Một số phương pháp giúp học sinh giải tốt các bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Nội dung nghiên cứu

Hệ thống hóa các phương pháp giải dạng toán “ Tìm GTLN & GTNN của hàm số’’ và đưa ra ví dụ cụ thể.

Phương pháp nghiên cứu

+ Về lý luận: Nghiên cứu một số tài liệu, sách, báo có liên quan đến bài toán về GTLN, GTNN

+ Về thực tiễn: Trao đổi, tham khảo, học hỏi kinh nghiệm từ một số giáo viên và học sinh khá giỏi

5 Bố cục của đề tài: gồm 2 chương

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Định nghĩa GTNN, GTLN

1.2 Các bất đẳng thức thường dùng

1.3 Các kiến thức về hàm đơn điệu, khảo sát hàm số

1.4 Các kiến thức liên quan đến tọa độ – vectơ

Chương 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN, GTNN

2.1 Sử dụng Bất đẳng thức

2.1.1 Sử dụng Bất đẳng thức AM-GM (hay còn gọi là BĐT Cô-si)

2.1.2 Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy Bunhiakowski-Schwarz

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 5

2.1.3 Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel

2.2 Sử dụng đạo hàm, khảo sát hàm số

2.3 Sử dụng một số kĩ thuật biến đổi

2.3.2 Sử dụng khảo sát hàm số lần lượt từng biến trong biểu thức chứa ba biến

2.3.3 Giải bài toán bằng phương pháp đổi biến số

2.3.4 Giải bài toán bằng phương pháp tọa độ vectơ

2.3.5 Phương pháp lượng giác hóa

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 6

Cho hàm số y  f x ( ) xác định trên K (K ) Khi đó:

 Số M được gọi là GTLN của hàm số y  f x ( ) trên K khi và chỉ khi:

 Số m được gọi là GTNN của hàm số y  f x ( ) trên K khi và chỉ khi:

1.2 Các bất đẳng thức thường dùng

1.2.1 Bất đẳng thức AM-GM (hay còn gọi là BĐT Cô-si)

Phương pháp: Bất đẳng thức AM-GM (hay còn gọi là BĐT Cô-si):

𝑛 ≥ √𝑎 𝑛 1𝑎 2 … 𝑎 𝑛 , ∀𝑎 1 , 𝑎 2 , … 𝑎 𝑛 ≥ 0 Đẳng thức xảy ra ⇔ 𝑎 1 = 𝑎 2 = = 𝑎 𝑛

1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Bunhikowski-Schwarz

 , khi đó ta có BĐT sau:

 a 1 2  a 2 2   a n 2  b 1 2  b 2 2   b n 2    a b 1 1  a b 2 2   a b n n  2 Đẳng thức xảy ra ⇔ 1 2

n n a a a b  b   b 1.2.3 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel

Giả sử 𝑎 1 , 𝑎 2 , , 𝑎 𝑛 là các số thực bất kì và 𝑏 1 , 𝑏 2 , , 𝑏 𝑛 là các số thực dương, khi đó ta có BĐT sau:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 7

   Đẳng thức xảy ra ⇔ 1 2

1.3 Các kiến thức về hàm đơn điệu, khảo sát hàm số

1.3.1 Định nghĩa: Giả sử K là một khoảng, nửa khoảng, một đoạn Hàm số

( ) y f x xác định trên K được gọi là:

+Đồng biến trên K nếu  x x 1 , 2 K, 𝑥 1 < 𝑥 2 ⇒ 𝑓(𝑥 1 ) < 𝑓(𝑥 2 )

+Nghịch biến trên K nếu  𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝐾, 𝑥 1 < 𝑥 2 ⇒ 𝑓(𝑥 1 ) > 𝑓(𝑥 2 )

1.3.2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số y f x( ) có đạo hàm trên K Khi đó:

+ Nếu hàm số y f x( ) đồng biến trên K thì 𝑓′(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾

+ Nếu hàm số y f x( ) nghịch biến trên K thì 𝑓 ′ (𝑥) ≤ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾 1.3.3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Giả sử K là một khoảng, nửa khoảng, một đoạn Hàm số y f x( ) liên tục trên K và có đạo hàm tại mọi điểm trong của K (tức các điểm thuộc

K nhưng không phải là đầu mút của K) Khi đó:

+ Nếu 𝑓 ′ (𝑥) > 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾 thì hàm số y f x( ) đồng biến trên K

+ Nếu 𝑓 ′ (𝑥) < 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾 thì hàm số y f x( ) nghịch biến trên K + Nếu 𝑓 ′ (𝑥) = 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾 thì hàm số y f x( ) không đổi trên K

Chú ý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏] và có đạo hàm

𝑓 ′ (𝑥) > 0( 𝑓 ′ (𝑥) < 0), ∀𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏) thì hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên đoạn [𝑎; 𝑏]

1.4 Các kiến thức liên quan đến tọa độ – vectơ

1.4.1 Vectơ trong mặt phẳng:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 8

Hai vectơ a và b không cùng phương cho phép mọi vectơ x được phân tích một cách duy nhất theo hai vectơ này Điều này có nghĩa là tồn tại một cặp số duy nhất h và k sao cho x = ha + kb.

+ Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b(b 0) cùng phương là có một số k để akb

Cho số k khác 0 và vectơ a khác 0, tích của vectơ a với một số k được ký hiệu là ka Vectơ ka có cùng hướng với a nếu k lớn hơn 0, ngược hướng với a nếu k nhỏ hơn 0, và độ dài của ka bằng k nhân với độ dài của a.

+ Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k bất kì, ta có:

1 ,( 1).a a. k a b ka kb h k a ha ka h ka hk a a a

+ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho 2 vectơ 𝑢⃗ = (𝑥 1 , 𝑦 1 );

+ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, vectơ 𝑥 = (𝑥, 𝑦) có độ dài là:

+ Nhận biết điều kiện đồng phẳng của ba vectơ trong không gian:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 9

Cho hai vectơ a và b không cùng phương Ba vectơ , ,a b cđồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại ,m n sao cho c namb và ,m n là duy nhất

+ Nếu manb  pc 0 thì , ,a b c đồng phẳng

+ Nếu ba vectơ , ,a b ckhông đồng phẳng,với mọi vectơ d manb  pc

+ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, vectơ 𝑥 = (𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) có độ dài là: |𝑥| = √𝑥 1 2 + 𝑦 1 2 + 𝑧 1 2

+ Tích vô hướng: Cho u ( ,x y z 1 1 , ), 1 v ( ,x y z 2 2 , 2 ) Khi đó:

Trong không gian, phép toán giữa các vectơ cũng tương tự như trong mặt phẳng

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 10

CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ

LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

2.1 Phương pháp tìm GTLN, GTNN bằng cách sử dụng Bất đẳng thức

2.1.1 Dạng 1: Giải bài toán bằng cách sử dụng Bất đẳng thức AM-

GM (hay còn gọi là BĐT Cô-si):

Ví dụ 1: Cho x1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trong biểu thức, khi 𝑥 xuất hiện ở cả tử và mẫu, ta nghĩ đến bất đẳng thức AM-GM Dựa trên điều này, ta dự đoán rằng bất đẳng thức sẽ xảy ra khi 𝑥 = 1 Vì vậy, để đảm bảo dấu bằng xảy ra khi áp dụng AM-GM, ta sẽ chọn hằng số 𝛼 sao cho: 1.

2 x x  Từ đó, ta tìm được 1

Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM với x0, ta có:

Vậy GTNN của y bằng 7

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 11

Ví dụ 2: Cho a b c, , 0;a  b c 1 Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức: P a b b c ca

Phân tích: Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a b c 1 a b c

Từ đó, để bài toán xảy ra dấu bằng, ta sẽ làm như sau:

Sự chênh lệch bậc của biểu thức P và bậc của biểu thức a  b c 1 gợi cho ta hai hướng là AM-GM hoặc Cauchy-Bunhiakowski-

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

Cộng vế theo vế ba bất đẳng trên, ta được:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 12

Vậy Giá trị lớn nhất của P bằng 2 khi và chỉ khi 1 a  b c 3

1 Cho các số thực dương ,x y thỏa mãn x 3  y 3 1 Tìm GTLN của biểu thức: P x y

2 Cho các số thực dương ,x y thỏa mãn x 3  y 3 1 Tìm GTLN của biểu thức: P x2 y

2.1.2 Dạng 2: Giải bài toán bằng cách sử dụng Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakowski-Schwarz

Ví dụ 3: Cho a b c, , 0;a  b c 1 Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhia-Schwarz:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 1 a  b c 3

Vậy Giá trị lớn nhất của P bằng 6 khi và chỉ khi: 1

Ví dụ 4: Tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A2x3y biết rằng 2x 2 3y 2 5

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 13

Vì biểu thức A ở dạng bậc nhất và giả thuyết bài toán cho

2x 3y 5 có dạng bậc 2, nên ta nghĩ đến BĐT Cauchy-

Áp dụng BĐT Cauchy-Bunhiakowski-Schwarz, ta có:

1 Cho a b c, , là ba số thực dương bất kì Tìm GTLN của biểu thức: a b b c c a

2 Cho a là số thực dương thỏa man a2 Tìm GTNN của biểu thức:

2.1.3 Giải bài toán bằng cách sử dụng Bất đẳng thức Cauchy-

Ví dụ 5: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1 Tìm GTNN của biểu thức:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 14

Khi tiếp cận bài toán, ta nhận thấy vé trái của P có dạng phân thức, điều này gợi ý đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwart dạng Engel Tuy nhiên, nếu áp dụng ngay bất đẳng thức này, chúng ta sẽ nhận được một biểu thức nhất định.

Khi đó, bài toán sẽ trở nên phức tạp hơn, dễ dẫn đến bế tắc trong quá trình giải Vì vậy, để ý một chút ta sẽ thấy

  , lúc này việc áp dụng BĐT Cauchy-Schwart dạng Engel sẽ mang lại hướng giải quyết rõ ràng

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwart dạng Engel, ta có:

( ) ( ) ( ) 2( ) 2 ab bc ca abc ab bc ca a b c

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

2 2 2 2 2 ab bc ca ab bc ca abc

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 15

Ví dụ 6: Cho các số thực dương , ,x y z thỏa mãn 2 2 2 1

Ta thấy biểu thức P đối xứng theo 3 biến , ,x y z là được viết ở dạng phân thức nên ta nghĩ đến việc dùng BĐT Cauchy-Schwart dạng

Engel Tuy nhiên, trên tử của mỗi phân số chưa xuất hiện dạng bình phương nên ta biến đổi như sau:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwart dạng Engel, ta có:

Áp dụng BĐT AM-GM, ta lại có:

2 2 2 2 2 2 x y y z z x xy yz zx x y z xy yz zx

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 16

1.Cho số thực dương , ,a b c thỏa mãn a 2 b 2 c 2 3 Tìm GTNN của biểu thức: 1 1 1

2 Cho 3 số thực không âm , ,a b cthỏa mãn abbcca3 Tìm

2.2 Giải bài toán bằng cách sử dụng phương pháp dùng đạo hàm, khảo sát hàm số

Phương pháp: Cho hàm số y f x( ) có tập xác định D

 Lập bảng biến thiên

 Dựa vào bản biến thiên, ta suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

 Nếu f(x) có tập xác định D=  a b ; thì không cần lập bảng biến thiên:

- Tìm tới các điểm hạn x x 1 , 2 , ,x n của (x)f trên   a b ;

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 17

 Giả sử hàm số ( )f x liên tục và có đạo hàm trên đoạn   a b ;

Hàm f tăng (giảm) trên   a b ; nếu f x '( )  0  f x '( )  0  ∀𝑥 ∈

(dấu bằng xảy ra ở một số hữu hạn điểm thuộc đoạn   a b ; )

