Cơ sở lý thuyết xác suất hiện đại

lời cảm ơnLời đầu tiên cho em chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô trongban Lãnh đạo nhà trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng, quý thầycô trong khoa Toán đã tạo điều kiện cho em

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

§Ò tµi:

CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT HIỆN ĐẠI

Giáo viên hướng dẫn : TS CAO VĂN NUÔI

Sinh viên thực hiện : TRẦN THỊ PHƯƠNG DUNG Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG

Đà Nẵng, tháng 4 năm 2015

lời cảm ơn

Lời đầu tiên cho em chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô trongban Lãnh đạo nhà trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng, quý thầycô trong khoa Toán đã tạo điều kiện cho em được thực hiện luận văn nàyvới hành trang tri thức vững vàng, giúp em biết cách tự nghiên cứu và tựtin để bước vào đời sau khi ra trường

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo T.S Cao Văn Nuôi

đã nhiệt tình hướng dẫn để luận văn được hoàn thành đúng thời hạn Emcũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Hội đồng Bảo vệ tốt nghiệp

đã tạo mọi điều kiện để luận văn được bảo vệ trước Hội đồng

Do thời gian thực hiện luận văn có eo hẹp nên không thể tránh đượccác sai sót và nhầm lẫn, rất mong nhận được sự chỉ bảo của quý thầy cô.Cuối cùng cho em được cảm ơn tất cả các thầy cô của khoa Toán đã dạy

dỗ em trưởng thành và cảm ơn tất cả bè bạn đồng khóa đã động viên emhoàn thành luận văn này

Tác giả luận văn

trần thị phương dung

C hhhhưưưươơơơnnnngggg 2222 độ đ ộ ộ đ đ đo o o x x xá á ác c c ssssu u uấ ấấ ấ t tt 13

2.1.1 Độ đo xác suất và không gian xác suất 132.1.2 Các định nghĩa cổ điển của xác suất 13

2.3 Xác suất điều kiện và công thức xác suất toàn phần (đầy đủ) 16

2.4.2 Phân phối xác suất và hàm phân phối xác suất 202.4.3 Biến ngẫu nhiên rời rạc, biến ngẫu nhiên liên tục tuyệt đối.21C

C hhhhưưưươơơơnnnngggg 3333 lu l u uậ ậậ ậ t tt t ssssố ố ố l ll lớ ớ ớn n 233.1 Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên 23

1111 2222 MMMụụụụcccc đđđđíííícccchhhh ccccủủủủaaaa đđđđềềềề ttttààààiiii

Mục đích của đề tài là trình bày lại lý thuyết xác suất theo quan điểm

độ đo và sử dụng độ đo để chứng minh tất cả các kết quả đã biết trong bộmôn xác suất mà em được học ở bậc Đại học

1111 3333 PPPPhhhhạạạạmmm vvvviiii nnnngggghhhhiiiiêêêênnnn ccccứứứứuuuu

Đề tài này chỉ nghiên cứu trong phạm vi các kiến thức xác suất ở cấp

Đại học Đề tài khảo sát từ độ đo đến các tính chất của nó và sau đónghiên cứu độ do xác suất và các luật số lớn dạng yếu với các chứng minh

đầy đủ Ngoài ra trong đề tài cũng đưa vào một số ví dụ minh họa chomột số tính toán cụ thể

1111 4444 PPPPhhhhưưưươơơơnnnngggg pppphhhháááápppp nnnngggghhhhiiiiêêêênnnn ccccứứứứuuuu

Phương pháp nghiên cứu trong đề tài này là nhất quán sử dụng lýthuyết độ đo để trình bày lại lý thuyết xác suất theo hướng toán học hiện

đại

Mệệệệnnnnhhhh đđđđềềềề 1111 1111 1111 Cho R là một vành Boole, khi đó ∅ ∈ R, các phép hiệu

đối xứng và giao của hai tập hợp là đóng trong R

C

C hhhhứứứứnnnngggg mmmiiiinnnnhhhh Lấy A là tập bất kỳ trong R, ta có: ∅ = A \ A ∈ R.

