)

Từ (1.5) và (1.6) suy ra

ExtA = Int(X\A)

(3) Theo Định lí 1.1.9 ta có

Int A = {V X: V mở và V A}

Hay IntA là hợp tất cả các tập mở trong A Hơn nữa, vì hợp tùy ý các tập mở là tập

mở nên IntA là tập hợp mở Tương tự, theo Định lí 1.1.9, ta có

ExtA = {V X: V mở và V X\A}

Hay ExtA là hợp tất cả các tập mở trong X\A Hơn nữa, vì hợp tùy ý các tập mở là tập mở nên ExtA là tập hợp mở Ta có, X = IntA A ExtA, kéo theo

Mặt khác, vì IntA, ExtA là các tập hợp mở nên IntA ExtA cũng là tập hợp mở

Do vậy, X\(IntA ExtA) là tập hợp đóng hay A là tập hợp đóng

(4) Giả sử B là tập mở lớn nhất trong A Khi đó, ta chứng minh B IntA Thật vậy, ta có

B {V: V mở và V A}, điều này suy ra

B {V X: V mở và V A} = IntA

Do vậy, B IntA

(5) (5.1) Giả sử A là tập hợp mở Ta chứng minh A = IntA Thật vậy, ta có IntA

A Hơn nữa, với mọi x A, A là tập mở, kéo theo tồn tại V sao cho x

V A, dẫn đến x là điểm trong của A hay x IntA Do đó, A IntA Như vậy,

A = IntA

(5.2) Giả sử A = IntA Khi đó, ta chứng minh A là tập hợp mở Thật vậy, khi

A = IntA, bởi vì IntA là tập mở nên A là tập mở

(6) (6.1) Giả sử A B và A, B X Khi đó, với mọi x IntA thì x là điểm trong của A, dẫn đến tồn tại V sao cho x V A Mặt khác, vì A B nên ta

có x V B, kéo theo x là điểm trong của B hay x IntB Nhƣ vậy IntA IntB

(6.2) Giả sử A B và A, B X Khi đó, với mọi x ExtB, thì x là điểm ngoài của B nên tồn tại U sao cho x U X\B Mặt khác, vì A B nên X\B X\A, kéo theo x U X\A, dẫn đến x là điểm ngoài của A hay x Ext A Do vậy, ExtB ExtA

(7) Giả sử với mọi x Int(A B) Khi đó, vì x là điểm trong của A B nên tồn tại U sao cho

x U A B

Suy ra {

, kéo theo {

hay { Do đó,

x IntA IntB

Nhƣ vậy,

Hơn nữa, với mọi x IntA IntB Bởi vì { nên { Suy ra {

Bây giờ, nếu ta đặt P = U V, thì tồn tại P sao cho x P A B Suy ra x là điểm trong của A B hay x Int(A B) Do vậy, IntA IntB Int(A B) (1.8)

Từ (1.7) và (1.8) ta suy ra Int(A B) = IntA IntB

(8) Giả sử với mọi x A hay x là điểm biên của A Khi đó, với mọi cân cận

{ , kéo theo {

Suy ra x là điểm biên của A nên

x A Do vậy, (X\A) A Nhƣ vậy, A = (X\A)

1.1.11 Định nghĩa Giả sử A là tập con của không gian tô pô (X, ) Khi đó, giao

tất cả các tập con đóng trong X chứa A đƣợc gọi là bao đóng của A và kí hiệu là ̅

1.1.12 Định lí Giả sử A, B là các tập con của không gian tôpô (X, ) Khi đó, các

E {F X : F đóng, A F}

Suy ra

̅ = {F X : F đóng, A F } E

Hơn nữa, vì E ̅ nên ̅ = E hay ̅ là tập đóng nhỏ nhất chứa A

(3) (3.1) Giả sử A là tập đóng trong X Khi đó, ta cần chứng minh A = ̅ Thật vậy, ta có A ̅ Mặt khác, vì A đóng và ̅ là tập đóng nhỏ nhất chứa A nên