- Nếu ( )f x tăng trên đoạn   a b ; thì min 𝑥∈𝐷 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) và max𝑥∈𝐷 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏)

- Nếu ( )f x giảm trên đoạn   a b ; thì min

Ví dụ 7: Tìm Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Giải: Điều kiện xác định: 18 2 x 2  0 x 2     9 3 x 3 Tập xác định: D    3;3 

Vậy y m ax 3khi và chỉ khi: x3

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 18 y min  3 3 khi và chỉ khi: x  3

Ví dụ 8: Tìm GTNN, GTLN của 2 1

Tập xác định: D = Ta có:

Dựa vào bảng biến thiên, ta được:

2.3 Sử dụng một số kĩ thuật biến đổi 2.3.1 Đưa về một biến

Biến đổi giả thiết bài toán giúp xác định mối quan hệ giữa các biến Sau đó, cần tìm cách đặt ẩn phụ hợp lý để đưa biểu thức đã cho theo một biến, từ đó tiến hành khảo sát.

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 19 sát Thông thường, ta sẽ đưa biến có dạng tổng hoặc tích như là

Ví dụ 9: Cho x, y là 2 số thực thỏa mãn: x 2  y 2 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Mặt khác, ta cũng có:  x  y  2  2 xy  x 2  y 2  2

Tức là xy có thể biểu diễn qua x+y Lúc đó, biểu thức P biểu diễn theo x+y

P x y xy x y x y xy xy x y xy xy t t t t t t

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 20

Ta có bảng biến thiên: t -2 1 2

Ví dụ 10: Cho x0,y0 và x y 1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: S   4 x 2  3 y  4 y 2  3 x   25 xy

Biểu thức trên đối xứng với ,x y.Giả thiết đã cho x y 1 nên ta nghĩ tới việc xét biểu thức theo xy

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 21

S x y y x xy x y x y xy xy x y x y xy x y xy x y xy xy x y xy

Ta có bảng biến thiên: t 0 1

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 22

1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

2 Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn:

2 a b ab ab ab2 Tìm GTLN của biểu thức:

2.3.2 Sử dụng khảo sát hàm số lần lượt từng biến trong biểu thức chứa ba biến

Đối với bất đẳng thức nhiều biến, chúng ta có thể khảo sát từng biến một cách tuần tự bằng cách cố định các biến còn lại Khi đó, bài toán trở thành bất đẳng thức theo một biến duy nhất Ví dụ, để tìm cực trị của biểu thức ba biến x, y, z là P(x, y, z) với một điều kiện T nào đó.

 Bước 1: Xem P(x, y, z) là hàm theo biến x, còn y, z là hằng số Khảo sát hàm này tìm cực trị với điều kiện T, ta được:

 Bước 2: Xem g(y, z) là hàm biến y, còn z là hằng số

Khảo sát hàm này với điều kiện T,ta được: g(y, z) ≥ h(z) hoặc g(y, z) ≤ h(z)

 Bước 3: Cuối cùng khảo sát hàm số một biến h(z) với điều kiện T ta tìm được min, max của hàm này

Ta đi đến kết luận: P(x, y, z) ≥ g(y, z) ≥ h(z) ≥ m hoặc P(x, y, z) ≤ g(y, z) ≤ h(z) ≤ 𝑀

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 23

Ví dụ 11: Cho ba số thực x y z , ,    1;4 và x  y x ,  z Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Ta cần chọn biến sao cho đạo hàm có biểu thức đơn giản nhất Nếu chọn biến y hoặc x, đạo hàm sẽ xuất hiện các số 2 và 3 trong phân số đầu Vì vậy, biến z là lựa chọn tối ưu.

Xem đây là hàm theo biến z; còn x, y là hằng số

Theo giả thiết: x   y x y 0 Vì vậy: P  0 z xy

Ta có bảng biến thiên: z xy

Từ bảng biến thiên:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 24

PP xy  f t  f  33 Đẳng thức xảy ra: 4, 1, 2

Ví dụ 12: Cho a b c, , là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện

. abc  a c b Tìm GTLN của biểu thức:

Để khảo sát hàm số theo một biến, chúng ta nên cố gắng đơn giản hóa biểu thức bằng cách sử dụng ít biến nhất có thể, nhưng vẫn phải đảm bảo không vi phạm các điều kiện cần thiết.

Từ giả thiết ta suy ra: (1 ) 0

 Vậy có thể chuyển bài toán theo biến a và c mà không làm mất điều kiện bằng cách thế

Theo giả thiết ta có: (1 ) 0

Thay vào biểu thức P ta được:

 c và xem c là tham số (c0)

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 26

Từ bảng biến thiên, ta có: 0

Từ bảng biến thiên, ta suy ra: g c( )g c( ) 0

   Tìm GTLN của biểu thức:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 27 a b c

2 Cho a b c, , là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 3 Tìm GTNN của biểu thức: T  3  a 2  b 2  c 2   4 abc

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f(x) trong tập xác định của hàm số hoặc trong một số tập số cho trước, phương pháp đổi biến số được áp dụng qua các bước sau: đầu tiên, xác định hàm số và tập xác định; sau đó, thực hiện các phép đổi biến cần thiết để đơn giản hóa hàm số; tiếp theo, tìm đạo hàm và xác định các điểm cực trị; cuối cùng, kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và biên để xác định GTLN và GTNN.

