Lý thuyết tổ hợp trong chương trình toán bậc trung học

Tuy nhiên, một thời gian dài sau đó, tổ hợp chỉ phát triển một cách riêng lẻ, chưa hình thành được hệ thống lý luận cơ sở khoa học, phương pháp nghiên cứu đặc thù.. Và tổ hợp chỉ thực sự

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

TRÌNH TOÁN BẬC TRUNG HỌC

ĐÀ NẴNG, NĂM 2015

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 3

MỞ ĐẦU 4

1 Lý do chọn đề tài 4

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài 4

3 Đối tượng và phạm vi nghiêm cứu 4

4 Phương pháp nghiên cứu 4

5 Bố cục khóa luận 5

CHƯƠNG 1 6

CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẾM CƠ BẢN 6

1.1 NGUYÊN LÝ CỘNG VÀ NGUYÊN LÝ NHÂN 6

1.1.1 Nguyên lý cộng 6

1.1.2 Nguyên lý nhân 6

1.2 TỔ HỢP 7

1.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA HỆ SỐ TỔ HỢP (HAY HỆ SỐ NHỊ THỨC) 9

1.4 SONG ÁNH 14

1.5 PHÉP ĐỆ QUY 16

1.6 CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 19

CHƯƠNG 2 23

CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẾM DÙNG NGUYÊN LÝ BAO HÀM – LOẠI TRỪ, NGUYÊN LÝ FUBINI VÀ HÀM SINH 23

2.1 NGUYÊN LÝ BAO HÀM – LOẠI TRỪ 23

2.2 PHÉP TÍNH THEO HAI CÁCH: NGUYÊN LÝ FUBINI 25

2.3 HÀM SINH 28

2.4 CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 32

KẾT LUẬN 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo đã tận tụy, nhiệt tình truyền đạt kiến thức trong những năm em học tập tại trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng Vốn kiến thức được tiếp thu trong quá trình học không chỉ là nền tảng cho quá trình nghiên cứu khóa luận mà còn là hành trang quí báo để em bước vào đời một cách vững chắc và tự tin

Em xin chân thành cảm ơn thầy Cao Văn Nuôi đã trực tiếp hướng dẫn, giúp

đỡ em trong suốt quá trình triển khai, nghiên cứu và hoàn thành đề tài: “Lý thuyết tổ hợp trong chương trình toán bậc trung học”

Cuối cùng em xin chúc toàn các thầy cô giáo thật nhiều sức khỏe, nhiệt huyết

và thành công trong sự nghiệp cao quí

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Bảo Nhung

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Tư duy về tổ hợp ra đời rất sớm Ở Trung Quốc, vào thời nhà Chu người

ta đã biết đến những hình vuông thần bí Nhà triết học cổ Hy Lạp Kxenokrat, sống ở thế kỷ thứ 4 trước công nguyên đã biết cách tính số các từ khác nhau lập

từ một bảng cái cho trước Nhà toán học Pithagore và các học trò của ông đã phát hện ra nhiều tính chất kỳ lạ của các số Một kết quả nổi tiếng của trường phái này là kết quả mà ngày nay chúng ta gọi là định lý Pithagore

Tuy nhiên, một thời gian dài sau đó, tổ hợp chỉ phát triển một cách riêng

lẻ, chưa hình thành được hệ thống lý luận cơ sở khoa học, phương pháp nghiên cứu đặc thù Và tổ hợp chỉ thực sự trở thành một ngành toán học rời rạc vào đầu thế kỷ 17 bằng một loạt các công trình nghiên cứu nghiêm túc của nhà toán học xuất sắc như Pascal, Fermat, Leibnitz, Euler, … Mặc dù vậy, tổ hợp vẫn là lĩnh vực mờ nhạt và ít được chú ý tới trong khoảng thời gian hơn hai thế kỷ

