Một số biện pháp khắc phục những sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải bài toán tích phân

Biện pháp 3: Xác định và tập luyện cho HS phương pháp giải một số dạng toán tích phân và vận dụng quy trình giải toán của G.. Tích phân được ứng dụng rộng rãi như để tính diện tích hình

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP

CỦA HỌC SINH THPT KHI GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN

Giáo viên hướng dẫn : ThS Ngô Thị Bích Thủy Sinh viên thực hiện : Lê Tường Vi

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2016

SVTH: Lê Tường Vi 1

MỤC LỤC

Lời cảm ơn

Mục lục 1

Các chữ viết và kí hiệu viết tắt 4

Mở đầu 5

1 Lí do chọn đề tài 5

2 Mục đích nghiên cứu 5

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 6

4 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu 6

5 Phương pháp nghiên cứu 6

6 Cấu trúc luận văn 6

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 9

1.1 Các định hướng nhằm nâng cao chất lượng giáo dục 9

1.2 Dạy học giải toán 10

1.2.1 Yêu cầu đối với lời giải bài toán 10

1.2.2 Các bước của hoạt động giải toán 10

1.2.3 Tiến trình giải toán 10

1.3 Dạy học giải toán Nguyên hàm – tích phân ở trường Trung học phổ thông 12

1.3.1.Vai trò và ý nghĩa của nội dung Nguyên hàm – tích phân trong chương trình môn Toán ở trường Trung học phổ thông 12

1.3.2.Nội dung Nguyên hàm – tích phân trong chương trình môn Toán ở trường Trung học phổ thông 12

1.3.3.Một số lưu ý khi dạy học giải toán tích phân 13

1.4 Một số khái niệm, nội dung cơ bản trong toán tích phân 13

1.4.1 Những kiến thức liên quan (Nguyên hàm) 13

1.4.1.1 Định nghĩa 13

1.4.1.2 Định lí 1 14

SVTH: Lê Tường Vi 2

1.4.1.3 Tính chất cơ bản 14

1.4.1.4 Nguyên hàm của một số hàm thường gặp 15

1.4.1.5 Một số phương pháp tìm nguyên hàm 15

a) Phương pháp đổi biến số 15

b) Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần 16

1.4.2 Tích phân 16

1.4.2.1 Định nghĩa 16

1.4.2.2 Tính chất 17

1.4.2.3 Một số phương pháp tính tích phân 18

a) Phương pháp đổi biến số 18

b) Phương pháp tích phân từng phần 18

Chương 2: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG 20

2.1 Sai lầm khi vận dụng định nghĩa tích phân 20

2.2 Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm để tính tích phân 20

2.3 Sai lầm khi dùng công thức không có trong SGK hiện hành 22

2.4 Sai lầm khi vận dụng phương pháp đổi biến 23

2.5 Sai lầm khi vận dụng phương pháp tích phân từng phần 28

2.6 Sai lầm khi tính diện tích hình phẳng bằng tích phân 29

2.7 Sai lầm khi vận dụng sai công thức tính thể tích khối tròn xoay 32

Chương 3: CÁC BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG 35

3.1 Biện pháp 1: Hệ thống hóa kiến thức cơ bản 35

3.1.1 Rèn luyện cho HS nắm vững bản chất và ý nghĩa của các khái niệm, định lí, quy tắc tạo cơ sở cho toàn bộ kiến thức vận dụng trong giải toán Tích phân 36