 Bước 1: Lựa chọn cách đặt ẩn phụ thích hợp t theo 𝑥

 Bước 2: Chuyển điều kiện của x sang điều kiện của t

 Bước 3: Chuyển bài toán ban đầu thành bài toán mới đơn giản hơn

Cụ thể là: Tìm GTLN, GTNN của hàm số f(t) trên tập

Ví dụ 13: Tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Phân tích: Dễ dàng nhận thấy rằng: nếu đặt 𝑡 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 thì hàm số đã cho có thể biểu diễn thành một hàm phân thức với ẩn t

Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 1

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 28

Bảng biến thiên của hàm số ( )f t trên đoạn    1;1 như sau: t -1 0 1

Từ bảng biến thiên, ta suy ra: f m ax ( ) 1t  khi t = 0 min( ) 0 f t  khi t = -1

Do đó: y m ax 1 khi xk y min 0 khi 2 x  2 k 

Ví dụ 14: Cho 2 số thực dương ,x y thỏa mãn x y 1 Tìm GTNN của biểu thức:

Phân tích phương trình 1 - x = y và 1 - y = x cho thấy rằng với điều kiện P > 0 và x, y > 0, giá trị P đạt cực tiểu khi và chỉ khi P^2 đạt cực tiểu Điều này gợi ý rằng việc bình phương P sẽ loại bỏ dấu căn thức của 1 - x và 1 - y.

Kết hợp với giả thiết x y 1.Ta có:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 29

P x y x y y x x y xy x y x y xy xy xy xy xy t f t t

Từ giả thiết và BĐT đúng  x  y  2  4 xy  0 ta suy ra 1

Hàm số ( )f t nghịch biến trên đoạn 1

  ta suy ra GTNN của hàm số này (chính là GTNN của P 2 ) là 1

1 Tìm GTLN, GTNN của hàm số:

2 Cho xy0 thỏa mãn x y 1 Tìm GTNN của biểu thức:

2.3.4 Sử dụng phương pháp tọa độ vectơ

 Bất đẳng thức vectơ:

Cho 2 vectơ 𝑎 , 𝑏⃗ (trong mặt phẳng hoặc trong không gian) Khi đó:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 30

(2) a b a  b Dấu “=” xảy ra khi: a cùng hướng với b

⇔ ∃𝑘 > 0: 𝑎 = 𝑘𝑏⃗ hoặc 1 trong 2 vectơ bằng 0⃗

(3) a b a  b Dấu “=” xảy ra ⇔ a ngược hướng với b

⇔ ∃𝑘 < 0: 𝑎 = 𝑘𝑏⃗ hoặc 1 trong 2 vectơ bằng 0⃗

(4) a b  a b Dấu “=” xảy ra ⇔ ,a b cùng phương hoặc 1 trong 2 vectơ bằng 0⃗

Ví dụ 15: Cho tam giác ABC Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

6cos cos cos os os os

Với vai trò của A, B, C tương đương, chúng ta có thể dự đoán rằng giá trị lớn nhất đạt được là 1, xảy ra khi tam giác ABC đều Vì vậy, chúng ta sẽ tìm cách chứng minh bất đẳng thức này.

6cos cos cosA B Ccos A c os Bcos C

Trong bất đẳng thức trên, tổng các bình phương xuất hiện, cho phép chúng ta áp dụng tính chất (1) Tuy nhiên, vì bài toán không mô tả cụ thể tam giác ABC, nên cần xem xét các trường hợp khác nhau của tam giác này.

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 31

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau:

6cos cos cosA B Ccos A c os Bcos C (*)

+ Nếu tam giác ABC là tam giác tù ( có một góc tù) thì (*) hiển nhiên đúng vì khi đó vế trái âm, vế phải dương

+ Nếu tam giác ABC không phải là tam giác tù thì trên mặt phẳng ta đặt các vectơ 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ sao cho:

Áp dụng tính chất (1), ta có:

2 2 2 os os os 2(cos cos cos cos cos cos cos osB.cosC) 0 c A c B c C A B C A B C A c

2 2 2 os os os 6cos cos cos c A c B c C A B C

Ta được điều phải chứng minh

Từ bất đẳng thức (*) suy ra:

6cos cos cos os os os 1

  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: tam giác ABC đều

Ví dụ 16: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: os2 os2 os2 3. c A c Bc C 2

Để áp dụng các tính chất của vectơ trong bài toán này, cần sử dụng công thức có chứa vectơ và hàm số cos Chúng ta sẽ áp dụng tích vô hướng của hai vectơ để giải quyết vấn đề.

Và khi đó, nếu ta gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì

𝑅 = |𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ | Từ đó, ta nghĩ tới việc dùng tính chất (1) để chứng minh

Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

2 Suy ra điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Khi giải quyết các bài toán chứng minh bất đẳng thức liên quan đến tổng của các căn bậc hai, chúng ta thường sử dụng hai hoặc ba bất đẳng thức vectơ Việc áp dụng những bất đẳng thức này giúp chuyển đổi biểu thức trong dấu căn bậc hai về tổng của các bình phương, từ đó dễ dàng hơn trong việc chứng minh.

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 33

Ví dụ 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài toán này, nếu chỉ sử dụng bất đẳng thức và đánh giá thông thường, sẽ rất khó khăn cho học sinh do có hai căn bậc hai, khiến việc biến đổi trở nên phức tạp Tuy nhiên, nếu chú ý đến các đối tượng trong bài toán và khai thác tính chất, bài toán sẽ trở nên dễ dàng hơn Có thể thực hiện biến đổi theo hướng phù hợp để đơn giản hóa quá trình giải.

2 biểu thức trong căn bậc hai có thể biến đổi thành tổng các bình phương

1 2 2 a   a  a    Từ đó, ta có thể đặt: 𝑢⃗ = (𝑎 + 1

2), đến đây đã có thể sử dụng tính chất

(2) để đánh giá biểu thức A

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đặt:

2 ) Áp dụng tính chất (2), ta có:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 34

Ví dụ 18: Tìm GTNN của biểu thức:

Vì vai trò của , ,x y z là như nhau nên ta có thể dự đoán P đạt GTNN là 3 khi x y z Do đó, ta sẽ đi chứng minh:

Ta sẽ chứng minh Bất đẳng thức:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta đặt:

Từ tính chất |𝑢⃗ | + |𝑣 | + |𝑤⃗⃗ | ≥ |𝑢⃗ + 𝑣 + 𝑤⃗⃗ | , ta có:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 35 Đẳng thức xảy ra khi x y z

1 Chứng minh rằng với mọi x ta có:

2 Cho a b c, , 0 và abbccaabc Chứng minh rằng:

2.3.5 Sử dụng phương pháp lượng giác hóa

CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Định nghĩa GTNN, GTLN

Các kiến thức liên quan đến tọa độ – vectơ

Chương 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN, GTNN

2.1 Sử dụng Bất đẳng thức

2.1.1 Sử dụng Bất đẳng thức AM-GM (hay còn gọi là BĐT Cô-si)

2.1.2 Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy Bunhiakowski-Schwarz.

CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN, GTNN 2.1 Sử dụng các bất đẳng thức

Sử dụng đạo hàm, khảo sát hàm số

2.3 Sử dụng một số kĩ thuật biến đổi

2.3.2 Sử dụng khảo sát hàm số lần lượt từng biến trong biểu thức chứa ba biến

2.3.3 Giải bài toán bằng phương pháp đổi biến số

2.3.4 Giải bài toán bằng phương pháp tọa độ vectơ

2.3.5 Phương pháp lượng giác hóa

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 6

Cho hàm số y  f x ( ) xác định trên K (K ) Khi đó:

 Số M được gọi là GTLN của hàm số y  f x ( ) trên K khi và chỉ khi:

 Số m được gọi là GTNN của hàm số y  f x ( ) trên K khi và chỉ khi:

1.2 Các bất đẳng thức thường dùng

1.2.1 Bất đẳng thức AM-GM (hay còn gọi là BĐT Cô-si)

Phương pháp: Bất đẳng thức AM-GM (hay còn gọi là BĐT Cô-si):

𝑛 ≥ √𝑎 𝑛 1𝑎 2 … 𝑎 𝑛 , ∀𝑎 1 , 𝑎 2 , … 𝑎 𝑛 ≥ 0 Đẳng thức xảy ra ⇔ 𝑎 1 = 𝑎 2 = = 𝑎 𝑛

1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Bunhikowski-Schwarz

 , khi đó ta có BĐT sau:

 a 1 2  a 2 2   a n 2  b 1 2  b 2 2   b n 2    a b 1 1  a b 2 2   a b n n  2 Đẳng thức xảy ra ⇔ 1 2

n n a a a b  b   b 1.2.3 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel

Giả sử 𝑎 1 , 𝑎 2 , , 𝑎 𝑛 là các số thực bất kì và 𝑏 1 , 𝑏 2 , , 𝑏 𝑛 là các số thực dương, khi đó ta có BĐT sau:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 7

   Đẳng thức xảy ra ⇔ 1 2

1.3 Các kiến thức về hàm đơn điệu, khảo sát hàm số

1.3.1 Định nghĩa: Giả sử K là một khoảng, nửa khoảng, một đoạn Hàm số

( ) y f x xác định trên K được gọi là:

+Đồng biến trên K nếu  x x 1 , 2 K, 𝑥 1 < 𝑥 2 ⇒ 𝑓(𝑥 1 ) < 𝑓(𝑥 2 )

+Nghịch biến trên K nếu  𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝐾, 𝑥 1 < 𝑥 2 ⇒ 𝑓(𝑥 1 ) > 𝑓(𝑥 2 )

1.3.2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số y f x( ) có đạo hàm trên K Khi đó:

+ Nếu hàm số y f x( ) đồng biến trên K thì 𝑓′(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾

+ Nếu hàm số y f x( ) nghịch biến trên K thì 𝑓 ′ (𝑥) ≤ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾 1.3.3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Giả sử K là một khoảng, nửa khoảng, một đoạn Hàm số y f x( ) liên tục trên K và có đạo hàm tại mọi điểm trong của K (tức các điểm thuộc

K nhưng không phải là đầu mút của K) Khi đó:

+ Nếu 𝑓 ′ (𝑥) > 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾 thì hàm số y f x( ) đồng biến trên K

+ Nếu 𝑓 ′ (𝑥) < 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾 thì hàm số y f x( ) nghịch biến trên K + Nếu 𝑓 ′ (𝑥) = 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾 thì hàm số y f x( ) không đổi trên K

Chú ý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏] và có đạo hàm

𝑓 ′ (𝑥) > 0( 𝑓 ′ (𝑥) < 0), ∀𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏) thì hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên đoạn [𝑎; 𝑏]

1.4 Các kiến thức liên quan đến tọa độ – vectơ

1.4.1 Vectơ trong mặt phẳng:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 8

Cho hai vectơ a và b không cùng phương, mọi vectơ x đều có thể được phân tích một cách duy nhất theo hai vectơ a và b Điều này có nghĩa là tồn tại một cặp số duy nhất h và k sao cho x = ha + kb.

+ Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b(b 0) cùng phương là có một số k để akb

Cho số k khác 0 và vectơ a khác 0, tích của vectơ a với một số k được ký hiệu là ka Vectơ ka có cùng hướng với a nếu k lớn hơn 0, ngược hướng với a nếu k nhỏ hơn 0, và độ dài của vectơ ka bằng k nhân với độ dài của vectơ a.

+ Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k bất kì, ta có:

1 ,( 1).a a. k a b ka kb h k a ha ka h ka hk a a a

+ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho 2 vectơ 𝑢⃗ = (𝑥 1 , 𝑦 1 );

+ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, vectơ 𝑥 = (𝑥, 𝑦) có độ dài là:

+ Nhận biết điều kiện đồng phẳng của ba vectơ trong không gian:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 9

Cho hai vectơ a và b không cùng phương Ba vectơ , ,a b cđồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại ,m n sao cho c namb và ,m n là duy nhất

+ Nếu manb  pc 0 thì , ,a b c đồng phẳng

+ Nếu ba vectơ , ,a b ckhông đồng phẳng,với mọi vectơ d manb  pc

+ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, vectơ 𝑥 = (𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) có độ dài là: |𝑥| = √𝑥 1 2 + 𝑦 1 2 + 𝑧 1 2

+ Tích vô hướng: Cho u ( ,x y z 1 1 , ), 1 v ( ,x y z 2 2 , 2 ) Khi đó:

Trong không gian, phép toán giữa các vectơ cũng tương tự như trong mặt phẳng

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 10

CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ

LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

2.1 Phương pháp tìm GTLN, GTNN bằng cách sử dụng Bất đẳng thức

2.1.1 Dạng 1: Giải bài toán bằng cách sử dụng Bất đẳng thức AM-

GM (hay còn gọi là BĐT Cô-si):

Ví dụ 1: Cho x1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Biểu thức xuất hiện 𝑥 ở cả tử và mẫu gợi nhớ đến bất đẳng thức AM-GM Chúng ta dự đoán rằng bất đẳng thức sẽ xảy ra khi 𝑥 = 1 Do đó, để đạt được dấu "=" khi sử dụng AM-GM, chúng ta sẽ chọn hằng số 𝛼 sao cho: 1.

2 x x  Từ đó, ta tìm được 1

Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM với x0, ta có:

Vậy GTNN của y bằng 7

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 11

Ví dụ 2: Cho a b c, , 0;a  b c 1 Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức: P a b b c ca

Phân tích: Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a b c 1 a b c

Từ đó, để bài toán xảy ra dấu bằng, ta sẽ làm như sau:

Sự chênh lệch bậc của biểu thức P và bậc của biểu thức a  b c 1 gợi cho ta hai hướng là AM-GM hoặc Cauchy-Bunhiakowski-

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

Cộng vế theo vế ba bất đẳng trên, ta được:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 12

Vậy Giá trị lớn nhất của P bằng 2 khi và chỉ khi 1 a  b c 3

1 Cho các số thực dương ,x y thỏa mãn x 3  y 3 1 Tìm GTLN của biểu thức: P x y

2 Cho các số thực dương ,x y thỏa mãn x 3  y 3 1 Tìm GTLN của biểu thức: P x2 y

2.1.2 Dạng 2: Giải bài toán bằng cách sử dụng Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakowski-Schwarz

Ví dụ 3: Cho a b c, , 0;a  b c 1 Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhia-Schwarz:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 1 a  b c 3

Vậy Giá trị lớn nhất của P bằng 6 khi và chỉ khi: 1

Ví dụ 4: Tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A2x3y biết rằng 2x 2 3y 2 5

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 13

Vì biểu thức A ở dạng bậc nhất và giả thuyết bài toán cho

2x 3y 5 có dạng bậc 2, nên ta nghĩ đến BĐT Cauchy-

Áp dụng BĐT Cauchy-Bunhiakowski-Schwarz, ta có:

1 Cho a b c, , là ba số thực dương bất kì Tìm GTLN của biểu thức: a b b c c a

2 Cho a là số thực dương thỏa man a2 Tìm GTNN của biểu thức:

2.1.3 Giải bài toán bằng cách sử dụng Bất đẳng thức Cauchy-

Ví dụ 5: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1 Tìm GTNN của biểu thức:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 14

Khi tiếp cận bài toán này, ta nhận thấy vế trái của P có dạng phân thức, điều này gợi ý việc sử dụng BĐT Cauchy-Schwartz dạng Engel Tuy nhiên, nếu áp dụng ngay BĐT này, ta sẽ thu được một biểu thức mới.

Khi đó, bài toán sẽ trở nên phức tạp hơn, dễ dẫn đến bế tắc trong quá trình giải Vì vậy, để ý một chút ta sẽ thấy

  , lúc này việc áp dụng BĐT Cauchy-Schwart dạng Engel sẽ mang lại hướng giải quyết rõ ràng

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwart dạng Engel, ta có:

( ) ( ) ( ) 2( ) 2 ab bc ca abc ab bc ca a b c

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

2 2 2 2 2 ab bc ca ab bc ca abc

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 15

Ví dụ 6: Cho các số thực dương , ,x y z thỏa mãn 2 2 2 1

Ta thấy biểu thức P đối xứng theo 3 biến , ,x y z là được viết ở dạng phân thức nên ta nghĩ đến việc dùng BĐT Cauchy-Schwart dạng

Engel Tuy nhiên, trên tử của mỗi phân số chưa xuất hiện dạng bình phương nên ta biến đổi như sau:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwart dạng Engel, ta có:

Áp dụng BĐT AM-GM, ta lại có:

2 2 2 2 2 2 x y y z z x xy yz zx x y z xy yz zx

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 16

1.Cho số thực dương , ,a b c thỏa mãn a 2 b 2 c 2 3 Tìm GTNN của biểu thức: 1 1 1

2 Cho 3 số thực không âm , ,a b cthỏa mãn abbcca3 Tìm

2.2 Giải bài toán bằng cách sử dụng phương pháp dùng đạo hàm, khảo sát hàm số

Phương pháp: Cho hàm số y f x( ) có tập xác định D

 Lập bảng biến thiên

 Dựa vào bản biến thiên, ta suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

 Nếu f(x) có tập xác định D=  a b ; thì không cần lập bảng biến thiên:

- Tìm tới các điểm hạn x x 1 , 2 , ,x n của (x)f trên   a b ;

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 17

 Giả sử hàm số ( )f x liên tục và có đạo hàm trên đoạn   a b ;

Hàm f tăng (giảm) trên   a b ; nếu f x '( )  0  f x '( )  0  ∀𝑥 ∈

(dấu bằng xảy ra ở một số hữu hạn điểm thuộc đoạn   a b ; )

- Nếu ( )f x tăng trên đoạn   a b ; thì min 𝑥∈𝐷 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) và max𝑥∈𝐷 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏)