Trong những năm gần đây lý thuyết tổ hợp đã phát triển một cách mạnh

mẽ và đóng góp váo sự phát triển toán học rời rạc, tối ưu rời rạc cũng như trong hình học tổ hợp Tôi cảm thấy thích thú phần toán học này với những ứng dụng

cụ thể của nó nên chọn đề tài tốt nghiệp của mình là: “Lý thuyết tổ hợp trong chương trình toán bậc trung học”

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu đề tài này, tôi muốn cung cấp thêm tài liệu về lý thuyết tổ hợp xác suất và hy vọng rằng khóa luận có thể được sử dụng như một tài liệu tham khảo

bổ ích cho học sinh và những người quan tâm đến xác suất

3 Đối tượng và phạm vi nghiêm cứu

Đối tượng nghiên cứu: nghiên cứu các định nghĩa, tính chất, chứng minh tính chất và giải một số bài toán ứng dụng

Phạm vi nghiên cứu: nghiên cứu từ các tài liệu, các giáo trình về tổ hợp của các tác giả liên quan

4 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo một số tài liệu sách về tổ hợp nhằm làm sáng tỏ một số vấn đề trong tính chất và định nghĩa nhằm làm rõ để đi chứng minh

5 Bố cục khóa luận

Chương I: Các phương pháp đếm cơ bản

1.1 Nguyên lý cộng và nguyên lý nhân 1.2 Tổ hợp

1.3 Các tính chất của hệ số tổ hợp 1.4 Song ánh

1.5 Phép đệ quy 1.6 Các bài toán ứng dụng Chương II: Các phương pháp đếm dùng nguyên lý bao hàm – loại trừ, nguyên

lý Fubini và hàm sinh

2.1 Nguyên lý bao hàm – loại trừ 2.2 Phép tính theo hai cách: nguyên lý Fubini 2.3 Hàm sinh

2.4 Các bài toán ứng dụng

CHƯƠNG 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẾM CƠ BẢN

1.1 NGUYÊN LÝ CỘNG VÀ NGUYÊN LÝ NHÂN

1.1.1 Nguyên lý cộng

Giả sử có 𝑘 công việc 𝑇1, 𝑇2, … , 𝑇𝑘 Các công việc này có thể làm tương ứng bằng 𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘 cách và giả sử không có hai việc nào có thể làm đồng thời, khi đó số cách làm một trong 𝑘 việc đó là 𝑛1+ 𝑛2+ ⋯ + 𝑛𝑘

Nguyên lý cộng còn được phát biểu dưới dạng ngôn ngữ tập hợp như sau: Nếu 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑘 là các tập hữu hạn đôi một rời nhau, hay 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ (𝑖 ≠ 𝑗) thì |𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑘| = |𝐴1| + |𝐴2| + ⋯ + |𝐴𝑘|, ở đây |𝐴𝑖| là

số các phần tử của tập 𝐴𝑖

Ví dụ 1.1.1 Giả sử cần chọn hoặc một học sinh nam hoặc một học sinh

nữ tham gia cuộc họp Hỏi có bao nhiêu cách để chọn nếu có 35 học sinh nam

Quy tắc nhân còn được phát biểu dưới dạng ngôn ngữ tập hợp như sau: Nếu 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑘 là các tập hữu hạn bất kỳ và nếu 𝐴1 × 𝐴2× … × 𝐴𝑘 là tích Descartees của các tập đó thì |𝐴1 × 𝐴2× … × 𝐴𝑘| = |𝐴1||𝐴2| … |𝐴𝑘|

Ví dụ 1.1.2 Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài 8?

Giải:

Một xâu nhị phân có độ dài 8 gồm 8 bit, mỗi bit có hai cách chọn (hoặc giá trị 0 hoặc giá trị 1) Theo quy tắc nhân ta có: 2.2.2.2.2.2.2.2 = 256 xâu bit nhị phân có độ dài 8

1.2 TỔ HỢP

Chúng ta thường gặp một số bài toán yêu cầu phải đếm số tổ hợp, tức

là đếm số tập hợp các đối tượng không được sắp xếp thứ tự

Định lý 1.2.1 Cho 𝑛 và 𝑘 là những số nguyên, với 𝑛 ≥ 𝑘 Số tổ hợp của

việc mỗi một lần lấy 𝑘 phần tử từ 𝑛 phần tử là

bạn nữ thì đứng theo thứ tự tăng dần theo chiều cao của họ (giả định rằng họ

có chiều cao khác nhau) từ trái sang phải Những bạn nam không cần phải đứng cùng nhau, và các bạn nữ không cần phải đứng cùng nhau Có bao nhiêu cách

để thực hiện công việc này?