Với mọi A ∈ R và B ∈ R thì A ∪ B ∈ R và A \ B ∈ R nên suy ra:

Với mọi A ∈ R, ta có:

Ac = X \ A ∈ R

A ∪ B = (Ac \ B)c ∈ R

Vậy R là một đại số

*/ Ng−ợc lại, giả sử R là một đại số Ta cần chứng minh X ∈ R

Thật vậy, do đại số R là lớp khác trống nên tồn tại A ∈ R và ta có A c ∈ R

Mệệệệnnnnhhhh đđđđềềềề 1111 1111 2222 Nếu F là một σ −đại số các tập con của tập X thì giaohữu hạn và hợp hữu hạn các tập của F cũng thuộc F

1111 2222 Đ Đ Độ ộ ộ đ đ đo o o ((((M M Me ee ea a assssu u ur r re ee essss))))

1111 2222 1111 Đ Đ Độộộộ đđđđoooo ttttrrrr êêêênnnn ccccáááácccc vvvvàààànnnnhhhh (Measure on rings)

Một hàm tập (a set function) là một ánh xạ từ một lớp các tập hợpvào tập số thực R Một hàm tập à xác định trên lớp E các tập hợp đ−ợcgọi là cộng tính (additive) nếu ∀E ∈ E, ∀F ∈ E và E ∩ F = ∅ thì à(E ∪ F ) = à(E) + à(F )

Hàm tập à : E −→ R đ−ợc gọi là hữu hạn cộng tính nếu:

E đ−ợc gọi là một độ đo trên vành E nếu:

1/ Với mọi E ∈ E thì à(E) ≥ 0 và à( ∅) = 0.

đ−ợc gọi là:

- hữu hạn trên E nếu với mọi tập E ∈ E thì à(E) < ∞;

- σ − hữu hạn trên E nếu mọi tập E ∈ E đều có độ đo σ − hữu hạn

Đ

Địịịịnnnnhhhh nnnngggghhhhĩĩĩĩaaaa 1111 2222 4444 Độ đo à xác định trên đại số E các tập con của tập X

đ−ợc gọi là:

- hữu hạn hoàn toàn (totally finite) nếu à(X) < ∞;

- σ − hữu hạn hoàn toàn (totally σ − finite) nếu tập X có độ đo σ − hữuhạn

Đ

Địịịịnnnnhhhh nnnngggghhhhĩĩĩĩaaaa 1111 2222 5555 Độ đo à xác định trên vành E đ−ợc gọi là đầy đủ nếu

∀E ∈ E, F ⊂ E và à(E) = 0 thì F ∈ E

C

C hhhhúúúú ýýýý Trong định nghĩa 1.2.5 yêu cầu E là đại số để X ∈ E

1111 2222 2222 CCCáááácccc ttttíííínnnnhhhh cccchhhhấấấấtttt ccccủủủủaaaa đđđđộộộộ đđđđoooo (Properties of measures)

Đ

Địịịịnnnnhhhh llllýýýý 1111 2222 1111 Cho à là một độ đo trên vành E Khi đó ta có:

1/ Nếu E ∈ E, F ∈ E và E ⊂ F thì à(E)  à(F )

2/ Nếu E ∈ E, F ∈ E và E ⊂ F, F \ E ∈ E, |à(E)| < ∞ thì à(F \ E) = à(F ) − à(E).

= µ(E m ) − limn→∞µ(E n )

Do µ(E m ) < ∞ suy ra µ( lim

n→∞ µ(E n ) = µ(E) T−¬ng tù, hµm tËp µ ®−îc gäi

lµ liªn tôc trªn (continuous from above) t¹i tËp E nÕu mäi d·y gi¶m c¸ctËp {En} tháa m·n lim

chương 2

Độ đo xác suất

2222 1111 C C Cá á ác c c k k kh h há á áiiii n n niiiiệệệệm m m m m mở ở ở đ đ đầ ầ ầu u