3.1.2 Trang bị cho HS hiểu các kí hiệu logic, thuật ngữ toán học 38

SVTH: Lê Tường Vi 3

3.2 Biện pháp 2: Tạo tình huống phù hợp với trình độ nhận thức để phát huy tính tích cực của học sinh trong giải toán Tích phân 38 3.3 Biện pháp 3: Xác định và tập luyện cho HS phương pháp giải một số dạng toán tích phân và vận dụng quy trình giải toán của G Polya 40 3.4 Biện pháp 4: Rèn luyện kĩ năng tư duy logic cho học sinh 45 3.5 Biện pháp 5: Đưa học sinh vào các tình huống thử thách với các sai lầm, từ đó

có các phản ví dụ cần thiết để học sinh nhận thức các sai lầm cần tránh 48

Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52

Tích phân được ứng dụng rộng rãi như để tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, là đối tượng nghiên cứu của Giải tích, là nền tảng cho lý thuyết phương trình vi phân… Trong quá trình giải bài toán tích phân học sinh thường khó nhận dạng, phải vận dụng nhiều phương pháp khác nhau; biết áp dụng linh hoạt các định nghĩa, tính chất, các phương pháp tính tích phân Tuy nhiên các em còn thụ động, thiếu kĩ năng, linh hoạt và chưa biết độc lập suy nghĩ tìm ra hướng giải, cách giải Điều này ảnh hưởng lớn đến khả năng và kết quả học tập của các

và thấy yêu thích môn Toán hơn Xuất phát từ thực tiễn trên, tôi chọn đề tài “Một

số biện pháp khắc phục những sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải bài toán tích phân”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu những sai lầm phổ biến của học sinh phổ thông khi giải toán tích phân, đồng thời đề xuất các biện pháp sư phạm để hạn chế cũng như khắc phục những sai lầm của học sinh khi giải toán tích phân nhằm rèn luyện năng lực giải

SVTH: Lê Tường Vi 6

toán cho học sinh và nâng cao chất lượng dạy học trong quá trình dạy toán Tích phân ở trường THPT

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận

- Tìm hiểu những sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán tích phân trong chương trình phổ thông

- Đề xuất một số biện pháp sửa chữa những sai lầm cho học sinh khi giải toán tích phân trong chương trình phổ thông

4 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: học sinh đang học THPT

- Phạm vi nghiên cứu: Do một số hạn chế về vấn đề thời gian và kinh nghiệm của bản thân, nên đề tài chỉ nghiên cứu những sai lầm học sinh thường gặp và đề xuất các biện pháp khắc phục trong giải toán tích phân ở chương trình toán phổ thông

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu các lý luận về mặt phương pháp dạy học toán học, tâm lí học để phân tích nguyên nhân của những sai lầm và đề ra một số biện pháp khắc phục

- Nghiên cứu thực tiễn thông qua các giáo viên toán ở một số trường THPT, kinh nghiệm học tập của bản thân, các em học sinh và thông qua tìm hiểu các tài liệu có liên quan đến bài toán tích phân trong chương trình toán phổ thông

6 Cấu trúc luận văn

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN

1.1 Các định hướng nhằm nâng cao chất lượng giáo dục

1.2 Dạy học giải toán

1.2.1 Yêu cầu đối với lời giải bài toán

1.2.2 Các bước của hoạt động giải toán

1.2.3 Tiến trình giải toán

SVTH: Lê Tường Vi 7

1.3 Dạy học giải toán Nguyên hàm – tích phân ở trường Trung học phổ thông 1.3.1 Vai trò và ý nghĩa của nội dung Nguyên hàm – tích phân trong chương

trình môn Toán ở trường Trung học phổ thông

1.3.2 Nội dung Nguyên hàm – tích phân trong chương trình môn Toán ở trường

Trung học phổ thông

1.3.3 Một số lưu ý khi dạy học giải toán Tích phân

1.4 Một số khái niệm, nội dung cơ bản trong toán tích phân

1.4.1 Những kiến thức liên quan (Nguyên hàm)

1.4.2 Tích phân

Chương 2: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG

2.1 Sai lầm khi vận dụng định nghĩa tích phân

2.2 Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm để tính tích phân

2.3 Sai lầm khi dùng công thức không có trong SGK hiện hành

2.4 Sai lầm khi vận dụng phương pháp đổi biến

2.5 Sai lầm khi vận dụng phương pháp tích phân từng phần

2.6 Sai lầm khi tính diện tích hình phẳng bằng tích phân

2.7 Sai lầm khi vận dụng sai công thức tính thể tích khối tròn xoay

Chương 3: CÁC BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN

TÍCH PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG

3.1 Biện pháp 1: Hệ thống hóa kiến thức cơ bản

3.2 Biện pháp 2: Tạo tình huống phù hợp với trình độ nhận thức để phát huy tính tích cực của học sinh trong giải toán Tích phân