Giải:

Xét 13 khoảng trống trong một hàng 𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠13Nếu 𝑠𝑖1, 𝑠𝑖2, … , 𝑠𝑖7 được chọn cho vị trí của các bạn nam, thì các bạn nam được đứng ở vị trí này theo chiều cao của họ Các bạn nữ sau đó cũng có một cách duy nhất để đứng ở vị trí của mình Do đó câu trả lời là

𝐶137 = 13!

7!6! = 1716

Hệ quả 1.2.2 Cho 𝑛, 𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘𝑚 là những số nguyên, với 𝑛 ≥ 𝑘1+

𝑘2+ ⋯ + 𝑘𝑚 Số tổ hợp của việc một lần lấy 𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘𝑚 phần tử từ 𝑛 phần

Sử dụng định lý 1.2.1 một lần nữa, có 𝐶𝑛−𝑘

1

𝑘2

cách để lấy 𝑘2 phần tử Tương tự như vậy, chúng ta kết luận rằng số tổ hợp của một việc một lần lấy 𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘𝑚 phần tử từ 𝑛 phần tử, theo thứ tự là

Ví dụ 1.2.2 Khoa toán tổ chức một cuộc họp Sau 23 thành viên đàm

thoại, họ quyết định chia ra thành 8 nhóm, trong đó 5 nhóm có 3 thành viên và

là hạng thứ 𝑛 của tam giác

Ví dụ 1.3.1 Bảng số xe gồm 8 chữ số, nó được gọi là chẵn nếu số các

số 0 trong nó là chẵn Có bao nhiêu bảng số xe như vậy?

𝐶𝑛0 < 𝐶𝑛1 < ⋯ < 𝐶𝑛𝑚 > 𝐶𝑛𝑚+1 > ⋯ > 𝐶𝑛𝑛nếu 𝑛 chẵn và 𝑛 = 2𝑚

(4) 𝑘𝐶𝑛𝑘 = 𝑘.𝑛!

𝑘!(𝑛−𝑘)! =(𝑘−1)![(𝑛−1)−(𝑘−1)]!𝑛(𝑛−1)! = 𝑛𝐶𝑛−1𝑘−1(5) 𝑘𝐶𝑛𝑘 = 𝑘.𝑛!

𝑘!(𝑛−𝑘)! = (𝑛−𝑘+1)𝑛!

(𝑘−1)!(𝑛−𝑘+1)! = (𝑛 − 𝑘 + 1)𝐶𝑛𝑘−1(6) Chú ý rằng 𝐶𝑛0 = 𝐶𝑛+10 Kết quả này có được bằng cách sử dụng tính chất (2) nhiều lần

(7) Kết quả này có được từ việc sử dụng (1) trong mỗi thành phần của (6)

(8) Đặt 𝑥 = 𝑦 = 1 trong khai triển của (𝑥 + 𝑦)𝑛 cho kết quả cần chứng minh

(9) Đặt 𝑥 = 1 và 𝑦 = −1 trong khai triển của (𝑥 + 𝑦)𝑛 cho kết quả cần chứng minh

(10) Từ (4) và (8) ta có:

∑𝑛𝑘=1𝑘𝐶𝑛𝑘 = 𝑛 ∑𝑛𝑘=1𝐶𝑛−1𝑘−1 = 𝑛 ∑𝑛−1𝑘=0𝐶𝑛−1𝑘 = 𝑛2𝑛−1

(11) Lưu ý rằng 𝐶𝑛𝑘 là một số nguyên Cũng lưu ý rằng 𝑛 chia hết cho 𝑛!, tử số của 𝐶𝑛𝑘 Nếu 𝑛 là số nguyên tố, 𝑛 là nguyên tố cùng nhau tới 𝑘! (𝑛 −𝑘)! Do đó 𝐶𝑛𝑘 chia hết cho 𝑛