2222 1111 1111 Đ Đ Độộộộ đđđđoooo xxxxáááácccc ssssuuuuấấấấtttt vvvvàààà kkkkhhhhôôôônnnngggg ggggiiiiaaaannnn xxxxáááácccc ssssuuuuấấấấtttt

Xét Ω là tập khác rỗng, F là σ ưđại số các tập con của Ω và à là độ đoxác định trên F Nếu độ đo à thỏa mãn:

à(Ω) = 1

thì ta nói à là một độ đo xác suất trên F

Khi đó, ta gọi bộ ba (Ω, F, à) là một không gian xác suất

Trong lý thuyết xác suất cổ điển, người ta thường lấy F = P(Ω) với P(Ω)

là lớp tất cả các tập con của Ω và thường ký hiệu à = P (P là viết tắt của

từ Probability) Khi đó người ta gọi:

-/ Tập {ω} ∈ F là một biến cố sơ cấp

-/ Tập A ∈ F là một biến cố

-/ Nếu A, B ∈ F và A ⊂ B thì ta nói B là biến cố kéo theo của A

-/ Nếu A, B ∈ F và A ∩ B = ∅ thì A và B gọi là hai biến cố xung khắcnhau

-/ Nếu A ∈ F và B = Ω \ A thì A và B gọi là hai biến cố đối nhau

-/ Tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn (surely event)

-/ Tập ∅ được gọi là biến cố không thể (hay bất khả) (the imposibleevent)

2222 1111 2222 C C Cáááácccc đđđđịịịịnnnnhhhh nnnngggghhhhĩĩĩĩaaaa ccccổổổổ đđđđiiiiểểểểnnnn ccccủủủủaaaa xxxxáááácccc ssssuuuuấấấấtttt

Đ

Địịịịnnnnhhhh nnnngggghhhhĩĩĩĩaaaa ccccổổổổ đđđđiiiiểểểểnnnn ccccủủủủaaaa xxxxáááácccc ssssuuuuấấấấtttt

Giả sử xác suất của các biến cố sơ cấp là đồng khả năng và tập Ω

(thường gọi là không gian mẫu) có số phần tử hữu hạn Giả sử n là số tấtcả các kết quả có thể xảy ra trong một thí nghiệm ngẫu nhiên để biến cố

A nào đó xảy ra và m là số tất cả các trường hợp biến cố A có thể xảy ra

Khi đó xác suất của biến cố A theo định nghĩa cổ điển của xác suất là:

P (A) = m

n

Ta dễ dàng thử lại rằng với định nghĩa cổ điển của xác suất như thếthì nó thỏa mãn các tiên đề của một độ đo xác suất trên σ ưđại số lớp tấtcả các tập con của Ω.

V

Víííí ddddụụụụ Một lớp có 10 học sinh nữ và 20 học sinh nam Chọn ngẫu nhiên

3 học sinh tham gia công tác của trường Tính xác suất để chọn được 1nữ

và 2 nam?

G

Giiiiảảảảiiii

Gọi A là biến cố chọn được 1 nữ và 2 nam

Số trường hợp thuận lợi để A xảy ra là C 1

Số tất cả các trường có thể xảy ra là: C302

Xác suất của bién cố A là:

.

Đ

Địịịịnnnnhhhh nnnngggghhhhĩĩĩĩaaaa hhhhììììnnnnhhhh hhhhọọọọcccc ccccủủủủaaaa xxxxáááácccc ssssuuuuấấấấtttt

Ta ký hiệu G là miền không gian mẫu của một thí nghiệm ngẫu nhiên

về biến cố A nào đó và g được ký hiệu là miền biểu diễn biến cố A xảy

ra Định nghĩa theo hình học xác suất của biến cố A là:

P (A) = meas(g)

meas(G)

trong đó M eas(g) là độ đo của miền g.