̅ A Do đó, A = ̅

(3.2) Giả sử A = ̅ Khi đó, vì ̅ là tập đóng nên A cũng là tập đóng

(5) (5.1) Ta cần chứng minh ̅̅̅̅̅̅̅̅ = ̅ ̅ Thật vậy, ta có {

Suy ra { ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅

(6.2) Giả sử mọi lân cận U của x ta đều có U F Khi đó, ta chứng minh

x ̅ Thật vậy, giả sử x ̅ suy ra x X\ ̅ Bởi vì ̅ là tập đóng nên X\ ̅ là tập

mở Nếu ta đặt V = X\ ̅ , thì V là lân cận của x Hơn nữa, vì

V F = (X\ ̅) F (X\F) F = nên V F = , mâu thuẫn với giả thiết

(7) Bởi vì IntA A nên X\A X\IntA Mặt khác, vì IntA là tập mở nên X\IntA

là tập đóng Điều này chứng tỏ rằng

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = X\IntA

Do đó, IntA X\ ̅̅̅̅̅ Hơn nữa, vì X\A ̅̅̅̅̅ nên

X\ ̅̅̅̅̅ X\ X\A = A

Lại vì ̅̅̅̅̅ là tập đóng nên X\ ̅̅̅̅̅ là tập mở, điều này dẫn đến X\ ̅̅̅̅̅ là tập

mở trong A Mặt khác, do IntA là tập mở lớn nhất trong A nên X\ ̅̅̅̅̅ IntA

1.2 Cơ sở và lân cận của không gian tôpô

1.2.1 Định nghĩa Giả sử (X, ) là không gian tôpô và họ ℬ Ta nói rằng ℬ là

cơ sở của (X, ) (hay là cơ sở của ) nếu với mỗi phần tử của là hợp nào đó các phần tử của ℬ.

1.2.2 Nhận xét Giả sử (X, ) là không gian tôpô và ℬ Khi đó,

(1) Nếu ℬ là cơ sở của , thì mỗi phần tử của ℬ là một tập mở trong X, nhƣng mỗi tập mở trong X có thể không thuộc ℬ

(2) ℬ là cơ sở của không gian tô pô (X, ) khi và chỉ khi với mọi U và với mọi x U, tồn tại V ℬ sao cho x V U

Chứng minh (1) Hiển nhiên

(2) (2.1) Giả sử ℬ là cơ sở của không gian tô pô (X, ) và U , x U Khi đó,

I



với { } ℬ

(2.2) Giả sử với mọi U , với mọi x U, tồn tại V ℬ sao cho x V U Khi đó, ta chứng minh ℬ là cơ sở của không gian tôpô (X, ) Thật vậy, với mọi

x U, vì U nên tồn tại Vx ℬ sao cho x Vx U Hơn nữa, vì

Chứng minh (1) Nếu U, V ℬ, thì U, V là các tập mở, kéo theo U V cũng là tập

mở hay U V Theo Nhận xét 1.2.2 ta suy ra U V và với mọi x U V, tồn tại W ℬ sao cho x W U V

(2) Với mọi x X, ta luôn có X Bởi vì ℬ là cơ sở của không gian tôpô (X, ) nên theo Nhận xét 1.2.2 ta suy ra tồn tại U ℬ sao cho x U X Nhƣ vậy,

1.2.4 Định nghĩa Giả sử 𝒰x là họ gồm tất cả các lân cận của x Khi đó, ta nói rằng

họ ℬx 𝒰x là một cơ sở lân cận tại x nếu với mọi U 𝒰x, tồn tại V ℬx sao cho

x V U

1.2.5 Định lí Giả sử x X và ℬx là cơ sở lân cận tại x Khi đó,

(1) x U với mọi U ℬx và ℬx với mọi x X

(2) Nếu V ℬy , thì với mọi x V, tồn tại U ℬx sao cho U V

(3) Nếu U, V ℬx , thì tồn tại W ℬx sao cho W U V

Chứng minh (1) Với mọi U ℬx, ta chứng minh x U Thật vậy, vì ℬx là cơ sở lân cận tại x nên nếu gọi 𝒰x là họ gồm các lân cận tại x, thì ℬx 𝒰x Do đó, U 𝒰x Suy ra tồn tại V ℬx sao cho

Do vậy, x U Lại vì ℬx là cơ sở lân cận tại x nên từ Định nghĩa 1.2.4 ta suy ra

ℬx với mọi x X

(2) Gọi 𝒰x là họ gồm tất cả các lân cận tại x Bây giờ, ta giả sử V ℬy , với mọi

x V ta chứng minh tồn tại U ℬx sao cho U V Thật vậy, vì V ℬy nên V mở, kéo theo V là lân cận của mọi điểm thuộc nó Do đó, V là lân cận của x, kéo theo

V 𝒰x Mặt khác, vì ℬx là cơ sở lân cận tại x nên tồn tại U ℬx sao cho

x U V

(3) Bởi vì U, V ℬx nên U, V là các tập mở, kéo theo U V là tập mở hay

U V Hơn nữa, vì U, V ℬx nên x U V Do đó, U V là lân cận của x Gọi 𝒰x là họ gồm tất cả các lân cận tại x Khi đó, U V 𝒰x Lại vì ℬx là cơ sở lân cận tại x nên tồn tại W ℬx sao cho