Hệ số tổ hợp 𝐶𝑛𝑘 có một ý nghĩa tổ hợp nếu 𝑛 và 𝑘 là các số nguyên với

0 < 𝑘 ≤ 𝑛 Trong định lý 1.3.1, ta mở rộng định nghĩa tới 𝑘 = 0 Và quy ước

𝐶00 = 1 Nếu 0 ≤ 𝑛 < 𝑘 hay 𝑘 < 0 ≤ 𝑛, ta không thể lấy 𝑘 phần tử từ 𝑛 phần

tử, vì vậy quy ước 𝐶𝑛𝑘 = 0

2 𝑛+1∑ 2𝑖

𝑖

𝑛+1 𝑖=1

𝑛+1∑ 𝑖!(𝑛−𝑖)!

𝑛!

𝑛 𝑖=0

Ta cần chứng minh: 2𝑛+1𝑆𝑛 = ∑ 2𝑖

𝑖

𝑛+1 𝑖=1

Ta có: 𝑆1 = 1

Và 2𝑛+2𝑆𝑛+1− 2𝑛+1𝑆𝑛 = ∑ 2𝑖

𝑖

𝑛+2 𝑖=1 − ∑ 2𝑖

𝑖

𝑛+1 𝑖=1 =2𝑛+2

𝑛 𝑖=0 )

= 1

2 𝑛+2∑ 2𝑖

𝑖

𝑛+2 𝑖=1

Ví dụ 1.3.4 (Vandermonde) Cho 𝑚, 𝑛 và 𝑘 là những số nguyên; với

𝑚, 𝑛 ≥ 0 Chứng minh:

𝐶𝑚+𝑛𝑘 = ∑𝑘𝑖=0𝐶𝑚𝑖 𝐶𝑛𝑘−𝑖Giải

Cho rằng có 𝑚 phòng ngủ nam và 𝑛 phòng ngủ nữ tại khách sạn A Chúng ta muốn chọn 𝑘 phòng một cách ngẫu nhiên để kiểm tra nguy cơ cháy

nổ của phòng Tất nhiên có 𝐶𝑚+𝑛𝑘 cách chọn

Mặt khác, những cách chọn này có thể phân loại 𝑘 + 1 kiểu Cho 0 ≤

𝑖 ≤ 𝑘, kiểu thứ 𝑖 gồm 𝑖 phòng nam và 𝑘 − 𝑖 phòng nữ Do đó có 𝐶𝑚𝑖 𝐶𝑛𝑘−𝑖 cách của kiểu thứ 𝑖 Tổng các số này từ 0 → 𝑘 cho đồng nhất thức muốn chứng minh

1.4 SONG ÁNH

Phần này ta giới thiệu một kỹ năng cơ bản trong việc giải quyết vấn đề của tổ hợp Để đếm các phần tử của một tập nhất định, chúng ta thay thế chúng với những tập hợp khác có cùng số các phần tử và các phần tử được đếm dễ dàng hơn

Định lý 1.4.1 Cho 𝐴 và 𝐵 là các tập hữu hạn, và 𝑓: 𝐴 → 𝐵 Nếu 𝑓 là

song ánh, thì 𝐴 và 𝐵 có cùng số phần tử

Chứng minh:

Cho 𝐴 = {𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛} với 𝑛 nguyên dương

Vì 𝑓 song ánh, 𝑓(𝑎1), 𝑓(𝑎2), … , 𝑓(𝑎𝑛) phân biệt

số này không thể bao hàm các phần tử khác của 𝑆 Hãy xác định số của dãy con

Ta có ánh xạ dãy con đến cặp số hạng liên tiếp (𝑎𝑖, 𝑎𝑖+1)