Rõ ràng, định nghĩa hình học của xác suất thỏa mãn các tiên đề của một

Địịịịnnnnhhhh nnnngggghhhhĩĩĩĩaaaa xxxxáááácccc ssssuuuuấấấấtttt tttthhhheeeeoooo tttthhhhốốốốnnnngggg kkkkêêêê

Trong một thí nghiệm ngẫu nhiên có n trường hợp xảy ra và trong đó

có m trường hợp biến cố A xảy ra Định nghĩa theo thống kê của biến cố

2222 2222 C C Cá á ác c c t tt tíííín n nh h h c c ch h hấ ấấ ấ t tt t c c củ ủ ủa a a đ đ độ ộ ộ đ đ đo o o x x xá á ác c c ssssu u uấ ấấ ấ t tt

Vì độ đo xác suất là một độ đo nên nó có tất cả các tính chất của một

độ đo trên các vành Ngoài ra nó còn có thêm một số tính chất đặc biệtkhác Trong phần này ta chỉ đề cập đến các tính chất đặc biệt của độ đoxác suất và không nhắc lại các tính chất của độ đo trên vành ở chươngtrước Ta ký hiệu (Ω; F; à) là một không gian xác suất

à(A) + à(Ac) = à(A ∪ A c ) = à(Ω) = 1

T

Tíííínnnnhhhh cccchhhhấấấấtttt 3333 Với mọi biến cố A, B ∈ F ta có:

à(A ∪ B) = à(A) + à(B) − à(A ∩ B)

Công thức này đ−ợc gọi là công thức cộng xác suất

C hhhhúúúú ýýýý Nếu A, B ∈ F và A ∩ B = ∅ thì à(A ∪ B) = à(A) + à(B)

2222 3333 X X Xá á ác c c ssssu u uấ ấấ ấ t tt t đ đ điiiiềềềều u u k k kiiiiệệệện n n v v và à à c c cô ô ôn n ng g g t tt th h hứ ứứ ức c c x x xá á ác c c ssssu u uấ ấấ ấ t tt t t tt to o oà à àn n n pppph h hầ ầ ần n ((((đ đ đầ ầ ầy y y đ đ đủ ủ ủ))))

2222 3333 1111 X X Xáááácccc ssssuuuuấấấấtttt đđđđiiiiềềềềuuuu kkkkiiiiệệệệnnnn

Cho họ {An } n∈N ⊂ F Ta nói họ này là họ đầy đủ các biến cố nếu vàchỉ nếu nó thỏa mãn:

C

C hhhhứứứứnnnngggg mmmiiiinnnnhhhh Do à(B) > 0 nên B = ∅ Ω ∩ B = B ∈ F B nên FB = ∅

Với mọi E ∈ F B ta có ∃A ∈ F sao cho E = A ∩ B, nên:

Ec = C B (A ∩ B) = A c ∩ B ∈ F B ,

(Chú ý rằng E c ở đây là phần bù của E trong B)

Với mọi dãy {En}n∈N ⊂ FB, ta có:

Hơn nữa, à B (B) = 1 nên à B là một độ đo xác suất trên FB Không gian

(B; F B ; à B ) là không gian xác suất con của không gian xác suất (Ω; F; à).

Độ đo à B đ−ợc gọi là xác suất điều kiện với điều kiện B

Từ công thức tính xác suất điều kiện ta suy ra:

à(A ∩ B) = à(B).à B (A)

Công thức này đ−ợc gọi là công thức nhân xác suất

2222 3333 2222 C C Côôôônnnngggg tttthhhhứứứứcccc xxxxáááácccc ssssuuuuấấấấtttt ttttooooàààànnnn pppphhhhầầầầnnnn

Đ

Địịịịnnnnhhhh llllýýýý 2222 3333 3333 Với mọi biến cố E trong không gian xác suất (Ω; F; à) có

họ các biến cố đầy đủ {An } n∈N, ta luôn có công thức xác suất toàn phần:

V

Víííí ddddụụụụ Có hai cái hộp:

-/ Hộp thứ nhất: chứa 1 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh, 3 viên bi trắng;-/ Hộp thứ hai: chứa 2 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh, 4 viên bi trắng.Chọn ngẫu nhiên một hộp và lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp đó.a/ Tính xác suất để chọn đ−ợc bi màu trắng

b/ Biết bi chọn đ−ợc là bi màu trắng, tính xác suất để nó thuộc hộp thứhai

= 1

2.