3.3 Biện pháp 3: Xác định và tập luyện cho HS phương pháp giải một số dạng toán tích phân và vận dụng quy trình giải toán của G Polya

3.4 Biện pháp 4: Rèn luyện kĩ năng tư duy logic cho học sinh

SVTH: Lê Tường Vi 8 3.5 Biện pháp 5: Đưa học sinh vào các tình huống thử thách với các sai lầm, từ đó

có các phản ví dụ cần thiết để học sinh nhận thức các sai lầm cần tránh

áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực Chuyển từ học chủ yếu trên lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và học”

Định hướng này đã được pháp chế hóa trong Luật giáo dục điều 28 mục 2 chương II đã nêu “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Trong đó, toán học có vai trò quan trọng đối với đời sống và đối với các ngành khoa học khác Nhà tư tưởng người Anh R Bêcơn

đã nói: “Ai không hiểu biết toán học thì không thể hiểu bất cứ một môn khoa học nào khác và không thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình” Do vai trò của toán học trong đời sống công nghệ hiện đại, các kiến thức và phương pháp toán

1.2 Dạy học giải toán

1.2.1 Yêu cầu đối với lời giải bài toán:

- Lời giải không có sai lầm: Lời giải không có sai sót về kiến thức toán học,

về suy luận và tính toán, về trình bày,…

- Lời giải phải có căn cứ chính xác: Các bước trong lời giải phải có cơ sở lí luận, nghĩa là phải dựa vào các định nghĩa, định lí, tính chất, qui tắc, công thức…đã được học

- Lời giải phải đầy đủ: Lời giải phải bao hàm hết tất cả các khả năng có thể xảy ra đối với một tình huống

- Trình bày phải đủ, rõ ràng

1.2.2 Các bước của hoạt động giải toán:

Hoạt động giải toán thường diễn ra theo bốn bước sau:

1 Tìm hiểu bài toán

2 Tìm kiếm, lựa chọn phương hướng giải (chương trình giải)

3 Soạn thảo lời giải

4 Kiểm tra, đánh giá kết quả và lời giải; đề xuất hướng giải khác (nếu có)

1.2.3 Tiến trình giải toán:

SVTH: Lê Tường Vi 11

Giải toán là việc thực hiện một hệ thống hành động phức tạp, vì bài toán là

sự kết hợp đa dạng nhiều khái niệm, nhiều quan hệ toán học, cần có sự chọn lọc sáng tạo các phương pháp giải quyết vấn đề Như vậy, giải bài toán là tìm kiếm một cách có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt được mục đích của bài tập

Đó là một quá trình tìm tòi sáng tạo, huy động kiến thức, kỹ năng, thủ thuật và các phẩm chất trí tuệ để giải quyết vấn đề đã cho

Theo Howard Gardner, G Polya,… thì tiến trình lao động của học sinh khi giải một bài toán có thể theo các hướng sau:

- Hướng tổng quát hóa: hướng này dựa trên quan điểm tổng hợp Chuyển từ một tập hợp đối tượng trong bài toán sang một tập hợp khác lớn hơn và chứa đựng tập hợp ban đầu

- Hướng cụ thể hóa: hướng này dựa trên quan điểm phân tích, chuyển bài toán ban đầu thành những bài toán thành phần có quan hệ logic với nhau Chuyển tập hợp các đối tượng trong bài toán ban đầu sang một tập hợp con của nó, rồi từ tập con đó tìm ra lời giải của bài toán hoặc một tình huống hữu ích cho việc giải bài toán đã cho