Như vậy cặp số hạng liên tiếp xác định hiệu số chung của dãy Dãy cực đại có nghĩa là toàn bộ các số hạng khác duy nhất được xác định (dùng hiệu số chung để mở rộng dãy sang trái và sang phải đến khi không thể mở rộng nữa trong khoảng biến thiên giữa 𝑙 và 𝑛)

Do đó, dãy con được xác định bằng đôi này của số hạng liên tiếp, và ánh xạ của chúng ta là ánh xạ một đến một, tức là song ánh

Rõ ràng ta có 𝑚 giá trị có thể có cho 𝑎𝑖 và 𝑚 giá trị cho 𝑎𝑖+1, tức có

𝑚2 cặp số (𝑎𝑖, 𝑎𝑖+1) và 𝑚2 dãy con số học cực đại

Tương tự chúng ta có thể thấy rằng có 𝑚(𝑚 + 1) dãy con số học cực đại nếu 𝑛 = 2𝑚 + 1 với 𝑚 nguyên dương

Như vậy, chúng ta kết luận rằng có ⌊𝑛2

4⌋ dãy con số học cực đại với 𝑛 cho bất kỳ

Định lý 1.4.2 Cho 𝑚 và 𝑛 nguyên dương

(1) Có 𝐶𝑛−1𝑚−1 𝑚- tập hợp {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛} nghiệm nguyên dương thỏa phương trình 𝑥1+ 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑚 = 𝑛

(2) Có 𝐶𝑛+𝑚−1𝑚−1 𝑚- tập hợp {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛} nghiệm nguyên không âm thỏa phương trình 𝑥1+ 𝑥2+ ⋯ + 𝑥𝑚 = 𝑛

Thực ra, cũng có song ánh giữa 𝑚- tập hợp trong Định lý 1.4.2 (1) và (2) Một 𝑚- tập hợp (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) nguyên dương với 𝑥1+ 𝑥2+ ⋯ + 𝑥𝑚 = 𝑛

có thể là ánh xạ duy nhất tới một 𝑚- tập hợp (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑚) không âm với 𝑦1+

𝑦2 + … + 𝑦𝑚 = 𝑛 − 𝑚 dưới phép song ánh (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑚) = (𝑥1 − 1, 𝑥2−

1, … , 𝑥𝑚 − 1)

Ví dụ 1.4.2 (AIME 2000) Có 8 chiếc nhẫn, tìm số cách đeo 5 chiếc

nhẫn trên 4 ngón tay trên một bàn tay (thứ tự của các nhẫn trên mỗi một ngón tay là có nghĩa, không nhất thiết mỗi ngón tay chỉ đeo một chiếc nhẫn)

Giải:

Có 𝐶85 cách để chọn 5 từ 8 chiếc nhẫn

Giả sử 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 là số của nhẫn trên ngón tay, chúng ta cần tìm bộ gồm

4 số (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) nguyên không âm sao cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 5

Phương trình: 𝑥𝑘 − 𝑎1𝑥𝑘−1− 𝑎2𝑥𝑘−2 − ⋯ − 𝑎𝑘 = 0 (**)

được gọi là phương trình đặc trưng của đệ quy (*)

Nghiệm của phương trình (**) được gọi là nghiệm đăc trưng của đệ quy (*) Chúng ta có những định lý sau:

Định lý 1.5.1 Cho 𝑧 ≠ 0 là một số phức 𝑓(𝑛) = 𝑧𝑛 thỏa (*) khi và chỉ khi 𝑧 thỏa (**), tức 𝑧 là một nghiệm đặc trưng của (*)

Chứng minh:

Chú ý rằng 𝑓(𝑛) = 𝑧𝑛 thỏa (*) khi và chỉ khi

𝑧𝑛−𝑘(𝑧𝑘− 𝑎1𝑧𝑘−1− 𝑎2𝑧𝑘−2 − ⋯ − 𝑎𝑘) = 0

tương đương với 𝑧 thỏa (**), bởi 𝑧 ≠ 0

Vì đệ quy (*) tuyến tính nên chúng ta dễ dàng có kết quả sau

Định lý 1.5.2 Nếu 𝑓1(𝑛) và 𝑓2(𝑛) thỏa đệ quy (*) thì cũng thỏa toàn bộ

tổ hợp của chúng, tức 𝑐1𝑓1(𝑛) + 𝑐2𝑓2(𝑛) thỏa (*) với 𝑐1, 𝑐2 hằng số

Định lý 1.5.3 Nếu đệ quy (*) có 𝑘 nghiệm phân biệt 𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧𝑘 thì tất

cả các hàm 𝑓(𝑛) thỏa (*) là tổ hợp tuyến tính của 𝑧1𝑛, 𝑧2𝑛, … , 𝑧𝑘𝑛, tức là

⋮𝑓(𝑘 − 1)]

Vì đệ quy (*) cũng là tuyến tính, chúng ta dễ dàng có những điều sau đây

Định lý 1.5.5 Hàm 𝑓(𝑛) thỏa mãn hằng số đệ quy không thuần nhất

(*’) có thể được viết dưới dạng

𝑓(𝑛) = 𝑓1(𝑛) + 𝑓2(𝑛)

𝑓1(𝑛) thỏa mãn hằng đệ quy thuần nhất (*), và 𝑓2(𝑛) là một hàm cụ thể thỏa (*’)

1.6 CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG

Ví dụ 1.6.1 Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý

nam Lập một đoàn công tác gồm 3 người có cả nam lẫn nữ, cả nhà toán học và vật lý học Hỏi có bao nhiêu cách lập đoàn công tác? (Đề tuyển sinh Cao đẳng

Cơ khí luyện kim năm 2005)

Giải:

Chỉ có 3 cách lập đoàn công tác như sau:

Gồm 2 nhà vật lý nam, 1 nhà toán học nữ Theo quy tắc nhân số cách chọn: 𝐶42 𝐶31 = 18

Gồm 1 nhà vật lý nam, 2 nhà toán học nữ Theo quy tắc nhân, số cách chọn: 𝐶41 𝐶32 = 12

Gồm 1 nhà vật lý nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà toán học nam Theo quy tắc nhân số cách chọn: 𝐶41𝐶31𝐶51 = 60

Vậy theo quy tắc cộng, số cách lập đoàn công tác: 18 + 12 + 60 = 90

Ví dụ 1.6.2 Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam

và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ? (Đề thi tuyển sinh Đại học khối

𝑛2 = 𝐶84 𝐶21 = 140 (Dĩ nhiên còn lại ta chọn xong tỉnh thứ 3)

Vậy theo quy tắc nhân, số cách phân công theo yêu cầu là

𝑛 = 𝑛1 𝑛2 = 207900

Ví dụ 1.6.3 (AIME 1989) Trên vòng tròn có 10 điểm Có bao nhiêu đa

giác lồi khác nhau có ba cạnh hoặc nhiều hơn có thể được vẽ bằng cách sử dụng một vài điểm (hay tất cả các điểm) trong 10 điểm được cho là các đỉnh (các đa giác được gọi là khác nhau trừ phi chúng có chính xác cùng các đỉnh)

Giải:

Cho 3 ≤ 𝑘 ≤ 10, mỗi cách chọn 𝑘 điểm sẽ cho một đa giác với 𝑘 đỉnh

Vì 𝑘 điểm được chọn từ 10 trong 𝐶10𝑘 cách

Ví dụ 1.6.4 Gieo 5 con xúc xắc cân đối, đồng chất Tính xác suất để

tổng số chấm xuất hiện trong một lần gieo là 14?