2222 4444 B B Biiiiếếếến n n n n ng g gẫ ẫ ẫu u u n n nh h hiiiiêêêên n n v v và à à h h hà à àm m m pppph h hâ â ân n n pppph h hố ố ốiiii

2222 4444 1111 B B Biiiiếếếếnnnn nnnnggggẫẫẫẫuuuu nnnnhhhhiiiiêêêênnnn

Cho (Ω; F; à) là không gian xác suất và (X; X ) là một không gian đo

đ−ợc Ta gọi ánh xạ:

ξ : Ω −→ X

là một biến ngẫu nhiên X −giá trị nếu và chỉ nếu nó là một ánh xạ ( F −

X )−đo đ−ợc, nghĩa là với mọi B ∈ X ta có ξ−1(B) ∈ F.

*/ Nếu X = R và X = B(R) là σ −đại số Borel của R thì ta nói ξ là một đạil−ợng ngẫu nhiên

*/ Nếu X = R n , n > 1 và X = B(Rn ) là σ −đại số Borel của Rn thì ta nói ξ làvectơ ngẫu nhiên

2222 4444 2222 P PP Phhhhâââânnnn pppphhhhốốốốiiii xxxxáááácccc ssssuuuuấấấấtttt vvvvàààà hhhhààààm m m pppphhhhâââânnnn pppphhhhốốốốiiii xxxxáááácccc ssssuuuuấấấấtttt

Cho ξ là một đại l−ợng ngẫu nhiên, với mọi B ∈ B(R) ta gọi:

à ξ (B) = à(ξ−1(B))

là độ đo ảnh của ξ qua ánh xạ ξ và nó là một độ đo xác suất trên B(R) à ξ

còn đ−ợc gọi là phân phối xác suất của ξ

a/ f ξ (x) ≥ 0.

b/ P (a  ξ  b) =

b a

nếu tổng đó hội tụ tuyệt đối.

*/ Nếu ξ là đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục tuyệt đối có hàm mật độ f ξ (t) thì

Víííí ddddụụụụ 1111 Cho ξ là đại l−ợng ngẫu nhiên có phân phối đều trên tập hữu hạn

{x i |i = 1; n}, nghĩa là P (ξ = xi) = n1, ∀i Tính E(ξ)

hạn [a; b], nghĩa là nó có hàm mật độ:

f ξ (t) =

 0, nếut / ∈ [a; b]

1 b−a , nếut ∈ [a; b]

x.f ξ (x)dx = 1

b − a

b a

b − a.

x22

b a

= b

2(b − a) =

(b − a)(b + a) 2.(b − a) =

a + b 2

a/ E(ξ + η) = E(ξ) + E(η)

b/ Với mọi k ∈ R ta luôn có E(k.ξ) = k.E(ξ)

c/ Nếu ξ và η là các đại l−ợng ngẫu nhiên độc lập, nghĩa là với mọi A, B ∈ B(R) ta có P [ξ−1(A).η−1(A)] = P [ξ−1(A)].P [(η−1(A)] thì E(ξ.η) = E(ξ).E(η).C

Mệnh đề được chứng minh hoàn toàn

Var(ξ) = E(ξ ư Eξ) 2

****//// CCC áááácccc ttttíííínnnnhhhh cccchhhhấấấấtttt ccccủủủủaaaa pppphhhhưưưươơơơnnnngggg ssssaaaaiiii

M

Mệệệệnnnnhhhh đđđđềềềề 3333 1111 2222 Nếu ξ là đại lượng ngẫu nhiên có phương sai thì:

Var(ξ) = E(ξ2) ư [E(ξ)]2.