- Hướng chuyển bài toán về bài toán trung gian: khi gặp bài toán phức tạp, học sinh có thể đi giải các bài toán trung gian để đạt đến từng điểm một, rồi giải bài toán đã cho hoặc có thể giả định điều đối lập với bài toán đang tìm cách giải và khẳng định hệ quả của điều khẳng định kia hay đưa về bài toán liên quan dễ hơn, một bài toán tương tự hoặc một phần bài toán, từ đó rút ra những điều hữu ích để giải bài toán đã cho

Theo G Polya, việc giải bài toán xem như thực hiện một hệ thống hành động: “hiểu rõ bài toán, xây dựng một chương trình giải, thực hiện chương trình và khảo sát lời giải đã tìm được” Theo ông điều quan trọng trong quá trình giải bài toán là qua đó học sinh nảy sinh lòng say mê, khát vọng giải toán, thu nhận và hình thành tri thức mới, đặc biệt là tiếp cận, phát hiện và sáng tạo

Khi xây dựng một nhà máy thủy điện, để tính lưu lượng của dòng sông ta phải tính diện tích thiết diện ngang của dòng sông Thiết diện đó thường là một hình khá phức tạp

Khi đóng tàu, các kĩ sư cần xác định thể tích của khoang tàu có hình dạng đặc biệt

Trước khi phép tính tích phân ra đời, với mỗi hình và mỗi vật thể như vậy người ta lại phải nghĩ ra một cách để tính Sự ra đời của tích phân cho chúng ta một phương pháp tổng quát để giải hàng loạt những bài toán tính diện tích và thể tích nói trên

Do vậy việc nghiên cứu tích phân không những có ứng dụng trong thực tiễn

mà còn có ứng dụng trong lí thuyết toán học

Như vậy việc nghiên cứu tích phân là rất cần thiết, sẽ tạo nền tảng kiến thức cơ bản cho học sinh, giúp học sinh nắm rõ và hứng thú trong việc học toán tích phân

1.3.2 Nội dung Nguyên hàm – tích phân trong chương trình môn Toán ở trường Trung học phổ thông

Chương trình giải tích 12 Nâng cao nội dung Nguyên hàm – tích phân thuộc chương III Nội dung gồm:

 Chương III: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

SVTH: Lê Tường Vi 13

Bài 1: Nguyên hàm Bài 2: Một số phương pháp tìm nguyên hàm Bài 3: Tích phân

Bài 4: Một số phương pháp tính tích phân Bài 5: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng Bài 6: Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể Câu hỏi và bài tập ôn tập chương III

1.3.3 Một số lưu ý khi dạy học giải toán tích phân

Nội dung nguyên hàm tích phân chương trình THPT là một nội dung mới đối với các em học sinh (các em chưa từng được làm quen ở lớp dưới), hơn nữa đây lại là một nội dung khó, trừu tượng Sự hình thành các công thức nguyên hàm tích phân liên quan đến công thức nguyên hàm, tuy nhiên học sinh hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này

Trong quá trình giải bài toán tích phân, học sinh cần nắm vững các kiến thức căn bản và vận dụng các phương pháp thích hợp kết hợp với việc tính toán cẩn thận tỉ mỉ Song đa phần các em vội vàng trình bày lời giải, tìm ra đáp số nên mắc một số sai lầm trong bài giải

Do vậy trong quá trình dạy, người giáo viên cần cho học sinh chủ động tự làm theo lối tư duy logic của riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời giải của nhau từ đó phát hiện những lỗi sai Người giáo viên phân tích các lỗi sai cho học sinh để các em nắm rõ tránh lặp lại, cần linh hoạt và có những gợi ý cần thiết hỗ trợ các em tìm lời giải