Giải:

Gọi 𝑑1, 𝑑2, … , 𝑑5 là 5 con xúc xắc được gieo và cho 𝑥𝑖 là số chấm xuất hiện của xúc xắc thứ 𝑑𝑖 Mỗi 𝑥𝑖 có thể nhận một trong 6 giá trị Do đó có 65kết quả có thể có

Một kết quả là sai nếu 𝑥𝑖 > 6 với 1 ≤ 𝑖 ≤ 5

Cho 1 ≤ 𝑖 ≤ 5, tập 𝐵𝑖 là tập kết quả sai với 𝑥𝑖 > 6

Rõ ràng 𝐵𝑖 và 𝐵𝑗 là khác nhau nếu 𝑖 ≠ 𝑗

(Mặt khác, 𝑥1+ 𝑥2+ ⋯ + 𝑥5 > 6 + 6 + 1 + 1 + 1 = 15)

Theo tính đối xứng, ta cũng có |𝐵𝑖| = |𝐵𝑗| Do đó có 5|𝐵𝑖| kết quả sai

Ánh xạ (𝑥1, … , 𝑥5) ∈ 𝐵1 đến (𝑦1, … , 𝑦5) với 𝑦1 = 𝑥1 − 6 và 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 (2 ≤ 𝑖 ≤5)

Rõ ràng, ánh xạ là một song ánh giữa 𝐵1 và tập (𝑦1, … , 𝑦5) với

Giải:

Cho 𝑓(𝑚, 𝑛) = ∑(𝑎1𝑎2… 𝑎𝑛) Với tổng được lấy từ toàn bộ 𝑛 – số hạng của dãy số nguyên dương sao cho 𝑎1 = 1 và 𝑎𝑖+1 ≤ 𝑎𝑖 + 1, trong đó 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 + 1

Trường hợp cơ bản thì đơn giản bởi vì 𝑓(𝑚, 1) = 𝑚

Giả thiết rằng 𝑓(𝑚, 𝑛) thỏa mãn đồng nhất thức ở trên với số nguyên dương

1 ≤ 𝑛 ≤ 𝑘

Ta có: 𝑓(𝑚, 𝑘 + 1) = 𝑚[𝑓(1, 𝑘) + 𝑓(2, 𝑘) + ⋯ + 𝑓(𝑚 + 1, 𝑘)]

= 𝑚(2𝑘 − 1)‼ (𝐶2𝑘−12𝑘−1+ 𝐶2𝑘2𝑘−1 + ⋯ + 𝐶𝑚+2𝑘−12𝑘−1 ) = 𝑚(2𝑘 − 1)‼ 𝐶2𝑘+𝑚2𝑘

= (2𝑘 + 1)‼ 𝐶2𝑘+𝑚2𝑘+1 Bởi định lý 1.3.2 (7) và (5)

Do đó, phép quy nạp được hoàn thành Do đó, câu trả lời là:

𝑓(1, 𝑛) = (2𝑛 − 1)‼

CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẾM DÙNG NGUYÊN LÝ BAO HÀM – LOẠI TRỪ, NGUYÊN LÝ

FUBINI VÀ HÀM SINH

2.1 NGUYÊN LÝ BAO HÀM – LOẠI TRỪ

Cho 𝑛 là số nguyên dương lớn hơn 1 Ta muốn xác định số nguyên tố trong tập hợp 𝑆 = {1, 2, … , 𝑛}, chú ý mỗi hợp phần trong 𝑆 có ít nhất một số nguyên tố nhỏ hơn hay bằng ⌊√𝑛⌋ Cho 𝑝1 = 2, 𝑝2 = 3, … , 𝑝𝑘 là dãy các số nguyên tố nhỏ hơn hay bằng ⌊√𝑛⌋ Với mỗi 𝑝𝑖 trong dãy này ta gọi 𝐴𝑝𝑖 là tập con của 𝑝𝑖 trong 𝐴 Khi đó số nguyên tố nhỏ hơn hay bằng 𝑛 là:

𝑛 + 𝑘 − 1 − |⋃𝑘𝑖=1𝐴𝑝𝑖| Nói chung, ta có phương pháp sau, được gọi là nguyên lý Bao hàm – loại trừ (hay còn gọi là công thức Boole-Sylvester)

Định lý 2.1.1 Cho 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 là họ các tập hữu hạn Khi đó số các phần tử của phép hợp 𝐴1∪ 𝐴2∪ … ∪ 𝐴𝑛 được xác định bởi

|𝐴2| = |𝐴2∖ (𝐴1∩ 𝐴2)| + |𝐴1 ∩ 𝐴2|