C

C hhhhứứứứnnnngggg mmmiiiinnnnhhhh Ta có:

Var(ξ) = E(ξ ư Eξ)2 = E[ξ2ư 2ξ.E(ξ) + [E(ξ)]2]

= E(ξ2) ư 2E(ξ).E(ξ) + [E(ξ)]2

Mệệệệnnnnhhhh đđđđềềềề 3333 1111 5555 Nếu ξ và η là hai đại l−ợng ngẫu nhiên độc lập thìVar(ξ + η) =Var(ξ) +Var(η)

C

C hhhhứứứứnnnngggg mmmiiiinnnnhhhh Var(ξ + η) = E(ξ + η)2− [E(ξ + η)]2

= E(ξ2) + 2E(ξ).E(η) + E(η2) − [E(ξ)]2− 2E(ξ).E(η) − [E(η)]2

= b

3(b − a) =

(b − a)(b 2 − ab + a 2 ) 3(b − a)

(Vì theo khai triển Mac Laurin có eλ =

Lấy đạo hàm hai vế có:

3333 2222 LLLLu u uË ËË Ë t tt t ssssè è è l ll lí í ín n n d d d¹ ¹ ¹n n ng g g y y yÕ ÕÕ Õu u

§ÞÞÞÞnnnnhhhh llllýýýý 3333 2222 1111 Víi mäi biÕn ngÉu nhiªn ξ cã ph−¬ng sai h÷u h¹n vµ víi

ε > 0 cho tr−íc tïy ý, ta lu«n cã:

Địịịịnnnnhhhh llllýýýý 3333 2222 2222 (Định lý Chebyshev) Giả sử dãy đại lượng ngẫu nhiên

{ξ n } n∈N độc lập từng đôi một và có phương sai đồng bị chặn, nghĩa là tồntại 0 < c < ∞ sao cho Var(ξn)  c, ∀n Khi đó, dãy {ξn } n∈N tuân theo luật

số lớn dạng yếu, nghĩa là với mỗi ε > 0 cho trước bất kỳ, ta có:

Địịịịnnnnhhhh llllýýýý 3333 2222 3333 (Định lý Bernoulli) Giả sử à là số lần xảy ra của biến cố

A trong n phép thử độc lập và p là xác suất xảy ra của biến cố A trongmỗi phép thử Khi đó, với bất kỳ ε > 0 cho trước ta luôn có:

0, nếu A không xảy ra trong phép thử thứ k,

1, nếu A xảy ra trong phép thử thứ k

E(à2k) = 02.(1 ư p) + 1 2 p = p.

Var(à k ) = E(à2k) ư [E(à k )]2 = p ư p2  1

4,(do bất đẳng thức Cauchy)

Địịịịnnnnhhhh llllýýýý 3333 2222 4444 (Định lý Poisson) Gọi à là số lần xảy ra biến cố A trong n

phép thử độc lập và p k là xác suất xảy ra biến cố A trong lần thử thứ k.Khi đó với mỗi ε > 0 cho trước, ta có:

 0, nếu A không xảy ra trong phép thử thứ k,

1, nếu A xảy ra trong phép thử thứ k

Var(à k ) = E(à2k) ư [E(à k )]2 = p k ư p2k  1

4,(do bất đẳng thức Cauchy)

Với δ > 0 cho trước, ta định nghĩa:

ξ k = γ k + ζ k

tµi liÖu tham kh¶o

1 NNNgggguuuuyyyyÔÔÔÔnnnn DDDuuuuyyyy TTTiiiiÕÕÕÕnnnn,,,, NNNgggguuuuyyyyÔÔÔÔnnnn VVViiiiÕÕÕÕtttt PPPPhhhhóóóó (1983),Gi¸o tr×nh lý thuyÕt x¸csuÊt, Nxb §¹i häc vµ Trung häc chuyªn nghiÖp, Hµ Néi

2 FFFeeeelllllllleeeerrrr WWW (1971),An introduction to probability theory and its tions, John Wiley and sons, New York - Chichester-Brisbane-Toronto,Singapore

applica-3 GGGnnnneeeeddddeeeennnnkkkkoooo VVV BBB aaaannnndddd KKKoooollllmmmooooggggoooorrrr oooovvvv AAA NNN (1954), Limit distributions forsums independent random variables, Cambridge

4 SSSSttttrrrr oooooooocccckkkk DDD WWW (1994),Probability theory an analytic view, Cambridgeuniversity press

5 C¸c gi¸o tr×nh vÒ x¸c suÊt ë ViÖt Nam