1.2.6 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô Khi đó,

(1) X đƣợc gọi là không gian thõa mãn được tiên đề đếm được thứ nhất nếu mỗi

điểm của X có một cơ sở lân cận đếm đƣợc

(2) X đƣợc gọi là không gian thõa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu có một

cơ sở tôpô đếm đƣợc

(3) Cho (X, ) là không gian tôpô, A, B X thõa mãn A B Ta nói A là tập

trù mật trong B nếu B ̅

Đặc biệt, nếu B = X, thì ta nói A trù mật (khắp nơi) trong X

(4) Không gian tôpô X đƣợc gọi là khả ly nếu nó là một tập con đếm đƣợc trù

mật, nghĩa là tồn tại A X, A đếm đƣợc, ̅ = X

1.2.7 Nhận xét Nếu X là không gian thõa mãn tiên đề đếm đƣợc thứ hai, thì nó là

không gian thõa mãn tiên đề đếm đƣợc thứ nhất Tuy nhiên, chiều ngƣợc lại

không đúng

Chứng minh Giả sử X là không gian thõa mãn tiên đề đếm đƣợc thứ hai Khi đó,

X có cơ sở đếm đƣợc ℬ (ℬ ) Nếu ta gọi 𝒰x là họ tất cả các lân cận của x, thì

(3) Lấy U 𝒰x, thì U là lân cận của x Điều này dẫn đến tồn tại V sao cho

x V U Lại vì ℬ là cơ sở của nên tồn tại B ℬ sao cho x B V Do đó, tồn

tại B ℬx sao cho x B U

Lúc này, ℬx là cơ sở lân cận đếm đƣợc của X Nhƣ vậy, X là không gian thõa mãn

1.2.8 Định nghĩa Giả sử {xn} là một dãy trong không gian tôpô X Ta nói rằng

{xn} là dãy hội tụ đến x 0 X trong X nếu với mọi lân cận U của x0, tồn tại m

sao cho

{x0} {xn : n m} U

1.3 Các tiên đề tách

1.3.1 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô Khi đó,

(1) X đƣợc gọi là T 1 – không gian nếu với mọi x, y X mà x y, tồn tại các lân

cận mở U của x và V của y sao cho x V và y U

(2) X đƣợc gọi là T 2 – không gian hay không gian Hausdorff nếu với mọi

x, y X mà x y, tồn tại các lân cận mở U của x và V của y sao cho

U

(3) X đƣợc gọi là không gian chính quy nếu với mọi tập hợp đóng F X và với

mọi x F, tồn tại lân cận mở U của x và V của F sao cho U

(5) X đƣợc gọi là không gian chuẩn tắc nếu với E, F là các tập con đóng trong X

sao cho E F = , tồn tại các lân cận mở U của E và V của F sao cho

U V =

(6) X đƣợc gọi là T 4 - không gian nếu nó là T1 – không gian và chuẩn tắc

1.3.2 Định lí Đối với không gian X, các khẳng định sau là đúng

(1) X là T 1 – không gian khi và chỉ khi tập một điểm {x} là đóng trong X với mọi x X

(2) X là không gian chính quy khi và chỉ khi với mọi x X và với mọi lân cận

mở V của x, tồn tại lân cận mở U của x sao cho x U ̅ V

(3) X là không gian chuẩn tắc khi và chỉ khi với mọi tập con đóng F trong X và với mọi lân cận mở V của F, tồn tại lân cận mở U của F sao cho

F U ̅ V

Chứng minh (1) (1.1) Giả sử X là T1 – không gian, x X Khi đó, ta chứng minh

{x} đóng trong X Nếu ta lấy y X\{x}, thì y x Bởi vì X là T1 – không gian nên tồn tại lân cận mở U của y sao cho x U, dẫn đến U X\{x}, kéo theo X\{x} là lân cận của y Do vậy, X\{x} là lân cận của mọi điểm y thuộc nó, điều này suy ra X\{x}

là tập mở, kéo theo {x} là tập đóng

(1.2) Giả sử {x} đóng với mọi x X Ta chứng minh X là T1 - không gian Thật vậy, lấy x, y X sao cho x y Nếu ta đặt { { } { } , thì U, V là tập mở Suy ra {

Do vậy, X là T1 – không gian

(2) (2.1) Giả sử X là không gian chính quy, với mọi x X và V là lân cận của x Khi đó, ta chứng minh tồn tại lân cận mở U của x sao cho

x U ̅ V

Nếu ta đặt F = X\V, thì F đóng và Bởi vì X là không gian chính quy nên tồn tại các lân cận mở U của x và W của F sao cho