1.4 Một số khái niệm, nội dung cơ bản trong toán tích phân:

1.4.1 Những kiến thức liên quan (Nguyên hàm):

1.4.1.1 Định nghĩa:

SVTH: Lê Tường Vi 14

Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên

K nếu F x'( ) f x( ) với mọi x thuộc K

Ví dụ 1: Hàm số

3

( )3

Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K Khi đó:

a) Với mỗi hằng số C, hàm số yF x( )C cũng là một nguyên hàm của f trên K

b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C

sao cho ( )G x F x( )C với mọi x thuộc K

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm F của hàm số f x( ) 3 x2 trên thỏa mãn điều kiện

SVTH: Lê Tường Vi 16

sin2

a) Phương pháp đổi biến số:

Cho hàm số uu x( ) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y f u( )liên tục sao cho [ ( )]f u x xác định trên K Khi đó nếu F là một nguyên hàm của

b) Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần:

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì

( )d

b a

SVTH: Lê Tường Vi 18

Ví dụ 8: Cho

3 1

( )d 2

f x x 

3 1

a) Phương pháp đổi biến số:

Trong đó hàm số uu x( ) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y f u( )liên tục sao cho hàm hợp [ ( )]f u x xác định trên K; a và b là hai số thuộc K

Ví dụ 9: Tính 2

2 1

[ ( )] '( )d ( )d

u b b

f u x u x x f u u

SVTH: Lê Tường Vi 20

CHƯƠNG II: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN

TÍCH PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG 2.1 Sai lầm khi vận dụng định nghĩa tích phân

Ví dụ 1 Tính tích phân

2

2 2



 không xác định tại x   1 [ 2;2] suy ra hàm số

không liên tục trên [ 2;2] nên không sử dụng được công thức Newtơn – leibnitz

như cách giải trên

* Lời giải đúng:

Hàm số 1 2

( 1)

y x



 không xác định tại x   1 [ 2;2] suy ra hàm không

liên tục trên [ 2;2] , do đó tích phân trên không tồn tại

* Chú ý đối với học sinh:

Khi tính tích phân ( )d

b a

d( 4)

x

x

1 3

SVTH: Lê Tường Vi 21

c)

2

4 0

1

dx cos x



3 1

d

x

x e x

x x

* Nguyên nhân sai lầm:

Sự hình thành nguyên hàm ít nhiều cũng liên quan đến kiến thức đạo hàm, các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này

* Nguyên nhân sai lầm:

Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm của hàm hợp, đã dùng

(2 1)

I  x dx

d)

2 1

1d2(2 1)

1d

* Nguyên nhân sai lầm:

Học sinh không học khái niệm arctanx trong sách giáo khoa hiện thời

1(1 tan )d d

SVTH: Lê Tường Vi 23

Các khái niệm arcsin ,arctanx x không trình bày trong sách giáo khoa hiện

thời Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000) Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh không được áp dụng phương pháp này nữa Vì vậy khi gặp tích phân dạng

d1

d1

* Nguyên nhân sai lầm:

Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận

* Lời giải đúng:

Đặt xsint suy ra dxcos dt t

I  c x x, nếu tích phân tồn tại thì thông thường ta tính tích phân bằng cách đặt xcsint ( hoặc xccost), đổi cận,

chuyển về tính tích phân theo t

* Nguyên nhân sai lầm:

Khi thực hiện đổi biến số học sinh đã quên không tính vi phân dt

2 0

d1

* Nguyên nhân sai lầm:

Khi gặp tích phân của hàm số có chứa biểu thức 1 x 2 thông thường ta đặt sin

x t (hoặcxcost); nhưng đối với ví dụ 2, nếu làm theo cách này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận, cụ thể khi 1

* Chú ý đối với học sinh:

Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1 x 2 thì thường đặt xsint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1 x 2 thì đặt xtant nhưng cần chú ý đến cận