- Nếu ( )f x giảm trên đoạn   a b ; thì min

Ví dụ 7: Tìm Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Giải: Điều kiện xác định: 18 2 x 2  0 x 2     9 3 x 3 Tập xác định: D    3;3 

Vậy y m ax 3khi và chỉ khi: x3

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 18 y min  3 3 khi và chỉ khi: x  3

Ví dụ 8: Tìm GTNN, GTLN của 2 1

Tập xác định: D = Ta có:

Dựa vào bảng biến thiên, ta được:

2.3 Sử dụng một số kĩ thuật biến đổi 2.3.1 Đưa về một biến

Biến đổi giả thiết bài toán để tìm mối quan hệ giữa các biến là một bước quan trọng trong quá trình giải quyết vấn đề Sau đó, cần xác định cách đặt ẩn phụ hợp lý nhằm đơn giản hóa bài toán Cuối cùng, việc đưa biểu thức đã cho theo một biến cụ thể sẽ giúp khảo sát và phân tích sâu hơn về vấn đề cần giải quyết.

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 19 sát Thông thường, ta sẽ đưa biến có dạng tổng hoặc tích như là

Ví dụ 9: Cho x, y là 2 số thực thỏa mãn: x 2  y 2 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Mặt khác, ta cũng có:  x  y  2  2 xy  x 2  y 2  2

Tức là xy có thể biểu diễn qua x+y Lúc đó, biểu thức P biểu diễn theo x+y

P x y xy x y x y xy xy x y xy xy t t t t t t

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 20

Ta có bảng biến thiên: t -2 1 2

Ví dụ 10: Cho x0,y0 và x y 1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: S   4 x 2  3 y  4 y 2  3 x   25 xy

Biểu thức trên đối xứng với ,x y.Giả thiết đã cho x y 1 nên ta nghĩ tới việc xét biểu thức theo xy

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 21

S x y y x xy x y x y xy xy x y x y xy x y xy x y xy xy x y xy

Ta có bảng biến thiên: t 0 1

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 22

1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

2 Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn:

2 a b ab ab ab2 Tìm GTLN của biểu thức:

2.3.2 Sử dụng khảo sát hàm số lần lượt từng biến trong biểu thức chứa ba biến

Để khảo sát bất đẳng thức nhiều biến, chúng ta có thể xem xét từng biến một cách lần lượt bằng cách cố định các biến còn lại Khi đó, bài toán sẽ trở thành bất đẳng thức theo một biến duy nhất Ví dụ, nếu chúng ta muốn tìm cực trị của biểu thức ba biến x, y, z là P(x, y, z) với một điều kiện T nào đó, chúng ta sẽ tiến hành phân tích theo cách này.

 Bước 1: Xem P(x, y, z) là hàm theo biến x, còn y, z là hằng số Khảo sát hàm này tìm cực trị với điều kiện T, ta được:

 Bước 2: Xem g(y, z) là hàm biến y, còn z là hằng số

Khảo sát hàm này với điều kiện T,ta được: g(y, z) ≥ h(z) hoặc g(y, z) ≤ h(z)

 Bước 3: Cuối cùng khảo sát hàm số một biến h(z) với điều kiện T ta tìm được min, max của hàm này

Ta đi đến kết luận: P(x, y, z) ≥ g(y, z) ≥ h(z) ≥ m hoặc P(x, y, z) ≤ g(y, z) ≤ h(z) ≤ 𝑀

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 23

Ví dụ 11: Cho ba số thực x y z , ,    1;4 và x  y x ,  z Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Chúng ta cần chọn biến sao cho đạo hàm có biểu thức đơn giản nhất Nếu chọn biến y hoặc x, đạo hàm sẽ xuất hiện các số 2, 3 trong phân số đầu Do đó, biến z là lựa chọn tối ưu.

Xem đây là hàm theo biến z; còn x, y là hằng số

Theo giả thiết: x   y x y 0 Vì vậy: P  0 z xy

Ta có bảng biến thiên: z xy

Từ bảng biến thiên:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 24

PP xy  f t  f  33 Đẳng thức xảy ra: 4, 1, 2

Ví dụ 12: Cho a b c, , là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện

. abc  a c b Tìm GTLN của biểu thức:

Để khảo sát hàm số theo một biến, chúng ta cần tối ưu hóa biểu thức bằng cách giảm thiểu số biến, đồng thời giữ nguyên các điều kiện cần thiết.

Từ giả thiết ta suy ra: (1 ) 0

 Vậy có thể chuyển bài toán theo biến a và c mà không làm mất điều kiện bằng cách thế

Theo giả thiết ta có: (1 ) 0

Thay vào biểu thức P ta được:

 c và xem c là tham số (c0)

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 26

Từ bảng biến thiên, ta có: 0

Từ bảng biến thiên, ta suy ra: g c( )g c( ) 0

   Tìm GTLN của biểu thức:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 27 a b c

2 Cho a b c, , là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 3 Tìm GTNN của biểu thức: T  3  a 2  b 2  c 2   4 abc

2.3.3 Sử dụng phương pháp đổi biến số Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) (x thuộc tập xác định của hàm số hoặc thuộc một số tập số cho trước) bằng phương pháp đổi biến số, ta lần lượt thực hiện các bước:

 Bước 1: Lựa chọn cách đặt ẩn phụ thích hợp t theo 𝑥

 Bước 2: Chuyển điều kiện của x sang điều kiện của t

 Bước 3: Chuyển bài toán ban đầu thành bài toán mới đơn giản hơn

Cụ thể là: Tìm GTLN, GTNN của hàm số f(t) trên tập

Ví dụ 13: Tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Phân tích: Dễ dàng nhận thấy rằng: nếu đặt 𝑡 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 thì hàm số đã cho có thể biểu diễn thành một hàm phân thức với ẩn t

Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 1

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 28

Bảng biến thiên của hàm số ( )f t trên đoạn    1;1 như sau: t -1 0 1

Từ bảng biến thiên, ta suy ra: f m ax ( ) 1t  khi t = 0 min( ) 0 f t  khi t = -1

Do đó: y m ax 1 khi xk y min 0 khi 2 x  2 k 

Ví dụ 14: Cho 2 số thực dương ,x y thỏa mãn x y 1 Tìm GTNN của biểu thức:

Phân tích phương trình 1 - x = y và 1 - y = x cho thấy rằng P đạt giá trị tối thiểu khi P² đạt giá trị tối thiểu, với điều kiện P > 0 và x, y > 0 Điều này gợi ý rằng việc bình phương P sẽ loại bỏ dấu căn thức của 1 - x và 1 - y.