U W =

Mặt khác, vì

x U X\W X\F = X\X\V = V nên suy ra

x U ̅ ̅̅̅̅̅̅ = X\W V

(2.2) Giả sử với mọi x X, mọi lân cận mở V của x, tồn tại lân cận mở U của x sao cho x U ̅ V Khi đó, ta chứng minh X là không gian chính quy Thật vậy, lấy x X, F đóng sao cho x Nếu ta đặt V = X\F, thì V mở và x V, kéo theo V là lân cận mở của x, dẫn đến tồn tại lân cận mở U của x sao cho

x U ̅ V

Mặt khác, nếu ta đặt W = X\ ̅, thì W là tập mở Lại vì F = X\V và

X\V X\ ̅ = W nên W là lân cận của F Hơn nữa, vì

U W = U X\ ̅ U X\U = nên ta suy ra U W = Nhƣ vậy, X là không gian chính quy

(3) (3.1) Giả sử X là không gian chuẩn tắc, với mọi F đóng trong X, mọi lân cận

mở V của F Khi đó, ta chứng minh tồn tại lân cận U của F sao cho

F U ̅ V

Bây giờ, nếu ta đặt E = X\V, thì E đóng và E F Bởi vì X chuẩn tắc nên tồn tại các lân cận mở U của F và W của E sao cho U W = Mặt khác, do

F U X\W X\E = X\X\V = V nên ta suy ra

F U ̅ ̅̅̅̅̅̅ = X\W V

(3.2) Giả sử mọi tập con đóng F trong X và mọi lân cận V của F, tồn tại lân cận

U của F sao cho F U ̅ V Ta chứng minh X là không gian chuẩn tắc Thật vậy, lấy F X, F đóng và E X, E đóng sao cho E F Nếu ta đặt V = X\E, thì V là tập mở Mặt khác, vì F V nên V là lân cận mở của F Suy ra tồn tại lân cận mở U của F sao cho

Bây giờ, nếu ta đặt W = X\ ̅, thì W là tập mở Hơn nữa, vì E = X\V nên từ (1.9) suy

ra X\V X\ ̅ = W, kéo theo W là lân cận của E Mặt khác, vì

U W = U X\ ̅ U X\U =

1.3.3 Nhận xét Giả sử X là không gian tôpô Khi đó, các khẳng định sau là đúng

(1) Nếu X là T4 – không gian, thì nó là T3 – không gian

(2) Nếu X là T3 – không gian, thì nó là T2 – không gian

(3) Nếu X là T2 – không gian, thì nó là T1 – không gian

1.4 Không gian con

1.4.1 Định nghĩa Giả sử (X, ) là không gian tôpô và K là tập con của X Khi đó,

ta có họ

= {U K: U } cũng là một tôpô trên K, và ta nói rằng (K, ) là không gian tôpô con hay đơn giản

là không gian con của K

1.4.2 Định lí Giả sử M là không gian con của không gian tôpô (X, ) và E M

nên nếu ta đặt F = X\U, thì F đóng trong X Như vậy, E = M F

(1.2) Giả sử tồn tại tập con F đóng trong X sao cho E = M F Khi đó, ta cần

chứng minh E đóng trong M hay M\E Thật vậy, ta có

Bởi vì F đóng nên X\F mở Do đó, nếu ta đặt U = X\F, thì U Suy ra

M\E = M U , dẫn đến M\E mở trong M Như vậy, E đóng trong M

1.5.1 Định nghĩa Giả sử A là tập con của không gian tôpô X và 𝒰 là họ gồm các

tập con nào đó của X Khi đó,

(1) 𝒰 được gọi là một phủ của A nếu A 𝒰

(2) 𝒱 được gọi là phủ con của 𝒰 phủ A nếu 𝒱 𝒰 và 𝒱 phủ A

(3) Một phủ 𝒰 của A được gọi là phủ mở (tương ứng, phủ đóng) của A nếu mỗi

phần tử của 𝒰 là mở (tương ứng, đóng) trong X

1.5.2 Định nghĩa Giả sử 𝒰 và 𝒱 là các phủ không gian tôpô X Khi đó, ta nói

rằng phủ 𝒰 là mịn của phủ 𝒱 nếu với mỗi V 𝒱, tồn tại U 𝒰 sao cho U V

1.5.3 Đinh nghĩa Giả sử K là tập con của không gian tôpô X Khi đó,

(1) K được gọi là tập compắc trong X nếu mỗi phủ mở của K, tồn tại phủ con