Kết hợp với giả thiết x y 1.Ta có:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 29

P x y x y y x x y xy x y x y xy xy xy xy xy t f t t

Từ giả thiết và BĐT đúng  x  y  2  4 xy  0 ta suy ra 1

Hàm số ( )f t nghịch biến trên đoạn 1

  ta suy ra GTNN của hàm số này (chính là GTNN của P 2 ) là 1

1 Tìm GTLN, GTNN của hàm số:

2 Cho xy0 thỏa mãn x y 1 Tìm GTNN của biểu thức:

2.3.4 Sử dụng phương pháp tọa độ vectơ

 Bất đẳng thức vectơ:

Cho 2 vectơ 𝑎 , 𝑏⃗ (trong mặt phẳng hoặc trong không gian) Khi đó:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 30

(2) a b a  b Dấu “=” xảy ra khi: a cùng hướng với b

⇔ ∃𝑘 > 0: 𝑎 = 𝑘𝑏⃗ hoặc 1 trong 2 vectơ bằng 0⃗

(3) a b a  b Dấu “=” xảy ra ⇔ a ngược hướng với b

⇔ ∃𝑘 < 0: 𝑎 = 𝑘𝑏⃗ hoặc 1 trong 2 vectơ bằng 0⃗

(4) a b  a b Dấu “=” xảy ra ⇔ ,a b cùng phương hoặc 1 trong 2 vectơ bằng 0⃗

Ví dụ 15: Cho tam giác ABC Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

6cos cos cos os os os

Vai trò của A, B, C là tương đương, cho phép chúng ta dự đoán giá trị lớn nhất là 1, xảy ra khi tam giác ABC đều Vì vậy, chúng ta sẽ tìm cách chứng minh bất đẳng thức này.

6cos cos cosA B Ccos A c os Bcos C

Trong bất đẳng thức, tổng các bình phương xuất hiện, cho phép chúng ta áp dụng tính chất này Tuy nhiên, do bài toán không cung cấp thông tin cụ thể về tam giác ABC, nên cần xem xét các trường hợp khác nhau của tam giác này.

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 31

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau:

6cos cos cosA B Ccos A c os Bcos C (*)

+ Nếu tam giác ABC là tam giác tù ( có một góc tù) thì (*) hiển nhiên đúng vì khi đó vế trái âm, vế phải dương

+ Nếu tam giác ABC không phải là tam giác tù thì trên mặt phẳng ta đặt các vectơ 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ sao cho:

Áp dụng tính chất (1), ta có:

2 2 2 os os os 2(cos cos cos cos cos cos cos osB.cosC) 0 c A c B c C A B C A B C A c

2 2 2 os os os 6cos cos cos c A c B c C A B C

Ta được điều phải chứng minh

Từ bất đẳng thức (*) suy ra:

6cos cos cos os os os 1

  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: tam giác ABC đều

Ví dụ 16: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: os2 os2 os2 3. c A c Bc C 2

Để áp dụng các tính chất của vectơ vào bài toán này, cần sử dụng một công thức chứa vectơ và hàm số cos Do đó, chúng ta sẽ sử dụng tích vô hướng của hai vectơ.

Và khi đó, nếu ta gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì

𝑅 = |𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ | Từ đó, ta nghĩ tới việc dùng tính chất (1) để chứng minh

Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

2 Suy ra điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

Khi giải quyết các bài toán chứng minh bất đẳng thức liên quan đến tổng của các căn bậc hai, chúng ta thường áp dụng tính chất của hai hoặc ba bất đẳng thức vectơ Điều này cho phép chúng ta biến đổi các biểu thức trong dấu căn bậc hai về dạng tổng của các bình phương, từ đó dễ dàng hơn trong việc chứng minh.

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 33

Ví dụ 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài toán này nếu chỉ sử dụng bất đẳng thức và đánh giá thông thường sẽ rất khó cho học sinh, do có hai căn bậc hai làm cho việc biến đổi trở nên phức tạp Tuy nhiên, nếu chú ý đến các đối tượng trong bài toán và khai thác tính chất của chúng, bài toán sẽ trở nên dễ dàng hơn Việc biến đổi có thể thực hiện theo hướng nhất định để đơn giản hóa quá trình giải.

2 biểu thức trong căn bậc hai có thể biến đổi thành tổng các bình phương

1 2 2 a   a  a    Từ đó, ta có thể đặt: 𝑢⃗ = (𝑎 + 1

2), đến đây đã có thể sử dụng tính chất

(2) để đánh giá biểu thức A

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đặt:

2 ) Áp dụng tính chất (2), ta có:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 34

Ví dụ 18: Tìm GTNN của biểu thức:

Vì vai trò của , ,x y z là như nhau nên ta có thể dự đoán P đạt GTNN là 3 khi x y z Do đó, ta sẽ đi chứng minh:

Ta sẽ chứng minh Bất đẳng thức:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta đặt:

Từ tính chất |𝑢⃗ | + |𝑣 | + |𝑤⃗⃗ | ≥ |𝑢⃗ + 𝑣 + 𝑤⃗⃗ | , ta có:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 35 Đẳng thức xảy ra khi x y z

1 Chứng minh rằng với mọi x ta có:

2 Cho a b c, , 0 và abbccaabc Chứng minh rằng:

2.3.5 Sử dụng phương pháp lượng giác hóa